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高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)考向08函数的奇偶性、周期性与对称性(重点)(原卷版+解析)
展开【2022年新高考全国Ⅰ卷】(多选题)已知函数及其导函数的定义域均为,记,若,均为偶函数,则( )
A.B.C.D.
答案:BC
【解析】
分析:
转化题设条件为函数的对称性,结合原函数与导函数图象的关系,根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】
因为,均为偶函数,
所以即,,
所以,,则,故C正确;
函数,的图象分别关于直线对称,
又,且函数可导,
所以,
所以,所以,
所以,,故B正确,D错误;
若函数满足题设条件,则函数(C为常数)也满足题设条件,所以无法确定的函数值,故A错误.
故选:BC.
【点睛】
关键点点睛:解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质,准确把握原函数与导函数图象间的关系,准确把握函数的性质(必要时结合图象)即可得解.
【2022年新高考全国II卷】已知函数的定义域为R,且,则( )
A.B.C.0D.1
答案:A
【解析】
分析:
根据题意赋值即可知函数的一个周期为,求出函数一个周期中的的值,即可解出.
【详解】
因为,令可得,,所以,令可得,,即,所以函数为偶函数,令得,,即有,从而可知,,故,即,所以函数的一个周期为.
因为,,,,,所以
一个周期内的.由于22除以6余4,
所以.
故选:A.
1.奇偶性技巧
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数是偶函数函数的图象关于轴对称;
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数在处有意义,则有;
偶函数必满足.
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反;奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
(5)若函数的定义域关于原点对称,则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记,,则.
(6)运算函数的奇偶性规律:运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数,如.
对于运算函数有如下结论:奇奇=奇;偶偶=偶;奇偶=非奇非偶;
奇奇=偶;奇偶=奇;偶偶=偶.
(7)复合函数的奇偶性原来:内偶则偶,两奇为奇.
(8)常见奇偶性函数模型
奇函数: = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数或函数.
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数.
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数或函数
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函数或函数.
注意:关于 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式,可以写成函数或函数.
偶函数: = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数.
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数.
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数类型的一切函数.
④常数函数
2.周期性技巧
3.函数的的对称性与周期性的关系
(1)若函数有两条对称轴,,则函数是周期函数,且;
(2)若函数的图象有两个对称中心,则函数是周期函数,且;
(3)若函数有一条对称轴和一个对称中心,则函数是周期函数,且.
4.对称性技巧
(1)若函数关于直线对称,则.
(2)若函数关于点对称,则.
(3)函数与关于轴对称,函数与关于原点对称.
1.(1)如果一个奇函数在原点处有定义,即有意义,那么一定有.
(2)如果函数是偶函数,那么.
2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性
3.函数周期性常用结论
对定义域内任一自变量的值:
(1)若,则.
(2)若,则.
(3)若,则.
4.对称性的三个常用结论
(1)若函数是偶函数,则函数的图象关于直线对称.
(2)若对于上的任意都有或,则的图象关于直线对称.
(3)若函数是奇函数,则函数的图象关于点中心对称.
5.两个奇偶函数四则运算的性质
(1)两个奇函数的和仍为奇函数;
(2)两个偶函数的和仍为偶函数;
(3)两个奇函数的积是偶函数;
(4)两个偶函数的积是偶函数;
(5)一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。
1.函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
判断与的关系时,也可以使用如下结论:如果或,则函数为偶函数;如果或,则函数为奇函数.
注意:由函数奇偶性的定义可知,函数具有奇偶性的一个前提条件是:对于定义域内的任意一个,也在定义域内(即定义域关于原点对称).
2.函数的对称性
(1)若函数为偶函数,则函数关于对称.
(2)若函数为奇函数,则函数关于点对称.
(3)若,则函数关于对称.
(4)若,则函数关于点对称.
3.函数的周期性
(1)周期函数:
对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的任何值时,都有,那么就称函数为周期函数,称为这个函数的周期.
(2)最小正周期:
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数,那么称这个最小整数叫做的最小正周期.
1.(2023·全国·模拟预测(理))若幂函数满足,则下列关于函数的说法正确的是( )
①不是周期函数 ②是单调函数 ③关于原点对称 ④关于点对称
A.①③B.②④C.①④D.②③
2.(2023·吉林吉林·模拟预测(文))定义在R上的函数满足,且函数为奇函数.当时,,则( )
A.-2B.2C.3D.
3.(2023·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测(文))已知函数,若,则( )
A.B.C.D.
