专题09 集合的概念-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义

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知识点1：集合的概念
(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．
(2)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．
【知识点拨】集合中的元素必须满足如下性质：
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．
知识点2：元素与集合的关系
【知识点拨】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．
知识点3：集合的表示法
(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．
(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：
(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的
一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．
【题型归纳目录】
题型1：集合与元素的含义
题型2：元素与集合的关系
题型3：集合中元素特性的简单应用
题型4：列举法表示集合
题型5：描述法表示集合
题型6：集合表示的综合问题
【典例例题】
题型1：集合与元素的含义
例1．(2023·高一课时练习)下列语句中，正确的个数是( )
(1)；(2)；(3)由3、4、5、5、6构成的集合含有5个元素；(4)数轴上由1到1.01间的线段的点集是有限集；(5)方程的解能构成集合.
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【解析】是自然数，故，(1)正确；
是无理数，故，(2)错误；
由3、4、5、5、6构成的集合为有4个元素，故(3)错误；
数轴上由1到1.01间的线段的点集是无限集，(4)错误；
方程的解为，可以构成集合，(5)正确；
故选：A
例2．(2023·高一课时练习)下列各组对象的全体能构成集合的有( )
(1)正方形的全体；(2)高一数学书中所有的难题；(3)平方后等于负数的数；(4)某校高一年级学生身高在1.7米的学生；(5)平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【解析】(1)(3)(4)(5)中的对象是确定的，可以组成集合，(2)中的对象是不确定的，不能组成集合.
故选：C.
例3．(2023·广东揭阳·高一惠来县第一中学校考期中)下列四组对象中能构成集合的是( )
A．宜春市第一中学高一学习好的学生
B．在数轴上与原点非常近的点
C．很小的实数
D．倒数等于本身的数
【答案】D
【解析】A：宜春市第一中学高一学习好的学生，因为学习好的学生不确定，所以不满足集合的确定性，故A错误；
B：在数轴上与原点非常近的点，因为非常近的点不确定，所以不满足集合的确定性，故B错误；
C：很小的实数，因为很小的实数不确定，所以不满足集合的确定性，故C错误；
D：倒数等于它自身的实数为1与﹣1，∴满足集合的定义，故正确．
故选：D．
变式1．(2023·高一课时练习)下列各组对象不能构成集合的是( )
A．上课迟到的学生B．年高考数学难题
C．所有有理数D．小于的正整数
【答案】B
【解析】根据集合中元素的三要素判断．上课迟到的学生属于确定的互异的对象，所以能构成集合；年高考数学难题界定不明确，所以不能构成集合；任意给一个数都能判断是否为有理数，所以能构成集合；小于的正整数分别为，所以能够组成集合.
故选：
题型2：元素与集合的关系
例4．(2023·全国·高一专题练习)给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】是有理数，是无理数，均为实数，①正确，②错误；
，为自然数及有理数，③④正确.
故选：C.
例5．(2023·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考开学考试)已知集合,那么( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意知集合，
故，故A正确，D错误，，故B错误，，故C错误，
故选：A
例6．(2023·全国·高三专题练习)已知，若，则实数构成的集合的元素个数是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】让集合中每个元素等于1，求得，检验符号集合中元素的互异性，得的值，从而可得结论．①，∴，，则，不可以，
②，∴，，则，可以，
或，∴，，则，不可以，
③，，，则，不可以，
或，∴，，则，不可以，
∴，
故选：B．
变式2．(2023·高一课时练习)设有下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为．
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【答案】D
【解析】表示实数集 ，则①正确
表示有理数集 ，则②正确
表示自然数集 ，则③正确
是集合的一个元素 ，则④正确
本题正确选项：
变式3．(2023·河北·高三学业考试)若不等式3-2x<0的解集为M,则下列结论正确的是 ( )
A．0∈M,2∈MB．0∉M,2∈M
C．0∈M,2∉MD．0∉M,2∉M
【答案】B
【解析】当x=0时,3-2x=3>0,所以0不属于M,即0∉M;当x=2时,3-2x=-1<0,所以2属于M,即2∈M.
