第14讲 双曲线（十大题型）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义

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题型一：双曲线的定义、条件
题型二：求双曲线的标准方程
题型三：双曲线的综合问题
题型四：轨迹方程
题型五：双曲线的简单几何性质
题型六：求双曲线的离心率
题型七：求双曲线离心率的取值范围
题型八：由双曲线离心率求参数的取值范围
题型九：双曲线中的范围与最值问题
题型十：焦点三角形
【知识点梳理】
知识点一：双曲线的定义
在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数(大于0且)的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距．
知识点诠释：
1、 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；
2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：()，则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若()，则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
3、 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线(包括端点)；
4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；
5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
知识点二：双曲线的标准方程
1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；
2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中
椭圆、双曲线的区别和联系：
方程Ax2+By2=C(A、B、C均不为零)表示双曲线的条件
方程Ax2+By2=C可化为，即，
所以只有A、B异号，方程表示双曲线．
当时，双曲线的焦点在x轴上；
当时，双曲线的焦点在y轴上．
知识点诠释：
3、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上．
4、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2．
5、双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．
6、对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．
知识点三：求双曲线的标准方程
①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”；
②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程．
知识点四：双曲线的简单几何性质
双曲线(a＞0，b＞0)的简单几何性质
范围
双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a和x=a的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a．
对称性
对于双曲线标准方程(a＞0，b＞0)，把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以双曲线(a＞0，b＞0)是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心．
顶点
①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点．
②双曲线(a＞0，b＞0)与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为
A1(-a，0)，A2(a，0)，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点．
③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1(0，-b)，B2(0，b)为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b．a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长．
①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆．
②双曲线的焦点总在实轴上．
③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
离心率
①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作．
②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率．
由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度．
③等轴双曲线，所以离心率．
渐近线
经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形(如图)，矩形的两条对角线所在直线的方程是．
我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．
知识点四：双曲线两个标准方程几何性质的比较
知识点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．
对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．
知识点五：双曲线的渐近线
(1)已知双曲线方程求渐近线方程：
若双曲线方程为，则其渐近线方程为
已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．
(2)已知渐近线方程求双曲线方程：
若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可．
(3)与双曲线有公共渐近线的双曲线
与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为(，焦点在轴上，，焦点在y轴上)
(4)等轴双曲线的渐近线
等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为．
知识点六：双曲线中a，b，c的几何意义及有关线段的几何特征：
双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞b＞0，c＞a＞0，且c2=b2+a2．
双曲线，如图：
(1)实轴长，虚轴长，焦距
(2)离心率：；
(3)顶点到焦点的距离：，；
【典例例题】
题型一：双曲线的定义、条件
例1．(2023·高二课时练习)平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是( )
A．双曲线B．两条射线C．一条线段D．一条直线
【答案】B
【解析】如图：
设动点为，到两个定点的距离之差的绝对值为，
则若在线段(不包含两端点)上，有；
若在直线外，有；
若在线段的延长线上或线段的反向延长线上(均包含两端点)，
则有.
故选：B
例2．(2023·高二课时练习)到两定点、的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹( )
A．椭圆B．直线C．双曲线D．两条射线
【答案】D
【解析】因为，，
故的轨迹是已、为端点的两条射线，
故选：D.
例3．(2023·高二课时练习)已知动点满足，则动点P的轨迹是( )
A．双曲线B．双曲线左支
C．双曲线右支D．一条射线
【答案】C
【解析】因为 的几何意义是动点到点与的距离之差为2，
又因为，
所以由双曲线的定义，知动点P的轨迹是双曲线右支．
故选：C
例4．(2023·四川成都·高二成都实外校考阶段练习)方程所表示的曲线是( )
A．圆的一部分B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分D．直线的一部分
【答案】C
【解析】方程两边平方后可整理出双曲线的方程，由于的值只能取大于等于1的数，推断出方程表示的曲线为双曲线的一部分．两边平方，
可变为，
即，
表示的曲线为双曲线的一部分；
故选：C．
例5．(2023·重庆巫山·高二校考期末)在平面直角坐标系中，已知点，，动点Р满足，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆B．抛物线
C．双曲线D．双曲线的一支
【答案】D
【解析】因为，，所以，若动点Р满足，则动点P的轨迹是以、为焦点的双曲线.
而题目中动点Р只满足，有，所以动点P的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支.
故选：D
题型二：求双曲线的标准方程
例6．(2023·山西晋中·高二校考阶段练习)求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在轴上，离心率为，两顶点间的距离为6；
(2)以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点.
【解析】(1)设双曲线的方程为.
由，，得，，，
所以双曲线的方程为.
(2)由题意可知，双曲线的焦点在轴上.
设双曲线的方程为，则，，，
所以双曲线的方程为.
例7．(2023·高二单元测试)求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)，经过点；
(2)焦点轴上，且过点，.
【解析】(1)当双曲线焦点在x轴上时，设双曲线方程为，
将代入，得．
又点在双曲线上，
有，由此得，不合题意，舍去．
当双曲线焦点在y轴上时，设双曲线方程为0)，
∵a=4，故，
把点坐标代入，得，解得．
故所求双曲线方程为．
(2)设双曲线方程为，将已知点坐标代入，
得，解得．
∴所求方程为．
例8．(2023·全国·高二专题练习)求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)，，焦点在x轴上；
(2)焦点为､，经过点.