4.(2023·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模(文))若函数满足,且当时,,则( )
A.B.10C.4D.2
5.(2023·江西省丰城中学模拟预测(文))已知定义域为的奇函数,则的值为( )
A.0B.1C.2D.不能确定
6.(2023·青海·海东市第一中学模拟预测(理))已知函数,若是奇函数,则实数a=______.
7.(2023·全国·模拟预测)已知函数,①,②,请写出一个同时满足条件①②的函数的解析式为______.
1.(2023·上海·位育中学模拟预测)定义在 上的任意函数 都可以表示成一个奇函数 和一个偶函数 之和,若 , 则( )
A.
B.
C.
D.
2.(2023·全国·模拟预测(理))已知定义在上的函数,对任意的,都有,且,则下列说法正确的是( )
A.是以2为周期的偶函数B.是以2为周期的奇函数
C.是以4为周期的偶函数D.是以4为周期的奇函数
3.(2023·河南·开封市东信学校模拟预测(文))已知是上的奇函数,当时,,则满足的m的取值范围是( )
A.B.C.D.
4.(2023·全国·模拟预测)已知定义在R上的函数满足,且是奇函数,则( )
A.是偶函数B.的图象关于直线对称
C.是奇函数D.的图象关于点对称
5.(2023·贵州·贵阳一中模拟预测(文))已知函数是偶函数,且函数的图象关于点(1,0)对称,当时,则( )
A.B.C.0D.2
6.(2023·湖南·雅礼中学二模)函数的定义域为,若是奇函数,是偶函数,则( )
A.是奇函数B.是偶函数
C.D.
7.(2023·重庆八中模拟预测)定义域为的偶函数,满足.设,若是偶函数,则( )
A.B.C.2021D.2022
8.(2023·重庆市涪陵高级中学校模拟预测)定义在R上的奇函数满足,当时,,则( )
A.4B.6C.8D.10
9.(2023·海南海口·二模)已知函数是定义在上的奇函数,函数的图象关于直线对称,若,则( )
A.B.C.D.
10.(2023·河南省兰考县第一高级中学模拟预测(理))已知定义在上的函数在上单调递增,若,且函数为偶函数,则不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
11.(2023·辽宁·抚顺市第二中学三模)函数是R上的奇函数,函数图像与函数关于对称,则( )
A.0B.-1C.2D.1
12.(2023·广西·南宁三中二模(文))若函数的图象关于直线对称,则_______.
13.(2023·山东·胜利一中模拟预测)已知函数满足对任意恒成立,又函数的图象关于点对称,且,则_________.
14.(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟预测)已知是定义在上的函数,若对任意,都有,且函数的图像关于直线对称,,则_______.
15.(2023·湖南·邵阳市第二中学模拟预测)已知函数,若不等式对恒成立,则实数的取值范围______.
16.(2023·全国·哈师大附中模拟预测(文))已知函数(其中是自然对数的底数),若在平面直角坐标系中,所有满足的点都不在直线上,则直线的方程可以是__________(写出满足条件一个直线的方程即可).
17.(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数,给出定义:设是函数的导数,是的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”,同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且拐点就是对称中心,若,请你根据这一发现,求:(1)函数的对称中心为___________;(2)计算___________.
1.(2023·全国·高考真题)已知函数的定义域为R,且,则( )
A.B.C.0D.1
2.(2023·全国·高考真题(理))已知函数的定义域均为R,且.若的图像关于直线对称,,则( )
A.B.C.D.
3.(2023·全国·高考真题)已知函数的定义域为,为偶函数,为奇函数,则( )
A.B.C.D.
4.(2023·全国·高考真题(理))设函数的定义域为R,为奇函数,为偶函数,当时,.若,则( )
A.B.C.D.
5.(2023·全国·高考真题(文))设是定义域为R的奇函数,且.若,则( )
A.B.C.D.
6.(2023·全国·高考真题(理))设函数,则下列函数中为奇函数的是( )
A.B.C.D.
7.(2023·海南·高考真题)若定义在的奇函数f(x)在单调递减,且f(2)=0,则满足的x的取值范围是( )
A.B.
C.D.
8.(2023·全国·高考真题(文))已知函数f(x)=sinx+,则()
A.f(x)的最小值为2B.f(x)的图象关于y轴对称
C.f(x)的图象关于直线对称D.f(x)的图象关于直线对称
9.(多选题)(2023·全国·高考真题)已知函数及其导函数的定义域均为,记,若,均为偶函数,则( )
A.B.C.D.
