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    高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)考向08函数的奇偶性、周期性与对称性(重点)(原卷版+解析)
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    高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)考向08函数的奇偶性、周期性与对称性(重点)(原卷版+解析)

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    这是一份高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)考向08函数的奇偶性、周期性与对称性(重点)(原卷版+解析),共55页。

    【2022年新高考全国Ⅰ卷】(多选题)已知函数及其导函数的定义域均为,记,若,均为偶函数,则( )
    A.B.C.D.
    答案:BC
    【解析】
    分析:
    转化题设条件为函数的对称性,结合原函数与导函数图象的关系,根据函数的性质逐项判断即可得解.
    【详解】
    因为,均为偶函数,
    所以即,,
    所以,,则,故C正确;
    函数,的图象分别关于直线对称,
    又,且函数可导,
    所以,
    所以,所以,
    所以,,故B正确,D错误;
    若函数满足题设条件,则函数(C为常数)也满足题设条件,所以无法确定的函数值,故A错误.
    故选:BC.
    【点睛】
    关键点点睛:解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质,准确把握原函数与导函数图象间的关系,准确把握函数的性质(必要时结合图象)即可得解.
    【2022年新高考全国II卷】已知函数的定义域为R,且,则( )
    A.B.C.0D.1
    答案:A
    【解析】
    分析:
    根据题意赋值即可知函数的一个周期为,求出函数一个周期中的的值,即可解出.
    【详解】
    因为,令可得,,所以,令可得,,即,所以函数为偶函数,令得,,即有,从而可知,,故,即,所以函数的一个周期为.
    因为,,,,,所以
    一个周期内的.由于22除以6余4,
    所以.
    故选:A.
    1.奇偶性技巧
    (1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
    (2)奇偶函数的图象特征.
    函数是偶函数函数的图象关于轴对称;
    函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.
    (3)若奇函数在处有意义,则有;
    偶函数必满足.
    (4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反;奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
    (5)若函数的定义域关于原点对称,则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记,,则.
    (6)运算函数的奇偶性规律:运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数,如.
    对于运算函数有如下结论:奇奇=奇;偶偶=偶;奇偶=非奇非偶;
    奇奇=偶;奇偶=奇;偶偶=偶.
    (7)复合函数的奇偶性原来:内偶则偶,两奇为奇.
    (8)常见奇偶性函数模型
    奇函数: = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数或函数.
    = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数.
    = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数或函数
    = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函数或函数.
    注意:关于 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式,可以写成函数或函数.
    偶函数: = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数.
    = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数.
    = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数类型的一切函数.
    ④常数函数
    2.周期性技巧
    3.函数的的对称性与周期性的关系
    (1)若函数有两条对称轴,,则函数是周期函数,且;
    (2)若函数的图象有两个对称中心,则函数是周期函数,且;
    (3)若函数有一条对称轴和一个对称中心,则函数是周期函数,且.
    4.对称性技巧
    (1)若函数关于直线对称,则.
    (2)若函数关于点对称,则.
    (3)函数与关于轴对称,函数与关于原点对称.
    1.(1)如果一个奇函数在原点处有定义,即有意义,那么一定有.
    (2)如果函数是偶函数,那么.
    2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性
    3.函数周期性常用结论
    对定义域内任一自变量的值:
    (1)若,则.
    (2)若,则.
    (3)若,则.
    4.对称性的三个常用结论
    (1)若函数是偶函数,则函数的图象关于直线对称.
    (2)若对于上的任意都有或,则的图象关于直线对称.
    (3)若函数是奇函数,则函数的图象关于点中心对称.
    5.两个奇偶函数四则运算的性质
    (1)两个奇函数的和仍为奇函数;
    (2)两个偶函数的和仍为偶函数;
    (3)两个奇函数的积是偶函数;
    (4)两个偶函数的积是偶函数;
    (5)一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。
    1.函数的奇偶性
    函数奇偶性的定义及图象特点
    判断与的关系时,也可以使用如下结论:如果或,则函数为偶函数;如果或,则函数为奇函数.
    注意:由函数奇偶性的定义可知,函数具有奇偶性的一个前提条件是:对于定义域内的任意一个,也在定义域内(即定义域关于原点对称).
    2.函数的对称性
    (1)若函数为偶函数,则函数关于对称.
    (2)若函数为奇函数,则函数关于点对称.
    (3)若,则函数关于对称.
    (4)若,则函数关于点对称.
    3.函数的周期性
    (1)周期函数:
    对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的任何值时,都有,那么就称函数为周期函数,称为这个函数的周期.
    (2)最小正周期:
    如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数,那么称这个最小整数叫做的最小正周期.
    1.(2023·全国·模拟预测(理))若幂函数满足,则下列关于函数的说法正确的是( )
    ①不是周期函数 ②是单调函数 ③关于原点对称 ④关于点对称
    A.①③B.②④C.①④D.②③
    2.(2023·吉林吉林·模拟预测(文))定义在R上的函数满足,且函数为奇函数.当时,,则( )
    A.-2B.2C.3D.
    3.(2023·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测(文))已知函数,若,则( )
    A.B.C.D.
    4.(2023·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模(文))若函数满足,且当时,,则( )
    A.B.10C.4D.2
    5.(2023·江西省丰城中学模拟预测(文))已知定义域为的奇函数,则的值为( )
    A.0B.1C.2D.不能确定
    6.(2023·青海·海东市第一中学模拟预测(理))已知函数,若是奇函数,则实数a=______.
