专题14 全称量词与存在量词-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义

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知识点1：全称量词与全称量词命题
(1)短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．
(2)全称量词命题的表述形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可简记为：∀x∈M，p(x)．
(3)常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义．
知识点2：存在量词与存在量词命题
(1)短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．
(2)存在量词命题的表述形式：存在M中的一个x0，使p(x0)成立，可简记为，∃x0∈M，p(x0)．
(3)存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义．
知识点3：命题的否定
(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)，全称量词命题的否定是存在量词命题．
(2)存在量词命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)，存在量词命题的否定是全称量词命题．
知识点4：常见的命题的否定形式
【题型归纳目录】
题型1：全称量词命题和存在量词命题的判断
题型2：全称量词命题与存在量词命题真假判断
题型3：含有一个量词的命题的否定
题型4：根据命题的真假求参数
【典例例题】
题型1：全称量词命题和存在量词命题的判断
例1．(2023·高一课时练习)下列命题中是存在量词命题的是( )
A．平行四边形的对边相等B．同位角相等
C．任何实数都存在相反数D．存在实数没有倒数
【答案】D
【解析】根据全称量词和存在量词的定义可知，
A选项，“平行四边形的对边相等”是所有的平行四边形性质，是全称量词命题；
B选项，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是全称量词命题；
C选项，“任何实数都存在相反数”中的“任意”是全称量词，故其为全称量词命题；
D选项，“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词，其为存在量词命题.
故选：D
例2．(2023·高一课时练习)下列命题是全称量词命题的个数是( )
①任何实数都有平方根;
②所有素数都是奇数;
③有些一元二次方程无实数根;
④三角形的内角和是．
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】根据全称量词命题的定义可得①②④中命题，指的是全体对象具有某种性质，
故①②④是全称量词命题，③中命题指的是部分对象具有某性质，不是全称量词命题，
故选：D．
例3．(2023·福建莆田·高一校考阶段练习)下列命题是全称量词命题的是( )
A．存在一个实数的平方是负数B．每个四边形的内角和都是360°
C．至少有一个整数，使得是质数D．，
【答案】B
【解析】对于ACD，均为存在量词命题，
对于B中的命题是全称量词命题.
故选：B
变式1．(2023·广东揭阳·高一普宁市华侨中学校考阶段练习)下列命题中全称量词命题的个数是( )
①任意一个自然数都是正整数；②有的平行四边形也是菱形；③边形的内角和是．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】命题①③为全称量词命题，命题②为存在量词命题.
故选：C.
变式2．(2023·江苏南京·高一江苏省南京市第十二中学校考期中)已知命题：①任何实数的平方都是非负数；②有些三角形的三个内角都是锐角；③每一个实数都有相反数；④所有数与0相乘，都等于0.其中，其中含存在量词的命题的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】①任何实数的平方都是非负数，含全称量词“任何”，不符；
②有些三角形的三个内角都是锐角，含存在量词“有些”，符合；
③每一个实数都有相反数，含全称量词“每一个”，不符；
④所有数与0相乘，都等于0，含全称量词“所有”，不符；
故选：A
变式3．(2023·高一单元测试)下列命题是存在量词命题的是( )
A．一次函数的图象都是上升的或下降的
B．对任意x∈R，x2＋x＋1<0
C．存在实数大于或者等于3
D．菱形的对角线互相垂直
【答案】C
【解析】选项A，B，D中的命题都是全称量词命题，选项C中的命题是存在量词命题．
故选：C
题型2：全称量词命题与存在量词命题真假判断
例4．(2023·高一课时练习)下列命题中是真命题的为( )
A．，使
B．，使
C．，
D．，
【答案】D
【解析】对于A，由，可得，所以不存在，使成立，故错误；
对于B，由，可得，所以不存在，使，故错误；
对于C，当时，，故错误；
对于D，因为当时，，故正确.
故选：D.
