2024河南中考数学复习 特殊三角形及其性质 强化精练 (含答案)

这是一份2024河南中考数学复习 特殊三角形及其性质 强化精练 (含答案)，共9页。

1. (2023眉山)如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为( )
A. 70° B. 100° C. 110° D. 140°
第1题图
2. (2023贵州)5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示)，它的顶角为120°，腰长为12 m，则底边上的高是( )
第2题图
A. 4 m B. 6 m C. 10 m D. 12 m
3. 如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，点E是AD延长线上一点，若AE＝AC，则∠AEC的度数为( )
A. 45° B. 60° C. 65° D. 75°
第3题图
4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°，AB＝8，则AD的长为( )
第4题图
A. 2 B. 2 eq \r(3) C. 4 D. 4 eq \r(3)
5. 如图，一根竹竿AB，斜靠在竖直的墙上，点P是AB中点，A′B′表示竹竿AB端沿墙向下滑动过程中的某个位置，则OP的长在竹竿AB滑动过程中的情况是( )
A. 下滑时，OP的长度增大
B. 上升时，OP的长度减小
C. 只要滑动，OP的长度就变化
D. 无论怎样滑动，OP的长度不变
第5题图
6. 如图，在3×4的正方形网格(每个小正方形的边长都是1)中，标记格点A，B，C，D，则下列线段长度为 eq \r(10) 的是( )