10.(2023·全国·高考真题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______.
①;②当时,;③是奇函数.
11.(2023·全国·高考真题)已知函数是偶函数,则______.
12.(2023·全国·高考真题(理))关于函数f(x)=有如下四个命题:
①f(x)的图象关于y轴对称.
②f(x)的图象关于原点对称.
③f(x)的图象关于直线x=对称.
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是__________.
13.(2023·全国·高考真题(文))若是奇函数,则_____,______.
1.答案:C
【解析】∵,即,则
构建,则
令,则
在上单调递减,在上单调递增
则当且仅当时等号成立
∴,则,
若是周期函数,则存在非零实数,使得对任意的总成立,
但时,无意义,,故两者不相等,故不是周期函数,
①正确;
不是单调函数,②错误;
,不是奇函数,③错误;
关于点对称,④正确;
故选:C.
2.答案:D
【解析】由可得,函数关于对称,函数为奇函数,所以,所以函数关于对称,则有,即,又,
,的周期为4.
.
故选:D.
3.答案:A
【解析】令,
,是R上的奇函数,,即,
又,所以.
故选:A.
4.答案:B
【解析】解:由,得,
∴函数是周期函数,且4是它的一个周期,
又当时,,
∴;
故选:B.
5.答案:A
【解析】依题意得,解得,
由,得,
所以.
故选:A.
6.答案:1
【解析】由题意,,即,
所以,化简得,解得.
故答案为:1
7.答案:
【解析】由①知的图象关于直线对称,由②知为偶函数,所以,故为周期为2的周期函数,符合该条件的函数可以为.
故答案为:(答案不唯一,只要符合条件即可)
1.答案:C
【解析】设,
则,
因为为奇函数,为偶函数,化简得:
,解得:
.
故选:C.
2.答案:D
【解析】即①,
在①中将变换为,则,则,
又因为,所以,所以②,
在②将变换为,所以,所以,
所以的周期为.
因为,所以,
所以为奇函数.
故选:D.
3.答案:D
【解析】因为函数在上均为减函数,
∴在上为减函数.又,且是上的奇函数,∴在上为减函数.
又,得或,解得或.
所以实数m的取值范围是.
故选:D.
4.答案:C
【解析】由可得2是函数的周期,
因为是奇函数,所以函数的图象关于点对称,
所以,,所以是奇函数,
故选:C.
5.答案:B
【解析】根据题意,函数是偶函数,
则函数的对称轴为,
则有,
又由函数的图象关于点成中心对称,
则,
则有,即,
变形可得,
则函数是周期为8的周期函数,
,
故选:B.
6.答案:B
【解析】因为是奇函数,
∴,
∵是偶函数,
∴,即,
,
则,即周期为8;
另一方面,
∴,即是偶函数.
故选:B.
7.答案:C
【解析】∵,
∴,又为偶函数,
∴,即,
∴,又是定义域为R偶函数,
∴,
∴周期为4,又,
∴,
∴.
故选:C.
8.答案:A
【解析】因为,且为奇函数,
所以,
所以,
故为周期为8的周期函数,
所以
又当时,,
所以,
所以,
故选:A
9.答案:B
【解析】因为的图象关于对称,则是偶函数,
,且,
所以,对任意的恒成立,所以,,
因为且为奇函数,所以,,
因此,.
故选:B.
10.答案:D
【解析】因为函数为偶函数,则,故函数的图象关于直线对称,
因为函数在上单调递增,故函数在上单调递减,
因为,则,
所以,由可得,由可得或,
解不等式,可得或,解得或,
故不等式的解集为.
故选:D.
11.答案:C
【解析】函数是R上的奇函数,则
设,则,则函数的图像关于点对称
函数图像与函数关于对称,
所以函数的图像关于对称,所以
故选:C
12.答案:7
【解析】由题意,即,
所以,即,解得,
此时,
,满足题意.
所以,.
故答案为:7.
13.答案:
【解析】因为函数满足对任意恒成立,
所以令,即,解得,所以对任意恒成立,
又函数的图象关于点对称,将函数向右平移个单位得到,
所以关于点,即为上的奇函数,所以,
又对任意恒成立,令,得,
即,再令,得,分析得,
所以函数的周期为,因为,所以在中,
令,得,所以.
故答案为:.