    7.(2023·全国·模拟预测)已知函数,①,②,请写出一个同时满足条件①②的函数的解析式为______.
    1.(2023·上海·位育中学模拟预测)定义在 上的任意函数 都可以表示成一个奇函数 和一个偶函数 之和,若 , 则( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    2.(2023·全国·模拟预测(理))已知定义在上的函数,对任意的,都有,且,则下列说法正确的是( )
    A.是以2为周期的偶函数B.是以2为周期的奇函数
    C.是以4为周期的偶函数D.是以4为周期的奇函数
    3.(2023·河南·开封市东信学校模拟预测(文))已知是上的奇函数,当时,,则满足的m的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    4.(2023·全国·模拟预测)已知定义在R上的函数满足,且是奇函数,则( )
    A.是偶函数B.的图象关于直线对称
    C.是奇函数D.的图象关于点对称
    5.(2023·贵州·贵阳一中模拟预测(文))已知函数是偶函数,且函数的图象关于点(1,0)对称,当时,则( )
    A.B.C.0D.2
    6.(2023·湖南·雅礼中学二模)函数的定义域为,若是奇函数,是偶函数,则( )
    A.是奇函数B.是偶函数
    C.D.
    7.(2023·重庆八中模拟预测)定义域为的偶函数,满足.设,若是偶函数,则( )
    A.B.C.2021D.2022
    8.(2023·重庆市涪陵高级中学校模拟预测)定义在R上的奇函数满足,当时,,则( )
    A.4B.6C.8D.10
    9.(2023·海南海口·二模)已知函数是定义在上的奇函数,函数的图象关于直线对称,若,则( )
    A.B.C.D.
    10.(2023·河南省兰考县第一高级中学模拟预测(理))已知定义在上的函数在上单调递增,若,且函数为偶函数,则不等式的解集为( )
    A.B.
    C.D.
    11.(2023·辽宁·抚顺市第二中学三模)函数是R上的奇函数,函数图像与函数关于对称,则( )
    A.0B.-1C.2D.1
    12.(2023·广西·南宁三中二模(文))若函数的图象关于直线对称,则_______.
    13.(2023·山东·胜利一中模拟预测)已知函数满足对任意恒成立,又函数的图象关于点对称,且,则_________.
    14.(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟预测)已知是定义在上的函数,若对任意,都有,且函数的图像关于直线对称,,则_______.
    15.(2023·湖南·邵阳市第二中学模拟预测)已知函数,若不等式对恒成立,则实数的取值范围______.
    16.(2023·全国·哈师大附中模拟预测(文))已知函数(其中是自然对数的底数),若在平面直角坐标系中,所有满足的点都不在直线上,则直线的方程可以是__________(写出满足条件一个直线的方程即可).
    17.(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数,给出定义:设是函数的导数,是的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”,同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且拐点就是对称中心,若,请你根据这一发现,求:(1)函数的对称中心为___________;(2)计算___________.
    1.(2023·全国·高考真题)已知函数的定义域为R,且,则( )
    A.B.C.0D.1
    2.(2023·全国·高考真题(理))已知函数的定义域均为R,且.若的图像关于直线对称,,则( )
    A.B.C.D.
    3.(2023·全国·高考真题)已知函数的定义域为,为偶函数,为奇函数,则( )
    A.B.C.D.
    4.(2023·全国·高考真题(理))设函数的定义域为R,为奇函数,为偶函数,当时,.若,则( )
    A.B.C.D.
    5.(2023·全国·高考真题(文))设是定义域为R的奇函数,且.若,则( )
    A.B.C.D.
    6.(2023·全国·高考真题(理))设函数,则下列函数中为奇函数的是( )
    A.B.C.D.
    7.(2023·海南·高考真题)若定义在的奇函数f(x)在单调递减,且f(2)=0,则满足的x的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.
    8.(2023·全国·高考真题(文))已知函数f(x)=sinx+,则()
    A.f(x)的最小值为2B.f(x)的图象关于y轴对称
    C.f(x)的图象关于直线对称D.f(x)的图象关于直线对称
    9.(多选题)(2023·全国·高考真题)已知函数及其导函数的定义域均为,记,若,均为偶函数,则( )
    A.B.C.D.
    10.(2023·全国·高考真题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______.
    ①;②当时,;③是奇函数.
    11.(2023·全国·高考真题)已知函数是偶函数,则______.
    12.(2023·全国·高考真题(理))关于函数f(x)=有如下四个命题:
    ①f(x)的图象关于y轴对称.
    ②f(x)的图象关于原点对称.
    ③f(x)的图象关于直线x=对称.
    ④f(x)的最小值为2.
    其中所有真命题的序号是__________.
    13.(2023·全国·高考真题(文))若是奇函数,则_____,______.
    1.答案:C
    【解析】∵,即,则
    构建,则
    令,则
    在上单调递减,在上单调递增
    则当且仅当时等号成立
    ∴,则,
    若是周期函数,则存在非零实数,使得对任意的总成立,
    但时,无意义,,故两者不相等,故不是周期函数,
    ①正确;
    不是单调函数,②错误;
    ,不是奇函数,③错误;
    关于点对称,④正确;
    故选:C.
    2.答案:D
    【解析】由可得,函数关于对称,函数为奇函数,所以,所以函数关于对称,则有,即,又,
    ,的周期为4.
