江苏省连云港市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设为实数，，若，则的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合相等得到，解得即可.
【详解】因为，若，
所以，解得.
故选：A
2. 复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得解.
【详解】，
所以复数在复平面内所对应的点为，位于第四象限.
故选：D.
3. 若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（ ）
A. 能组成直角三角形B. 能组成锐角三角形
C. 能组成钝角三角形D. 不能组成三角形
【答案】B
【解析】
【分析】首先设的三边分别为，，，得到角为最大的角，再根据得到为锐角，即可得到答案.
【详解】由题知：设的三边分别为，，，
因为，所以角为最大的角.
因为，，
所以为锐角，故三角形为锐角三角形.
故选：B
4. 已知，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出，的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】因为，
所以，
，
又，所以，解得.
故选：B
5. 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和三个月以上六个月以下暂扣驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款.2024年3月以来，某地区交警查处酒后驾车和醉酒驾车共20人．如图，这是对这20人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据频率分布直方图求出频率，即可估计人数.
【详解】由频率分布直方图可知酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上的频率为，
所以样本中属于醉酒驾车的人数约为人.
故选：C
6. 已知为钝角，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用和差角的正弦公式将右边化简，结合平方关系求出，即可得解.
【详解】因为，
，
所以，
又为钝角，所以.
故选：D
7. 用油漆涂100个圆台形水桶（桶内外侧都要涂），桶口直径为，桶底直径为，母线长是．已知每平方米需用油漆，共需用油漆（精确到）（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆台侧面积公式求出，则一个桶需要涂漆面积为，进而求解.
【详解】，
，，
故一个桶需要涂漆面积为，
故个桶需要涂漆为：.
故选：C.
8. 在梯形中，为钝角，且，若为线段上一点，，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，取中点，因为，所以，以为轴建立直角坐标系，根据，得，从而计算.
【详解】根据题意，取中点，因为，所以，
以为轴建立直角坐标系，则，
设，，
则，
则
因为，则,
的，则，
且.
故选：B
关键点点睛：利用坐标法，根据，确定点的坐标，再坐标法计算数量积.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 一组样本数据如下：，则该组数据的（ ）
A. 极差为6B. 平均数为85
C. 方差为26D. 第80百分位数为87.5
【答案】AB
【解析】
【分析】根据极差，平均数，方差，百分位数的定义逐一计算即可.
【详解】对于A，极差为，故A正确；
对于B，平均数为，故B正确；
方差为
，故C错误；
对于D，，所以第80百分位数为，故D错误.
故选：AB.
10. 已知直线，平面，则下列结论正确的有（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据面面、线面平行、垂直的判定定理以及性质依次判断选项即可.
【详解】对于A，因为，由平面平行传递性可得，故A正确；
对于B，，则与可以平行，也可以相交，故B错误；
对于C，根据两个相交平面同时垂直于第三平面，则它们的交线垂直于第三平面，故C正确；
对于D，根据若一条直线与两个相交平面分别平行，则这条直线与两个平面的交线平行，故D正确；
故选：ACD
11. 在中，为的中点，为的中点，延长交线段于点，则（ ）
A. B.
C. 的面积为D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，由两边平方，并求出，即可求解；对于B，设，可得，根据三点共线的性质即可求解；对于C，根据为靠近的四等分点，为靠近的三等分点，可得，求即可；对于D，由，化简可得答案.
【详解】因为中，，
对于A，由题可得，因为为的中点，为的中点，所以，则
所以，故A正确；
对于B，由，设，所以，
因为，，三点共线，则，解得，则，所以，故B正确；
对于C，由于，所以为靠近的四等分点，由于，所以为靠近的三等分点，故
由于，，所以，则，
所以，故C不正确；
对于D, ，故D正确；
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，且，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式计算可得.
【详解】因为，且，
所以，当且仅当时取等号.
故答案为：
13. 在中，，若最短边的长为，则最长边的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】易得，则，再利用两角和的正切公式求出，即可得出最长边和最短边，再利用正弦定理即可得解.
【详解】由，，
得，所以，
，
所以，所以，所以，
故，为最长的边，
由，得，
则，
所以（舍去），
由正弦定理得，所以.
即最长边的长为.