选B
变式4．(2023·全国·高三专题练习)设集合，若，则的值为( )．
A．，2B．C．，，2D．，2
【答案】D
【解析】由集合中元素的确定性知或．
当时，或；当时，．
当时，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当时，满足集合中元素的互异性，故满足要求；
当时，满足集合中元素的互异性，故满足要求．
综上，或．
故选：D．
题型3：集合中元素特性的简单应用
例7．(2023·全国·高三专题练习)集合中实数的取值范围是_________．
【答案】.
【解析】由集合，根据集合元素的互异性，可得，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
例8．(2023·上海闵行·高三闵行中学校考开学考试)已知集合与相等，则实数__________．
【答案】2
【解析】因为集合与相等，则，解得．
故答案为：2.
例9．(2023·全国·高三专题练习)含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则______________.
【答案】
【解析】要使得有意义，则，由集合，
故可得，此时，
故只需或，
若，则集合不满足互异性，故舍去.
则只能为.
则.
故答案为：.
变式5．(2023·高一课时练习)由构成的集合中，元素个数最多是______.
【答案】2
【解析】当时，，此时元素个数为1；
当时，，
所以一定与或中的一个一致，此时元素个数为2.
所以由构成的集合中，元素个数最多是2个.
故答案为:2.
变式6．(2023·河北·高三学业考试)设集合，，，则中的元素个数为______．
【答案】4
【解析】因为集合中的元素，，，所以当时，，2，3，此时，6，7．当时，，2，3，此时，7，8．
根据集合元素的互异性可知，，6，7，8．即，共有4个元素．
故答案为：4．
变式7．(2023·上海·高三统考学业考试)“ntebks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是______________
【答案】7
【解析】根据集合中元素的互异性，“ntebks”中的不同字母为“n，，t，e，b，k，s”，共7个，故该集合中的元素个数是7；
故答案为：7.
题型4：列举法表示集合
例10．(2023·全国·高三专题练习)用列举法写出集合＝__________.
【答案】
【解析】由且，得或或或或或或，
当时，；当时，；当时，；
当时，；当时，，当时，，当时，.
故.
故答案为：
例11．(2023·高一课时练习)设a，b是非零实数，那么可能取的所有值组成集合是______.
【答案】
【解析】a，b是非零实数，当时，，
当时，，当时，，
所以所求集合是.
故答案为：
例12．(2023·全国·高一专题练习)已知集合，用列举法表示M＝______．
【答案】
【解析】根据题意，应该为6 的因数，故可能取值为1，2，3，6，其对应的值分别为：4，3，2，.
又，所以的值分别为：4，3，2.
故集合.
故答案为：
变式8．(2023·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末)用列举法表示_________．
【答案】
【解析】.
故答案为：
变式9．(2023·高一课时练习)已知集合为小于6的正整数}，为小于10的素数}，集合为24和36的正公因数}．
(1)试用列举法表示集合且；
(2)试用列举法表示集合且．
【解析】由题意，，.
(1).
(2).且
变式10．(2023·高一课时练习)用列举法表示下列集合
(1)以内非负偶数的集合；
(2)方程的所有实数根组成的集合；
(3)一次函数与的图象的交点组成的集合．
【解析】(1)以内的非负偶数有 ，所以构成的集合为 ，
(2)的根为 ，所以所有实数根组成的集合为 ，
(3)联立和，解得 ，所以两个函数图象的交点为 ，构成的集合为
题型5：描述法表示集合
例13．(2023·上海崇明·高一统考期末)直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为_____________．
【答案】
【解析】依题意，第二象限所有点组成的集合是.
故答案为：
例14．(2023·高一课时练习)用描述法表示所有奇数组成的集合________．
【答案】
【解析】根据奇数可写成的形式即可得出.所有奇数可写成的形式，
所以所有奇数组成的集合为.
