专题03 一元二次方程与二次函数的图象、性质-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义

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知识点1：根的判别式
我们知道，对于一元二次方程()，用配方法可以将其变形为
．①
因为，所以，．于是
(1)当时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根
；
(2)当时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根
；
(3)当时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．
由此可知，一元二次方程()的根的情况可以由来判定，我们把叫做一元二次方程()的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程()，有
(1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根
；
(2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根
；
(3)当Δ<0时，方程没有实数根．
知识点2：根与系数的关系(韦达定理)
若一元二次方程()有两个实数根
，，
则有
；
．
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果()的两根分别是，，那么，．这一关系也被称为韦达定理．
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程，若，是其两根，由韦达定理可知
，，
即，，
所以，方程可化为，由于，是一元二次方程的两根，所以，，也是一元二次方程．
知识点3：二次函数图像的伸缩变换
问题 函数与的图象之间存在怎样的关系？
为了研究这一问题，我们可以先画出，，的图象，通过这些函数图象与函数的图象之间的关系，推导出函数与的图象之间所存在的关系．
先画出函数，的图象．
先列表：
从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了．
再描点、连线，就分别得到了函数，的图象(如图2－1所示)，从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数的图象可以由函数的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．
同学们也可以用类似于上面的方法画出函数，的图象，并研究这两个函数图象与函数的图象之间的关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y=ax2(a≠0)的图象可以由y=x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y=ax2(a≠0)
知识点4：二次函数图像的平移变换
函数y=a(x+h)2+k与y=ax2的图象之间存在怎样的关系？
同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y=2(x+1)2+1与y=2x2的图象(如图2－2所示)，从函数的同学我们不难发现，只要把函数y=2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y=2(x+1)2+1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．
类似地，还可以通过画函数y=－3x2，y=－3(x－1)2+1的图象，研究它们图象之间的相互关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．
由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的方法：
由于y=ax2+bx+c=a(x2+)+c=a(x2++)+c－
，
所以，y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可以看作是将函数y=ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)具有下列性质：
(1)当a>0时，函数y=ax2+bx+c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x=－；当x<时，y随着x的增大而减小；当x>时，y随着x的增大而增大；当x=时，函数取最小值y=．
(2)当a<0时，函数y=ax2+bx+c图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x=－；当x<时，y随着x的增大而增大；当x>时，y随着x的增大而减小；当x=时，函数取最大值y=．
【题型归纳目录】
题型一：根的判别式
题型二：根与系数的关系(韦达定理)
题型三：二次函数图像的伸缩变换
题型四：二次函数图像的平移变换
【典例例题】
题型一：根的判别式
例1．(2023·陕西榆林·九年级绥德中学校考期末)已知关于x的一元二次方程，若该方程有两个相等实数根，求m的值．
例2．(2023·天津和平·九年级天津市双菱中学校考开学考试)解下列方程
(1)；
(2)．
(3)求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
例3．(2023·北京顺义·统考二模)已知关于的方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若为正整数，且方程有一个根为负数，求的值．
变式1．(2023·广东河源·九年级龙川县培英学校校考开学考试)当为何值时，关于x的一元二次方程有实根？
变式2．(2023·北京·统考二模)关于x的方程有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若m为正整数，求此时方程的根．
变式3．(2023·北京大兴·统考二模)已知关于x的方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一个根小于1，求m的取值范围．
变式4．(2023·北京石景山·统考二模)已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值．
题型二：根与系数的关系(韦达定理)
例4．(2023·广东东莞·校考二模)若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为________.
例5．(2023·湖北咸宁·统考二模)已知方程的两根分别为，则的值为_____．
例6．(2023·江苏泰州·统考二模)关于的方程的两个根为，．若，则______．
变式5．(2023·山东菏泽·统考三模)设m、n是方程的两个实数根，则______．
变式6．(2023·湖北鄂州·统考二模)若实数分别满足，且，则代数式的值为______．
变式7．(2023·江苏南京·统考二模)设是关于的方程的两个根，且，则_______________．
变式8．(2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考三模)抛物线(p，q为常数)的顶点M关于y轴的对称点为．该抛物线与x轴相交于不同的两点，，且，则的值为______．
变式9．(2023·江苏南京·统考二模)已知一元二次方程的一个根是1，则另一个根是______．
变式10．(2023·湖北黄冈·统考模拟预测)已知是一元二次方程的两根，则_________．
题型三：二次函数图像的伸缩变换
例7．(2023·广西柳州·统考二模)如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接．