【解析】(1)由题设知，，，由，得.
因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求双曲线的标准方程为；
(2)由已知得，且焦点在y轴上.因为点在双曲线上，
所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a，
即，
则，.
因此，所求双曲线的标准方程是.
例9．(2023·全国·高二专题练习)求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点为，，且双曲线上的一点到两个焦点距离之差为2；
(2)焦点在y轴上，焦距为10，且经过点；
(3)经过点，.
【解析】(1)因为双曲线的焦点在轴上，故可设方程为：，
又焦点为，，故可得，
又双曲线上的一点到两个焦点距离之差为2，即，则，
又.
故双曲线方程为：.
(2)因为双曲线焦点在轴上，故可设双曲线方程为，
又其焦距为10，故可得；
又该双曲线过点，则，故，
故双曲线方程为：.
(3)不妨设双曲线方程为：，
因其过点，，故可得，
联立方程组可得：，
故所求双曲线方程为：.
例10．(2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习)求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程；
(1)短轴长为，离心率的椭圆；
(2)与双曲线具有相同的渐近线，且过点的双曲线．
【解析】(1)由题意可知，解得.
若椭圆的焦点在轴上，椭圆的标准方程为，
若椭圆的焦点在轴上，椭圆的标准方程为.
综上所述，所求椭圆的标准方程为或.
(2)设所求双曲线方程为，
将点代入所求双曲线方程得，
所以双曲线方程为，即．
题型三：双曲线的综合问题
例11．(多选题)(2023·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习)已知双曲线的左、右焦点分别为，，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，若四边形为矩形且，则下列正确的是( )
A．B．E的渐近线方程为
C．矩形的面积为D．E的离心率为
【答案】AD
【解析】不妨设点A在第一象限，如图，由题意可得：四边形为矩形，

由双曲线的定义可得：，则，
对A：∵四边形为矩形，则，A正确；
对B：由选项A可得：，则，，
注意到双曲线E的焦点在x轴上，则E的渐近线方程为，B错误；
对C：矩形的面积为，C错误；
对D：由A选项知，，所以，D正确.
故选：AD.
例12．(多选题)(2023·江西·高二校联考阶段练习)已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，下列结论正确的是( )
A．
B．双曲线的渐近线方程为
C．存在点，满足
D．点到两渐近线的距离的乘积为
【答案】BD
【解析】对于A选项，因为，，则，
所以，双曲线的方程为，则，A错；
对于B选项，双曲线的渐近线方程为，B对；
对于C选项，若存在点，使得，则点必在双曲线的右支上，
由双曲线的定义可得，可得，
设点，则，则
，矛盾，
故不存在点，使得，C错；
对于D选项，设点，则，
则点到直线的距离为，
点到直线的距离为，
所以，，D对.
故选：BD.
例13．(多选题)(2023·江西吉安·高二永丰县永丰中学校考期中)双曲线C：的左右焦点分别是，，左右顶点分别是A，B，两渐近线分别是，，M在双曲线C上，其中O是坐标原点，则下列说法正确的是( )
A．焦点到渐近线的距离是3
B．若，则的面积是9
C．直线的斜率为，直线的斜率为，则
D．过右顶点B作的平行线交于P点，若的面积为3，则双曲线的离心率为
【答案】ABD
【解析】因为焦点到渐近线的距离是，故A正确；
时，则，故，
由勾股定理得 得，
则，所以，
由三角形的面积公式可得，故B正确；
当时，，当M在右顶点时，，故不是定值，故C错误；
过右顶点B作的平行线交：于P点，则，故，
则的面积为，解得，则双曲线的离心率为，故D正确，
故选：ABD.
例14．(多选题)(2023·全国·高二期中)已知为坐标原点，双曲线的左焦点关于的一条渐近线的对称点恰好在上，若直线交的左半支于点，则( )
A．的渐近线方程为B．的面积为
C．D．是等腰三角形
【答案】AC
【解析】如图，设与渐近线交于点，为双曲线的右焦点，则为线段的中点，
又因为为的中点，所以，，
双曲线的左焦点为，则点到直线的距离为，
即，则，由双曲线的定义可得，则，
在中，由勾股定理可得，
即，整理可得，
所以，双曲线的渐近线方程为，A对；
，，
所以，，B错；
设，则，，
在直角中有，，即，
解得，则，，所以，C对；
设双曲线的半焦距为，则，
因为，为的中点，所以，，，
因为，为线段上一点(不与线段端点重合)，则为锐角，
故为钝角，则在中，，所以，，
所以，不是等腰三角形，D错.
故选：AC.
例15．(多选题)(2023·广东深圳·高二统考期末)已知、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的动点，，，点到双曲线一条渐近线的距离为，则下列选项正确的有( )
A．双曲线的实轴长为B．双曲线的离心率为
C．的最小值为D．
【答案】BCD
【解析】对于A选项，由双曲线的定义可得，可得，
所以，双曲线的实轴长为，A错；
对于B选项，因为，则，所以，双曲线的离心率为，B对；
对于C选项，因为，故点在双曲线的右支上，
易知，则双曲线的方程为，
设点，则，易知点，且，可得，
所以，
，当且仅当时，等号成立，C对；
对于D选项，双曲线的渐近线方程为，即，
所以，双曲线的焦点到渐近线的距离为，D对.