故答案为：.
例15．(2023·高一课时练习)用描述法表示下列集合：
(1)被3除余1的正整数的集合．
(2)坐标平面内第一象限内的点的集合．
(3)大于4的所有偶数．
【解析】(1)因为集合中的元素除以3余数为1，所以集合表示为：；
(2)第一象限内的点，其横坐标、纵坐标均大于0，所以集合表示为：；
(3)大于4的所有偶数都是正整数，所以集合表示为：．
变式11．(2023·高一课时练习)试用集合表示图中阴影部分(含边界)的点.
【解析】由题意可得，
所以图中阴影部分(含边界)的点组成的集合为.
变式12．(2023·河南周口·高一周口恒大中学校考阶段练习)用描述法表示下列集合：
(1)所有被3整除的整数组成的集合；
(2)不等式的解集；
(3)方程的所有实数解组成的集合；
(4)抛物线上所有点组成的集合；
(5)集合.
【解析】(1)所有被3整除的整数组成的集合，用描述法可表示为：
(2)不等式的解集，用描述法可表示为：.
(3)方程的所有实数解组成的集合，
用描述法可表示为：.
(4)抛物线上所有点组成的集合，
用描述法可表示为：.
(5)集合，用描述法可表示为：且.
题型6：集合表示的综合问题
例16．(2023·全国·高三对口高考)设是整数集的一个非空子集，对于，如果，，那么称是的一个“孤立元”.给定，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有______个.
【答案】
【解析】由题意可知，不含“孤立元”的个元素的集合中，集合中的个元素一定是连续的个自然数，列举出符合条件的集合，即可得出结果.由题意可知，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数，
故这样的集合有：、、、、、，共个.
故答案为：.
例17．(2023·全国·高三专题练习)已知集合中的所有元素之和为1，则实数的取值集合为_____．
【答案】
【解析】集合中的所有元素之和为1，
则：①当时，集合只有0和1两个元素，故满足所有的元素和为1．
②当没有实根时,，即，解得：.
综合①②得:.
故答案为.
例18．(2023·全国·高三专题练习)已知集合.
(1)若中有两个元素，求实数的取值范围；
(2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围.
【解析】(1)由于中有两个元素，
∴关于的方程有两个不等的实数根，
∴，且，即，且.
故实数的取值范围是且
(2)当时，方程为，，集合只有一个元素；
当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素，即，，
若关于的方程没有实数根，则中没有元素，即，.
综上可知，实数的取值范围是或
变式13．(2023·高一课时练习)已知集合，其中.
(1)1是中的一个元素，用列举法表示A；
(2)若中至多有一个元素，试求a的取值范围.
【解析】(1)因为，所以，得，
所以.
(2)当中只有一个元素时，只有一个解，
所以或，
所以或，
当中没有元素时，无解，所以，解得，
综上所述：或.
变式14．(2023·高一课时练习)集合M满足：若，则(且)已知，试求集合M中一定含有的元素.
【解析】，，，，，
∴在M中还有元素，，.
故集合M一定含有的元素有.
变式15．(2023·高一课时练习)集合A中的元素是实数，且满足条件①若，则，②，求：
(1)A中至少有几个元素？
(2)若条件②换成，A中至少含有的元素是什么？
(3)请你设计一个属于A的元素，求出A中至少含有的其他元素.
【解析】(1)因为，由①知，，而，则，而，则，
所以集合A中至少有3个元素.
(2)因为，由①知，，而，则，而，则，
所以集合A中至少含有的元素是.
(3)令，由①知，，而，则，而，则，
所以集合A中至少含有的其它元素是.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·陕西榆林·高一校考阶段练习)下列各组对象不能构成集合的是( )
A．上课迟到的学生
B．2022年高考数学难题
C．所有有理数
D．小于x的正整数
【答案】B
【解析】对于B中难题没有一个确定的标准，对同一题有人觉得难，但有人觉得不难，故2022年高考数学难题不能构成集合，组成它的元素是不确定的.
