专题11 集合的基本运算（交集与并集）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义

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知识点1：并集和交集的定义
【知识点拨】(1)简单地说，集合A和集合B的全部(公共)元素组成的集合就是集合A与B的并(交)集；(2)当集合A，B无公共元素时，不能说A与B没有交集，只能说它们的交集是空集；(3)在两个集合的并集中，属于集合A且属于集合B的元素只显示一次；(4)交集与并集的相同点是：由两个集合确定一个新的集合，不同点是：生成新集合的法则不同．
知识点2：并集和交集的性质
【题型归纳目录】
题型1：并集的运算
题型2：交集的运算
题型3：根据交集求参数问题
题型4：根据并集求参数问题
题型5：交集、并集的综合运算
【典例例题】
题型1：并集的运算
例1．(2023·浙江杭州·高一校考阶段练习)设集合，，则元素的个数为( )
A．2B．3C．8D．9
【答案】C
【解析】因为集合，，
所以
所以元素的个数为8，
故选：C
例2．(2023·云南普洱·高一校考阶段练习)已知集合，，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，
所以，
故选：A.
例3．(2023·四川凉山·高一统考期末)已知集合，，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为集合，，
根据并集的定义可知，.
故选：B
变式1．(2023·四川宜宾·高一校考阶段练习)已知集合，，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为集合，，
所以，
故选:D.
变式2．(2023·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末)已知集合，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】已知集合，
所以.
故选：C
变式3．(2023·广东惠州·高一惠州市惠阳高级中学实验学校校考阶段练习)已知集合，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，故.
故选：C
变式4．(2023·江苏盐城·高一江苏省阜宁中学校考阶段练习)已知集合，，则( )
A．SB．TC．RD．
【答案】A
【解析】集合，.
当时，有；
当时，有.
所以，所以.
故选：A
变式5．(2023·河北石家庄·高一校考阶段练习)设集合，，则A∪B中的元素个数是
A．11B．10C．16D．15
【答案】C
【解析】由题意可得：,,
据此可得：，
则A∪B中的元素个数是16.
本题选择C选项.
题型2：交集的运算
例4．(2023·高一课时练习)集合，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为集合，
所以.
故选：D.
例5．(2023·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中)已知集合，则( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，
所以.
故选：B
例6．(2023·高一单元测试)已知集合，，则( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意得，又因为，
则，
故选：A.
变式6．(2023·海南海口·高一海口一中校考期中)集合，集合，则( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为集合，集合，
所以.
故选：C.
变式7．(2023·广东汕尾·高一华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习)设集合，，则等于( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，，
所以，
故选：A．
变式8．(2023·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期末)已知集合，，则( )
A．B．C．，D．
【答案】D
【解析】由题意可知，解得，
所以.
故选：D.
题型3：根据交集求参数问题
例7．(2023·高一课时练习)设集合,
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【解析】(1)当时，，；
(2)，
当时，满足题意，此时，解得；
当时，解得，
实数m的取值范围为.
例8．(2023·广东深圳·高一统考期末)集合，集合.
(1)当时，求，；
(2)若，求实数m的取值范围.
【解析】(1)解不等式，得，
所以，
当时，则，
所以，；
(2)因为，所以
当时，，即，此时；
当时，，则，解得:，
综上所述，实数m的取值范围是.
例9．(2023·福建泉州·高一校考阶段练习)设集合.
(1)讨论集合与的关系；
(2)若，且，求实数的值.
【解析】(1)，
当时，；
当时，，是的真子集.
(2)当时，因为，所以，所以.
当时，解得(舍去)或，此时，符合题意.
当时，解得，此时符合题意.
综上，或.
变式9．(2023·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期末)设集合，.
(1)若，求a的值；
(2)若，求实数a组成的集合C.
【解析】(1)由，解得或，所以，
因为，
所以，则，
所以；
(2)因为，则，
当时，；
当时，；
当时，，
综上可得集合.
变式10．(2023·黑龙江齐齐哈尔·高一校考期中)已知集合，，.
(1)求；
(2)若，求的取值范围.
【解析】(1)因为，，
所以.
(2)因为，且，
所以，即的取值范围为.
变式11．(2023·贵州铜仁·高一校考开学考试)已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【解析】(1)当时，，，.
(2)
当时，，解得，
当时，或，解得：或，
综上所述：实数的取值范围．
题型4：根据并集求参数问题
例10．(2023·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考阶段练习)设集合，，
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【解析】(1)由集合可得，
由可得，
故，解得或，
当时，，此时不满足题意，舍去，
当时，，满足题意，
故；
(2)由得，
当时，即时，满足题意；
当时，即时，满足题意；
当时，即时，，解得，
综上可得，或；
即实数的取值范围为.
例11．(2023·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习)设集合.已知.
(1)求集合A；
(2)若，求所有满足条件的的取值集合.