故选：BCD.
例16．(多选题)(2023·安徽合肥·高二校考期末)已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，点在双曲线上，则下列结论正确的是( )
A．该双曲线的离心率为
B．若，则的面积为
C．点到两渐近线的距离乘积为
D．直线和直线的斜率乘积为
【答案】ACD
【解析】由双曲线方程得，，，双曲线的离心率为，A正确；
若，不妨设，，，B错误；
设，则，，渐近线方程为，
点到两渐近线的距离乘积为，C正确；
，，，D正确；
故选：ACD
例17．(多选题)(2023·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期末)已知曲线分别是曲线C的左、右焦点，则下列说法中正确的有( )
A．若，则曲线C的两条渐近线所成的夹角为
B．若曲线C的离心率，则
C．若，则曲线C上不存在点P使得
D．若，P为曲线C上一个动点，则面积的最大值为
【答案】BC
【解析】对于A选项，当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，渐近线方程为，
故渐近线的倾斜角分别为，所以曲线的两条渐近线所成的锐角为，故A选项错误；
对于B选项，离心率，则曲线为焦点在轴上的双曲线，，故，
所以，所以，故B选项正确；
对于C选项，若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，此时，
设椭圆的短轴的一个顶点坐标为，
则，故为锐角，
所以曲线上不存在点，使得，故C选项正确；
对于D选项，若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，
此时，为上一个动点，
则面积的最大值为，故D选项错误.
故选：BC
例18．(多选题)(2023·湖北十堰·高二校联考阶段练习)若是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，共焦点，，，，的离心率分别为，，则下列结论中正确的是( )
A．，B．
C．若，则D．若，则的最小值为2
【答案】BC
【解析】依题意，，解得，A不正确；
令，由余弦定理得： ，
因为在椭圆中，在双曲线中，，
所以，故B选项正确；
当时，，即，
所以，即，
所以，，故C选项正确；
当时，，即，
所以，，有，
因为，
所以，，解得，D不正确；
故选：BC
题型四：轨迹方程
例19．(2023·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习)已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由点，，可得，
又由，可得，
根据双曲线的定义，可得点的轨迹表示以为焦点的双曲线的右支，
且，可得，则，
所以点的轨迹方程为.
故选：C.
例20．(2023·广东深圳·高二统考期末)已知，若动点P满足直线与直线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设，因为，所以，
又因为直线与直线的斜率之积为，所以，
整理得.
故选：C.
例21．(2023·广东·高二统考期末)动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】圆N：的圆心为，半径为，且
设动圆的半径为，则，即.
即点在以为焦点，焦距长为，实轴长为，
虚轴长为的双曲线上，且点在靠近于点这一支上，
故动圆圆心P的轨迹方程是
故选：A
例22．(2023·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末)是一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，若四边形(为原点)的面积为4，则动点的轨迹方程是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，根据题意可知点在和相交的右侧区域，
所以点到直线的距离，到直线的距离，
，即.
所以动点M的轨迹方程：.
故选：C.
例23．(2023·广东广州·高二统考开学考试)已知，，，以C为焦点的椭圆过A、B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，，，
所以，，，
因为 都在椭圆上，
所以，，
故的轨迹是以，为焦点的双曲线的下支，
又，，即，，所以，
因此的轨迹方程是().
故选：A.
例24．(2023·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考期末)一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心P的轨迹方程是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】圆：的圆心，半径为，
当动圆与圆相外切时， 则，即
当动圆与圆相内切时，因为定点在圆外，所以只能是圆内切于动圆，所以，即
综上所述：，又，
所以动点的轨迹是以、为焦点的双曲线，
因为，，所以，，
所以，
所以动圆圆心P的轨迹方程是.
故选：D
例25．(2023·北京延庆·高二统考期末)已知，，动点P满足，则动点P的轨迹方程为( )．
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据题意，，，则，
动点满足，其中，
则的轨迹是以、为焦点的双曲线的上半支，
其中，，即，则，
所以双曲线的方程为：，
故选：D．
例26．(2023·山东济南·高二济南市章丘区第四中学校考期末)已知一个动圆P与两圆和都外切，则动圆P圆心的轨迹方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设动圆半径为，
由于动圆P与两圆和都外切，
所以，，
即，
可知动圆P圆心的轨迹为以为焦点，实轴长为4的双曲线的左支，
即，，，
所以动圆P圆心的轨迹方程为，
故选：A.
例27．(2023·天津北辰·高二天津市第四十七中学校考阶段练习)已知的两个顶点A，B的坐标分别是、，且，所在直线的斜率之积等于2，则顶点C的轨迹方程是( )
A．()B．
C．D．()
【答案】A
【解析】设，，
所以，整理为：，，
故选：A
例28．(2023·辽宁鞍山·高二校联考阶段练习)已知是圆上的一动点，点，线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】如图所示：
∵是圆上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点，
∴，，
∵是圆上一动点，∴，∴，
∴，，，
∴点的轨迹为以F1、F2为焦点的双曲线，且，，得，
∴点的轨迹方程为.
故选：C.
题型五：双曲线的简单几何性质
例29．(2023·江西萍乡·高二统考期末)已知是双曲线的两个焦点，若双曲线的左､右顶点和原点把线段四等分，则该双曲线的焦距为( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】因为是双曲线的两个焦点，若双曲线的左､右顶点和原点把线段四等分，
所以，即，即，
又因为，
解得，所以c=2，
所以该双曲线的焦距为.