其它选项的对象都可以构成集合.
故选：B
2．(2023·高一课时练习)由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是( )
A．B．1C．D．2
【答案】D
【解析】由题意由，，3组成的一个集合A，A中元素个数不是2，
因为无解，故由，，3组成的集合A的元素个数为3，
故，即，即a可取2，
即A，B，C错误，D正确，
故选：D
3．(2023·北京·统考模拟预测)设集合，则( )
A．当时，B．对任意实数，
C．当时，D．对任意实数，
【答案】C
【解析】当时，，
将代入A得：成立，故，即A错误；
若时，此时将代入不成立，即B错误；
当时，此时将代入不成立，即C正确；
若时，此时将代入A得成立，即D错误；
故选：C.
4．(2023·四川绵阳·统考模拟预测)已知集合，，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵，即集合B的可能元素，则有：
由，则，可得；
由，且，可得，且；
由，且，可得，且；
由，且，可得；
综上所述：.
故选：D.
5．(2023·全国·高三专题练习)设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有(除数)，则称是一个数域，则下列集合为数域的是( )
A．NB．ZC．QD．
【答案】C
【解析】，，故N不是数域，A选项错误，同理B选项错误；
任意，都有(除数)，故Q是一个数域，C选项正确；
对于集合，，，故不是数域，D选项错误.
故选：C
6．(2023·高一课时练习)方程组的解集可表示为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由得，
将代入得，所以，
故选：D
7．(2023·全国·高一专题练习)已知集合A满足，，若，则集合A所有元素之和为( )
A．0B．1C．D．
【答案】C
【解析】集合A满足，，，故，，，
，故，
则集合A所有元素之和为：
故选：C
8．(2023·全国·高三专题练习)已知集合A＝，则集合A中的元素个数为( )
A．2B．3
C．4D．5
【答案】C
【解析】，的取值有、、、，又， 值分别为、、、，故集合中的元素个数为，故选C.
考点：数的整除性
二、多选题
9．(2023·河南周口·高一周口恒大中学校考期末)下列说法中不正确的是( )
A．与表示同一个集合
B．集合＝与＝表示同一个集合
C．方程＝的所有解的集合可表示为
D．集合不能用列举法表示
【答案】ABC
【解析】对于A中，是一个元素(数)，而是一个集合，可得，所以A不正确；
对于B中，集合＝表示数构成的集合，集合＝表示点集，
所以B不正确；
对于C中，方程＝的所有解的集合可表示为，根据集合元素的互异性，可得方程＝的所有解的集合可表示为，所以C不正确；
对于D中，集合含有无穷个元素，不能用列举法表示，所以D正确.
故选：ABC.
10．(2023·广东佛山·高一佛山市荣山中学校考期中)已知集合，则下列属于集合A的元素有( )
A．B．3C．4D．6
【答案】CD
【解析】依题意，是的约数，而的约数有，
即，则，
因为，因此
所以CD正确，AB错误.
故选：CD
11．(2023·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考开学考试)(多选)给出下列关系中正确的有( )
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】因为，，，，
所以AD正确.
故选：AD.
12．(2023·云南·高一校联考阶段练习)已知集合，若，则的值可能为( )
A．B．2C．D．12
【答案】ABD
【解析】因为，所以或.
①当时，，，
所以或，得或4.
当时，不合题设，舍去.
当时，，，此时.
②当时，，，
所以或，解得：或或
当时，不合题设，舍去.
当时，，此时.
当时，，此时.
故选：ABD
三、填空题
13．(2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模)已知，则__________.
【答案】3
【解析】因为，所以二次方程有两个相等的实数根，
则①，
且方程的根为1，所以②，
联立①②解得：
所以
故答案为：.
14．(2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测)已知集合中的最大元素为，则实数________.