【解析】(1)因为，
又，，
所以，，
所以；
(2)由，可得，
当时，则关于的方程没有实数根，所以；
当时，此时，则，
所以或，解得或；
综上，所有满足条件的的取值集合为.
例12．(2023·上海虹口·高一上外附中校考阶段练习)已知，若，求实数的值.
【解析】因为中，且两根之积为，又，
故，所以，则，
由上知：，所以，代入得，显然满足.
所以.
变式12．(2023·上海徐汇·高一校考期末)已知集合.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【解析】(1)，；
时，，故
(2)由于，故，解得，所以实数的取值范围为.
变式13．(2023·福建龙岩·高一校考阶段练习)已知集合，，.
(1)若，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围.
【解析】(1)若,
则，
解得；
故的取值范围为
(2)若，则，
则或，
解得或.
故的取值范围为或
变式14．(2023·上海金山·高一上海市金山中学校考期末)已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值集合.
【解析】(1)当时，，又，
所以；
(2)由解得，，
若，则，，符合题意；
若，由于，所以；
综上所述，实数的取值集合为.
变式15．(2023·安徽滁州·高一校考阶段练习)已知集合，集合．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【解析】(1)，
∵，∴，
∴；
(2)∵，∴，
∵
∴①，即时，，满足题意；
②时，，∴，解得，
综上得，或．
变式16．(2023·上海浦东新·高一校考阶段练习)已知，且，若，求实数的取值范围．
【解析】由得，即. 由得，解得.
故实数的取值范围为
题型5：交集、并集的综合运算
例13．(多选题)(2023·江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习)对于非空集合，，我们把集合且叫做集合与的差集，记作．例如，，2，3，4，，，5，6，7，，则有，2，，如果，集合与之间的关系为( )
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】差集的定义，且，
，，
故选：．
例14．(多选题)(2023·江西宜春·高一江西省樟树中学校考阶段练习)设集合，则下列说法不正确的是( )
A．若有4个元素，则B．若，则有4个元素
C．若，则D．若，则
【答案】ABC
【解析】(1)当时，，；
(2)当时，，；
(3)当时，，；
(4)当时，，；
故A，B，C，不正确，D正确
故选：ABC
例15．(多选题)(2023·江苏连云港·高一阶段练习)已知集合，，则( )
A．集合B．集合可能是
C．集合可能是D．0可能属于B
【答案】ABD
【解析】∵，∴，故A正确．
∵集合，∴集合中一定包含元素1，2，3，
∵，∴集合可能是，故B正确；
∵不是自然数，∴集合不可能是，故C错误；
∵0是最小的自然数，∴0可能属于集合，故D正确.
故选：ABD.
变式17．(多选题)(2023·广西桂林·高一校考阶段练习)若集合，则( )
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】对于AB，因为，
所以，，故AB正确；
对于C，因为，但，所以不成立，故C错误；
对于D，由选项AB易知，故D错误.
故选：AB.
变式18．(多选题)(2023·广东江门·高一新会陈经纶中学校考阶段练习)若集合，则下列结论正确的有( )
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】因为，所以，A正确；
，当时，，B错误；
因为，而，所以，C正确；
因为，而，所以，D正确.
故选：ACD.
变式19．(多选题)(2023·山东菏泽·高一校考阶段练习)若集合，则下列结论正确的是( )
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】，
∴，，，
故选：BCD．
变式20．(多选题)(2023·江苏苏州·高一吴县中学校考阶段练习)下列命题为真命题的是( )
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】ABC
【解析】若，则中的元素中都有，则，故A正确.
若，则.因为含有中的全部元素，故B正确.
因为，所以是的公共元素，故，所以C正确.
因为，所以是的元素或的元素，不一定是公共元素，故D不对.
故选：ABC
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末)集合满足，则集合中的元素个数为( )
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】因为，所以，
又，所以，则，故集合中的元素个数为.
故选：B.
2．(2023·湖北黄冈·高一黄冈中学校联考期中)设集合，，则图阴影区域表示的集合是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可知，图阴影区域表示的集合是,
所以.
故选：A.
3．(2023·湖北·高一校联考期中)已知集合，，若，则( )
A．0B．1C．0或1D．2
【答案】C
【解析】由题意可得：
若，则，此时，，若，则或符合题意；
若，则，不符合题意.
故选:C
4．(2023·广东深圳·高一统考期末)已知集合，，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，，
所以，
故选：C.
5．(2023·浙江金华·高一校考阶段练习)设，，若，则实数组成的集合的子集个数有( )
A．2B．3C．4D．8
【答案】D
【解析】，，
，
或或，
当时，，
当时，，得，
当时，，得，
实数组成的集合为，
其子集的个数为.
故选：D.
6．(2023·湖南·高一衡阳市八中校联考阶段练习)已知集合，，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意，，，所以.