例5．(2023·高一课时练习)下列命题中是真命题的为( )
A．对任意的
B．对任意的
C．存在
D．存在锐角，
【答案】D
【解析】A选项，，A选项错误；
B选项，，B选项错误；
C选项，由于，故，，C选项错误；
D选项，显然存在，使得，D选项正确.
故选：D
例6．(2023·浙江杭州·高一杭师大附中校考期末)下列命题为真命题的是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A，因为，所以，A错误；
对于B，当时，，B错误；
对于C，当时，，C正确；
由可得均为无理数，故D错误，
故选:C.
变式4．(2023·湖北武汉·高一武汉外国语学校(武汉实验外国语学校)校考期末)下列命题中不正确的是( )
A．对于任意的实数，二次函数的图象关于轴对称
B．存在一个无理数，它的立方是无理数
C．存在整数、，使得
D．每个正方形都是平行四边形
【答案】C
【解析】对于A选项，对于任意的实数，二次函数图象的对称轴为轴，A对；
对于B选项，无理数的立方为，且为无理数，B对；
对于C选项，若、为整数，则、均为偶数，所以，也为偶数，
则不成立，C错；
对于D选项，每个正方形都是平行四边形，D对.
故选：C.
变式5．(2023·湖南郴州·高一校考阶段练习)下列是存在量词命题且是假命题的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】A为真命题；B和D为全称量词命题；
因为，所以，故，故C为假命题
故选：C
题型3：含有一个量词的命题的否定
例7．(2023·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中)命题“，”的否定为( )
A．B．
C．，D．，
【答案】B
【解析】命题“，”为存在量词命题，
其否定为：.
故选：B
例8．(2023·高一课时练习)已知命题，则为( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，
所以.
故选：B.
例9．(2023·高一课时练习)若命题p的否定为：，则命题p为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为命题p的否定为：，
所以命题p为：.
故选：B.
变式6．(2023·高一课时练习)命题“”的否定是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得到命题：“”的否定是””，
故选：B.
变式7．(2023·云南·高一统考期末)命题“，”的否定为( )
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】存在量词命题命题的否定为全称量词命题，
故“，”的否定为：，.
故选：B
变式8．(2023·高一单元测试)命题，则为( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据命题的否定，任意变存在，范围不变，结论相反，
则为，
故选：B.
变式9．(2023·高一课时练习)已知命题，则命题的否定是( )
A．且B．或
C． D．
【答案】A
【解析】因为即或，所以命题的否定为且.
故选：A
题型4：根据命题的真假求参数
例10．(2023·浙江金华·高一统考期中)已知命题“”是假命题，则实数a的取值范围为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知，命题“”是假命题
则该命题的否定“”是真命题，
所以，解得；
故选：D.
例11．(2023·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考阶段练习)若命题“，都有”为假命题，则实数m的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，使得，
当，符合题意；
当，只要即可，
解得，
综上：．
故选：C．
例12．(2023·河南郑州·高一校联考期中)若命题“，使得”是真命题，则实数的取值集合是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当时，等价于不满足对于恒成立，不符合题意；
当时，若对于恒成立，
则即可得：，
综上所述：实数的取值集合是，
故选：B.
变式10．(2023·甘肃庆阳·高一校考期中)对，是真命题，则的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意即对任意恒成立，
当时，恒成立，
当时，有，即，∴，
故选C.
变式11．(2023·高一单元测试)已知命题，若命题p是假命题，则a的取值范围为( )
A．1≤a≤3B．－1≤a≤3
C．1【答案】B
【解析】由题意:命题是假命题,
其否定: 为真命题,
即，解得，
故选：B
变式12．(2023·江西吉安·高一江西省吉水中学校考期末)已知“，”为真命题，则实数a的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为命题“，”为真命题，
所以命题“，”为真命题，
所以时，，
因为，
所以当时，，
所以.
故选：A
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考期中)已知命题，则为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】命题，则为.