【答案】1
【解析】因为，所以，
所以，解得或，
显然不满足集合元素的互异性，故舍去，经检验符合题意．
故答案为：
15．(2023·高一课时练习)已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则 _____.
【答案】
【解析】当都为正数时，可得；
当都为负数时，可得；
当两正一负时，可得；
当一正两负时，可得，
所以集合.
故答案为：.
16．(2023·江苏·高一专题练习)已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数a的取值的集合是______．
【答案】
【解析】当时，，满足条件；
当时，只有1个元素，则二次方程判别式，解得.
故或
故答案为：
四、解答题
17．(2023·全国·高一专题练习)选择适当的方法表示下列集合．
(1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；
(2)大于2且小于6的有理数；
(3)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．
【解析】(1)方程的实数根为－1，0，3，所以方程的实数根组成的集合可以表示为{－1，0，3}；
(2)由于大于2且小于6的有理数有无数个，可以用描述法表示该集合为{x∈Q|2(3)用描述法表示该集合为M＝{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}.
18．(2023·贵州安顺·高一校考阶段练习)已知集合，，若.
(1)求实数的值；
(2)如果集合是集合的列举表示法，求实数的值.
【解析】(1)∵，∴或者
得或，
验证当 时，集合，集合内两个元素相同，故舍去
∴
(2)由上得，故集合中，方程的两根为1、-3.
由一元二次方程根与系数的关系，得.
19．(2023·黑龙江哈尔滨·高一黑龙江省哈尔滨市南岗中学校校考阶段练习)已知集合，若，求实数a的取值集合．
【解析】因为，所以
①若，解得，此时集合为，元素重复，所以不成立，即
②若，解得或，当时，集合为，满足条件，即成立．
当时，集合为，元素重复，所以不成立，即
③若，解得或，由①②知都不成立．
所以满足条件的实数的取值集合为
20．(2023·福建福州·高一福建省福州外国语学校校考阶段练习)已知集合．
(1)若，求集合A(用列举法表示)；
(2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
【解析】(1)因为，所以，解得，
解方程可得或，
所以集合．
(2)当时，方程为，
此时集合，
当时，集合中至多有一个元素只需判别式，即，即，
综上所述，a的取值范围是或
21．(2023·全国·高三专题练习)已知集合的元素全为实数，且满足：若，则．
(1)若，求出中其它所有元素；
(2)0是不是集合中的元素？请你设计一个实数，再求出中的所有元素？
(3)根据(1)(2)，你能得出什么结论．
【解析】(1)由题意，可知，
则，，，，
所以A中其他所有元素为，，2．
(2)假设，则，
而当时，不存在，假设不成立，
所以0不是A中的元素．
取，则，，，，
所以当时，A中的元素是3，，，．
(3)猜想：A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．
由(2)知0，，
若，则，与矛盾，
则有，即，0，1都不在集合A中．
若实数，则，，
，．
结合集合中元素的互异性知，A中最多只有4个元素，，，且，．
显然，否则，即，无实数解．
同理，，即A中有4个元素．
所以A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．
22．(2023·高一课时练习)设集合A由实数构成，且满足：若(且)，则．
(1)若，试证明集合A中有元素－1，；
(2)判断集合A中至少有几个元素，并说明理由；
(3)若集合A是有限集，求集合A中所有元素的积．
【解析】(1)证明：∵，∴．
∵，∴．
∴集合A中有元素－1，；
(2)由题意，可知若(且)，
则，，，
且，，，
故集合A中至少有3个元素；
(3)由(2)知A中元素的个数为．
又集合A是有限集，且，
所以若为奇数，则集合A中所有元素的积为；
若为偶数，则集合A中所有元素的积为1．
所以集合A中所有元素的积为1或－1．
关系
概念
记法
读法
属于
如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A
a∈A
a属于集合A
不属于
如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A
a∉A
a不属于集合A
名称
非负整数集
(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R