(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图1，若点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴，垂足为，交于点，当点是的三等分点时，求点坐标；
(3)如图2，将抛物线向右平移得到新抛物线，直线与新抛物线交于，两点，若点是线段的中点，求新抛物线的解析式．
例8．(2023·江苏扬州·统考二模)如图，顶点为的二次函数图象经过原点，点P在该图象上，交其对称轴l于点M，点M、N关于点A对称，连接，．

(1)求该二次函数的表达式；
(2)若点P的坐标是，求的面积；
(3)当点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：
①求证：；
②若为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
例9．(2023·江西南昌·统考二模)已知抛物线，直线将抛物线分成两部分，首先去掉其不含顶点的部分，然后作出抛物线剩余部分关于直线的对称图形，得到的整个图形称为抛物线关于直线的“双抛图形”；
(1)感知特例
如图所示、当时，抛物线上的点，，，，分别关于直线对称的点为，，，，如下表：
①补全表格；
②在图中描出表中对称点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到图象记为；

③若双抛图形与直线恰好有三个交点，则的值为_________；
④若双抛图形的函数值随着的增大而增大，则的取值范围为____________；
探究问题
(2)①若双抛图形与直线恰好有三个交点，则的值为________；(用含的式子表达)
②若双拋图形的函数值随着的增大而增大，直接写出的取值范围；(用含的式子表达)
③抛物线的顶点为点，点关于直线对称点为，直线与双抛图形交点为点，若为等边三角形时，求的值．
变式11．(2023·吉林延边·统考一模)如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C．点P是抛物线上的动点，且横坐标为m．过点P作y轴的平行线，交直线于点Q，以为边，在的右侧作正方形．

(1)求此抛物线的解析式．
(2)点P在直线上方的抛物线上运动时，直接写出的长．(用含m的代数式表示)
(3)抛物线的顶点落在正方形的边上(包括顶点)时，求m的值．
(4)当此抛物线在正方形内部的图象的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，直接写出m的值．
变式12．(2023·江苏徐州·统考二模)抛物线与直线相交于、两点，与轴相交于点，点在轴的负半轴上．

(1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标；
(2)如图1，直线上方的抛物线上有一动点，过点作于点，求垂线段的最大值；
(3)如图2，当点运动到抛物线对称轴右侧时，连接，交抛物线的对称轴于点，当最小时，直接写出此时的长度．
变式13．(2023·黑龙江哈尔滨·统考二模)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点A坐标为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为第一象限抛物线上一点，连接PA交y轴交于D，设点P的横坐标为t，CD的长为d，求d关于t的函数解析式(不要求写出自变量t的取值范围)；
(3)在(2)的条件下，将AP沿x轴翻折交抛物线于点Q，过点Q作y轴的平行线交PB的延长线于点E，过点E作交y轴于点F，连接PF，若，求直线PF的解析式．
变式14．(2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测)如图1，已知抛物线经过点，两点，且与y轴交于点C．

(1)填空：______，______；求得直线的解析式为______．
(2)在第二象限的抛物线上，是否存在一点M，使得的面积最大？求出点M的坐标及的面积最大值，若不存在，请说明理由．
(3)点P是线段上的一点，过P作x轴的平行线交抛物线于Q，是否存在这样的点P，使O，A，P，Q四点能组成一个平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标．
变式15．(2023·山东德州·统考二模)如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的正半轴相交于点，点P为线段上的点，且点P的横坐标为m．