第6题图
A. 线段AB B. 线段BC
C. 线段AC D. 线段BD
7. (2023遂宁)若三角形三个内角的比为1∶2∶3，则这个三角形是________三角形．
8. (2023新疆维吾尔自治区)如图，在△ABC中，若AB＝AC，AD＝BD，∠CAD＝24°，则∠C＝________°.
第8题图
9. (2023江西)将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1 cm，3 cm，则线段AB的长为________ cm.
第9题图
10. 如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE＝________．
第10题图
11.如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，若AD＝2，则AB的长为________．
第11题图
12. (2023荆州)如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接DE，求证：CD＝CE.
第12题图
13. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE.
(1)判断DE与PD的位置关系，并说明理由；
第13题图
(2)若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长．
拔高题
14. (2023菏泽)△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋ eq \r(2a－b－3) ＋|c－3 eq \r(2) |＝0，则△ABC是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形
15. (2023济宁)如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于( )
A. 180°－α B. 180°－2α
C. 90°＋α D. 90°＋2α
第15题图
16. (2023凉山州)如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A，B分别在两条射线OM，ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是________．
第16题图
17. 如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，点P为AB上一个动点，将△APC沿直线CP折叠得到△QPC，点A的对应点为点Q，连接BQ，当△PBQ为直角三角形时，BQ的长为________．
第17题图
参考答案与解析
1. C 【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠A＝40°，∴∠B＝∠ACB＝ eq \f(180°－∠A,2) ＝ eq \f(180°－40°,2) ＝70°，∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠A＋∠B＝40°＋70°＝110°.
2. B 【解析】如解图，过点A作AD⊥BC于点D，∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝120°，∴∠B＝ eq \f(1,2) ×(180°－120°)＝30°，∴AD＝ eq \f(1,2) AB＝6 m.
第2题解图
3. D 【解析】∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴∠CAE＝30°，∵AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE＝ eq \f(180°－30°,2) ＝75°.
4. A 【解析】∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝90°＝∠ACB，∵∠B＝30°，∴∠A＝90°－∠B＝60°，∴∠ACD＝90°－∠A＝30°，∵AB＝8，∴AC＝ eq \f(1,2) AB＝4，∴AD＝ eq \f(1,2) AC＝2.
5. D 【解析】∵∠AOB＝90°，P为AB的中点，∴OP＝ eq \f(1,2) AB，即OP的长在竹竿AB滑动过程中始终保持不变．
6. B 【解析】由题图可得，AB＝ eq \r(12＋22) ＝ eq \r(5) ，BC＝ eq \r(12＋32) ＝ eq \r(10) ，AC＝ eq \r(12＋42) ＝ eq \r(17) ，BD＝ eq \r(22＋32) ＝ eq \r(13) ，∴线段长度为 eq \r(10) 的是线段BC.
7. 直角 【解析】设这个三角形三个内角依次为x，2x，3x，∵x＋2x＋3x＝180°，∴x＝30°，∴最大角为3x＝90°，故这个三角形是直角三角形．
8. 52 【解析】∵AB＝AC，AD＝BD，∴∠B＝∠C，∠B＝∠BAD，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝∠CAD＋∠BAD，∴180°－2∠C＝24°＋∠C，∴∠C＝52°.
9. 2 【解析】∵直尺的两对边相互平行，∴∠ACB＝∠α＝60°，∵∠A＝60°，∴∠ABC＝180°－∠ACB－∠A＝180°－60°－60°＝60°，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝3－1＝2(cm).
10. 3 【解析】∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，CD＝5，∴AB＝2CD＝10，∵∠ACB＝90°，AC＝8，∴根据勾股定理得：BC＝ eq \r(AB2－AC2) ＝6，∵E为AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝ eq \f(1,2) BC＝3.
11. 2 eq \r(3) ＋4 【解析】∵BD平分∠ABC，ED∥BC，∴∠EBD＝∠DBC＝∠EDB，∠AED＝∠ABC＝30°，∴EB＝ED，∵∠A＝90°，∴ED＝2AD＝4，AE＝ eq \r(3) AD＝2 eq \r(3) ，∴AB＝AE＋BE＝AE＋ED＝2 eq \r(3) ＋4.
12. 证明：如解图，∵BD为等边△ABC的中线，
∴BD⊥AC，∠1＝60°，
∴∠3＝30°.
∵BD＝DE，
∴∠E＝∠3＝30°，
∵∠2＋∠E＝∠1＝60°，
∴∠E＝∠2＝30°，
∴CD＝CE.
第12题解图
13. 解：(1)DE⊥PD，理由如下：
∵PD＝PA，
∴∠PDA＝∠A，
∵EF垂直平分BD，
∴ED＝EB，
∴∠EDB＝∠B，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°，
∴∠PDA＋∠EDB＝90°，
∴∠PDE＝90°，
∴DE⊥PD；
(2)如解图，连接PE，
∵AC＝6，BC＝8，PA＝2，
∴CP＝AC－PA＝4，PD＝PA＝2，
设DE＝BE＝x，
则CE＝8－x，
在Rt△PEC中，根据勾股定理，得PE2＝42＋(8－x)2，
在Rt△PDE中，根据勾股定理，得PE2＝22＋x2，
∴42＋(8－x)2＝22＋x2，
解得x＝ eq \f(19,4) ，
∴DE＝ eq \f(19,4) .
第13题解图
14. D 【解析】由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（a－b）2≥0,\r(2a－b－3)≥0,|c－3\r(2)|≥0)) ，要满足(a－b)2＋ eq \r(2a－b－3) ＋|c－3 eq \r(2) |＝0，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－b＝0,2a－b－3＝0,c－3\r(2)＝0)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝3,b＝3,c＝3\r(2))) ，∵a2＋b2＝c2，且a＝b，∴△ABC为等腰直角三角形．
15. C 【解析】如解图，过B点作BG∥CD，连接EG，∵BG∥CD，∴∠ABG＝∠CFB＝α.∵BG2＝12＋42＝17，BE2＝12＋42＝17，EG2＝32＋52＝34，∴BG2＋BE2＝EG2，∴△BEG是直角三角形，且∠GBE＝90°，∴∠ABE＝∠GBE＋∠ABG＝90°＋α.
第15题解图
16. 1＋ eq \r(3) 【解析】如解图，取AB的中点D，连接OD，DC，∴OC≤OD＋DC，当O，D，C三点共线时，OC有最大值，最大值是OD＋CD，∵△ABC为等边三角形，D为AB中点，∴BD＝1，BC＝2，∴CD＝ eq \r(BC2－BD2) ＝ eq \r(3) ，∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，∴OD＝ eq \f(1,2) AB＝1，∴OD＋CD＝1＋ eq \r(3) ，即OC的最大值为1＋ eq \r(3) .
第16题解图
17. 2或 eq \r(10) 【解析】∵∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，∴BC＝ eq \r(AC2＋AB2) ＝ eq \r(32＋42) ＝5，由折叠得QC＝AC＝3，PQ＝PA，∠PQC＝∠A＝90°，如解图①，△PBQ为直角三角形，且∠PQB＝90°，∴∠PQC＋∠PQB＝180°，∴B，Q，C三点共线，∴点Q在BC上，∴BQ＝BC－QC＝5－3＝2；如解图②，△PBQ为直角三角形，且∠BPQ＝90°，∴∠APQ＝90°，∵∠PQC＝∠A＝∠APQ＝90°，∴四边形PACQ是矩形，∵PQ＝PA，∴四边形PACQ是正方形，∴PQ＝PA＝AC＝3，∴PB＝AB－PA＝4－3＝1，∴BQ＝ eq \r(PB2＋PQ2) ＝ eq \r(12＋32) ＝ eq \r(10) ；当点Q在△ABC内部或点Q在BC边上时，∠PBQ≤∠ABC，∴∠PBQ是锐角；当点Q在△ABC外部时，观察图形可知∠PBQ是锐角，∴△PBQ不能是以∠PBQ为直角的直角三角形，综上所述，BQ的长为2或 eq \r(10) .
第17题解图
【解题关键点】
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【解题关键点】
关键点一：A,B中点的轨迹在以O为圆心,AB长为半径的圆弧上；
关键点二：利用三角形的三边关系解题．