故选：D
例30．(2023·高二课时练习)双曲线的焦点坐标为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为双曲线方程为，
化为标准方程为：，所以，
由于焦点在轴上，所以焦点坐标为：.
故选：C.
例31．(2023·高二课时练习)已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设双曲线的方程为，
因为，所以，则，
所以渐近线方程为.
故选：C.
例32．(2023·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考阶段练习)已知双曲线的渐近线方程为，若双曲线C的焦点到渐近线的距离为12，则双曲线C的焦距为( )
A．30B．24C．15D．12
【答案】A
【解析】依题意，右焦点到渐近线的距离，解得，
所以双曲线C的焦距为30.
故选：A.
例33．(2023·山东菏泽·高二统考期末)设双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】双曲线 的渐近线方程为： ，
又 ；
故选：A.
例34．(2023·四川泸州·高二校考阶段练习)已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为( ).
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】已知双曲线的一个焦点为，得，则 ，
即，所以双曲线的渐近线方程为，
即.
故选：D.
题型六：求双曲线的离心率
例35．(2023·四川成都·高二成都七中校考阶段练习)已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为( )
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，双曲线的一条渐近线方程为，
所以.
故选：D
例36．(2023·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第四中学校考期中)与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】椭圆的焦点为．
因为所求双曲线的离心率，
所以其实半轴长为2，虚半轴长为，
故所求双曲线的方程为．
故选：B
例37．(2023·安徽亳州·高二统考开学考试)已知双曲线：的一条渐近线过点，则的离心率是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知渐近线方程为，所以在上，故，
故离心率为，
故选：B
例38．(2023·浙江绍兴·高二统考期末)若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数的值为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题设且，故，
所以，双曲线渐近线为，其中一条与平行，
所以，则.
故选：A
例39．(2023·四川成都·高二成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中)设双曲线()的半焦距为c，直线l过两点，且原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率( )
A．2B．C．2和D．2和
【答案】A
【解析】令，依题意，在中，，且，如图，
显然，由，得，
整理得，而，解得，
所以双曲线的离心率.
故选：A
例40．(2023·辽宁朝阳·高二北票市高级中学校考阶段练习)以双曲线C：的实轴与虚轴端点为顶点的四边形各边中点恰在双曲线的渐近线上，则双曲线C的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可得实轴的顶点为虚轴的顶点为，故4个中点为，
双曲线的渐近线为，
因此不妨考虑点在直线上，
所以，，
双曲线C的离心率，
故选：A.
例41．(2023·贵州·高二校联考阶段练习)分别为双曲线的左，右焦点，过的直线与双曲线左支交于两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点，则的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意得，
设，则，
在中，由勾股定理得，解得，则，
在中，由勾股定理得，化简得，所以的离心率，
故选:A.
例42．(2023·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期中)过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A．若(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为( )
A．B．C．2D．或2
【答案】B
【解析】在中，因为，
所以，则，
所以，
故选：B
例43．(2023·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考期中)已知双曲线()的左右焦点分别是，，点在第一象限且在的渐近线上，是以为斜边的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为( )
A．B．C．3D．2
【答案】A
【解析】双曲线的渐近线为，设，，则，
因为点在第一象限且在的渐近线上，是以为斜边的等腰直角三角形，
所以点在渐近线上，所以，即，
所以双曲线的离心率.
故选：A
例44．(2023·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考阶段练习)若双曲线与双曲线的渐近线相同，则双曲线的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】对于双曲线，其渐近线为，即，
对于双曲线，其渐近线为，即，
因为双曲线与双曲线的渐近线相同，所以，即双曲线，
设双曲线的半实轴长为，半虚轴长为，半焦距为，
则，，，即，，
所以双曲线的离心率为.
故选：A.
例45．(2023·甘肃武威·高二武威第六中学校考期中)若双曲线的渐近线为，则双曲线的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题设知：，即，
所以.
故选：B
例46．(2023·广东肇庆·高二统考期末)已知双曲线的方程为，且双曲线的一条渐近线的倾斜角满足，则该双曲线的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，解得或，
又因为，所以，
即，
所以该双曲线的离心率.
故选：B.
题型七：求双曲线离心率的取值范围
例47．(2023·江西·高二校联考开学考试)双曲线的左焦点为，，为双曲线右支上一点，若存在，使得，则双曲线离心率的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】取双曲线的右焦点，由双曲线定义，如图所示，
故存在点使得等价为存在点使得，所以，当且仅当三点共线时等号成立，
则，由，解得，而，故离心率.
故选：B
例48．(2023·内蒙古呼和浩特·高二呼市二中校考期中)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，为等腰三角形，且顶角为135°，则E的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设双曲线方程为 ()，
如图所示：
因为为等腰三角形，且顶角为135°，
所以，
过点M作MN⊥x轴，垂足为N，
在BMN中，则，
故点M的坐标为，
代入双曲线方程得，
解得，即，
即，解得，
故选：D
例49．(2023·高二课时练习)已知双曲线的焦距大于，则该双曲线离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知，即．
又，且，所以，则．
故选：B.