    .
    故选:D.
    3.答案:A
    【解析】令,
    ,是R上的奇函数,,即,
    又,所以.
    故选:A.
    4.答案:B
    【解析】解:由,得,
    ∴函数是周期函数,且4是它的一个周期,
    又当时,,
    ∴;
    故选:B.
    5.答案:A
    【解析】依题意得,解得,
    由,得,
    所以.
    故选:A.
    6.答案:1
    【解析】由题意,,即,
    所以,化简得,解得.
    故答案为:1
    7.答案:
    【解析】由①知的图象关于直线对称,由②知为偶函数,所以,故为周期为2的周期函数,符合该条件的函数可以为.
    故答案为:(答案不唯一,只要符合条件即可)
    1.答案:C
    【解析】设,
    则,
    因为为奇函数,为偶函数,化简得:
    ,解得:
    .
    故选:C.
    2.答案:D
    【解析】即①,
    在①中将变换为,则,则,
    又因为,所以,所以②,
    在②将变换为,所以,所以,
    所以的周期为.
    因为,所以,
    所以为奇函数.
    故选:D.
    3.答案:D
    【解析】因为函数在上均为减函数,
    ∴在上为减函数.又,且是上的奇函数,∴在上为减函数.
    又,得或,解得或.
    所以实数m的取值范围是.
    故选:D.
    4.答案:C
    【解析】由可得2是函数的周期,
    因为是奇函数,所以函数的图象关于点对称,
    所以,,所以是奇函数,
    故选:C.
    5.答案:B
    【解析】根据题意,函数是偶函数,
    则函数的对称轴为,
    则有,
    又由函数的图象关于点成中心对称,
    则,
    则有,即,
    变形可得,
    则函数是周期为8的周期函数,

    故选:B.
    6.答案:B
    【解析】因为是奇函数,
    ∴,
    ∵是偶函数,
    ∴,即,

    则,即周期为8;
    另一方面,
    ∴,即是偶函数.
    故选:B.
    7.答案:C
    【解析】∵,
    ∴,又为偶函数,
    ∴,即,
    ∴,又是定义域为R偶函数,
    ∴,
    ∴周期为4,又,
    ∴,
    ∴.
    故选:C.
    8.答案:A
    【解析】因为,且为奇函数,
    所以,
    所以,
    故为周期为8的周期函数,
    所以
    又当时,,
    所以,
    所以,
    故选:A
    9.答案:B
    【解析】因为的图象关于对称,则是偶函数,
    ,且,
    所以,对任意的恒成立,所以,,
    因为且为奇函数,所以,,
    因此,.
    故选:B.
    10.答案:D
    【解析】因为函数为偶函数,则,故函数的图象关于直线对称,
    因为函数在上单调递增,故函数在上单调递减,
    因为,则,
    所以,由可得,由可得或,
    解不等式,可得或,解得或,
    故不等式的解集为.
    故选:D.
    11.答案:C
    【解析】函数是R上的奇函数,则
    设,则,则函数的图像关于点对称
    函数图像与函数关于对称,
    所以函数的图像关于对称,所以
    故选:C
    12.答案:7
    【解析】由题意,即,
    所以,即,解得,
    此时,
    ,满足题意.
    所以,.
    故答案为:7.
    13.答案:
    【解析】因为函数满足对任意恒成立,
    所以令,即,解得,所以对任意恒成立,
    又函数的图象关于点对称,将函数向右平移个单位得到,
    所以关于点,即为上的奇函数,所以,
    又对任意恒成立,令,得,
    即,再令,得,分析得,
    所以函数的周期为,因为,所以在中,
    令,得,所以.
    故答案为:.
    14.答案:3
    【解析】因为函数的图像关于直线对称,所以函数的图像关于直线对称,即函数是偶函数,则有;
    因为对任意,都有,
    令,得,
    所以对任意,都有,即函数的周期为,
    则,
    故答案为:.
    15.答案:
    【解析】,
    因为在上为增函数,
    所以在上为增函数,
    因为,
    所以可化为,
    因为在上为增函数,
    所以对恒成立,
    所以对恒成立,
    因为,所以,当且仅当,即时取等号,
    所以,即实数的取值范围,
    故答案为:
    16.答案:(不唯一)
    【解析】在上单调递增,
    ,,
    曲线关于点中心对称,
    在平面直角坐标系中,所有满足即的点都不在直线上.
    所以,直线上的点都满足,即直线在表示的半平面内,
    故直线斜率为,纵截距小于等于2,如等.
    故答案为:(不唯一)
    17.答案:
    【解析】(1),,
    令,解得,
    ∴,
    ∴函数的对称中心为;
    (2)∵的对称中心为,
    ∴,
    ∴,

    故答案为:(1);(2).
    1.答案:A
    【解析】因为,令可得,,所以,令可得,,即,所以函数为偶函数,令得,,即有,从而可知,,故,即,所以函数的一个周期为.
    因为,,,,,所以
    一个周期内的.由于22除以6余4,
    所以.
    故选:A.
    2.答案:D
    【解析】因为的图像关于直线对称,
    所以,
    因为,所以,即,
    因为,所以,
    代入得,即,
    所以,
    .
    因为,所以,即,所以.
    因为,所以,又因为,
    联立得,,
    所以的图像关于点中心对称,因为函数的定义域为R,
    所以
    因为,所以.
    所以.