故选：C
2．(2023·浙江杭州·高一校考阶段练习)命题，，则命题的否定是( )
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】因为命题，是全称量词命题，
所以其否定是存在量词命题，即 ，，
故选：B
3．(2023·高一课时练习)以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数，使
C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数，使
【答案】B
【解析】对选项A：锐角三角形中的内角都是锐角，所以A为假命题；
对选项B：是存在量词命题，当时， 成立，所以B正确；
对选项C：，故C为假命题；
对选项D：对于任何一个负数，都有，所以D为假命题.
故选：B
4．(2023·高一课时练习)下列命题是全称量词命题并且是真命题的是( )
A．所有菱形的四条边都相等
B．若2x是偶数，则存在x，使得x∈N
C．任意x∈R，x2+2x+1>0
D．π是无理数
【答案】A
【解析】选项A、C是全称量词命题，选项C，当时，，所以选项C是假命题，
故选：A
5．(2023·广西贺州·高一校考阶段练习)已知命题p: ，若p为假命题，则a的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意命题p:为假命题，则为真命题，
即，故 ，即，
故选：D
6．(2023·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期末)命题“，使得”的否定形式是( )
A．，使得B．都有
C．，使得D．，都有
【答案】D
【解析】“，使得”是全称量词命题，全称量词命题的否定是存在量词命题
故否定形式是，都有.
故选：D
7．(2023·辽宁·高一葫芦岛第一高级中学校联考阶段练习)已知对任意的实数，，代数式恒成立，下列说法正确的是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，
对任意恒成立，
，
解得：，
∴ ，．
故选：A．
8．(2023·高一课时练习)设非空集合P，Q满足，则下列命题正确的是( )
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【解析】因为非空集合P，Q满足，所以，
对于AC，由子集的定义知P中任意一个元素都是Q中的元素，即，，故A正确，C错误；
对于BD，由，分类讨论：若P是Q的真子集，则，；若，则，；故 BD错误．
故选：A．
二、多选题
9．(2023·福建泉州·高一校考阶段练习)下列说法正确的是( )
A．命题，则命题的否定是
B．全称量词命题“”是真命题.
C．命题“”是假命题
D．集合.集合，若，则的取值范围是
【答案】AC
【解析】A选项，命题的否定是，A正确；
B选项，当时，，故B错误；
C选项，对于，，故对任意的，，C正确；
D选项，因为，所以，又，
当时，若，则，解得，此时，满足，
若，则，解得，此时，不满足，
当时，，解得，
综上，的取值范围为或，D错误.
故选：AC
10．(2023·高一课时练习)下列命题的否定为假命题的是( )
A．对任意的，
B．所有的正方形都是矩形
C．存在
D．至少有一个实数x，使
【答案】ABD
【解析】A中命题的否定：存在，
由于，故该命题是假命题．
B中命题的否定：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题．
C中命题的否定：对任意的，
由于，该命题是真命题．
D中命题的否定：对任意的，
因为时，，故该命题是假命题．
故选：ABD
11．(2023·湖南张家界·高一张家界市民族中学校考阶段练习)命题，为假命题，则实数m的取值可以是( )
A．B．0C．1D．2
【答案】ABC
【解析】若命题，为真命题，则，解得，
所以当命题，为假命题时，，
符合条件的为、B、C选项.
故选：BC.
12．(2023·吉林白城·高一统考期末)命题p：，是假命题，则实数b的值可能是( )
A．B．C．2D．
【答案】AB
【解析】因为命题p：，是假命题，
所以命题：，是真命题，也即对，恒成立，
则有，解得：，根据选项的值，可判断选项符合，
故选：.
三、填空题
13．(2023·高一课时练习)有下列四个命题：
①对任意实数均有； ②不存在实数使；
③方程至少有一个实数根； ④使，
其中假命题是__________(填写所有假命题的序号)．
【答案】③
【解析】对于①：因为，所以对任意实数均有，故①为真命题；
对于②：因为，所以不存在实数使，故②为真命题；
对于③：对于方程，，
故方程无实数根，所以③为假命题；
对于④：当时，故使，即④为真命题.