14.答案:3
【解析】因为函数的图像关于直线对称,所以函数的图像关于直线对称,即函数是偶函数,则有;
因为对任意,都有,
令,得,
所以对任意,都有,即函数的周期为,
则,
故答案为:.
15.答案:
【解析】,
因为在上为增函数,
所以在上为增函数,
因为,
所以可化为,
因为在上为增函数,
所以对恒成立,
所以对恒成立,
因为,所以,当且仅当,即时取等号,
所以,即实数的取值范围,
故答案为:
16.答案:(不唯一)
【解析】在上单调递增,
,,
曲线关于点中心对称,
在平面直角坐标系中,所有满足即的点都不在直线上.
所以,直线上的点都满足,即直线在表示的半平面内,
故直线斜率为,纵截距小于等于2,如等.
故答案为:(不唯一)
17.答案:
【解析】(1),,
令,解得,
∴,
∴函数的对称中心为;
(2)∵的对称中心为,
∴,
∴,
,
故答案为:(1);(2).
1.答案:A
【解析】因为,令可得,,所以,令可得,,即,所以函数为偶函数,令得,,即有,从而可知,,故,即,所以函数的一个周期为.
因为,,,,,所以
一个周期内的.由于22除以6余4,
所以.
故选:A.
2.答案:D
【解析】因为的图像关于直线对称,
所以,
因为,所以,即,
因为,所以,
代入得,即,
所以,
.
因为,所以,即,所以.
因为,所以,又因为,
联立得,,
所以的图像关于点中心对称,因为函数的定义域为R,
所以
因为,所以.
所以.
故选:D
3.答案:B
【解析】因为函数为偶函数,则,可得,
因为函数为奇函数,则,所以,,
所以,,即,
故函数是以为周期的周期函数,
因为函数为奇函数,则,
故,其它三个选项未知.
故选:B.
4.答案:D
【解析】因为是奇函数,所以①;
因为是偶函数,所以②.
令,由①得:,由②得:,
因为,所以,
令,由①得:,所以.
思路一:从定义入手.
所以.
思路二:从周期性入手
由两个对称性可知,函数的周期.
所以.
故选:D.
5.答案:C
【解析】由题意可得:,
而,
故.
故选:C.
6.答案:B
【解析】由题意可得,
对于A,不是奇函数;
对于B,是奇函数;
对于C,,定义域不关于原点对称,不是奇函数;
对于D,,定义域不关于原点对称,不是奇函数.
故选:B
7.答案:D
【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减,且,
所以在上也是单调递减,且,,
所以当时,,当时,,
所以由可得:
或或
解得或,
所以满足的的取值范围是,
故选:D.
8.答案:D
【解析】可以为负,所以A错;
关于原点对称;
故B错;
关于直线对称,故C错,D对
故选:D
9.答案:BC
【解析】因为,均为偶函数,
所以即,,
所以,,则,故C正确;
函数,的图象分别关于直线对称,
又,且函数可导,
所以,
所以,所以,
所以,,故B正确,D错误;
若函数满足题设条件,则函数(C为常数)也满足题设条件,所以无法确定的函数值,故A错误.
故选:BC.
10.答案:(答案不唯一,均满足)
【解析】取,则,满足①,
,时有,满足②,
的定义域为,
又,故是奇函数,满足③.
故答案为:(答案不唯一,均满足)
11.答案:1
【解析】因为,故,
因为为偶函数,故,
时,整理得到,
故,
故答案为:1
12.答案:②③
【解析】对于命题①,,,则,
所以,函数的图象不关于轴对称,命题①错误;
对于命题②,函数的定义域为,定义域关于原点对称,
,
所以,函数的图象关于原点对称,命题②正确;
对于命题③,,
,则,
所以,函数的图象关于直线对称,命题③正确;
对于命题④,当时,,则,
命题④错误.
故答案为:②③.
13.答案: ; .
【解析】因为函数为奇函数,所以其定义域关于原点对称.
由可得,,所以,解得:,即函数的定义域为,再由可得,.即,在定义域内满足,符合题意.
故答案为:;.
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数就叫做偶函数
关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数就叫做奇函数
关于原点对称
考向08 函数的奇偶性、周期性与对称性
【2022年新高考全国Ⅰ卷】(多选题)已知函数及其导函数的定义域均为,记,若,均为偶函数,则( )
A.B.C.D.
