专题18 函数的概念及其表示-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义

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知识点一：函数的概念
1、函数的定义
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数.
记作：，．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.
知识点诠释：
(1)A、B集合的非空性；(2)对应关系的存在性、唯一性、确定性；(3)A中元素的无剩余性；(4)B中元素的可剩余性。
2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；
②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.
3、区间的概念
(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
(2)无穷区间；
(3)区间的数轴表示．
区间表示：
； ；
； ；
； .
知识点二：函数的表示法
1、函数的三种表示方法：
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值.
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势.
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值.
2、分段函数：
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
知识点三：函数定义域的求法
(1)确定函数定义域的原则
①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.
②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.
③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合。
(2)抽象函数定义域的确定
所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则。在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内。
(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.
知识点四：函数值域的求法
实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：
观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；
配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；
判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；
换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.
求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.
【题型归纳目录】
题型一：函数的概念
题型二：给出解析式求函数的定义域
题型三：抽象函数求定义域
题型四：给出函数定义域求参数范围
题型五：同一函数的判断
题型六：给出自变量求函数值
题型七：求函数的值域
题型八： 求函数的解析式
题型九： 分段函数求值、不等式问题
题型十： 区间的表示与定义
【典例例题】
题型一：函数的概念
例1．(2023·江苏扬州·高一统考期中)下列对应是集合到集合的函数的是( )
A．，
B．，，
C．，
D．，
【答案】A
【解析】对于A选项，满足函数的定义，A选项正确；
对于B选项，集合A中取，在集合B中没有对应元素，故B选项错误；
对于C选项，集合A中取，在集合B中没有对应元素，故C选项错误；
对于D选项，集合A中当时，在集合B中都有两个元素与x对应，不满足函数的定义，故D选项错误.
故选：A．
例2．(2023·高一课时练习)下列说法不正确的是( )
A．圆的周长与其直径的比值是常量
B．任意凸四边形的内角和的度数是常量
C．发射升空的火箭高度与发射的时间之间是函数关系
D．某商品的广告费用与销售量之间是函数关系
【答案】D
【解析】对A，根据圆周长公式，其中为圆周长，为圆直径，故，为常量，故A正确；
对B，根据任意凸四边形内角和为，故B正确；
对C，受重力因素影响可知发射升空后火箭的高度与发射的时间之间是函数关系，故C正确；
对D，某商品的广告费用与销售量之间的关系不确定，不是函数关系，故D错误.
故选：D.
例3．(2023·高一课时练习)下列变量间为函数关系的是( )
A．匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程
B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系
C．一只60瓦的白炽灯在7小时内的耗电量与时间t的关系
D．生活质量与人的身体状况间的关系
【答案】C
【解析】对选项A：匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程是常量，不满足；
对选项B：某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系是依赖关系，不满足；
对选项C：耗电量与时间t的关系是，是确定的函数关系；
对选项D：生活质量与人的身体状况间的关系是依赖关系，不满足.
故选：C
变式1．(2023·湖南郴州·高一校考阶段练习)下列各函数图象中，不可能是函数的图象的是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于ABD选项，对于每个都有唯一对应的与之对应，ABD选项中的图象均为函数的图象；
对于C选项，存在，使得这个有两个与之对应，C选项中的图象不是函数的图象.
故选：C.
变式2．(2023·河南·高一校考阶段练习)下列图象中，表示函数关系的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据函数的定义知，一个有唯一的对应，由图象可看出，只有选项D的图象满足.
故选：D.
变式3．(2023·广西玉林·高一校考期末)设集合，.下列四个图象中能表示从集合到集合的函数关系的有( )
A．3个B．2个C．1个D．0个
【答案】C
【解析】①中：因为在集合中当时，
在中无元素与之对应，所以①不是；
②中：对于集合中的任意一个数，
在中都有唯一的数与之对应，所以②是；
③中：对应元素，所以③不是；
④中：当时，在中有两个元素与之对应，
所以④不是；
因此只有②满足题意，
故选：C.
变式4．(2023·上海·高一专题练习)下列等量关系中，是的函数的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对于A，当x＝0时，y＝±1，不符合函数的定义，故选项A错误；
对于B，当x＝1时，y＝±1，不符合函数的定义，故选项B错误；
对于C，满足函数的定义，故选项C正确；
对于D，当x＝2时，y＝±2，不符合函数的定义，故选项D错误.
故选：C.
题型二：给出解析式求函数的定义域
例4．(2023·高一课时练习)函数的定义域是( )
A．B．
C．D．或
【答案】A
【解析】的自变量需满足，所以定义域为，
故选：A
例5．(2023·广东佛山·高一佛山市荣山中学校考期中)函数的定义域为( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据函数形式可知，函数的定义需满足
，解得：且，
所以函数的定义域为.
故选：B
例6．(2023·高一单元测试)已知函数的定义域为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得，解得，故定义域为.
故选：B
变式5．(2023·江西九江·高一校考阶段练习)若代数式有意义，则实数( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为有意义，所以，所以，
所以或，即实数.
故选：C.
变式6．(2023·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末)若函数，则的定义域为( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】要使函数有意义，则，
则，解得：或，
所以函数的定义域为，
故选：B
变式7．(2023·福建泉州·高一福建省安溪第一中学校考阶段练习)已知等腰三角形的周长为40，设其底边长为ycm，腰长为xcm.则函数的定义域为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题知：，，
根据三角形三边关系得到，
所以函数的定义域为.
故选：A
变式8．(2023·高一课时练习)已知等腰三角形ABC的周长为10,且底边长y关于腰长x的函数关系为y=10-2x,则函数的定义域为( )
A．{x|x∈R}B．{x|x>0}
C．{x|0