例50．(2023·高二课时练习)已知双曲线的左､右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，又，所以，，
又，即，，所以离心率．
故选：C．
例51．(2023·高二课时练习)已知双曲线的右顶点到其渐近线的距离不大于，其离心率的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，双曲线的右顶点坐标为 ，其中一条渐近线方程为，所以，得，即，又因为双曲线的离心率，所以离心率的取值范围为.
故选：C
例52．(2023·高二课时练习)已知点F是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A．B．(1，2)
C．D．
【答案】D
【解析】因为双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，
所以，
因为是钝角三角形，
所以是钝角，
即，
因为过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，
所以，又，
所以，即，
即，
解得或(舍去)，
所以双曲线的离心率的取值范围是，
故选：D
例53．(2023·天津西青·高二统考期末)已知过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与双曲线右支有两个交点，
所以，
所以
因为，
所以，
故选：B
例54．(2023·高二课时练习)若双曲线()的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设双曲线右支上一点坐标为，则，
该点到右焦点的距离和到原点的距离相等，
由两点间距离公式：得，
这样的点有两个，，，得.
故选：C．
例55．(2023·高二单元测试)已知双曲线的右支上恰好有两点到O(坐标原点)､F(右焦点)的距离相等，则双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．B．C．(1，2)D．
【答案】D
【解析】双曲线的右焦点，
若双曲线的右支上恰好有两点到O(坐标原点)､
F(右焦点)的距离相等，
则线段的垂直平分线与双曲线的右支有两个交点，
所以，所以，
所以双曲线的离心率e的取值范围是.
故选：D
例56．(2023·上海普陀·高二校考期中)若双曲线上不存在点P使得右焦点F关于直线OP(O为双曲线的中心)的对称点在y轴上，则该双曲线的焦距与实轴比值的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】按照正难则反，考虑存在点P使得右焦点F关于直线OP(O为双曲线的中心)的对称点在y轴上，因此只要在这个双曲线上存在点P使得OP斜率为1即可，所以只要渐近线 的斜率大于1，
所以，所以离心率e>，
∴其在大于1的补集为
故选：C
例57．(2023·高二课时练习)若双曲线与直线没有公共点，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】双曲线的渐近线，
双曲线与直线没有公共点，则.
又因为双曲线离心率大于1，所以C选项符合题意.
故选：C
例58．(2023·高二课时练习)已知双曲线=1(a>0，b>0)的左､右焦点分别为F1(﹣c，0)，F2(c，0)，点P在双曲线的右支上，且满足，则该双曲线离心率的取值范围是( )
A．(2，+∞)B．(1，2)C．(1，)D．(2，)
【答案】D
【解析】，
，
，，
，
解得，
.
故选：D
例59．(2023·浙江·高二期末)设双曲线的左右焦点分别为.过左焦点的直线与双曲线的左支交于点，交双曲线的右支于点，若满足，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以.
由双曲线的定义可知，，
所以.
所以在中，有，即，
解得.
因为，所以，即，所以有，即.
所以有.
故选：B.
例60．(2023·全国·高二期末)若双曲线上存在四个点A，B，C，D满足四边形是正方形，则双曲线C的离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，由题知：，解得：，
因为四边形是正方形，所以，解得.
又因为，所以，解得，
所以.
故选：D
例61．(2023·云南曲靖·高二校考期末)过双曲线C：(a>0，b>0)的右焦点F引一条渐近线的垂线，与另一条渐近线相交于第二象限，则双曲线C的离心率的取值范围是( )
A．(，+∞)B．(，+∞)C．(2，+∞)D．(3，+∞)
【答案】A
【解析】由题意双曲线C：的渐近线，右焦点，
不妨设过右焦点与双曲线的一条渐近线垂直的直线方程为
与联立得，所以，，所以交点坐标为，因为交点在第二象限，所以，因为，，，所以，，所以，即，因为，所以，即
故选：A
例62．(2023·河南新乡·高二校联考期末)双曲线：(，)右焦点为，过倾斜角为的直线与双曲线右支交于，两点，则双曲线离心率的范围为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为过的直线的倾斜角为，
所以直线斜率，
因为直线与双曲线右支交于，两点，
如图所示：
由图象知：，
所以，
又，
所以.
故选：A.
例63．(2023·全国·高二专题练习)双曲线的左右焦点分别为，P，Q是该双曲线右支上不同的两点，满足，则此双曲线离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意画出草图如下所示：设与双曲线交于点，
因为，由对称性可得，因为
所以，即，由题易知，即
所以
故选：D
题型八：由双曲线离心率求参数的取值范围
例64．(2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习)已知，是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，若C的离心率为，则的值为______．
【答案】3
【解析】由及双曲线的定义可得，
所以，，因为，在中，
由余弦定理可得，
即，所以，
即，解得或(舍去).
故答案为：3
例65．(2023·江苏·高二统考期末)设为实数，已知双曲线的离心率，则的取值范围为_____________
【答案】
【解析】因为表示双曲线的方程，
所以有，因此，
因为，
所以由
，
即k的取值范围为，
故答案为：.
例66．(2023·全国·高二专题练习)焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为___________.
【答案】
【解析】双曲线的标准方程为，由题意可得，则，，，
所以，，解得.
故答案为：.
例67．(2023·全国·高二专题练习)若双曲线的离心率不大于，则C的虚轴长的取值范围为___________.
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，所以，解得，
则，故虚轴长.
故答案为：.
例68．(2023·高二课时练习)中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为________.