    故选:D
    3.答案:B
    【解析】因为函数为偶函数,则,可得,
    因为函数为奇函数,则,所以,,
    所以,,即,
    故函数是以为周期的周期函数,
    因为函数为奇函数,则,
    故,其它三个选项未知.
    故选:B.
    4.答案:D
    【解析】因为是奇函数,所以①;
    因为是偶函数,所以②.
    令,由①得:,由②得:,
    因为,所以,
    令,由①得:,所以.
    思路一:从定义入手.
    所以.
    思路二:从周期性入手
    由两个对称性可知,函数的周期.
    所以.
    故选:D.
    5.答案:C
    【解析】由题意可得:,
    而,
    故.
    故选:C.
    6.答案:B
    【解析】由题意可得,
    对于A,不是奇函数;
    对于B,是奇函数;
    对于C,,定义域不关于原点对称,不是奇函数;
    对于D,,定义域不关于原点对称,不是奇函数.
    故选:B
    7.答案:D
    【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减,且,
    所以在上也是单调递减,且,,
    所以当时,,当时,,
    所以由可得:
    或或
    解得或,
    所以满足的的取值范围是,
    故选:D.
    8.答案:D
    【解析】可以为负,所以A错;
    关于原点对称;
    故B错;
    关于直线对称,故C错,D对
    故选:D
    9.答案:BC
    【解析】因为,均为偶函数,
    所以即,,
    所以,,则,故C正确;
    函数,的图象分别关于直线对称,
    又,且函数可导,
    所以,
    所以,所以,
    所以,,故B正确,D错误;
    若函数满足题设条件,则函数(C为常数)也满足题设条件,所以无法确定的函数值,故A错误.
    故选:BC.
    10.答案:(答案不唯一,均满足)
    【解析】取,则,满足①,
    ,时有,满足②,
    的定义域为,
    又,故是奇函数,满足③.
    故答案为:(答案不唯一,均满足)
    11.答案:1
    【解析】因为,故,
    因为为偶函数,故,
    时,整理得到,
    故,
    故答案为:1
    12.答案:②③
    【解析】对于命题①,,,则,
    所以,函数的图象不关于轴对称,命题①错误;
    对于命题②,函数的定义域为,定义域关于原点对称,

    所以,函数的图象关于原点对称,命题②正确;
    对于命题③,,
    ,则,
    所以,函数的图象关于直线对称,命题③正确;
    对于命题④,当时,,则,
    命题④错误.
    故答案为:②③.
    13.答案: ; .
    【解析】因为函数为奇函数,所以其定义域关于原点对称.
    由可得,,所以,解得:,即函数的定义域为,再由可得,.即,在定义域内满足,符合题意.
    故答案为:;.
    奇偶性
    定义
    图象特点
    偶函数
    如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数就叫做偶函数
    关于轴对称
    奇函数
    如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数就叫做奇函数
    关于原点对称
    考向08 函数的奇偶性、周期性与对称性
    【2022年新高考全国Ⅰ卷】(多选题)已知函数及其导函数的定义域均为,记,若,均为偶函数,则( )
    A.B.C.D.
    答案:BC
    【解析】
    分析:
    转化题设条件为函数的对称性,结合原函数与导函数图象的关系,根据函数的性质逐项判断即可得解.
    【详解】
    因为,均为偶函数,
    所以即,,
    所以,,则,故C正确;
    函数,的图象分别关于直线对称,
    又,且函数可导,
    所以,
    所以,所以,
    所以,,故B正确,D错误;
    若函数满足题设条件,则函数(C为常数)也满足题设条件,所以无法确定的函数值,故A错误.
    故选:BC.
    【点睛】
    关键点点睛:解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质,准确把握原函数与导函数图象间的关系,准确把握函数的性质(必要时结合图象)即可得解.
    【2022年新高考全国II卷】已知函数的定义域为R,且,则( )
    A.B.C.0D.1
    答案:A
    【解析】
    分析:
    根据题意赋值即可知函数的一个周期为,求出函数一个周期中的的值,即可解出.
    【详解】
    因为,令可得,,所以,令可得,,即,所以函数为偶函数,令得,,即有,从而可知,,故,即,所以函数的一个周期为.
    因为,,,,,所以
    一个周期内的.由于22除以6余4,
    所以.
    故选:A.
    1.奇偶性技巧
    (1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
    (2)奇偶函数的图象特征.
    函数是偶函数函数的图象关于轴对称;
    函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.
    (3)若奇函数在处有意义,则有;
    偶函数必满足.
    (4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反;奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
    (5)若函数的定义域关于原点对称,则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记,,则.
    (6)运算函数的奇偶性规律:运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数,如.
    对于运算函数有如下结论:奇奇=奇;偶偶=偶;奇偶=非奇非偶;
    奇奇=偶;奇偶=奇;偶偶=偶.
    (7)复合函数的奇偶性原来:内偶则偶,两奇为奇.
    (8)常见奇偶性函数模型
    奇函数: = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数或函数.
    = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数.
    = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数或函数
    = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函数或函数.
    注意:关于 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式,可以写成函数或函数.
    偶函数: = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数.
    = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数.
    = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数类型的一切函数.
    ④常数函数
    2.周期性技巧
    3.函数的的对称性与周期性的关系
    (1)若函数有两条对称轴,,则函数是周期函数,且;
    (2)若函数的图象有两个对称中心,则函数是周期函数,且;
    (3)若函数有一条对称轴和一个对称中心,则函数是周期函数,且.