故答案为：.
14. 已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，其中较大圆锥的体积是较小圆锥的体积的倍，若这两个圆锥的体积之和为，则球的体积为______．
【答案】##
【解析】
【分析】设圆锥与圆锥公共底面圆心为，两圆锥公共底面圆周上一点，底面半径，设球心为，球半径，根据圆锥的体积得到，再由，即可表示、，再由勾股定理得到与的关系，最后由圆锥的体积求出，即可求出球的体积.
【详解】
如图，设圆锥与圆锥公共底面圆心为，两圆锥公共底面圆周上一点，底面半径，设球心为，球的半径，
由，，
又，即，即，又，
所以，，
所以，又，所以，
又，
即，解得，
所以，即球的体积为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角的对边分别是，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；
（2）由余弦定理求出、，再由面积公式计算可得.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理可得，
即，
又，所以，所以，
又，所以.
【小问2详解】
由余弦定理，即，
又，解得（负值已舍去），
所以.
16. 已知三种不同的元件，其中元件正常工作的概率分别为，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响．
（1）用元件连接成系统（如左图），当元件都正常工作时，系统正常工作．求系统正常工作的概率；
（2）用元件连接成系统（如右图），当元件正常工作且中至少有一个正常工作时，系统正常工作．若系统正常工作概率为，求元件正常工作的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得；
（2）记元件正常工作为事件，系统正常工作为事件，则，根据相互独立事件的概率公式得到方程，解得即可.
【小问1详解】
记元件正常工作为事件，元件正常工作为事件，
系统正常工作为事件，则，，
所以；
【小问2详解】
记元件正常工作为事件，系统正常工作为事件，
则
，
解得，即元件正常工作概率为.
17. 如图，在正方体中，为棱的中点．

求证：（1）∥平面；
（2）平面⊥平面
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】(1)借助题设条件运用线面平行的判定定理推证；(2)借助题设运用面面垂直的判定定理推证.
【详解】（1）连交于，连，
因为为的中点，为的中点，所以
又平面平面，
所以平面
（2）因为平面，所以于，
所以平面，所以
同理可证，
又于，所以平面，
因为，所以平面，
又平面，
所以平面平面．
18. （1）已知，且．求的值；
（2）已知，且．求的值．
【答案】（1）.（2）.
【解析】
【分析】（1）把题目给的两角和看成一个整体，则，结合已知条件再运用和差公式化简求值即可.
（2）把看成一个整体，把条件变形为，再运用和差公式化简求值即可.
【详解】（1），，
，，
，，
.
故答案为：.
（2），
，即，
，又，
，
，即.
故答案为：.
19. 如图，已知各边长为4的五边形由正方形及等边三角形组成，现将沿折起，连接，得到四棱锥，且二面角的正切值为．
（1）求证：四棱锥为正四棱锥；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；
（3）若点是侧棱上的动点，现要经过点作四棱锥的截面，使得截面垂直于侧棱，试求截面面积的最大值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据过点作面，垂足为，取中点，连接，二面角的正切值为，验证的为正方形的对角线的交点，从而得证；
（2）利用空间直角坐标系计算平面与平面所成的锐二面角的余弦值；
（3）通过在图形中找到与垂直的平面，从而观察符合题意的截面，判断截面面积最大的情况，计算出面积；
【小问1详解】
证明：过点作面，垂足为，取中点，连接，如图所示，
是平面内两条相交直线，平面.
平面，，二面角的平面角为.
在等边三角形边长为4，根据勾股定理可得,
在直角三角形，.
因此为正方形中心，即正方形的对角线的交点，
又因为面，则.
因此四棱锥为正四棱锥.
【小问2详解】
由（1）可知，四棱锥为正四棱锥，如图所示，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，则
令，所以.
设平面的法向量为，则
令，所以.
设平面与平面所成角为，
所以
因此平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
【小问3详解】
若点是侧棱上动点，如图所示，
在等边三角形中，当为的中点时，.
是平面内两条相交直线，平面
可知，又因为是平面内两条相交直线，则平面.
现要经过点作四棱锥的截面，使得截面垂直于侧棱，
所以截面都与平面平行，当为的中点时，
截面面积的最大，此时.