答案:BC
【解析】
分析:
转化题设条件为函数的对称性,结合原函数与导函数图象的关系,根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】
因为,均为偶函数,
所以即,,
所以,,则,故C正确;
函数,的图象分别关于直线对称,
又,且函数可导,
所以,
所以,所以,
所以,,故B正确,D错误;
若函数满足题设条件,则函数(C为常数)也满足题设条件,所以无法确定的函数值,故A错误.
故选:BC.
【点睛】
关键点点睛:解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质,准确把握原函数与导函数图象间的关系,准确把握函数的性质(必要时结合图象)即可得解.
【2022年新高考全国II卷】已知函数的定义域为R,且,则( )
A.B.C.0D.1
答案:A
【解析】
分析:
根据题意赋值即可知函数的一个周期为,求出函数一个周期中的的值,即可解出.
【详解】
因为,令可得,,所以,令可得,,即,所以函数为偶函数,令得,,即有,从而可知,,故,即,所以函数的一个周期为.
因为,,,,,所以
一个周期内的.由于22除以6余4,
所以.
故选:A.
1.奇偶性技巧
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数是偶函数函数的图象关于轴对称;
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数在处有意义,则有;
偶函数必满足.
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反;奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
(5)若函数的定义域关于原点对称,则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记,,则.
(6)运算函数的奇偶性规律:运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数,如.
对于运算函数有如下结论:奇奇=奇;偶偶=偶;奇偶=非奇非偶;
奇奇=偶;奇偶=奇;偶偶=偶.
(7)复合函数的奇偶性原来:内偶则偶,两奇为奇.
(8)常见奇偶性函数模型
奇函数: = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数或函数.
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数.
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数或函数
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函数或函数.
注意:关于 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式,可以写成函数或函数.
偶函数: = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数.
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数.
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数类型的一切函数.
④常数函数
2.周期性技巧
3.函数的的对称性与周期性的关系
(1)若函数有两条对称轴,,则函数是周期函数,且;
(2)若函数的图象有两个对称中心,则函数是周期函数,且;
(3)若函数有一条对称轴和一个对称中心,则函数是周期函数,且.
4.对称性技巧
(1)若函数关于直线对称,则.
(2)若函数关于点对称,则.
(3)函数与关于轴对称,函数与关于原点对称.
1.(1)如果一个奇函数在原点处有定义,即有意义,那么一定有.
(2)如果函数是偶函数,那么.
2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性
3.函数周期性常用结论
对定义域内任一自变量的值:
(1)若,则.
(2)若,则.
(3)若,则.
4.对称性的三个常用结论
(1)若函数是偶函数,则函数的图象关于直线对称.
(2)若对于上的任意都有或,则的图象关于直线对称.
(3)若函数是奇函数,则函数的图象关于点中心对称.
5.两个奇偶函数四则运算的性质
(1)两个奇函数的和仍为奇函数;
(2)两个偶函数的和仍为偶函数;
(3)两个奇函数的积是偶函数;
(4)两个偶函数的积是偶函数;
(5)一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。
1.函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
判断与的关系时,也可以使用如下结论:如果或,则函数为偶函数;如果或,则函数为奇函数.
注意:由函数奇偶性的定义可知,函数具有奇偶性的一个前提条件是:对于定义域内的任意一个,也在定义域内(即定义域关于原点对称).
2.函数的对称性
(1)若函数为偶函数,则函数关于对称.
(2)若函数为奇函数,则函数关于点对称.
(3)若,则函数关于对称.
(4)若,则函数关于点对称.
3.函数的周期性
(1)周期函数:
对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的任何值时,都有,那么就称函数为周期函数,称为这个函数的周期.
(2)最小正周期:
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数,那么称这个最小整数叫做的最小正周期.
1.(2023·全国·模拟预测(理))若幂函数满足,则下列关于函数的说法正确的是( )
①不是周期函数 ②是单调函数 ③关于原点对称 ④关于点对称
A.①③B.②④C.①④D.②③
答案:C
【解析】
分析:
根据题意可得,求导利用函数单调性解不等式可得,即,结合性质分析判断.
【详解】
∵,即,则
构建,则
令,则
在上单调递减,在上单调递增
则当且仅当时等号成立
∴,则,
若是周期函数,则存在非零实数,使得对任意的总成立,
但时,无意义,,故两者不相等,故不是周期函数,
①正确;
不是单调函数,②错误;
,不是奇函数,③错误;
关于点对称,④正确;
故选:C.
2.(2023·吉林吉林·模拟预测(文))定义在R上的函数满足,且函数为奇函数.当时,,则( )
A.-2B.2C.3D.
