湖南省长沙市长沙县百熙实验学校2023-2024学七年级下学期第一次月考数学试卷

这是一份湖南省长沙市长沙县百熙实验学校2023-2024学七年级下学期第一次月考数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，小器一容三斛；大器一，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列四个实数中，是无理数的是（ ）
A．B．0C．0.D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，将点（1，1）向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ ）
A．（3，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（1，﹣1）
3．（3分）如图，AB∥CD，∠1＝70°，则∠2＝（ ）
A．120°B．110°C．80°D．70°
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．＝﹣
5．（3分）下列命题中是真命题的是（ ）
A．相等的两个角是对顶角
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c
D．在同一平面内，若a∥b，b⊥c，则a∥c
6．（3分）若a，b为两个连续的正整数，且，则a+b等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
7．（3分）如图，下列条件中，不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠D+∠BAD＝180°B．∠1＝∠2
C．∠3＝∠4D．∠B＝∠DCE
8．（3分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器5个、小容器1个，总容量为3斛；大容器1个、小容器5个，总容量为2斛．问大小容器的容积各是多少斛？”设1个大容器的容积为x斛，1个小容器的容积y斛，则根据题意可列方程组（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如果，，那么约等于（ ）
A．28.2B．13.33C．0.2872D．0.1333
10．（3分）将一副三角板按如图放置，其中∠B＝∠C＝45°，∠E＝60°，∠D＝30°，则下列结论正确的有（ ）
①∠BAE+∠CAD＝180°；
②如果∠2与∠E互余，则BC∥DA；
③如果BC∥AD，则有∠2＝45°；
④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C．
A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③④
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.）
11．（3分）比较大小： 3．（填“＞”、“＝”或“＜”）
12．（3分）平面直角坐标系中，点A（﹣1，3）在第 象限．
13．（3分）9的平方根是 ．
14．（3分）已知二元一次方程组，则x﹣y的值为 ．
15．（3分）点A（2﹣a，﹣3a+1）在y轴上，则a＝ ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0），…，则点P2024的坐标是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分.）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
18．（6分）解方程（组）：
（1）（x﹣1）2＝4；
（2）解方程组．
19．（6分）已知，化简求值：2a2b+2ab2﹣1﹣[3（a2b﹣1）+ab2+2]．
20．（8分）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．将△ABC向右平移6个单位长度，再向下平移6个单位长度得到△A1B1C1．（图中每个小方格边长均为1个单位长度）．
（1）在图中画出平移后的△A1B1C1；
（2）直接写出△A1B1C1各顶点的坐标；
（3）求出△A1B1C1的面积．
21．（8分）如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2．试说明∠DGA+∠BAC＝180°．请将下面的说明过程填写完整．
解：∵EF∥AD，（已知）
∴∠2＝ ．（ ）．
又∵∠1＝∠2，（已知）
∴∠1＝∠3，（ ）．
∴AB∥ ，（ ）
∴∠DGA+∠BAC＝180°．（ ）
22．（9分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．某玩具店购进亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”共100个，总费用为6600元，这两种吉祥物的进价、售价如表：
（1）该玩具店购进“琮琮”和“莲莲”各多少个？
（2）周老师有幸能参加本次亚运会，然后想买20个琮琮，30个莲莲送给他的学生，现在有两个玩具店在做活动，甲商店打“八折”销售，乙商店总价“满4000元减700元”，请问周老师会选择到哪个商店买更优惠？
23．（9分）已知，如图，E在直线DF上，B在直线AC上，若∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D．