    4.对称性技巧
    (1)若函数关于直线对称,则.
    (2)若函数关于点对称,则.
    (3)函数与关于轴对称,函数与关于原点对称.
    1.(1)如果一个奇函数在原点处有定义,即有意义,那么一定有.
    (2)如果函数是偶函数,那么.
    2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性
    3.函数周期性常用结论
    对定义域内任一自变量的值:
    (1)若,则.
    (2)若,则.
    (3)若,则.
    4.对称性的三个常用结论
    (1)若函数是偶函数,则函数的图象关于直线对称.
    (2)若对于上的任意都有或,则的图象关于直线对称.
    (3)若函数是奇函数,则函数的图象关于点中心对称.
    5.两个奇偶函数四则运算的性质
    (1)两个奇函数的和仍为奇函数;
    (2)两个偶函数的和仍为偶函数;
    (3)两个奇函数的积是偶函数;
    (4)两个偶函数的积是偶函数;
    (5)一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。
    1.函数的奇偶性
    函数奇偶性的定义及图象特点
    判断与的关系时,也可以使用如下结论:如果或,则函数为偶函数;如果或,则函数为奇函数.
    注意:由函数奇偶性的定义可知,函数具有奇偶性的一个前提条件是:对于定义域内的任意一个,也在定义域内(即定义域关于原点对称).
    2.函数的对称性
    (1)若函数为偶函数,则函数关于对称.
    (2)若函数为奇函数,则函数关于点对称.
    (3)若,则函数关于对称.
    (4)若,则函数关于点对称.
    3.函数的周期性
    (1)周期函数:
    对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的任何值时,都有,那么就称函数为周期函数,称为这个函数的周期.
    (2)最小正周期:
    如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数,那么称这个最小整数叫做的最小正周期.
    1.(2023·全国·模拟预测(理))若幂函数满足,则下列关于函数的说法正确的是( )
    ①不是周期函数 ②是单调函数 ③关于原点对称 ④关于点对称
    A.①③B.②④C.①④D.②③
    答案:C
    【解析】
    分析:
    根据题意可得,求导利用函数单调性解不等式可得,即,结合性质分析判断.
    【详解】
    ∵,即,则
    构建,则
    令,则
    在上单调递减,在上单调递增
    则当且仅当时等号成立
    ∴,则,
    若是周期函数,则存在非零实数,使得对任意的总成立,
    但时,无意义,,故两者不相等,故不是周期函数,
    ①正确;
    不是单调函数,②错误;
    ,不是奇函数,③错误;
    关于点对称,④正确;
    故选:C.
    2.(2023·吉林吉林·模拟预测(文))定义在R上的函数满足,且函数为奇函数.当时,,则( )
    A.-2B.2C.3D.
    答案:D
    【解析】
    分析:
    由函数的对称性可以找到函数的周期,然后通过周期性和对称性即可求出的值.
    【详解】
    由可得,函数关于对称,函数为奇函数,所以,所以函数关于对称,则有,即,又,
    ,的周期为4.
    .
    故选:D.
    3.(2023·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测(文))已知函数,若,则( )
    A.B.C.D.
    答案:A
    【解析】
    分析:
    构建,根据奇偶性定义可证是定义在R上的奇函数,利用奇函数理解运算.
    【详解】
    令,
    ,是R上的奇函数,,即,
    又,所以.
    故选:A.
    4.(2023·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模(文))若函数满足,且当时,,则( )
    A.B.10C.4D.2
    答案:B
    【解析】
    分析:
    首先得到的周期,再根据函数的周期性计算可得;
    【详解】
    解:由,得,
    ∴函数是周期函数,且4是它的一个周期,
    又当时,,
    ∴;
    故选:B.
    5.(2023·江西省丰城中学模拟预测(文))已知定义域为的奇函数,则的值为( )
    A.0B.1C.2D.不能确定
    答案:A
    【解析】
    分析:
    根据奇函数的定义域关于原点对称求出,根据求出,再根据奇函数的定义可求出结果.
    【详解】
    依题意得,解得,
    由,得,
    所以.
    故选:A.
    6.(2023·青海·海东市第一中学模拟预测(理))已知函数,若是奇函数,则实数a=______.
    答案:1
    【解析】
    分析:
    利用奇函数的性质列方程求参数.
    【详解】
    由题意,,即,
    所以,化简得,解得.
    故答案为:1
    7.(2023·全国·模拟预测)已知函数,①,②,请写出一个同时满足条件①②的函数的解析式为______.
    答案:
    【解析】
    分析:
    根据函数的性质,由,可知 是周期函数,且为偶函数,以及关于直线对称,结合这些性质即可求解.
    【详解】
    由①知的图象关于直线对称,由②知为偶函数,所以,故为周期为2的周期函数,符合该条件的函数可以为.
    故答案为:(答案不唯一,只要符合条件即可)
    1.(2023·上海·位育中学模拟预测)定义在 上的任意函数 都可以表示成一个奇函数 和一个偶函数 之和,若 , 则( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    答案:C
    【解析】
    分析:
    由函数奇偶性的定义列出方程组结合对数的运算即可解得.
    【详解】
    设,
    则,
    因为为奇函数,为偶函数,化简得:
    ,解得:
    .
    故选:C.
