专题13 充分条件与必要条件-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义

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知识点一：充分条件与必要条件充要条件的概念
符号与的含义
“若，则”为真命题，记作：；
“若，则”为假命题，记作：．
充分条件、必要条件与充要条件
①若，称是的充分条件，是的必要条件．
②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件．
知识点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到．
①“若，则”为真命题；
②是的充分条件；
③是的必要条件
以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达．
知识点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断
从逻辑推理关系看
命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系
①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；
②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；
③若，且，即，则、互为充要条件；
④若，且，则是的既不充分也不必要条件．
从集合与集合间的关系看
若p：x∈A，q：x∈B，
①若AB，则是的充分条件，是的必要条件；
②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件；
③若A=B，则、互为充要条件；
④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件．
知识点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件．判断方法通常按以下步骤进行：
①确定哪是条件，哪是结论；
②尝试用条件推结论，
③再尝试用结论推条件，
④最后判断条件是结论的什么条件．
知识点三：充要条件的证明
要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性(即证原命题成立)，又要证明条件的必要性(即证原命题的逆命题成立)
知识点诠释：对于命题“若，则”
①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题；
②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题；
③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题．
【题型归纳目录】
题型一：充分条件与必要条件的判断
题型二：根据充分条件求参数取值范围
题型三：根据必要条件求参数取值范围
题型四：根据充要条件求参数取值范围
题型五：充要条件的证明
【典例例题】
题型一：充分条件与必要条件的判断
例1．(2023·新疆昌吉·高一新疆昌吉回族自治州第二中学校考期末)“且”是“”的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】充分性: 且，则，充分性成立;必要性: 若，则且，或且，必要性不成立.故“且”是“”的充分而不必要条件.
故选:A.
例2．(2023·河南驻马店·高一校考阶段练习)“”是“”的( )条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】B
【解析】若，则为假命题，
所以“”是“”的不充分条件；
若，则为真命题，
所以“”是“”的必要条件；
所以“”是“”的必要不充分条件；
故选：B
例3．(2023·高一课时练习)关于x的方程有实根的一个充分条件是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由，要使方程有实根，则，
故是方程有实根的一个充分条件，
故选：B
变式1．(2023·上海浦东新·高一上海市进才中学校考阶段练习)已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题：① 是的充要条件；② 是的充分不必要条件；③ 是的必要不充分条件；④ 是的充分不必要条件；正确的命题序号是( )
A．①④B．①②C．②③D．③④
【答案】B
【解析】因为是的充分不必要条件，所以，，
因为是的充分条件，所以，
因为是的必要条件，所以，
因为是的必要条件，所以，
因为，，所以，又，
所以是的充要条件；命题①正确，
因为，，，所以，
若，则，，，故，与矛盾，
所以，
所以是的充分不必要条件，命题②正确；
因为，，所以，是的充分条件，命题③错误；
因为，，所以，又，
所以是的充要条件，命题④错误；
故选：B.
变式2．(2023·高一课时练习)已知，则“”的一个必要条件是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由于可得，故“”是“”的必要条件，
由不能得到，，，比如，
故选：D
变式3．(2023·高一课时练习)已知集合M，P，则“或”是“”的( )
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由或得，又，∴或不能推出，能推出或.
则“或”是“”的必要不充分条件.
故选：A.
变式4．(2023·高一课时练习)若，则“”是“”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为，，所以，所以，
若，，则不一定等于0，如，
则，
所以若，则是的充分不必要条件.
故选：A.
变式5．(2023·高一课时练习)已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，下列命题中：①r是q的充要条件；②p是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件．
正确命题的序号是( )
A．①④B．①②
C．②③D．②④
【答案】B
【解析】由是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，
可得，推不出，，，，
所以，故是的充要条件，①正确；
，推不出，故是的充分不必要条件，②正确；
，故是的充要条件，③错误；
，故是的充要条件，④错误．
故选：B
题型二：根据充分条件求参数取值范围
例4．(2023·高一单元测试)已知全集，集合，.
(1)当时，求和；
(2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
【解析】(1)当时，集合，
因为，所以.
所以，
(2)因为“”是“”成立的充分不必要条件，
所以是的真子集，而不为空集，
所以，因此.
例5．(2023·四川眉山·高一校考阶段练习)已知集合，，是否存在实数，使得是成立的______？
(1)当横线部分内容为“充要条件”时，若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由？
(2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由．
【解析】(1)当横线部分内容为“充要条件”时，则，则且，方程组无解.