【答案】
【解析】由题意，社区向的中心在坐标原点，离心率为，且焦点在y轴上，
可得＝，则＝＝，整理得＝，解得＝，
所以，所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
例69．(2023·四川宜宾·高二校考阶段练习)已知双曲线的离心率为2，则点到的渐近线的距离为______.
【答案】3
【解析】由题意，双曲线的离心率为2，
即，解得，
所以双曲线的一条渐近线的方程为，即，
所以点到的渐近线的距离为.
例70．(2023·辽宁朝阳·高二校联考期中)设双曲线的离心率为，其渐近线与圆相切，则________.
【答案】
【解析】由题意可知，双曲线的渐近线方程为，即，
且，圆心到渐近线的距离为，
化简得，解得，故答案为．
题型九：双曲线中的范围与最值问题
例71．(2023·全国·高二专题练习)已知双曲线的左右焦点分别为､，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为___________.
【答案】/
【解析】

由双曲线方程知：，，，则，，
由双曲线定义知：，
(当且仅当在线段上时取等号)，
又，.
故答案为：.
例72．(2023·河南安阳·高二校考阶段练习)已知双曲线的方程为，如图所示，点，是圆上的点，点为其圆心，点在双曲线的右支上，则的最小值为______
【答案】.
【解析】由双曲线，可得，则，
如图所示，设点的坐标为，则点是双曲线的焦点，
根据双曲线的定义，可得，
所以，
又由是圆上的点，圆的圆心为，半径为，
所以，所以，
当点在线段上时，取得等号，即的最小值为.
故答案为：.
例73．(2023·山东淄博·高二校考期中)已知为双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为________.
【答案】9
【解析】，，，则
故双曲线的两个焦点为，，
，也分别是两个圆的圆心，半径分别为，
所以，
则
，
故答案为：9
例74．(2023·高二课时练习)若是双曲线的右支上的一点,分别是圆和 上的点,则的最大值为_____________.
【答案】
【解析】双曲线中，
，，，
，，
因为分别是圆和 上的点，所以，
，
，，
，
所以
故答案为：．
例75．(2023·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考期中)已知是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，为圆上一点，则的最小值为_______________.
【答案】9
【解析】记双曲线的左焦点为，则，根据双曲线的定义可得，先求出，再由圆的性质，即可得出结果.记双曲线的左焦点为，则，
根据双曲线的定义可得，
则，
因此，
当，，三点共线时，取等号；
又为圆的圆心，即，且该圆的半径为，
则，即，
因为为圆上一点，
根据圆的性质可得，，
即，，，四点共线时，取得最小值.
故答案为：.
例76．(2023·陕西宝鸡·高二统考期中)为双曲线右支上一点，为双曲线的左焦点，点，则的最小值为_______.
【答案】
【解析】是双曲线的左焦点，则，右焦点为，
由双曲线的定义可得.
故答案为：
例77．(2023·河北衡水·高二阶段练习)已知双曲线：的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则周长最小值为______．
【答案】
【解析】解由双曲线的方程知：，，，，
周长为，
设左焦点为，且是双曲线的左支上一点，由双曲线的定义得：
(当三点共线时等号成立)
的最小值为，
故周长的最小值为，
故答案为：
题型十：焦点三角形
例78．(2023·安徽滁州·高二校考期末)若直线与双曲线的左支交于不同的两点，则的取值范围为________.
【答案】
【解析】联立方程得,①
若直线与双曲线的左支交于不同的两点，则方程①有两个不等的负根.
所以
解得.
故答案为：.
例79．(2023·高二课时练习)已知点F1，F2分别是双曲线=1的左、右焦点，若点P是双曲线左支上的点，且，则△的面积为____.
【答案】16
【解析】双曲线，所以，，所以，，

是双曲线左支上的点，，，
在△中，由余弦定理得，
，
△的面积为.
故答案为：.
例80．(2023·上海普陀·高二校考期中)点为双曲线上的点，、为左、右焦点，若，则的面积是__．
【答案】
【解析】由题意得，，且，
由余弦定理得
，
所以,
所以的面积,
故答案为：
例81．(2023·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习)已知椭圆C与双曲线E：有相同的焦点，，点M是椭圆C与双曲线E的一个公共点，若，则椭圆C的标准方程为_________．
【答案】
【解析】设椭圆标准方程为，焦半距为.
令，
，即
因为点M在双曲线E上，所以即,
，即
又因为点M在椭圆C上，所以，即.
因为椭圆C与双曲线E：有相同的焦点，，
所以，，所以椭圆方程为.
故答案为：
例82．(2023·高二课时练习)已知点分别是双曲线的下、上焦点，若点是双曲线下支上的点，且，则的面积为________.
【答案】16
【解析】因为是双曲线下支上的点，所以，两边平方得：
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36，所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.
在△F1PF2中，由余弦定理，得cs ∠F1PF2==0，
所以∠F1PF2=90°，所以|PF1|·|PF2|=×32=16
故答案为：
例83．(2023·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中)已知，为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C上，，则______．
【答案】/
【解析】，，则，，，
.
故答案为：.
例84．(2023·浙江宁波·高二镇海中学校考期中)已知双曲线的焦点为，，过左焦点交双曲线左支于A、B两点，若则等于________.