(1)求抛物线的解析式和直线的解析式；
(2)过P作y轴的平行线交抛物线于M，当是为腰的等腰三角形时，求点P的坐标；
(3)若顶点D在以、为邻边的平行四边形的形内(不含边界)，求m的取值范围．
题型四：二次函数图像的平移变换
例10．(2023·广东深圳·九年级校联考阶段练习)已知一次函数的图像与二次函数的图像相交于点、．
(1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图像；
(2)根据函数图像，直接写出不等式的解集；
(3)方程在范围内只有一个解，求的取值范围；
(4)把二次函数的图像左右平移得到拋物线，直接写出当抛物线与线段只有一个交点时的取值范围．
例11．(2023·江苏淮安·统考二模)如图1，平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点和点，与y轴交于点C，P为抛物线上一动点．

(1)写出抛物线的对称轴为直线______，抛物线的解析式为______；
(2)如图2，连结，若P在上方，作轴交于Q，把上述抛物线沿射线的方向向下平移，平移的距离为h，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求h的最大值；
(3)若P在上方，设直线，与抛物线的对称轴分别相交于点F，E，请探索以A，F，B，G(G是点E关于x轴的对称点)为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．
(4)设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形为矩形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
例12．(2023·山西太原·太原市实验中学校考一模)如图所示，将抛物线沿轴向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新的抛物线．

(1)直接写出新抛物线的解析式为 ；
(2)设新抛物线交轴于两点，交轴于，顶点为，作交抛物线于，如图所示，探究如下问题：
①求点的坐标；
②若一次函数的图象与抛物线存在唯一交点且交对称轴交于点，连接，猜测直线与对称轴的夹角和一次函数的图象与对称轴的夹角之间的大小关系．
变式16．(2023·浙江温州·校联考二模)已知抛物线的对称轴为直线，且经过点．
(1)求该二次函数图象与轴的另一交点的坐标及其函数表达式．
(2)记图象与轴交于点，过点作轴，交图象于另一点．将抛物线向上平移个单位长度后，与轴交于点点为右侧的交点)．若，求的值．
变式17．(2023·广西防城港·统考一模)如图1，已知抛物线经过点，，三点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为，直线与轴交于点，与直线交于点．现将抛物线平移，保持顶点在直线上．若平移的抛物线与射线(含端点)只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；
(3)如图，若点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，判断有几个位置能使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应点的坐标．
变式18．(2023·浙江杭州·杭州市公益中学校考二模)在平面直角坐标系中，当和时，二次函数(，是常数，)的函数值相等．
(1)若该函数的最大值为，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
(2)若该函数的图象与轴有且只有一个交点，求，的值．
(3)记(2)中的抛物线为，将抛物线向上平移个单位得到抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值之差为，求的值．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·山东济南·统考三模)已知m，n，5分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m，n分别是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值等于( )
A．3B．5或9C．5D．9
2．(2023·湖北恩施·统考二模)已知关于x的方程的两实根为，若，则m的值为( )
A．B．C．或3D．或1
3．(2023·河南南阳·校联考二模)某公司去年10月份的营业额为2500万元，后来公司改变营销策略，12月份的营业额达到3780万元，已知12月份的增长率是11月份的1.3倍，求11月份的增长率．设11月份的增长率为，根据题意，可列方程为( )
A．B．
C．D．
4．(2023·辽宁葫芦岛·统考二模)关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
5．(2023·湖北武汉·校考模拟预测)已知，是一元二次方程的两根，则的值为( )
A．4B．C．2D．1
6．(2023·湖北武汉·统考模拟预测)已知，是一元二次方程的两根，则的值是( )
A．2B．3C．D．
7．(2023·陕西渭南·统考二模)二次函数(a，b、c为常数，且)的图象如图所示，其对称轴为直线，则下列关系式错误的是( )