∴不存在满足条件的.
(2)若选①，则是的真子集，则且(两等号不同时取)，且，解得，
∴问题中的存在，且的取值集合.
选②，则是的真子集，
当时，，即，满足是的真子集；
当时，，即，由是的真子集，得且(两等号不同时取)，解得；
综上所述：.
所以问题中的存在，且的取值集合.
例6．(2023·江苏扬州·高一期末)已知集合，在①；②““是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题.
(1)当时，求；
(2)若______，求实数a的取值范围.
【解析】(1)当时，，而，
所以，，或.
(2)选①，由可知：，
当时，则，即，满足，则，
当时，，由得：，解得，
综上所述，实数的取值范围为或.
选②，因“”是“”的充分不必要条件，则，
当时，则，即，满足，则，
当时，，由得：，且不能同时取等号，解得.
综上所述，实数的取值范围为或.
选③，当时，则，即，满足，则，
当时，由得：或，解得或，
又，所以或.
综上所述，实数的取值范围为或.
变式6．(2023·河南周口·高一校考阶段练习)已知命题p：，命题q：．
(1)若命题p为假命题，求实数x的取值范围．
(2)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
【解析】(1)由p为假，得或
故的取值范围为或.
(2)，，
若是的充分条件，则，
可得，解得．
实数的取值范围是．
题型三：根据必要条件求参数取值范围
例7．(2023·高一课时练习)若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值为________．
【答案】
【解析】令或，，
若“或”是“”的必要不充分条件，
则集合是的真子集，
所以，
所以实数的最大值为，
故答案为：.
例8．(2023·全国·高一专题练习)已知，若是p的一个必要条件，则使恒成立的实数b的取值范围是________.
【答案】
【解析】由必要条件求出的取值范围，再由恒成立得的取值范围．∵，
∴，所以解得
又使恒成立，因此，故实数b的取值范围是.
故答案为：．
例9．(2023·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习)已知 .
(1)是否存在实数，使是的充要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由;
(2)是否存在实数，使是的必要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由.
【解析】(1)要使是的充要条件，则
即，此方程组无解.
所以不存在实数，使是的充要条件.
(2)要使是的必要条件，则，
当时，，解得
当时，，解得
要使，则有，解得，所以
综上可得，当时，是的必要条件.
变式7．(2023·高一课时练习)已知集合，，其中，是关于x的方程的两个不同的实数根.
(1)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围.
【解析】(1)假设存在满足条件的实数a，则，即，.
因为，是关于x的方程的两个不同的实数根，所以，
即，解得，即当时，“”是“”的充要条件.
(2)由题意可知，关于x的方程的两根分别为和.
因为“”是“”的必要不充分条件，所以B A .
当，即时，，
则解得；
当，即时，，
则解得.
综上，a的取值范围是或.
变式8．(2023·湖北十堰·高一校考阶段练习)已知集合或，．
(1)求实数的取值范围，使它成为的充要条件；
(2)求实数的一个值，使它成为的一个充分不必要条件；
(3)求实数的取值范围，使它成为的一个必要不充分条件．
【解析】(1)的充要条件是，所以实数的取值范围是．
(2)由(1)知,的充要条件是,
则当时,是的一个充分但不必要条件;
比如是所求的一个充分但不必要条件.(答案不唯一)
(3)求实数a的取值范围,使它成为的一个必要但不充分条件就是另求一个集合, 故是它的一个真子集.
如果时,未必有,
但是时,必有,
故是所求的一个必要但不充分条件.(答案不唯一)
题型四：根据充要条件求参数取值范围
例10．(2023·云南大理·高一统考期末)若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为______.
【答案】
【解析】解不等式得，
因为“不等式成立”的充要条件为“”，所以，解得，
所以，.
故答案为：.
例11．(2023·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考阶段练习)若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是_________．
【答案】3
【解析】由得，故，
因为“”是“”的充要条件，
所以，解得，
所以实数m的取值是3.
故答案为：3.
例12．(2023·高一课时练习)设，一元二次方程有实数根的充要条件是__．
【答案】或或或
【解析】一元二次方程有实数根,
，解得，
又，.
故答案为：或或或．
变式9．(2023·高一课时练习)若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是_________．
【答案】0
【解析】，
则{x|}＝{x|}，
即.
故答案为：0.