【答案】8
【解析】双曲线的实轴长
过左焦点交双曲线左支于A、B两点，
则，
又,
则
故答案为：8
例85．(2023·江苏徐州·高二校考期中)设双曲线的两个焦点分别为、，P为双曲线上一点，若，则______．
【答案】0
【解析】由题意得，，联立
，
因此，则．
故答案为：0.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·河北张家口·高二张家口市宣化第一中学校考阶段练习)与双曲线有公共焦点，且长轴长为的椭圆方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由双曲线方程可得焦点坐标为：，椭圆焦点在轴上，且，
又长轴长为，即，，，
椭圆方程为：.
故选：A.
2．(2023·山西晋中·高二统考期末)与两圆及都外切的圆的圆心的轨迹为( )
A．椭圆B．双曲线的一支C．抛物线D．圆
【答案】B
【解析】圆的圆心为，半径为；
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
设所求动圆圆心为，圆的半径为，

由于动圆与圆、圆均外切，则，
所以，，因此动圆的圆心的轨迹为双曲线的一支.
故选：B.
3．(2023·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中)双曲线和的离心率分别为和，若满足，则下列说法正确是( )
A．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔
B．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄
C．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔
D．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄
【答案】A
【解析】因为，，
又双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，
因为，所以，即，即，
所以的渐近线斜率的绝对值较大，又离心率越大，双曲线开口越开阔.
故选：A.
4．(2023·广东揭阳·高二校联考阶段练习)如图所示，某建筑的屋顶采用双曲面结构，该建筑屋顶外形弧线可看作是双曲线上支的部分，其离心率为，上顶点坐标为(,)，那么该双曲线的方程可以为( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设双曲线的标准方程为，
由，即，得，
又因为上顶点坐标为，得，所以，所以双曲线的方程为．
故选：B．
5．(2023·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习)已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由点，，可得，
又由，可得，
根据双曲线的定义，可得点的轨迹表示以为焦点的双曲线的右支，
且，可得，则，
所以点的轨迹方程为.
故选：C.
6．(2023·高二课时练习)顶点距离为6，渐近线方程是的双曲线方程是( )
A．或B．或
C．D．
【答案】A
【解析】当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为1，
因为顶点间的距离为，渐近线方程为，
可得，解得，所以双曲线的方程为；
当双曲线的焦点在 轴上时，设双曲线的方程为1，
因为顶点间的距离为，渐近线方程为，
可得，解得，所以双曲线的方程为.
故选：A.
7．(2023·高二课时练习)已知双曲线上一点到左焦点的距离为10，则的中点到坐标原点的距离为( )
A．3或7B．6或14C．3D．7
【答案】A
【解析】设双曲线的右焦点为，
连接，是的中位线，
∴，
∵，，
∴或，
∴或，
故选：A.

8．(2023·河南·高二校联考阶段练习)已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则三角形的面积为( )
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】设，则，
而，且，
所以，
故，
故选：D.
二、多选题
9．(2023·湖南·高二校联考期中)已知双曲线的左､右焦点分别为是双曲线上一点，则( )
A．
B．当双曲线为等轴双曲线时，焦点坐标为
C．焦点到双曲线的一条渐近线的距离是定值2
D．若双曲线的一条渐近线方程是且，则或
【答案】AC
【解析】将方程化为标准形式为，方程表示双曲线，则正确；双曲线为等轴双曲线时，，即，所以，焦点坐标为，故错误；
不妨设双曲线的渐近线方程为，所以的一个焦点到一条渐近线的距离是，故为定值，故C正确；
双曲线的一条渐近线方程是，所以由双曲线的定义知，又，所以或，又，所以，故D错误．
故选：AC
10．(2023·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末)下列关于双曲线说法正确的是( )
A．实轴长为6B．与双曲线有相同的渐近线
C．焦点到渐近线距离为4D．与椭圆有同样的焦点
【答案】ABD
【解析】由题意，双曲线满足，即，于是，故A选项正确；
双曲线的焦点在轴上，故渐近线方程为：，而双曲线焦点也在轴，
故渐近线为，即它们渐近线方程相同，B选项正确；
焦点为，不妨取其中一个焦点和一条渐近线，
根据点到直线的距离公式，焦点到渐近线距离为：，C选项错误；
椭圆的焦点为，根据C选项可知，椭圆和双曲线焦点一样，D选项正确.
故选：ABD
11．(2023·福建福州·高二福建省福州屏东中学校考期中)已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，P为C上一点，则( )
A．双曲线C的实轴长为2B．双曲线C的一条渐近线方程为
C．D．双曲线C的焦距为4
【答案】ABD
【解析】由双曲线方程知：，离心率为，解得，
故双曲线，
对于A，实半轴长为1，实轴长为，A正确；
对于B，由双曲线方程可得渐近线方程为，故一条渐近线方程为，B正确；
对于C，由于可能在的不同分支上，则根据定义有，C错误；
对于D，焦距为正确.
故选：ABD.
12．(2023·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习)设双曲线，其离心率为，虚轴长为，则( )
A．上任意一点到的距离之差的绝对值为定值
B．双曲线与双曲线：共渐近线
C．上的任意一点(不在轴上)与两顶点所成的直线的斜率之积为
D．过点作直线交于两点，不可能是弦中点
【答案】AB
【解析】双曲线的离心率为，虚轴长为，所以，解得，
所以双曲线，所以两焦点坐标分别为，
由双曲线定义知，故A正确；
双曲线的渐近线方程是，
双曲线：的渐近线方程也是，故B正确；
上的任意一点(不在轴上)设为，则，即，
又两顶点为，
所以斜率之积为，故C错误；
易知点在双曲线的右侧，
此区域内存在一条直线交于两点，使是弦中点，故D错误.