    2.(2023·全国·模拟预测(理))已知定义在上的函数,对任意的,都有,且,则下列说法正确的是( )
    A.是以2为周期的偶函数B.是以2为周期的奇函数
    C.是以4为周期的偶函数D.是以4为周期的奇函数
    答案:D
    【解析】
    分析:
    由可得,结合可得出,再由即可求出的周期,再由,即可求出为奇函数.
    【详解】
    即①,
    在①中将变换为,则,则,
    又因为,所以,所以②,
    在②将变换为,所以,所以,
    所以的周期为.
    因为,所以,
    所以为奇函数.
    故选:D.
    3.(2023·河南·开封市东信学校模拟预测(文))已知是上的奇函数,当时,,则满足的m的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    答案:D
    【解析】
    分析:
    根据函数在公共的定义域函数单调性的性质及奇函数的性质,再利用函数单调性的定义即可求解.
    【详解】
    因为函数在上均为减函数,
    ∴在上为减函数.又,且是上的奇函数,∴在上为减函数.
    又,得或,解得或.
    所以实数m的取值范围是.
    故选:D.
    4.(2023·全国·模拟预测)已知定义在R上的函数满足,且是奇函数,则( )
    A.是偶函数B.的图象关于直线对称
    C.是奇函数D.的图象关于点对称
    答案:C
    【解析】
    分析:
    由周期函数的概念易知函数的周期为2,根据图象平移可得的图象关于点对称,进而可得奇偶性.
    【详解】
    由可得2是函数的周期,
    因为是奇函数,所以函数的图象关于点对称,
    所以,,所以是奇函数,
    故选:C.
    5.(2023·贵州·贵阳一中模拟预测(文))已知函数是偶函数,且函数的图象关于点(1,0)对称,当时,则( )
    A.B.C.0D.2
    答案:B
    【解析】
    分析:
    由条件确定函数的周期,根据条件及周期的性质求.
    【详解】
    根据题意,函数是偶函数,
    则函数的对称轴为,
    则有,
    又由函数的图象关于点成中心对称,
    则,
    则有,即,
    变形可得,
    则函数是周期为8的周期函数,

    故选:B.
    6.(2023·湖南·雅礼中学二模)函数的定义域为,若是奇函数,是偶函数,则( )
    A.是奇函数B.是偶函数
    C.D.
    答案:B
    【解析】
    分析:
    根据奇偶函数的定义,结合函数的周期性、对称性,整理化简,即可得答案.
    【详解】
    因为是奇函数,
    ∴,
    ∵是偶函数,
    ∴,即,

    则,即周期为8;
    另一方面,
    ∴,即是偶函数.
    故选:B.
    7.(2023·重庆八中模拟预测)定义域为的偶函数,满足.设,若是偶函数,则( )
    A.B.C.2021D.2022
    答案:C
    【解析】
    分析:
    由题可得,结合条件可得函数周期为4,进而可得,即得.
    【详解】
    ∵,
    ∴,又为偶函数,
    ∴,即,
    ∴,又是定义域为R偶函数,
    ∴,
    ∴周期为4,又,
    ∴,
    ∴.
    故选:C.
    8.(2023·重庆市涪陵高级中学校模拟预测)定义在R上的奇函数满足,当时,,则( )
    A.4B.6C.8D.10
    答案:A
    【解析】
    分析:
    先根据和奇偶性求得函数周期,然后利用周期对所求进行转化,再由奇偶性和所给解析式可得.
    【详解】
    因为,且为奇函数,
    所以,
    所以,
    故为周期为8的周期函数,
    所以
    又当时,,
    所以,
    所以,
    故选:A
    9.(2023·海南海口·二模)已知函数是定义在上的奇函数,函数的图象关于直线对称,若,则( )
    A.B.C.D.
    答案:B
    【解析】
    分析:
    分析可知是偶函数,利用偶函数的定义推导出,利用已知条件求出的值,即可求得的值.
    【详解】
    因为的图象关于对称,则是偶函数,
    ,且,
    所以,对任意的恒成立,所以,,
    因为且为奇函数,所以,,
    因此,.
    故选:B.
    10.(2023·河南省兰考县第一高级中学模拟预测(理))已知定义在上的函数在上单调递增,若,且函数为偶函数,则不等式的解集为( )
    A.B.
    C.D.
    答案:D
    【解析】
    分析:
    分析可知函数的图象关于直线对称,可得出函数的单调性,分析的符号变化,由可得或,解之即可.
    【详解】
    因为函数为偶函数,则,故函数的图象关于直线对称,
    因为函数在上单调递增,故函数在上单调递减,
    因为,则,
    所以,由可得,由可得或,
    解不等式,可得或,解得或,
    故不等式的解集为.
    故选:D.
    11.(2023·辽宁·抚顺市第二中学三模)函数是R上的奇函数,函数图像与函数关于对称,则( )
    A.0B.-1C.2D.1
    答案:C
    【解析】
    分析:
    由函数是R上的奇函数,可得函数的图像关于点对称,根据条件可得函数的图像关于对称,从而得出答案.
    【详解】
    函数是R上的奇函数,则
    设,则,则函数的图像关于点对称
    函数图像与函数关于对称,
    所以函数的图像关于对称,所以
    故选:C
    12.(2023·广西·南宁三中二模(文))若函数的图象关于直线对称,则_______.