故答案为：③
14．(2023·高一课时练习)对于命题：①任意x∈N，都有x2>0；②任意x∈Q，都有x2∈Q；③存在x∈Z，x2>1；④存在x，y∈R，使|x|＋|y|>0，其中是全称量词命题并且是真命题的是________．(填序号)
【答案】②
【解析】只有①②是全称量词命题，当x＝0时，x2＝0，所以①是假命题．
故答案为：②
15．(2023·高一课时练习)某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“”是假命题，求范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“”是真命题，求范围．你认为，两位同学题中范围是否一致？________(填“是”“否”中的一种)
【答案】是
【解析】因为命题“”的否定是“”，
而命题“”是假命题，与其否定“”为真命题等价，
所以两位同学题中范围是一致的，
故答案为：是
16．(2023·高一课时练习)已知命题”的否定为真命题，则实数的取值范围是______________.
【答案】
【解析】已知问题等价于有解，即或，解得.
故答案为：
四、解答题
17．(2023·高一课时练习)写出下列命题的否定：
(1)正方形的四边相等；
(2)能被5整除的整数，末位数字都是0；
(3)有的三角形是直角三角形；
(4)至少存在一个实数x，使；
(5)存在一个四边形，它的对角线互相垂直平分．
【解析】(1)正方形的四边相等的否定为存在一个正方形，它的四边不都相等；
(2)能被5整除的整数，末位数字都是0的否定为能被5整除的整数，末位数字不都是0；
(3)有的三角形是直角三角形的否定为所有的三角形都不是直角三角形；
(4)至少存在一个实数x，使的否定为；
(5)存在一个四边形，它的对角线互相垂直平分的否定为任意四边形的对角线不互相垂直或不互相平分．
18．(2023·高一课时练习)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假．
(1)所有的实数a、b，方程ax＋b＝0恰有唯一解．
(2)存在实数x，使＝.
【解析】(1)该命题是全称量词命题．
当a＝0，b＝0时方程有无数解，
故该命题为假命题．
(2)该命题是存在量词命题．
∵，
∴不存在实数x，使，
故该命题是假命题．
19．(2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第一二二中学校校考阶段练习)已知集合，或.
(1)求、；
(2)若集合，且，为假命题，求的取值范围.
【解析】(1)已知集合，或，
则或，，或.
(2)因为，为假命题，则，为真命题，所以，.
①当时，即当时，，则成立；
②当时，即当时，，由题意可得或，
解得或，此时.
综上所述，或.
20．(2023·高一课时练习)已知集合，，且.
(1)若命题p：“，”是真命题，求m的取值范围；
(2)若命题q：“，”是真命题，求m的取值范围．
【解析】(1)命题p：“，”是真命题，故，
所以，解得，
故m的取值范围是.
(2)由于命题q为真命题，则，
因为，所以，所以,
当时，一定有，
要想满足，则要满足，解得，
故时，，
故m的取值范围为.
21．(2023·河南周口·高一校考期中)已知命题，为假命题．
(1)求实数a的取值集合A；
(2)设非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值集合．
【解析】(1)命题，为假命题，则命题，为真命题，
显然，否则方程有实根，因此，解得，，
实数a的取值集合.
(2)由非空集合知，，解得，，
因“”是“”的必要不充分条件，则，因此，解得，
所以实数m的取值集合是.
22．(2023·江西宜春·高一江西省樟树中学校考阶段练习)已知命题，，命题，.若p为真命题、q为假命题，求实数m的取值范围.
【解析】由命题p是真命题，则，对恒成立，即对恒成立.
当时，，所以，即；
由命题q是假命题，则，使得为真命题，即关于x的方程有实数根：
①当时，有实数根；
②当时；依题意得，即且，
综上①②，可得.
因为p为真命题、q为假命题，所以实数m的取值范围是.
原语句
是
都是
>
至少有
一个
至多有
一个
对任意x∈A
使p(x)真
否定
形式
不是
不都是
≤
一个也
没有
至少有
两个
存在x∈A
使p(x)假