（1）求证：AC∥DF．
（2）若∠DEC＝150°，求∠GBA．
24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a阶派生
点”（其中a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶派生点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9）．
（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3阶派生点”的坐标为 ；
（2）若点P的“5阶派生点”的坐标为（﹣9，3），求点P的坐标；
（3）若点P（c+1，2c﹣1）先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点P1，点P1的“﹣3阶派生点”P2位于坐标轴上，求点P2的坐标．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，AB∥CD∥x轴，BC∥DE∥y轴，且AB＝CD＝4cm，OA＝5cm，DE＝2cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿ABC路线向点C运动；动点Q从点O出发，以每秒2cm的速度，沿OED路线向点D运动．若P，Q两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止．
（1）直接写出B，C，D三个点的坐标；
（2）当P，Q两点出发3s时，求三角形PQC的面积；
（3）设两点运动的时间为t s，用含t的式子表示运动过程中三角形OPQ的面积．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.）
1．（3分）下列四个实数中，是无理数的是（ ）
A．B．0C．0.D．
【解答】解：0，0.，是有理数，
是无理数，
故选：A．
2．（3分）在平面直角坐标系中，将点（1，1）向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ ）
A．（3，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（1，﹣1）
【解答】解：将点（1，1）向右平移2个单位后，横坐标加2，所以平移后点的坐标为（3，1），
故选：A．
3．（3分）如图，AB∥CD，∠1＝70°，则∠2＝（ ）
A．120°B．110°C．80°D．70°
【解答】解：∵∠1＝70°，
∴∠FEB＝180°﹣∠1＝110°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝110°，
故选：B．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．＝﹣
【解答】解：∵﹣1＜0，∴无意义，故A错误，不符合题意．
∵＝3，∴B错误，不符合题意．
∵＝2，∴C错误，不符合题意．
∵，∴D正确，符合题意．
故选：D．
5．（3分）下列命题中是真命题的是（ ）
A．相等的两个角是对顶角
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c
D．在同一平面内，若a∥b，b⊥c，则a∥c
【解答】解：A、相等的两个角不一定是对顶角，是假命题；
B、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题；
C、在同一平面内，如a∥b，b∥c，则a∥c，是真命题；
D、在同一平面内，若a∥b，b⊥c，则a∥c，是假命题；
故选：C．
6．（3分）若a，b为两个连续的正整数，且，则a+b等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
【解答】解：∵3＜＜4，
∴a＝3，b＝4，
∴a+b＝7，
故选：B．
7．（3分）如图，下列条件中，不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠D+∠BAD＝180°B．∠1＝∠2
C．∠3＝∠4D．∠B＝∠DCE
【解答】解：根据∠D+∠BAD＝180°，可得AB∥CD；
根据∠1＝∠2，可得AB∥CD；
根据∠3＝∠4，可得BC∥AD，得不到AB∥CD；
根据∠B＝∠DCE，可得AB∥CD．
故选：C．
8．（3分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器5个、小容器1个，总容量为3斛；大容器1个、小容器5个，总容量为2斛．问大小容器的容积各是多少斛？”设1个大容器的容积为x斛，1个小容器的容积y斛，则根据题意可列方程组（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，
根据题意得：，
故选：A．
9．（3分）如果，，那么约等于（ ）
A．28.2B．13.33C．0.2872D．0.1333
【解答】解：∵＝1.333，
∴，
故选：B．
10．（3分）将一副三角板按如图放置，其中∠B＝∠C＝45°，∠E＝60°，∠D＝30°，则下列结论正确的有（ ）
①∠BAE+∠CAD＝180°；
②如果∠2与∠E互余，则BC∥DA；
③如果BC∥AD，则有∠2＝45°；
④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C．
A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③④