A．B．C．D．
8．(2023·安徽安庆·统考二模)如图，正三角形的边长为，点从点开始沿着路线运动，过点作直线，垂足为点，连接，记点的运动路程为，的面积为，则关于的函数图像大致为( )

A． B． C． D．
9．(2023春·北京海淀·九年级首都师范大学附属中学校考开学考试)用绳子围成周长为10米的扇形．记扇形的半径为米，弧长为米，面积为平方米．当在一定范围内变化时，和都随着的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是( )
A．反比例函数关系，一次函数关系B．一次函数关系，反比例函数关系
C．反比例函数关系，二次函数关系D．一次函数关系，二次函数关系
10．(2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考三模)关于的二次函数图像经过点和，且对称轴在轴的左侧，若，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
二、填空题
11．(2023·湖南常德·统考三模)一商店销售某种商品，当每件利润为30元时，平均每天可售出20件，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，当每件商品的单价降低______元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元．
12．(2023·湖南永州·统考二模)我们学习了一元二次方程和二次函数，综合利用它们的性质解决问题，阅读下列材料，回答问题：
例：已知关于x的方程有实数根，求t的最大值？
由题意可知，当t=0时，方程有实数解
当时，
即
∴
设函数
当时，
综上
(1)已知关于x的方程有实数根，则m的最大值为______；
(2)已知方程有实数根，则x-2y的最大值为______．
13．(2023·湖北武汉·武汉一初慧泉中学校考三模)已知抛物线开口向上，顶点坐标为，下列结论：①；②；③若方程有两个根和，且，则；④若方程有四个根，则这四个根的和为．其中正确结论的是___________．
14．(2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考三模)已知二次函数，当时，函数的最大值为，则m的值是______．
15．(2023·湖北武汉·统考一模)函数(b，c为常数)有下列结论：
①当，该函数的图像一定经过点；
②若，则当时，y随x增大而减小；
③该函数图象关于直线对称；
④当时，该函数的最小值为0，
其中正确的结论是__________．(填写序号)
三、解答题
16．(2023春·广东·九年级统考学业考试)已知为实数，求证：在实数范围内，不论取何值，方程组恒有组不相等的实数解．
17．(2023·广东肇庆·校考二模)电动自动车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售辆，3月份销售辆．
(1)求该品牌电动自行车销售量的月均增长率；
(2)假设每月的增长率相同，预计4月份的销量会达到辆吗?
18．(2023·浙江杭州·统考二模)以下是圆圆解方程的具体过程：的具体过程，方程两边同除以，得，移项，得，试问圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程.
19．(2023·陕西榆林·统考二模)如图，某动物园的大门由矩形和抛物线形组成，以所在直线为轴、轴建立平面直角坐标,，抛物线顶点的坐标为．

(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)近期需对大门进行装修，工人师傅搭建一三角形木架方便施工，点正好在抛物线上且在点右侧，支撑杆轴于点米，求支撑与大门最右侧的水平距离．
20．(2023·福建宁德·统考二模)已知抛物线与轴交于点，对称轴是直线，直线与抛物线交于，两点(点在点的左侧)，点在抛物线对称轴上．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点在轴上，且和的面积相等时，求的值；
21．(2023春·北京西城·九年级北京八中校考开学考试)对于抛物线．
(1)它与轴交点的坐标为_______，与轴交点的坐标为________，顶点坐标为_______；
(2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
(3)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围________；
(4)若点，在抛物线上，且，直接写出的取值范围_______．
22．(2023春·全国·九年级专题练习)如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为(5，0)，点D的坐标为(1，3)．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得的面积是的面积的？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
23．(2023春·四川达州·九年级校联考期中)如图，抛物线经过点，，点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点．设点的横坐标为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在第一象限，连接，当线段最长时，求的面积；
(3)是否存在这样的点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
2x2
…
18
8
2
0
2
8
18
…
…
…
(_____，_____)
(_____，_____)
…
…
…
…
…