专题01 数与式的运算-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义

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知识点1：绝对值
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即：
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离．
知识点2：乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
(1)平方差公式；
(2)完全平方公式．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
(1)立方和公式；
(2)立方差公式；
(3)三数和平方公式；
(4)两数和立方公式；
(5)两数差立方公式．
知识点3：二次根式
一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如，等是无理式，而，，等是有理式．
(1)分母(子)有理化
把分母(子)中的根号化去，叫做分母(子)有理化．为了进行分母(子)有理化，需要引入
有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等．一般地，与，与，与互为有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．
(2)二次根式的意义
知识点4：分式
(1)分式的意义
形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：
；
．
上述性质被称为分式的基本性质．
(2)繁分式
像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
【题型归纳目录】
题型一：绝对值
题型二：乘法公式
题型三：二次根式
题型四：分式
【典例例题】
题型一：绝对值
例1．(2023·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市中实学校校考期中)如果，那么_______
【答案】
【解析】∵
∴，，
解得:，，
∴，
故答案为: ．
例2．(2023·福建龙岩·八年级统考期中)若，则___________．
【答案】
【解析】∵
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
例3．(2023·上海静安·六年级上海市回民中学校考期中)比较大小：___________．
【答案】
【解析】，，
，
，
故答案为：．
变式1．(2023·天津东丽·八年级校联考期中)已知实数、满足，则的值为______ ．
【答案】
【解析】∵有理数x、y满足，
∴，，解得，，
∴．
故答案为：．
变式2．(2023·四川南充·七年级四川省南充高级中学校考阶段练习)已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：_____．
【答案】/
【解析】由题意得，，
∴，，
∴
．
故答案为：．
变式3．(2023·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第十七中学校校考期中)已知在数轴上A、B两点分别表示的数是a和b，，，，点Р在数轴上且与点A、点B的距离相等，则点Р表示的数是_________．
【答案】或
【解析】∵，，
∴，．
又∵，
∴，
∴．
∴，或，．
当，时，
∵点Р在数轴上且与点A、点B的距离相等，
∴点P表示的数为；
当，时，
∵点Р在数轴上且与点A、点B的距离相等，
∴点P表示的数为；
∴点P表示的数为或．
故答案为：或．
题型二：乘法公式
例4．(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模)下列运算正确的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】A、，故A不正确，不符合题意；
B、，故B不正确，不符合题意；
C、，故C正确，符合题意；
D、，故D不正确，不符合题意．
故选：C．
例5．(2023·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考开学考试)多项式A与的乘积含有项，那么A可能是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】A．∵，
∴多项式与的乘积不含项，故A不符合题意；
B．∵，
∴多项式与的乘积不含项，故B不符合题意；
C．∵，
∴多项式与的乘积含有项，故C符合题意；
D．∵，
∴多项式与的乘积不含有项，故D不符合题意．
故选：C．
例6．(2023·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考开学考试)下列因式分解结果正确的是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】A、，故本选项因式分解结果正确；
B、，故本选项因式分解结果错误；
C、，故本选项因式分解结果错误；
D、不能分解因式，故本选项结果错误；
故选：A.
变式4．(2023·江苏泰州·统考二模)、为正整数，，则的值为( )
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】∵
∴
∵，，又、为正整数，
∴，或，，
∴或，
∴，
故选：B．
变式5．(2023·四川内江·威远中学校校考二模)下列运算正确的是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】A. ，故此选项错误，不符合题意；
B. ，故此选项错误，不符合题意；
C. ，故此选项正确，符合题意；
D. ，故此选项错误，不符合题意；
故选：C．
变式6．(2023·安徽合肥·统考三模)下列运算正确的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】A、，计算错误，故此选项不符合题意；
B、，计算错误，故此选项不符合题意；
C、，计算错误，故此选项不符合题意；
D、，计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
变式7．(2023·山东东营·统考二模)下列运算结果正确的是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】．不能合并了，故原选项计算错误，不符合题意；
B．，故原选项计算错误，不符合题意；
C．，故原选项计算正确，符合题意；
D．，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：．
题型三：二次根式
例7．(2023·湖北武汉·八年级校联考期中)计算：
(1)；
(2)．
【解析】(1)
(2)
例8．(2023·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考开学考试)先化简，再求值：，其中．
【解析】
，
把代入得：原式．
例9．(2023·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考开学考试)计算：
【解析】
．
变式8．(2023·全国·九年级专题练习)先化简，再求值：，其中
【解析】原式
，
当时，原式．
变式9．(2023·北京·八年级统考期中)计算：．
【解析】原式
．
变式10．(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学校考模拟预测)先化简，再求值，其中
【解析】原式
，
∵，
∴，
∴原式．
变式11．(2023·福建龙岩·八年级统考期中)一个三角形的三边长分别为，，．
(1)求它的周长(用含的式子表示)；
(2)请你给一个适当的值，使该三角形的周长为整数，并利用海伦公式求出此三角形的面积．(海伦公式：，其中，，分别是三角形的三边长，记)
【解析】(1)∵一个三角形的三边长分别为，，
∴它的周长
；
(2)由题意得要是整数，
当时， ，符合题意，
∴此时三边长分别为，，，
∴，
∴
．
题型四：分式
例10．(2023·广东佛山·八年级佛山市惠景中学校考期中)分式与的最简公分母是______．
【答案】
【解析】∵，
∴分式与的最简公分母是．
故答案是．
例11．(2023·内蒙古包头·二模)化简：________．
【答案】/
【解析】，
，
，
，
，
故答案为：．
例12．(2023·河北邯郸·八年级统考期中)在函数中，自变量x的取值范围是_________________．
【答案】且
【解析】由题意得，，
解得，且
故答案为：且．
变式12．(2023·江苏苏州·七年级苏州市立达中学校校考期中)已知，则______．
【答案】47
【解析】，
，
，
，
，
，
，
即，
故答案为：47．
变式13．(2023·广东佛山·校联考二模)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．
【答案】
【解析】由题意，得
，
∴．
故答案为：．
变式14．(2023·河北沧州·统考二模)已知，求下列各式的值．
(1)_____________；
(2)___________．
【答案】 1 3
【解析】(1)，
∵，
∴；
(2)；
故答案为：1；3．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·辽宁葫芦岛·统考二模)数1，0，，中最小的是( )
A．B．0C．D．1
【答案】A
【解析】∵
∴
∴在1，0，，中最小的数是，
故选：A．
2．(2023·北京海淀·七年级101中学校考开学考试)下列代数式中中，单项式( )
A．1个B．2C．3个D．4个
【答案】D
【解析】中，是单项式，共4个，
故选：D．
3．(2023·八年级单元测试)直线l：(m、n为常数)的图象如图，化简：得( )

