专题15 等式性质与不等式性质-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义

这是一份专题15 等式性质与不等式性质-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义，文件包含专题15等式性质与不等式性质教师版-2024年新高一初升高数学暑期衔接讲义docx、专题15等式性质与不等式性质学生版-2024年新高一初升高数学暑期衔接讲义docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
知识点一、符号法则与比较大小
实数的符号：
任意，则(为正数)、或(为负数)三种情况有且只有一种成立.
两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：
①两个同号实数相加，和的符号不变
符号语言：；
②两个同号实数相乘，积是正数
符号语言：；
③两个异号实数相乘，积是负数
符号语言：
④任何实数的平方为非负数，0的平方为0
符号语言：，.
比较两个实数大小的法则：
对任意两个实数、
①；
②；
③.
对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立.
知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系.它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据.
知识点二、不等式的性质
不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分
基本性质有：
(1)对称性：
(2)传递性：
(3)可加性：(c∈R)
(4)可乘性：a>b，
运算性质有：
(1)可加法则：
(2)可乘法则：
(3)可乘方性：
知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.
知识点三、比较两代数式大小的方法
作差法：
任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小.
①；
②；
③.
作商法：
任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小.
①；
②；
③.
中间量法：
若且，则(实质是不等式的传递性).一般选择0或1为中间量.
【题型归纳目录】
题型一：用不等式(组)表示不等关系
题型二：作差法、作商法比较两数(式)的大小
题型三：利用不等式的性质判断命题真假
题型四：利用不等式的性质证明不等式
题型五：利用不等式的性质比较大小
题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围
【典例例题】
题型一：用不等式(组)表示不等关系
例1．(2023·甘肃酒泉·高一统考期末)铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c(单位：cm)，这个规定用数学关系式可表示为( )
A．且B．且
C．且D．且
例2．(2023·四川眉山·高一校考阶段练习)将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为( )
A．B．或
C．D．
例3．(2023·西藏林芝·高一校考期中)下列说法正确的是( )
A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“xa”
D．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y”
变式1．(2023·黑龙江双鸭山·高一校考期中)完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工人，瓦工人，则请工人满足的关系式是( )
A．B．
C．D．
变式2．(2023·全国·高一专题练习)在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外(含100米)为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x(单位：厘米)应满足的不等式为( )
A．B．C．D．
变式3．(2023·安徽蚌埠·高一蚌埠二中校考开学考试)在数轴上点对应的数分别是，点在表示和的两点之间(包括这两点)移动，点在表示和0的两点(包括这两点)之间移动，则以下四个代数式的值，可能比2021大的是( )
A．B．
C．D．
题型二：作差法、作商法比较两数(式)的大小
例4．(2023·高一课时练习)比大小：_____．
例5．(2023·湖南郴州·高一校考阶段练习)已知，，则的大小关系是_______．
例6．(2023·四川成都·高一校考阶段练习)已知，，则与的大小关系为__________．
变式4．(2023·吉林长春·高一校考阶段练习)设、为实数，比较两式的值的大小：_______ (用符号或=填入划线部分)．
变式5．(2023·全国·高一专题练习)，则的大小关系为_______．
变式6．(2023·上海宝山·高一校考期中)如果，，那么，，从小到大的顺序是___________
题型三：利用不等式的性质判断命题真假
例7．(多选题)(2023·高一单元测试)如果满足，且，那么下列不等式中一定成立的是( )
A．B．
C．D．
例8．(多选题)(2023·全国·高一专题练习)下列命题为真命题的是( )
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
例9．(多选题)(2023·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校联考阶段练习)已知∈R，则下列结论正确的是( )
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
变式7．(多选题)(2023·湖南长沙·高一校联考阶段练习)下列不等式成立的是( )
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
变式8．(多选题)(2023·宁夏吴忠·高一统考期中)若是不为0的实数，且，则下列不等式一定成立的是( )
A．B．C．D．
变式9．(多选题)(2023·辽宁丹东·高一统考期末)若，，则下列不等式成立的是( )
A．B．
C．D．
题型四：利用不等式的性质证明不等式
例10．(2023·高一课时练习)证明下列不等式：
(1)已知，求证
(2)已知，求证：．
例11．(2023·河北石家庄·高一校考期中)(1)比较与的大小．
(2)已知，求证：；
例12．(2023·内蒙古呼和浩特·高一统考期中)证明不等式．
(1)，bd＞0，求证：；
(2)已知a＞b＞c＞0，求证：．
变式10．(2023·高一课时练习)阅读材料：
(1)若，且，则有
(2)若，则有．
请依据以上材料解答问题：
已知a，b，c是三角形的三边，求证：．
变式11．(2023·河北衡水·高一校考阶段练习)已知，，求，的取值范围．
题型五：利用不等式的性质比较大小
例13．(2023·高一课时练习)已知，则下列结论不正确的是( )
A．B．C．D．
例14．(2023·高一课时练习)若，则( )
A．B．C．D．
例15．(2023·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中)设、、为实数，且，则下列不等式正确的是( )
A．B．C．D．
变式12．(2023·福建泉州·高一校考期中)若，一定成立的是( )
A．B．
C．D．
变式13．(2023·全国·高一专题练习)已知，且，则下列结论中正确的是( )
A．B．
C．D．
变式14．(2023·安徽合肥·高一校考期末)下列命题为真命题的是()
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围
例16．(2023·高一课时练习)已知，则的取值范围是__________．
例17．(2023·江西赣州·高一上犹中学校考周测)若α，β满足，则的取值范围是______________
例18．(2023·贵州贵阳·高一校联考期中)已知，，则的取值范围是______.
