2024河南中考数学复习 二次函数的对称性、增减性及最值 强化精练 (含答案)

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(1)求抛物线的对称轴；
(2)当t≤x≤t＋1时，抛物线的最小值为7，求t的值．
2. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋(2m－6)x＋1(a≠0)经过点(1，2m－4).
(1)求a的值；
(2)求抛物线的对称轴(用含m的式子表示)；
(3)点(－m，y1)，(m，y2)，(m＋2，y3)在抛物线上，若y2＜y3≤y1，求m的取值范围．
3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c 与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)点M是抛物线上一点，且到y轴的距离小于4，求出点M的纵坐标yM的取值范围；
(3)若M(3n－4，y1)，N(5n＋6，y2)分别为抛物线上在对称轴两侧的点，且y1＞y2，请直接写出n的取值范围．
第3题图
4. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于A(1，0)，B两点，与y轴交于点C，OC＝OB.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若D(m，y1)，E(n，y2)为抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)上两点(m＜n)，M为抛物线上点D和点E之间的动点(含点D，E)，点M的纵坐标的取值范围为－ eq \f(9,4) ≤yM≤3，求m＋n的值．
第4题图
参考答案与解析
1. 解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx－5经过点A(－1，0)，
∴(－1)2－b－5＝0，解得b＝－4，
∴抛物线的解析式为y＝x2－4x－5，
∴抛物线的对称轴为直线x＝－ eq \f(－4,2×1) ＝2；
(2)将x＝2代入抛物线y＝x2－4x－5中，得y＝22－4×2－5＝－9，
∵当t≤x≤t＋1时，抛物线的最小值为7,
∴t与t＋1在对称轴同侧，
①当t＜t＋1＜2时，即t＜1，
抛物线在t＋1处取得最小值，将x＝t＋1，代入y＝x2－4x－5中，得7＝(t＋1)2－4(t＋1)－5，解得t＝5(舍)或t＝－3，
②当2＜t＜t＋1时，t＞2，
∴在t处取得最小值，代入y＝x2－4x－5中，得7＝t2－4t－5，解得t＝6或t＝－2(舍)，
综上所述，t的值为－3或6.
2. 解：(1)∵抛物线y＝ax2＋(2m－6)x＋1经过点(1，2m－4)，
∴a＋(2m－6)＋1＝2m－4，
解得a＝1；
(2)∵a＝1，
∴y＝x2＋(2m－6)x＋1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝－ eq \f(2m－6,2×1) ＝3－m；
(3)当m＞0时，可知－m∵y2＜y3≤y1，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3－m＜\f(m＋m＋2,2),3－m≥\f(－m＋m＋2,2))) ，解得1＜m≤2；当m≤0时，∴m≤－m＜3－m，即(－m，y1)，(m，y2)皆在对称轴左侧，∴y2≥y1，不合题意，
综上，m的取值范围是1＜m≤2.
3. 解：(1) ∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1－b＋c＝0,－9＋3b＋c＝0)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝2,c＝3)) ，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，
∴y＝－(x－1)2＋4,
∴抛物线的顶点坐标为(1，4)；
(2)∵点M到y轴的距离小于4，∴－4＜x＜4，
∵－1＜0，且抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线的开口向下，
∴当x＝1时，抛物线y＝－x2＋2x＋3取得最大值，最大值为4；
当x＝－4时，y＝－21；当x＝4时，y＝－5，
∴点M的纵坐标yM的取值范围是－21＜yM≤4；
(3)0＜n＜ eq \f(5,3) .
【解法提示】当点M在对称轴直线x＝1的左侧，点N在对称轴直线x＝1的右侧时，由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3n－4＜1,5n＋6＞1)) ，解得－1＜n＜ eq \f(5,3) ，∵y1＞y2，∴1－(3n－4)＜5n＋6－1，解得n＞0，∴0＜n＜ eq \f(5,3) ；当点N在对称轴直线x＝1的左侧，点M在对称轴直线x＝1的右侧时，由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3n－4＞1,5n＋6＜1)) ，该不等式组无解．综上所述，n的取值范围为0＜n＜ eq \f(5,3) .
4. 解：(1)∵抛物线与y轴交于点C，
∴C(0，3)，
∵OC＝OB，
∴B(－3，0)，
将点B(－3，0)，A(1，0)代入抛物线y＝ax2＋bx＋3，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(9a－3b＋3＝0,a＋b＋3＝0)) ，
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1,b＝－2)) ，
∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3；
(2)∵点M纵坐标的取值范围为－ eq \f(9,4) ≤yM≤3，
∴将y＝－ eq \f(9,4) 代入抛物线解析式，得－x2－2x＋3＝－ eq \f(9,4) ，
解得x1＝－ eq \f(7,2) ，x2＝ eq \f(3,2) ，
得点(－ eq \f(7,2) ，－ eq \f(9,4) )，( eq \f(3,2) ，－ eq \f(9,4) )，
将y＝3代入抛物线解析式，得－x2－2x＋3＝3，
解得x3＝－2，x4＝0，
得点(－2，3)，(0，3)，
如解图①，∵m＜n，－ eq \f(9,4) ≤yM≤3，
∴m＝0，n＝ eq \f(3,2) ，
∴m＋n＝0＋ eq \f(3,2) ＝ eq \f(3,2) ，
如解图②，∵m＜n，－ eq \f(9,4) ≤yM≤3，
∴m＝－ eq \f(7,2) ，n＝－2，
∴m＋n＝－ eq \f(7,2) －2＝－ eq \f(11,2) ，
综上所述，m＋n＝ eq \f(3,2) 或－ eq \f(11,2) .

图① 图②
第4题解图
【解题关键点】
根据当t≤x≤t＋1时,抛物线的最小值为7判断出t与t＋1在抛物线对称轴的同侧是解题的关键．
【解题关键点】
分类讨论点M(或点N)在对称轴左侧或点M(或点N)在对称轴右侧．