答案:D
【解析】
分析:
由函数的对称性可以找到函数的周期,然后通过周期性和对称性即可求出的值.
【详解】
由可得,函数关于对称,函数为奇函数,所以,所以函数关于对称,则有,即,又,
,的周期为4.
.
故选:D.
3.(2023·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测(文))已知函数,若,则( )
A.B.C.D.
答案:A
【解析】
分析:
构建,根据奇偶性定义可证是定义在R上的奇函数,利用奇函数理解运算.
【详解】
令,
,是R上的奇函数,,即,
又,所以.
故选:A.
4.(2023·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模(文))若函数满足,且当时,,则( )
A.B.10C.4D.2
答案:B
【解析】
分析:
首先得到的周期,再根据函数的周期性计算可得;
【详解】
解:由,得,
∴函数是周期函数,且4是它的一个周期,
又当时,,
∴;
故选:B.
5.(2023·江西省丰城中学模拟预测(文))已知定义域为的奇函数,则的值为( )
A.0B.1C.2D.不能确定
答案:A
【解析】
分析:
根据奇函数的定义域关于原点对称求出,根据求出,再根据奇函数的定义可求出结果.
【详解】
依题意得,解得,
由,得,
所以.
故选:A.
6.(2023·青海·海东市第一中学模拟预测(理))已知函数,若是奇函数,则实数a=______.
答案:1
【解析】
分析:
利用奇函数的性质列方程求参数.
【详解】
由题意,,即,
所以,化简得,解得.
故答案为:1
7.(2023·全国·模拟预测)已知函数,①,②,请写出一个同时满足条件①②的函数的解析式为______.
答案:
【解析】
分析:
根据函数的性质,由,可知 是周期函数,且为偶函数,以及关于直线对称,结合这些性质即可求解.
【详解】
由①知的图象关于直线对称,由②知为偶函数,所以,故为周期为2的周期函数,符合该条件的函数可以为.
故答案为:(答案不唯一,只要符合条件即可)
1.(2023·上海·位育中学模拟预测)定义在 上的任意函数 都可以表示成一个奇函数 和一个偶函数 之和,若 , 则( )
A.
B.
C.
D.
答案:C
【解析】
分析:
由函数奇偶性的定义列出方程组结合对数的运算即可解得.
【详解】
设,
则,
因为为奇函数,为偶函数,化简得:
,解得:
.
故选:C.
2.(2023·全国·模拟预测(理))已知定义在上的函数,对任意的,都有,且,则下列说法正确的是( )
A.是以2为周期的偶函数B.是以2为周期的奇函数
C.是以4为周期的偶函数D.是以4为周期的奇函数
答案:D
【解析】
分析:
由可得,结合可得出,再由即可求出的周期,再由,即可求出为奇函数.
【详解】
即①,
在①中将变换为,则,则,
又因为,所以,所以②,
在②将变换为,所以,所以,
所以的周期为.
因为,所以,
所以为奇函数.
故选:D.
3.(2023·河南·开封市东信学校模拟预测(文))已知是上的奇函数,当时,,则满足的m的取值范围是( )
A.B.C.D.
答案:D
【解析】
分析:
根据函数在公共的定义域函数单调性的性质及奇函数的性质,再利用函数单调性的定义即可求解.
【详解】
因为函数在上均为减函数,
∴在上为减函数.又,且是上的奇函数,∴在上为减函数.
又,得或,解得或.
所以实数m的取值范围是.
故选:D.
4.(2023·全国·模拟预测)已知定义在R上的函数满足,且是奇函数,则( )
A.是偶函数B.的图象关于直线对称
C.是奇函数D.的图象关于点对称
答案:C
【解析】
分析:
由周期函数的概念易知函数的周期为2,根据图象平移可得的图象关于点对称,进而可得奇偶性.
【详解】
由可得2是函数的周期,
因为是奇函数,所以函数的图象关于点对称,
所以,,所以是奇函数,
故选:C.
5.(2023·贵州·贵阳一中模拟预测(文))已知函数是偶函数,且函数的图象关于点(1,0)对称,当时,则( )
A.B.C.0D.2
答案:B
【解析】
分析:
由条件确定函数的周期,根据条件及周期的性质求.
【详解】
根据题意,函数是偶函数,
则函数的对称轴为,
则有,
又由函数的图象关于点成中心对称,
则,
则有,即,
变形可得,
则函数是周期为8的周期函数,
,
故选:B.