【解答】解：如图，点M在DA的延长线上，
∵∠DAE＝90°，
∴∠EAM＝∠1+∠CAM＝180°﹣∠DAE＝90°，
又∵∠CAB＝∠2+∠1＝90°，
∴∠2＝∠CAM，
又∵∠CAD+∠CAM＝180°，
∴∠2+∠CAD＝180°，
即∠BAE+∠CAD＝180°，
故①正确，符合题意；
∵∠2与∠E互余，
∴∠2+∠E＝90°，
∵∠E＝60°，
∴∠2＝30°，
∴∠3＝60°≠∠B，
∴BC与AD不平行，
故②错误，不符合题意；
∵BC∥AD，
∴∠3＝∠B＝45°，
∵∠2+∠3＝90°，
∴∠2＝45°，
故③正确，符合题意；
∵∠CAD＝150°，∠CAM+∠CAD＝180°，∠BAE＝∠CAM，
∴∠BAE＝30°，
∵∠E＝60°，
∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°，
∴∠4+∠B＝90°，
∵∠B＝45°，
∴∠4＝45°，
∵∠C＝45°，
∴∠4＝∠C，
故④正确，符合题意．
故选：A．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.）
11．（3分）比较大小： ＞ 3．（填“＞”、“＝”或“＜”）
【解答】解：∵32＝9＜10，
∴＞3，
故答案为：＞．
12．（3分）平面直角坐标系中，点A（﹣1，3）在第 二 象限．
【解答】解：∵﹣1＜0，3＞0，
∴点A（﹣1，3）在第二象限．
故答案为：二．
13．（3分）9的平方根是 ±3 ．
【解答】解：9的平方根是±＝±3．
故答案为：±3．
14．（3分）已知二元一次方程组，则x﹣y的值为 1 ．
【解答】解：解法一：由x+2y＝4可得：
x＝4﹣2y，
代入第二个方程中，可得：
2（4﹣2y）+y＝5，
解得：y＝1，
将y＝1代入第一个方程中，可得
x+2×1＝4，
解得：x＝2，
∴x﹣y＝2﹣1＝1，
故答案为：1；
解法二：∵，
由②﹣①可得：
x﹣y＝1，
故答案为：1．
15．（3分）点A（2﹣a，﹣3a+1）在y轴上，则a＝ 2 ．
【解答】解：∵点A（2﹣a，﹣3a+1）在y轴上，
∴2﹣a＝0，
∴a＝2，
故答案为：2．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0），…，则点P2024的坐标是 （675，1） ．
【解答】解：由图可得，P6（2，0），P12（4，0），…，P6n（2n，0），P6n+1（2n，1），
2024÷6＝337……2，
∴P6×337+2（2×337+1，1），
即P2024（675，1），
故答案为：（675，1）．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分.）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
＝
＝2﹣3+2
＝1；
（2）
＝
＝．
18．（6分）解方程（组）：
（1）（x﹣1）2＝4；
（2）解方程组．
【解答】解：（1）由原方程得：x﹣1＝±2，
解得：x＝3或x＝﹣1；
（2），
①+②得：3x＝6，
解得：x＝2，
将x＝2代入①得：2﹣y＝1，
解得：y＝1，
故原方程组的解为．
19．（6分）已知，化简求值：2a2b+2ab2﹣1﹣[3（a2b﹣1）+ab2+2]．
【解答】解：2a2b+2ab2﹣1﹣[3（a2b﹣1）+ab2+2]
＝2a2b+2ab2﹣1﹣（3a2b﹣3+ab2+2）
＝2a2b+2ab2﹣1﹣（3a2b+ab2﹣1）
＝2a2b+2ab2﹣1﹣3a2b﹣ab2+1
＝﹣a2b+ab2，
∵，
∴a+1＝0，b﹣1＝0，
解得：a＝﹣1，b＝1，
∴原式＝﹣（﹣1）2×1﹣1×12＝﹣2．
20．（8分）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．将△ABC向右平移6个单位长度，再向下平移6个单位长度得到△A1B1C1．（图中每个小方格边长均为1个单位长度）．
（1）在图中画出平移后的△A1B1C1；
（2）直接写出△A1B1C1各顶点的坐标；
（3）求出△A1B1C1的面积．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：A1（4，﹣2），B1（1，﹣4），C1（2，﹣1）；
（3）△A1B1C1的面积为：3×3﹣×1×3﹣×1×2﹣×2×3＝3.5．
21．（8分）如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2．试说明∠DGA+∠BAC＝180°．请将下面的说明过程填写完整．
解：∵EF∥AD，（已知）
∴∠2＝ ∠3 ．（ 两直线平行，同位角相等 ）．
又∵∠1＝∠2，（已知）
∴∠1＝∠3，（ 等量代换 ）．
∴AB∥ DG ，（ 内错角相等，两直线平行 ）
∴∠DGA+∠BAC＝180°．（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
【解答】解：∵EF∥AD，（已知）
∴∠2＝∠3．（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠1＝∠2，（已知）
∴∠1＝∠3，（等量代换）．
∴AB∥DG，（内错角相等，两直线平行）
∴∠DGA+∠BAC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为∠3，两直线平行，同位角相等，等量代换，DG，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补．