    答案:7
    【解析】
    分析:
    由对称性得,取特殊值求得,再检验满足即可得,
    【详解】
    由题意,即,
    所以,即,解得,
    此时,
    ,满足题意.
    所以,.
    故答案为:7.
    13.(2023·山东·胜利一中模拟预测)已知函数满足对任意恒成立,又函数的图象关于点对称,且,则_________.
    答案:
    【解析】
    分析:
    根据题意先求出,再根据条件分析得到函数的周期,再求解计算即可.
    【详解】
    因为函数满足对任意恒成立,
    所以令,即,解得,所以对任意恒成立,
    又函数的图象关于点对称,将函数向右平移个单位得到,
    所以关于点,即为上的奇函数,所以,
    又对任意恒成立,令,得,
    即,再令,得,分析得,
    所以函数的周期为,因为,所以在中,
    令,得,所以.
    故答案为:.
    14.(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟预测)已知是定义在上的函数,若对任意,都有,且函数的图像关于直线对称,,则_______.
    答案:3
    【解析】
    分析:
    先由函数的图像关于直线对称,得到函数是偶函数,则有;
    又令代入,求得函数的周期为,利用函数周期化简即可求值.
    【详解】
    因为函数的图像关于直线对称,所以函数的图像关于直线对称,即函数是偶函数,则有;
    因为对任意,都有,
    令,得,
    所以对任意,都有,即函数的周期为,
    则,
    故答案为:.
    15.(2023·湖南·邵阳市第二中学模拟预测)已知函数,若不等式对恒成立,则实数的取值范围______.
    答案:
    【解析】
    分析:
    先判断函数在上为增函数,然后求得,所以原不等式可化为,从而得对恒成立,即对恒成立,然后利用基本不等式求出的最小值即可
    【详解】

    因为在上为增函数,
    所以在上为增函数,
    因为,
    所以可化为,
    因为在上为增函数,
    所以对恒成立,
    所以对恒成立,
    因为,所以,当且仅当,即时取等号,
    所以,即实数的取值范围,
    故答案为:
    16.(2023·全国·哈师大附中模拟预测(文))已知函数(其中是自然对数的底数),若在平面直角坐标系中,所有满足的点都不在直线上,则直线的方程可以是__________(写出满足条件一个直线的方程即可).
    答案:(不唯一)
    【解析】
    分析:
    由函数解析式可得函数关于点中心对称,据此及函数为增函数由可得,据此求出满足条件的直线即可.
    【详解】
    在上单调递增,
    ,,
    曲线关于点中心对称,
    在平面直角坐标系中,所有满足即的点都不在直线上.
    所以,直线上的点都满足,即直线在表示的半平面内,
    故直线斜率为,纵截距小于等于2,如等.
    故答案为:(不唯一)
    17.(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数,给出定义:设是函数的导数,是的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”,同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且拐点就是对称中心,若,请你根据这一发现,求:(1)函数的对称中心为___________;(2)计算___________.
    答案:
    【解析】
    分析:
    (1)利用拐点的定义求解;
    (2)根据(1)的结论,得到求解.
    【详解】
    (1),,
    令,解得,
    ∴,
    ∴函数的对称中心为;
    (2)∵的对称中心为,
    ∴,
    ∴,

    故答案为:(1);(2).
    1.(2023·全国·高考真题)已知函数的定义域为R,且,则( )
    A.B.C.0D.1
    答案:A
    【解析】
    分析:
    根据题意赋值即可知函数的一个周期为,求出函数一个周期中的的值,即可解出.
    【详解】
    因为,令可得,,所以,令可得,,即,所以函数为偶函数,令得,,即有,从而可知,,故,即,所以函数的一个周期为.
    因为,,,,,所以
    一个周期内的.由于22除以6余4,
    所以.
    故选:A.
    2.(2023·全国·高考真题(理))已知函数的定义域均为R,且.若的图像关于直线对称,,则( )
    A.B.C.D.
    答案:D
    【解析】
    分析:
    根据对称性和已知条件得到,从而得到,,然后根据条件得到的值,再由题意得到从而得到的值即可求解.
    【详解】
    因为的图像关于直线对称,
    所以,
    因为,所以,即,
    因为,所以,
    代入得,即,
    所以,
    .
    因为,所以,即,所以.
    因为,所以,又因为,
    联立得,,
    所以的图像关于点中心对称,因为函数的定义域为R,
    所以
    因为,所以.
    所以.
    故选:D
    【点睛】
    含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽,考生需要根据已知条件进行恰当的转化,然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.
    3.(2023·全国·高考真题)已知函数的定义域为,为偶函数,为奇函数,则( )
    A.B.C.D.
    答案:B
    【解析】
    分析:
    推导出函数是以为周期的周期函数,由已知条件得出,结合已知条件可得出结论.
    【详解】
    因为函数为偶函数,则,可得,
    因为函数为奇函数,则,所以,,
    所以,,即,
    故函数是以为周期的周期函数,
    因为函数为奇函数,则,
    故,其它三个选项未知.
    故选:B.
    4.(2023·全国·高考真题(理))设函数的定义域为R,为奇函数,为偶函数,当时,.若,则( )
    A.B.C.D.
    答案:D
    【解析】
    分析:
    通过是奇函数和是偶函数条件,可以确定出函数解析式,进而利用定义或周期性结论,即可得到答案.
    【详解】
    因为是奇函数,所以①;
    因为是偶函数,所以②.
    令,由①得:,由②得:,
    因为,所以,
    令,由①得:,所以.
