2024河南中考数学复习微专题 一线三等角模型 课件

这是一份2024河南中考数学复习微专题 一线三等角模型 课件，共25页。PPT课件主要包含了模型及方法类，∠1＝∠2＝∠3，△APC∽△BDP，第3题图，第4题图，第5题图，第5题图③等内容，欢迎下载使用。

微专题3　一线三等角模型(9年3考)
1．如图，一线三等角模型的特点有：(1)∠1，∠2，∠3的顶点在同一条直线上；(2)∠1，∠2，∠3之间的关系是________________．
2．一线三等角模型的结论：(1)△APC和△BDP的关系是________________；(2)若在(1)中的条件下，增加条件____________________________，可以得到△APC≌△BDP.
CP＝PD或AP＝BD或AC＝BP
1. (北师八下P35第17题改编)如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，连接DE，EF，且∠DEF＝60°.若BD＝4，E为BC的中点，求CF的长．
2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝10，点E是CD边上一点，连接BE，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上的点F处，求FE的长．
(1)若图中存在一条直线上有一个直角时，根据一线三等角的特点，从直角的两边上的已知点向直角顶点所在直线作垂线，构造一线三等角模型；
(2)若图中存在一条线上有两个等角时，根据一线三等角的特点，补上一个与前两个角相等的角．
3. (人教八下P69第14题改编)如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E是BC上一点，连接DE，将线段DE绕点E逆时针旋转90°得到线段EF，连接BF，BE＝4.(1)求△BEF的面积；
由旋转的性质可得∠DEF＝90°，DE＝EF，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝6，∠C＝90°，∵∠DEC＋∠CDE＝90°，∠DEC＋∠GEF＝90°，∴∠CDE＝∠GEF.
解：(1)如图，过点F作FG⊥BC交CB的延长线于点G，则∠FGE＝90°，
在△CDE和△GEF中，∴△CDE≌△GEF(AAS)，∴CE＝GF.∵BE＝4，∴CE＝BC－BE＝2，∴GF＝CE＝2，∴S△BEF＝ BE·GF＝ ×4×2＝4；
(2)由(1)知：△CDE≌△GEF，FG＝EC＝2，GE＝CD＝6，∵BE＝4，∴BG＝2，∴BG＝FG，∵∠FGB＝90°，∴∠FBG＝∠GFB＝45°，∵∠ABG＝90°，∴∠FBA＝45°.
(2)求∠FBA的度数．
4. 如图，点D，C，E在直线l上，点A，B在l的同侧，AC⊥BC，若AD＝AC＝BC＝BE＝5，CD＝6，求CE的长．
解：如图，过点A作AG⊥CD于点G，过点B作BH⊥CE于点H，
在△ACG和△CBH中，∴△ACG≌△CBH(AAS)，∴CH＝AG＝4.∵BC＝BE，BH⊥CE，∴CE＝2CH＝8.
5. 如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，点E是AB边上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC边于点F，且∠EFD＝60°，求AE的长．
解：解法一：如图，延长BC至点G，连接DG，使∠G＝60°，
∵∠EFD＝60°，∠DEF＝90°，∴DF＝ ＝2EF，∴ ＝ ＝ ＝ ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD＝3，∴∠DCG＝∠B＝∠G＝60°，∴△DCG是等边三角形，∴CG＝DG＝CD＝3，∴ ＝ ＝ ，∴BF＝ ，∴BE＝ ，∴AE＝AB－BE＝ .
∵∠MEF＋∠DEN＝∠NDE＋∠DEN＝90°，∴∠MEF＝∠NDE，∵∠EMF＝∠DNE＝90°，∴△EMF∽△DNE，∵四边形ABCD为平行四边形，∠B＝60°，∴AD∥BC，AD＝BC＝4，∴∠NAD＝∠B＝60°，∴AN＝ AD＝2，DN＝ AD＝2 ，
解法二：如图，过点F作FM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB，交BA的延长线于点N，
∵∠EFD＝60°，∠DEF＝90°，∴ ＝ ，∴ ＝ ＝ ＝ ，∴EM＝2，设AE＝x，则BM＝AB－AE－EM＝1－x，NE＝AN＋AE＝2＋x，在Rt△BMF中，MF＝ BM＝ － x，∴ ＝ ，解得x＝ ，∴AE＝ .
1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，则CE的长为______．
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，点E在AC边上，点F在BC的延长线上，且∠EDF＝∠A＝45°，连接EF.若AE＝2，CF＝3，则EF的长为________．
3. (人教八上P52第7题改编)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E.求证：DE＝BD＋CE.
证明：∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，
在△BDA和△AEC中，∴△BDA≌△AEC(AAS)，∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AE＋DA＝BD＋CE.
4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝ ，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得点C落到矩形内点F的位置，连接AF，若tan∠BAF＝ ，求CE的长．
解：如图，过点F作MN∥AD，分别交AB，CD于点M，N，则MN⊥AB，MN⊥CD.
由折叠的性质得，EC＝EF，BC＝BF＝ ，∠C＝∠BFE＝90°.∵tan∠BAF＝ ＝ ，设FM＝x，则AM＝2x，BM＝4－2x.
在Rt△BFM中，由勾股定理得x2＋(4－2x)2＝( )2，解得x1＝1，x2＝ ＞2(舍去)，∴FM＝1，AM＝BM＝2，∴FN＝ －1，易证△BMF∽△FNE，∴ ＝ ，即 ＝ ，解得FE＝ ，∴CE＝ .
5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是线段BC上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交CD于点F.(1)如图①，求证：△ABE∽△ECF；
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°.∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠AEB＋∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE∽△ECF；
则EH∥AB，∴ ＝ .解得EH＝ ，
(2)如图②，连接AC交EF于点G.若BE＝3，求EG的长；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°.由(1)得△ABE∽△ECF，∴ ＝ ，∵AB＝6，BE＝3，BC＝8，∴ ＝ ，解得CF＝ ，
如图，过点E作EH⊥BC交AC于点H，
又∵EH∥CF，∴△CGF∽△HGE，∴ ＝ ，在Rt△ECF中，EF＝ ＝ ，设EG＝x，则FG＝ －x，∵ ＝ ，即 ＝ ，解得x＝ ，即解得EG＝ ；
(3)如图③，连接AC，过点C作CH⊥AC，交EF的延长线于点H.若点E是BC的中点，求CH的长．
(3)解：如图，过点H作HN⊥BC，交BC的延长线于点N.