22．（9分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．某玩具店购进亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”共100个，总费用为6600元，这两种吉祥物的进价、售价如表：
（1）该玩具店购进“琮琮”和“莲莲”各多少个？
（2）周老师有幸能参加本次亚运会，然后想买20个琮琮，30个莲莲送给他的学生，现在有两个玩具店在做活动，甲商店打“八折”销售，乙商店总价“满4000元减700元”，请问周老师会选择到哪个商店买更优惠？
【解答】解：（1）设该玩具店购进“琮琮”x个，“莲莲”y个，
由题意等：，
解得：，
答：该玩具店购进“琮琮”40个，“莲莲”60个；
（2）周老师在甲商店购买需要的费用为：20×80×0.8+30×100×0.8＝3680（元），
在甲商店购买需要的费用为：20×80+30×100﹣700＝3900（元），
∵3680＜3900，
∴周老师会选择到甲商店买更优惠．
23．（9分）已知，如图，E在直线DF上，B在直线AC上，若∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D．
（1）求证：AC∥DF．
（2）若∠DEC＝150°，求∠GBA．
【解答】（1）证明：∵∠AGB＝∠DGH，∠AGB＝∠EHF，
∴∠DGH＝∠EHF，
∴BD∥CE，
∴∠D＝∠FEC，
∵∠C＝∠D，
∴∠FEC＝∠C，
∴AC∥DF；
（2）解：由（1）知BD∥CE，
∴∠D+∠DEC＝180，
∵∠DEC＝150°，
∴∠D＝30°，
∵AC∥DF，
∴∠GBA＝∠D＝30°．
24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a阶派生
点”（其中a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶派生点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9）．
（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3阶派生点”的坐标为 （2，14） ；
（2）若点P的“5阶派生点”的坐标为（﹣9，3），求点P的坐标；
（3）若点P（c+1，2c﹣1）先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点P1，点P1的“﹣3阶派生点”P2位于坐标轴上，求点P2的坐标．
【解答】解：（1）3×（﹣1）+5＝2；﹣1+3×5＝14，
∴点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3级派生点”的坐标为（2，14）．
故答案为：（2，14）；
（2）设点P的坐标为（a，b），
由题意可知，
解得：，
∴点P的坐标为（﹣2，1）；
（3）∵点P（c+1，2c﹣1）先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点P1，
∴P1（c﹣1，2c），
∴P1的“﹣3阶派生点“P2为：（﹣3（c﹣1）+2c，c﹣1﹣6c），即（﹣c+3，﹣5c﹣1），
∵P2在坐标轴上，
∴﹣c+3＝0或﹣5c﹣1＝0，
∴c＝3或c＝﹣，
∴﹣c+3＝0或，﹣5c﹣1＝﹣16或0，
∴P2（0，﹣16）或（，0）．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，AB∥CD∥x轴，BC∥DE∥y轴，且AB＝CD＝4cm，OA＝5cm，DE＝2cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿ABC路线向点C运动；动点Q从点O出发，以每秒2cm的速度，沿OED路线向点D运动．若P，Q两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止．
（1）直接写出B，C，D三个点的坐标；
（2）当P，Q两点出发3s时，求三角形PQC的面积；
（3）设两点运动的时间为t s，用含t的式子表示运动过程中三角形OPQ的面积．
【解答】解：（1）∵AB∥CD∥x轴，BC∥DE∥y轴，AB＝CD＝4cm，OA＝5cm，DE＝2cm，
∴B（4，5）、C（4，2）、D（8，2），
（2）当P，Q两点出发3s时，OQ＝6cm，AP＝3cm，
∴点P在线段AB上，
过点P作PG⊥x轴于点G，过点C作CH⊥PG于点H，
则四边形APGO和四边形BPHC均为矩形，
∴PH＝BC＝OA﹣DE＝3cm，AP＝OG＝3cm，HC＝PB＝1cm，HG＝PG﹣PH＝2cm，
∴GQ＝OQ﹣OG＝3cm，
∴S△PQC＝S△PGQ﹣S△PHC﹣S梯形HGQC
＝×3×5﹣×1×3﹣×（1+3）×2
＝2（cm2）；
（3）当0＜t≤4时，如图2，由题意得：OA＝5cm，OQ＝2t cm，
则S△OPQ＝OQ•OA＝×2t×5＝5t；
②当4＜t≤5时，如图3，
过点P作PM∥x轴交ED的延长线于M，
由题意得：OE＝8cm，EM＝（9﹣t）cm，PM＝4，EQ＝（2t﹣8）cm，
∴MQ＝（17﹣3t）cm，
则S△OPQ＝S梯形OPME﹣S△PMQ﹣S△OEQ
＝（4+8）×（9﹣t）﹣×4（17﹣3t）﹣×8（2t﹣8）
＝﹣8t+52；
综上所述，S△OPQ＝．
琮琮
莲莲
进价（元/个）
60
70
售价（元/个）
80
100
琮琮
莲莲
进价（元/个）
60
70
售价（元/个）
80
100