6.(2023·湖南·雅礼中学二模)函数的定义域为,若是奇函数,是偶函数,则( )
A.是奇函数B.是偶函数
C.D.
答案:B
【解析】
分析:
根据奇偶函数的定义,结合函数的周期性、对称性,整理化简,即可得答案.
【详解】
因为是奇函数,
∴,
∵是偶函数,
∴,即,
,
则,即周期为8;
另一方面,
∴,即是偶函数.
故选:B.
7.(2023·重庆八中模拟预测)定义域为的偶函数,满足.设,若是偶函数,则( )
A.B.C.2021D.2022
答案:C
【解析】
分析:
由题可得,结合条件可得函数周期为4,进而可得,即得.
【详解】
∵,
∴,又为偶函数,
∴,即,
∴,又是定义域为R偶函数,
∴,
∴周期为4,又,
∴,
∴.
故选:C.
8.(2023·重庆市涪陵高级中学校模拟预测)定义在R上的奇函数满足,当时,,则( )
A.4B.6C.8D.10
答案:A
【解析】
分析:
先根据和奇偶性求得函数周期,然后利用周期对所求进行转化,再由奇偶性和所给解析式可得.
【详解】
因为,且为奇函数,
所以,
所以,
故为周期为8的周期函数,
所以
又当时,,
所以,
所以,
故选:A
9.(2023·海南海口·二模)已知函数是定义在上的奇函数,函数的图象关于直线对称,若,则( )
A.B.C.D.
答案:B
【解析】
分析:
分析可知是偶函数,利用偶函数的定义推导出,利用已知条件求出的值,即可求得的值.
【详解】
因为的图象关于对称,则是偶函数,
,且,
所以,对任意的恒成立,所以,,
因为且为奇函数,所以,,
因此,.
故选:B.
10.(2023·河南省兰考县第一高级中学模拟预测(理))已知定义在上的函数在上单调递增,若,且函数为偶函数,则不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
答案:D
【解析】
分析:
分析可知函数的图象关于直线对称,可得出函数的单调性,分析的符号变化,由可得或,解之即可.
【详解】
因为函数为偶函数,则,故函数的图象关于直线对称,
因为函数在上单调递增,故函数在上单调递减,
因为,则,
所以,由可得,由可得或,
解不等式,可得或,解得或,
故不等式的解集为.
故选:D.
11.(2023·辽宁·抚顺市第二中学三模)函数是R上的奇函数,函数图像与函数关于对称,则( )
A.0B.-1C.2D.1
答案:C
【解析】
分析:
由函数是R上的奇函数,可得函数的图像关于点对称,根据条件可得函数的图像关于对称,从而得出答案.
【详解】
函数是R上的奇函数,则
设,则,则函数的图像关于点对称
函数图像与函数关于对称,
所以函数的图像关于对称,所以
故选:C
12.(2023·广西·南宁三中二模(文))若函数的图象关于直线对称,则_______.
答案:7
【解析】
分析:
由对称性得,取特殊值求得,再检验满足即可得,
【详解】
由题意,即,
所以,即,解得,
此时,
,满足题意.
所以,.
故答案为:7.
13.(2023·山东·胜利一中模拟预测)已知函数满足对任意恒成立,又函数的图象关于点对称,且,则_________.
答案:
【解析】
分析:
根据题意先求出,再根据条件分析得到函数的周期,再求解计算即可.
【详解】
因为函数满足对任意恒成立,
所以令,即,解得,所以对任意恒成立,
又函数的图象关于点对称,将函数向右平移个单位得到,
所以关于点,即为上的奇函数,所以,
又对任意恒成立,令,得,
即,再令,得,分析得,
所以函数的周期为,因为,所以在中,
令,得,所以.
故答案为:.
14.(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟预测)已知是定义在上的函数,若对任意,都有,且函数的图像关于直线对称,,则_______.
答案:3
【解析】
分析:
先由函数的图像关于直线对称,得到函数是偶函数,则有;
又令代入,求得函数的周期为,利用函数周期化简即可求值.
【详解】
因为函数的图像关于直线对称,所以函数的图像关于直线对称,即函数是偶函数,则有;
因为对任意,都有,
令,得,
所以对任意,都有,即函数的周期为,
则,
故答案为:.
15.(2023·湖南·邵阳市第二中学模拟预测)已知函数,若不等式对恒成立,则实数的取值范围______.