变式10．(2023·高一课时练习)若“”是“”的充要条件，则的值为________.
【答案】
【解析】由题意可知，，解得，所以.
故答案为：.
变式11．(2023·山东济宁·高一校考阶段练习)集合中至多有一个元素的充要条件是_____ .
【答案】或
【解析】由已知得方程至多一个根，
或，解得
故答案为或
变式12．(2023·四川眉山·高一眉山市彭山区第一中学校考阶段练习)．设，一元二次方程有整数根的充要条件是_______
【答案】3或4
【解析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．
，因为是整数，即为整数，所以为整数，且，又因为，取，验证可知符合题意；反之时，可推出一元二次方程
有整数根．
题型五：充要条件的证明
例13．(2023·福建宁德·高一福建省霞浦第一中学校考期末)求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是.
【解析】证明：(1)充分性：由得.
即满足方程.
是方程的一个根
(2)必要性：是方程的一个根，
将代入方程得.
故是一元二次方程的一个根的充要条件
是
例14．(2023·上海黄浦·高一格致中学校考阶段练习)“关于的方程有实数根”是“”的什么条件？请证明你的结论．
【解析】“关于的方程有实数根”是“”必要非充分条件．
证明：
先证充分性不成立：
取，此时方程有实数根，
但此时，因此充分性不成立．
再证必要性成立：
当时，恒成立，
所以方程有实数根，
即必要性成立.
所以“关于的方程有实数根”是“”必要非充分条件．
例15．(2023·高一课时练习)设a，b，，求关于x的方程有一个根为的一个充要条件.
【解析】解:因为关于x的方程有一个根为，
所以代入得，下证明充要性.
充分性：，，
代入方程得，即．
关于的方程有一个根为；
必要性：方程有一个根为，满足方程，
，即．
故关于的方程有一个根是的充要条件为．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·高一单元测试)若，则“”是“”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当时，，所以成立，
又当时，即，得到，
所以可以得到，
所以“”是“”的充要条件，
故选：C.
2．(2023·高一课时练习)王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据诗意，作者想表达的思想感情是“返回家乡”就一定要“攻破楼兰”，但是并没有表明“攻破楼兰”后就会“返回家乡”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.
故选：B.
3．(2023·高一课时练习)若，则“”是“”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由不等式，可得，可得，即充分性成立；
反之：由，可得，又因为，所以，所以必要性不成立，
所以是的充分不必要条件.
故选：A.
4．(2023·高一课时练习)=的一个充分条件是( )
A． B．
C．D．
【答案】B
【解析】对于选项A，因为，显然=没意义，根据充分条件的定义知，选项A不是充分条件；
对于选项B，当时，=成立；而当=成立时，a≥0，b>0.
根据充分条件的定义知，选项B是充分条件；
对于选项C、D，由可知，=没意义，所以选项C、D不是充分条件；
故选：B.
5．(2023·辽宁·高一大连二十四中校联考期末)给出的下列条件中能成为的充分不必要条件是( )
A．或B．或C．或D．
【答案】B
【解析】由题知，，
所以，解得，或，
对于A，能成为的充分必要条件；
对于B, 能成为的充分不必要条件；
对于C，能成为的既不充分也不必要条件；
对于D，能成为的既不充分也不必要条件；
故选：B
6．(2023·高一课时练习)一元二次方程，()有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为一元二次方程，()有一个正根和一个负根，
所以，解得，
所以一元二次方程，()有一个正根和一个负根的充分而不必要条件可以是.
故选：C.
7．(2023·高一课时练习)已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是( )
A．或B．或
C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，
所以，且等号不能同时成立，解得.
故选：D.
8．(2023·辽宁沈阳·高一沈阳市回民中学校考期末)使得不等式“”成立的一个必要不充分条件是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，可得，
所以，解得，
即成立的充要条件为：，
对于A，由，得，是“”成立的充分不必要条件；
对于B，由，得，是“”成立的充要条件；
对于C，是 “”成立的必要不充分条件；
对于D，，得或，是 “”成立的既不充分也不必要条件.
故选：C.