变式15．(2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习)已知，，则的取值范围是______．
变式16．(2023·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考阶段练习)若，，则的取值范围是_________.
变式17．(2023·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考阶段练习)已知，则的取值范围是__________.
变式18．(2023·高一课时练习)若、满足，则的取值范围是______．
变式19．(2023·吉林·高一吉林毓文中学校考阶段练习)若实数，满足，则的取值范围为 __．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·四川眉山·高一眉山市彭山区第一中学校考期末)已知，，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
2．(2023·山东济宁·高一曲阜一中校考期末)已知，，则的范围是( )
A．B．C．D．
3．(2023·高一课时练习)下列各式中，不能判断其符号的是( )
A．B．C．D．
4．(2023·高一课时练习)若，则( )
A．B．C．D．
5．(2023·高一单元测试)设， ，则有( )
A． B．
C．D．
6．(2023·广西·高一校联考期中)下列命题为真命题的是( )
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
7．(2023·高一校考课时练习)下列说法中，错误的是( )
A．若，则一定有B．若，则
C．若，则D．若，则
8．(2023·江苏盐城·高一统考期中)设，，，则P，Q，R的大小顺序是( )
A．B．
C．D．
二、多选题
9．(2023·浙江·高一校联考期中)已知实数，则下列不等式正确的是( )
A．B．C．D．
10．(2023·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中学校考阶段练习)已知，则下列结论正确的为( )
A．若，则B．若，，则
C．若，则D．若，则
11．(2023·云南昆明·高一昆明一中统考期末)已知为实数，则( )
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
12．(2023·吉林长春·高一校考阶段练习)已知，，则下列不等式不正确的是( )
A．B．
C．D．
三、填空题
13．(2023·高一课时练习)已知均为实数，有下列说法:
①若，则;
②若，则;
③若，则;
④若，则.
其中，正确的结论是________.(填序号)
14．(2023·北京·高一北京市十一学校校考期末)已知对于实数，，满足，，则的最大值为______.
15．(2023·上海黄浦·高一上海外国语大学附属大境中学校考阶段练习)已知，有四个推理：①；②；③；④，其中正确的序号是_____．
16．(2023·青海玉树·高一校联考期末)已知，则__________．(填“＞”“＜”或“＝”)
四、解答题
17．(2023·全国·高一专题练习)用比较法证明以下各题：
(1)已知，．求证：．
(2)已知，．求证：．
18．(2023·全国·高一专题练习)已知，求的取值范围．
19．(2023·云南曲靖·高一会泽县实验高级中学校校考阶段练习)(1)用作差法比较多项式与的大小；
(2)已知，，判断与的大小关系，并证明.
20．(2023·高一单元测试)解答下列问题
(1)设，，，比较与的大小；
(2)已知，，求的取值范围.
21．(2023·广东江门·高一江门市第二中学校考期中)(1)已知克糖水中含有克糖，再添加克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立．
(2)东东和华华拿着钱去超市买糖，超市里面提供两种糖：种糖每千克元，种糖每千克元(两种糖价格不相等).东东买了相同质量的两种糖，华华买了相同价钱的两种糖.请问两人买到糖的平均价格分别是多少？谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.(物品的平均价格物品的总价钱物品的总质量)