故选：C
7．(2023·上海金山·高一统考阶段练习)设集合A、B、C均为非空集合，下列命题中为真命题的是( )
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【解析】对于A， ，当时，结论不成立，则A错误；
对于B, ，当时，结论不成立，则B错误；
对于C，，当时，结论不成立，则C错误；
对于D，因为，，所以，又，所以，则，则D正确.
故选：D
8．(2023·云南曲靖·高一曲靖一中校考阶段练习)定义集合运算，若集合，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
所以或
所以或，
或
所以或，
，
代入验证，
故.
故选：D.
二、多选题
9．(2023·高一单元测试)设，若，则m的值可以为( )
A．0B．C．1D．2
【答案】ABC
【解析】，
，
当时，，符合；
当时，，
或，
或.
故选：ABC.
10．(2023·江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习)设，均为有限集，中元素的个数为，中元素的个数为，中元素的个数为，下列各式可能成立的是( )
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】由并集的定义知，当集合与中没有公共元素时，有，所以可能成立；
当集合与中有公共元素时，，所以可能成立；
当集合与集合为相等集合时，，所以可能成立；
根据集合的并集运算可知不能成立.
故选：ABD．
11．(2023·辽宁沈阳·高一沈阳市外国语学校校考阶段练习)设，，若，则实数的值可以为( )
A．B．0C．3D．
【答案】ABD
【解析】，，又 ，
当时，，符合题意；
当时， ，
要使，则或，
解得或．
综上，或或．
故选：ABD．
12．(2023·江苏泰州·高一泰州中学校考期中)设集合，，若，则实数的值可以为( )
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】由得：或，即；
，；
当时，，满足题意；
当时，，则或，解得：或；
综上所述：实数的取值集合为.
故选：ABC.
三、填空题
13．(2023·上海闵行·高一校考期末)已知，，则_______.
【答案】
【解析】因为集合，，因此，.
故答案为：.
14．(2023·上海浦东新·高一校考阶段练习)已知集合，集合，若，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】因为，所以，
若即，则，满足题意；
若即，
因为，所以解得，
综上，实数的取值范围是，
故答案为:.
15．(2023·高一课时练习)已知集合，，则_________.
【答案】
【解析】因为，所以，易知，
当时，，此时，，不合题意舍去；
当时，，此时，，满足题意，
所以.
故答案为：
16．(2023·上海松江·高一上海市松江二中校考期中)设集合，，若，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】，，，故.
故答案为：
四、解答题
17．(2023·高一课时练习)设方程的解集是A，方程的解集是B，，求．
【解析】因为，则是方程的一个实根，
则，解得，解方程，得或，
.
，则是方程的一个实根，
则，解得，解方程，得或
，.
18．(2023·高一单元测试)已知全集为，集合，．
(1)求；
(2)若，且，求的取值范围．
【解析】(1)解不等式，解得，
所以，
所以；
(2)由(1)得，
又，
则或，解得或，
即.
19．(2023·福建泉州·高一校考阶段练习)在①；②这二个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题.
问题：已知集合.
(1)当时，求；
(2)若__________，求实数的取值范围.
【解析】(1)当时，集合，所以；
(2)若选择①，则，
因为，所以，又，
所以，解得，所以实数的取值范围是
若选择②，
因为，所以，又
所以或，解得或，
所以实数的取值范围是或
20．(2023·安徽宿州·高一校考阶段练习)已知集合A＝{x|2a(1)若A∪B＝B，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．
【解析】(1)由A∪B＝B，知A⊆B.
若，即，时符合题意．
当时，由题意得得,
综上得a的取值范围是；
(2)当，即时.
当时，由题意得，解得，
综上，的取值范围是或．
21．(2023·福建泉州·高一石狮市石光中学校考期中)已知集合，集合.
(1)若，求和；
(2)若，求实数的取值范围.
【解析】(1)，，
∴，；
(2)∵，
∴，
若，则，
∴，
若，则，
∴，
综上.
22．(2023·贵州安顺·高一校考阶段练习)已知集合或，集合.
(1)若，求和；
(2)若记符号，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求当时；
(3)若，求实数的取值范围.
【解析】(1)若，，又或，
则，或或；
(2)若记符号，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑如下图：
当时，，
则或；
(3)若，则，
当时，，解得，
当时，，解得或.
综上：实数的取值范围为或.
定义
并集
交集
自然
语言
一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B
一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B
符号
语言
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
图形
语言
并集
交集
简单
性质
A∪A＝A；
A∪∅＝A
A∩A＝A；
A∩∅＝∅
常用
结论
A∪B＝B∪A；
A⊆(A∪B)；
B⊆(A∪B)；
A∪B＝B⇔A⊆B
A∩B＝B∩A；
(A∩B)⊆A；
(A∩B)⊆B；
A∩B＝B⇔B⊆A