二、多选题
9．(2023·河北衡水·高一校考开学考试)对任意实数，给出下列命题，其中假命题是( )
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件
D．“是无理数”是“是无理数”的充要条件
【答案】AC
【解析】对于A，如果 ，则必定有 ，是充分条件，如果 ，则 ，得或 ，
不是必要条件，所以“”是“ ” 的充分不必要条件，错误；
对于B，如果 ，必定有 ，是必要条件，正确；
对于C，如果 ，比如 ， ，不能推出 ，不是充分条件，错误；
对于D，因为有理数+无理数=无理数，有理数+有理数=有理数，5是有理数，
所以“a+5是无理数”必定有a是无理数，是充分条件，如果“a是无理数”则“a+5也是无理数”，是必要条件，
所以“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，正确；
故选：AC.
10．(2023·广东·高一统考期末)下列说法正确的是( )
A．是的必要不充分条件
B．(U是全集)是的充分不必要条件
C．是的充分不必要条件
D．是的充要条件
【答案】AD
【解析】对于A，若，则可能且，不能推出，
若，则必有，
故是的必要不充分条件，故A正确；
对于B，若,则，
故(U是全集)是的既不充分也不必要条件，故B错误；
对于C，若，取,则，
若，取，则，
故是的既不充分也不必要条件，故C错误；
对于D，因为，所以是的充要条件，故D正确.
故选:AD.
11．(2023·湖南郴州·高一校考阶段练习)设全集为U，在下列选项中，是的充要条件的是( )
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】
由维恩图可知，A不是的充要条件，B，C，D都是的充要条件，
故选：BCD．
12．(2023·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习)已知集合或，则的必要不充分条件可能是( )
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】因为集合或，
当时，，解得，此时，
当时，，解得，若，则，解得，
又，则，
则的充要条件为，
所以的必要不充分条件可能是，，
故选：AB．
三、填空题
13．(2023·甘肃兰州·高一校考开学考试)设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么丁是甲的______条件.
【答案】必要不充分
【解析】因为甲是乙的充分不必要条件，所以甲乙，乙推不出甲；
因为丙是乙的充要条件，即乙⇔丙；
因为丁是丙的必要不充分条件，所以丙丁，丁推不出丙.
故甲丁，丁推不出甲，即丁是甲的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分
14．(2023·四川南充·高一四川省南充高级中学校考期中)“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】因为“”是“”的必要非充分条件，
所以是的真子集，
所以．
故答案为：
15．(2023·高一校考课时练习)已知：，：，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
记
由是的充分不必要条件，可得，且
故，且等号不同时成立，解得
故答案为：
16．(2023·高一单元测试)已知：或，：或，若是的必要条件，则实数的取值范围是 __．
【答案】
【解析】因为是的必要条件，所以，
即由或或；
时，，此时：，有成立；
②时，:且，；
③时，有，即，此时无解， ；
综上，．
故答案为：．
四、解答题
17．(2023·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考阶段练习)已知条件：，条件：，且q是p的充分不必要条件，求m的值.
【解析】设，
若q是p的充分不必要条件，则：
当时，则，解得；
当时，则，解得；
当，则；
综上所述：或或.
18．(2023·湖北黄冈·高一校联考阶段练习)已知集合,,全集．
(1)当时,求;
(2)若是成立的充分不必要条件,求实数的取值范围．
【解析】(1)解:由题知,当时,,
所以或,
因为,
所以或,
所以或;
(2)由题知是成立的充分不必要条件,
故是的真子集,
①当时,
,
解得,
②当时,
即或,
解得:或,
综上:或.
19．(2023·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末)设全集是，集合．
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)条件，条件，若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解析】(1)若,
当时，，解得，
当时，，解得，
综合得
(2)条件，条件，若q是p的充分不必要条件，
则，且等号不能同时成立，
解得
20．(2023·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考期末)设集合，集合．
(1)若，求；
(2)设，，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【解析】(1)当时，由，解得：，即．
因为，
所以；
(2)因为p是q成立的必要不充分条件，所以集合B是集合A的真子集．
又集合，
所以或，
解得：，即实数a的取值范围是．
21．(2023·山东济宁·高一校考期中)已知集合，，全集．
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
【解析】(1)当时，集合，或，
又
所以
(2)因为“”是“”的充分条件
所以
则 解得
故实数的取值范围．
22．(2023·上海长宁·高一上海市复旦中学校考期中)求证：等式对任意实数恒成立的充要条件是.
【解析】充分性：
若，则等式显然对任意实数恒成立，充分性成立；
必要性：由于等式对任意实数恒成立，
分别将，，代入可得，
解得，必要性成立，
故等式对任意实数恒成立的充要条件是.