A．B．5C．-1D．
【答案】D
【解析】由直线(m，n为常数)的图象可知，，，
∴，，
．
故选：D．
4．(2023·湖北武汉·八年级校联考期中)下列计算正确的有( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为和不是同类二次根式，不能合并，所以A不正确；
因为，所以B不正确；
因为，所以C不正确；
因为，所以D正确．
故选：D．
5．(2023·湖北武汉·八年级校联考期中)下列二次根式中，最简二次根式是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】A、的被开方数12中含有能开得尽方的因数4，则不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、的被开方数是分数，不是整数，则不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故本选项符合题意；
D、的被开方数是小数，不是整数，则不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
6．(2023·陕西西安·校考三模)在下列计算中，正确的是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】A、原式，不符合题意；
B、原式，符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，不符合题意．
故选：B．
7．(2023·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市中实学校校考期中)有理数m、n在数轴上的位置如图，则下列关系式正确的个数有( )
①；②；③；④；⑤

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】根据数轴可得且，
∴，，即①正确，②错误；
∵，
∴，
∴，即③正确；
∵且，
∴
∴，即④正确；
∵
∴，即⑤正确；
∴①③④⑤正确，正确的个数为4个，
故选：D．
8．(2023·内蒙古包头·二模)已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于( )
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解析】，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
故选：B．
9．(2023·陕西榆林·校考模拟预测)若实数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】A、∵，∴，错误，不符合题意；
B、∵，，正确，符合题意；
C、∵，∴，错误，不符合题意；
D、∵，∴错误，不符合题意；
故选B．
10．(2023·湖北武汉·统考模拟预测)同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏．将，2，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则的值为( )

A．1或B．或C．或D．1或
【答案】C
【解析】设小圈上的数为c，大圈上的数为d，
又，
∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，
∴两个圈的和是2，横、竖的和也是2，