故选：AB
三、填空题
13．(2023·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习)已知双曲线的离心率，实半轴长为4，则双曲线的方程为__________.
【答案】
【解析】由已知可得 ,即得,所以双曲线方程为:.
故答案为: .
14．(2023·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中)已知直线和双曲线，若l与C的右支交于不同的两点，则t的取值范围是______．
【答案】
【解析】由消去y得：，由于l与C的右支交于不同的两点，
则直线与双曲线的两个交点横坐标均为正，且不等，
于是，解得，
所以t的取值范围是.
故答案为：

15．(2023·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中)已知双曲线，、是其两个焦点，点M在双曲线上，若，则的面积为______．
【答案】
【解析】双曲线的实半轴长，半焦距，有，
在中，由余弦定理得，
即有，
因此，解得，
所以的面积为.
故答案为：

16．(2023·湖北·高二十堰一中校联考期中)已知双曲线的右焦点为，点P，Q为双曲线上关于原点O对称的两点，若，且的面积为4，则双曲线的离心率__________.
【答案】
【解析】∵双曲线的右焦点，，设其左焦点为，，P，Q关于原点O对称，，由的面积为4，，得，又，
故.
又由双曲线的对称性可得，，，故离心率.
故答案为：

四、解答题
17．(2023·高二单元测试)已知双曲线与椭圆有公共焦点，它们的离心率之和为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设P是双曲线与椭圆的一个交点，求的值．
【解析】(1)由题意设双曲线的方程为(，)，()，
由椭圆得到焦点为，椭圆的离心率为.
因为双曲线与椭圆有公共焦点，则，
因为双曲线与椭圆的离心率之和为，所以双曲线的离心率为，
则，即，所以，
故双曲线的方程是.
(2)由(1)结合双曲线和椭圆的定义得：
，，
解得：或，又，
所以在由余弦定理得：，
故的值为.
18．(2023·高二课时练习)根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)以椭圆短轴的两个端点为焦点，且过点；
(2)经过点和．
【解析】(1)易知椭圆短轴的两个端点坐标为；
所以双曲线焦点在轴上，
可设双曲线的标准方程为，且，
点在双曲线上，即，解得；
所以双曲线的标准方程为.
(2)设双曲线方程为，
将两点代入可得，解得；
所以双曲线的标准方程为.
19．(2023·高二课时练习)是双曲线C：上任意一点.
(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
(2)，求的最小值．
【解析】(1)证明：由已知可得，，，所以双曲线的渐近线方程为.
到直线，即直线的距离，
到直线，即直线的距离，
所以，点P到双曲线C的两条渐线的距离的乘积为
.
又在双曲线上，所以，所以，
所以是一个常数.
(2)因为，所以，所以或.
所以．
当时，的最小值为，
所以的最小值为．
20．(2023·重庆·高二统考期末)设双曲线，点，是双曲线的左右顶点，点在双曲线上．
(1)若，点，求双曲线的方程；
(2)当异于点，时，直线与的斜率之积为2，求双曲线的渐近线方程．
【解析】(1)由题意有：，解得，所以双曲线的方程为．
(2)设点，则，即，又
则有，所以，
所以渐近线方程为．
21．(2023·甘肃庆阳·高二校考期末)已知双曲线C的两个焦点坐标分别为，双曲线C上一点P到距离差的绝对值等于2．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)经过点作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程：
(3)已知定点，点D是双曲线C右支上的动点，求的最小值．
【解析】(1)由题可设双曲线方程为，
由双曲线的焦点为，，得，
又双曲线C上一点P到距离差的绝对值等于2，则，
所以，
所以双曲线方程为；
(2)设，，则，
作差可得，
即，
又为的中点，即，，
代入得，
即直线的斜率，
直线的方程为，即，
此时由可得，
，故所求直线为.
(3)由题可知，即，
所以，当且仅当在线段上时等号成立，
又，，，
所以的最小值为.
22．(2023·全国·高二合肥市第六中学校联考开学考试)已知为坐标原点，双曲线：(，)的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，，分别是线段，的中点，且，．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知点，，当与，不重合时，设直线，的斜率分别为，，证明：为定值．
【解析】(1)因为，，分别是线段，，的中点，
所以，．
因为，所以，
所以由双曲线的定义知，解得．
设双曲线的半焦距为()．
因为，所以，
所以，所以．
所以双曲线的标准方程为．
(2)设()，则，
所以，所以，所以．
因为，，所以，
所以，为定值．椭圆
双曲线
根据|MF1|+|MF2|=2a
根据|MF1|－|MF2|=±2a
a＞c＞0，
a2－c2=b2(b＞0)
0＜a＜c，
c2－a2=b2(b＞0)
，
(a＞b＞0)
，
(a＞0，b＞0，a不一定大于b)
(a最大)
(c最大)
标准方程统一为：
标准方程
图形
性质
焦点
，
，
焦距
范围
，
，
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点

轴
实轴长=，虚轴长=
离心率
渐近线方程