    思路一:从定义入手.
    所以.
    思路二:从周期性入手
    由两个对称性可知,函数的周期.
    所以.
    故选:D.
    【点睛】
    在解决函数性质类问题的时候,我们通常可以借助一些二级结论,求出其周期性进而达到简便计算的效果.
    5.(2023·全国·高考真题(文))设是定义域为R的奇函数,且.若,则( )
    A.B.C.D.
    答案:C
    【解析】
    分析:
    由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.
    【详解】
    由题意可得:,
    而,
    故.
    故选:C.
    【点睛】
    关键点点睛:本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式,灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.
    6.(2023·全国·高考真题(理))设函数,则下列函数中为奇函数的是( )
    A.B.C.D.
    答案:B
    【解析】
    分析:
    分别求出选项的函数解析式,再利用奇函数的定义即可.
    【详解】
    由题意可得,
    对于A,不是奇函数;
    对于B,是奇函数;
    对于C,,定义域不关于原点对称,不是奇函数;
    对于D,,定义域不关于原点对称,不是奇函数.
    故选:B
    【点睛】
    本题主要考查奇函数定义,考查学生对概念的理解,是一道容易题.
    7.(2023·海南·高考真题)若定义在的奇函数f(x)在单调递减,且f(2)=0,则满足的x的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.
    答案:D
    【解析】
    分析:
    首先根据函数奇偶性与单调性,得到函数在相应区间上的符号,再根据两个数的乘积大于等于零,分类转化为对应自变量不等式,最后求并集得结果.
    【详解】
    因为定义在上的奇函数在上单调递减,且,
    所以在上也是单调递减,且,,
    所以当时,,当时,,
    所以由可得:
    或或
    解得或,
    所以满足的的取值范围是,
    故选:D.
    【点睛】
    本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式,考查分类讨论思想方法,属中档题.
    8.(2023·全国·高考真题(文))已知函数f(x)=sinx+,则()
    A.f(x)的最小值为2B.f(x)的图象关于y轴对称
    C.f(x)的图象关于直线对称D.f(x)的图象关于直线对称
    答案:D
    【解析】
    分析:
    根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.
    【详解】
    可以为负,所以A错;
    关于原点对称;
    故B错;
    关于直线对称,故C错,D对
    故选:D
    【点睛】
    本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性,考查基本分析判断能力,属中档题.
    9.(多选题)(2023·全国·高考真题)已知函数及其导函数的定义域均为,记,若,均为偶函数,则( )
    A.B.C.D.
    答案:BC
    【解析】
    分析:
    转化题设条件为函数的对称性,结合原函数与导函数图象的关系,根据函数的性质逐项判断即可得解.
    【详解】
    因为,均为偶函数,
    所以即,,
    所以,,则,故C正确;
    函数,的图象分别关于直线对称,
    又,且函数可导,
    所以,
    所以,所以,
    所以,,故B正确,D错误;
    若函数满足题设条件,则函数(C为常数)也满足题设条件,所以无法确定的函数值,故A错误.
    故选:BC.
    【点睛】
    关键点点睛:解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质,准确把握原函数与导函数图象间的关系,准确把握函数的性质(必要时结合图象)即可得解.
    10.(2023·全国·高考真题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______.
    ①;②当时,;③是奇函数.
    答案:(答案不唯一,均满足)
    【解析】
    分析:
    根据幂函数的性质可得所求的.
    【详解】
    取,则,满足①,
    ,时有,满足②,
    的定义域为,
    又,故是奇函数,满足③.
    故答案为:(答案不唯一,均满足)
    11.(2023·全国·高考真题)已知函数是偶函数,则______.
    答案:1
    【解析】
    分析:
    利用偶函数的定义可求参数的值.
    【详解】
    因为,故,
    因为为偶函数,故,
    时,整理得到,
    故,
    故答案为:1
    12.(2023·全国·高考真题(理))关于函数f(x)=有如下四个命题:
    ①f(x)的图象关于y轴对称.
    ②f(x)的图象关于原点对称.
    ③f(x)的图象关于直线x=对称.
    ④f(x)的最小值为2.
    其中所有真命题的序号是__________.
    答案:②③
    【解析】
    分析:
    利用特殊值法可判断命题①的正误;利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误;利用对称性的定义可判断命题③的正误;取可判断命题④的正误.综合可得出结论.
    【详解】
    对于命题①,,,则,
    所以,函数的图象不关于轴对称,命题①错误;
    对于命题②,函数的定义域为,定义域关于原点对称,

    所以,函数的图象关于原点对称,命题②正确;
    对于命题③,,
    ,则,
    所以,函数的图象关于直线对称,命题③正确;
    对于命题④,当时,,则,
    命题④错误.
    故答案为:②③.
    【点睛】
    本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解,考查推理能力与计算能力,属于中等题.
    13.(2023·全国·高考真题(文))若是奇函数,则_____,______.
    答案: ; .
    【解析】
    分析:
    根据奇函数的定义即可求出.
    【详解】
    因为函数为奇函数,所以其定义域关于原点对称.
    由可得,,所以,解得:,即函数的定义域为,再由可得,.即,在定义域内满足,符合题意.
    故答案为:;.
    奇偶性
    定义
    图象特点
    偶函数
    如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数就叫做偶函数
    关于轴对称
    奇函数
    如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数就叫做奇函数
    关于原点对称
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