则，得，
，得，
，
∵当时，，则，
当时，，则，
故选：C．
二、填空题
11．(2023·辽宁葫芦岛·统考二模)分解因式： _________________．
【答案】
【解析】
故答案为：．
12．(2023·广西南宁·校考二模)若式子在实数范围内有意义，则的取值范围________．
【答案】
【解析】∵在实数范围内有意义，
，
，
故答案为：．
13．(2023·广东佛山·八年级佛山市惠景中学校考期中)化简：______．
【答案】
【解析】，
故答案是．
14．(2023·云南曲靖·统考二模)分解因式：_____________．
【答案】
【解析】．
故答案为．
15．(2023·陕西榆林·七年级绥德中学校考阶段练习)课堂上老师布置了四道运算题目，小刚做的结果为：①；②；③；④，他做对的有______．(填序号)
【答案】①④/④①
【解析】，故①正确；
，故②错误；
，故③错误；
，故④正确，
故答案为：①④．
三、解答题
16．(2023·浙江温州·校考二模)(1)计算： ．
(2)解不等式组，并把解表示在数轴上．

【解析】(1)
；
(2)
解不等式①得，；
解不等式②得，；
所以，不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：

17．(2023·浙江·校联考三模)化简与计算：
(1)化简：；
(2)计算：．
【解析】(1)
；
(2)
．
18．(2023·江苏苏州·统考二模)计算：．
【解析】
．
19．(2023·河北沧州·校考模拟预测)如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是，，．

(1)______(用含m的代数式表示)；
(2)求当与的差不小于时m的最小值．
【解析】(1)．
(2)∵与的差不小于，
∴，
∵，，
∴，
∴，m最小取．
20．(2023·河南南阳·统考三模)化简求值：，其中x是不等式组的整数解．
【解析】
．
解，
①可化简为：，，
∴；
②可化简为，
∴，
∴不等式的解集为，
∴ 不等式的整数解是，
又∵，∴，
∴或，
当时，原式，
当时，原式．
21．(2023·湖南长沙·九年级校联考期中)先化简，再求值：，其中a满足．
【解析】，
，
，
，
；
∵，
∴．
22．(2023·上海静安·六年级上海市回民中学校考期中)若方程的解是关于的方程的解，求 的值．
【解析】，
，解得，
，即，解得，
将代入得．
23．(2023·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第十七中学校校考期中)如图，数轴上点A、B分别在原点左侧和右侧，点C在点B右侧，点C对应的数是点B对应的数m倍，点A到点B的距离是点B到点C距离的n倍，且．
(1)求m和n的值；
(2)若点B在数轴上对应的数是2，若P从A点出发，沿数轴以每秒2个单位长的速度向点右运动，同时点Q从B出发，沿数轴以每秒1个单位长的速度与Р点同向运动，求点Р运动时间为多少秒时点Р和点Q到点C的距离相等；
(3)若P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上向终点C运动，同时点R从点C出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度与Р点同向运动，运动时间为a秒，数轴上点D到点P、C的距离相等，点F到点D、R的距离相等，点E在点Р右侧，点E到点C的距离是点Р到点E距离的4倍，在P、R两点运动过程中，若点E和点F的距离为5个单位长度，点F和点C的距离是1个单位长度，求a值．
【解析】(1)∵，
∴，
∴，
∴，；
(2)∵点B在数轴上对应的数是2，
∴点C在数轴上对应的数是6，
∴，
∴，
∴点A表示的数为；
设点Р运动时间为t秒，则运动t秒后点P表示的数为，点Q表示的数为，
∵点Р和点Q到点C的距离相等，
∴，
∴，
∴或，
解得或，
∴点Р运动时间为秒或秒时点Р和点Q到点C的距离相等；
(3)设点B表示的数为，则点C表示的数为，
∴点A表示的数为，
∴运动a秒后点P表示的数为，点R对应的数为，
∴，
∵点D到点P、C的距离相等，
∴点D表示的数为，
∵点F到点D、R的距离相等，
∴点F表示的数为，
∵点E在点Р右侧，点E到点C的距离是点Р到点E距离的4倍，
∴
设点E表示的数为e，
∴，
∴，
∴点E表示的数为，
∵点E和点F的距离为5个单位长度，点F和点C的距离是1个单位长度，
∴，
∴，
解得(负值舍去)，
∴，
∴，即，
解得或．