答案:
【解析】
分析:
先判断函数在上为增函数,然后求得,所以原不等式可化为,从而得对恒成立,即对恒成立,然后利用基本不等式求出的最小值即可
【详解】
,
因为在上为增函数,
所以在上为增函数,
因为,
所以可化为,
因为在上为增函数,
所以对恒成立,
所以对恒成立,
因为,所以,当且仅当,即时取等号,
所以,即实数的取值范围,
故答案为:
16.(2023·全国·哈师大附中模拟预测(文))已知函数(其中是自然对数的底数),若在平面直角坐标系中,所有满足的点都不在直线上,则直线的方程可以是__________(写出满足条件一个直线的方程即可).
答案:(不唯一)
【解析】
分析:
由函数解析式可得函数关于点中心对称,据此及函数为增函数由可得,据此求出满足条件的直线即可.
【详解】
在上单调递增,
,,
曲线关于点中心对称,
在平面直角坐标系中,所有满足即的点都不在直线上.
所以,直线上的点都满足,即直线在表示的半平面内,
故直线斜率为,纵截距小于等于2,如等.
故答案为:(不唯一)
17.(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数,给出定义:设是函数的导数,是的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”,同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且拐点就是对称中心,若,请你根据这一发现,求:(1)函数的对称中心为___________;(2)计算___________.
答案:
【解析】
分析:
(1)利用拐点的定义求解;
(2)根据(1)的结论,得到求解.
【详解】
(1),,
令,解得,
∴,
∴函数的对称中心为;
(2)∵的对称中心为,
∴,
∴,
,
故答案为:(1);(2).
1.(2023·全国·高考真题)已知函数的定义域为R,且,则( )
A.B.C.0D.1
答案:A
【解析】
分析:
根据题意赋值即可知函数的一个周期为,求出函数一个周期中的的值,即可解出.
【详解】
因为,令可得,,所以,令可得,,即,所以函数为偶函数,令得,,即有,从而可知,,故,即,所以函数的一个周期为.
因为,,,,,所以
一个周期内的.由于22除以6余4,
所以.
故选:A.
2.(2023·全国·高考真题(理))已知函数的定义域均为R,且.若的图像关于直线对称,,则( )
A.B.C.D.
答案:D
【解析】
分析:
根据对称性和已知条件得到,从而得到,,然后根据条件得到的值,再由题意得到从而得到的值即可求解.
【详解】
因为的图像关于直线对称,
所以,
因为,所以,即,
因为,所以,
代入得,即,
所以,
.
因为,所以,即,所以.
因为,所以,又因为,
联立得,,
所以的图像关于点中心对称,因为函数的定义域为R,
所以
因为,所以.
所以.
故选:D
【点睛】
含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽,考生需要根据已知条件进行恰当的转化,然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.
3.(2023·全国·高考真题)已知函数的定义域为,为偶函数,为奇函数,则( )
A.B.C.D.
答案:B
【解析】
分析:
推导出函数是以为周期的周期函数,由已知条件得出,结合已知条件可得出结论.
【详解】
因为函数为偶函数,则,可得,
因为函数为奇函数,则,所以,,
所以,,即,
故函数是以为周期的周期函数,
因为函数为奇函数,则,
故,其它三个选项未知.
故选:B.
4.(2023·全国·高考真题(理))设函数的定义域为R,为奇函数,为偶函数,当时,.若,则( )
A.B.C.D.
答案:D
【解析】
分析:
通过是奇函数和是偶函数条件,可以确定出函数解析式,进而利用定义或周期性结论,即可得到答案.
【详解】
因为是奇函数,所以①;
因为是偶函数,所以②.
令,由①得:,由②得:,
因为,所以,
令,由①得:,所以.
思路一:从定义入手.
所以.
思路二:从周期性入手
由两个对称性可知,函数的周期.
所以.
故选:D.
【点睛】
在解决函数性质类问题的时候,我们通常可以借助一些二级结论,求出其周期性进而达到简便计算的效果.
5.(2023·全国·高考真题(文))设是定义域为R的奇函数,且.若,则( )
A.B.C.D.
答案:C
【解析】
分析:
由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.
【详解】
由题意可得:,
而,
故.
故选:C.
【点睛】
关键点点睛:本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式,灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.
6.(2023·全国·高考真题(理))设函数,则下列函数中为奇函数的是( )
A.B.C.D.
答案:B
【解析】
分析:
分别求出选项的函数解析式,再利用奇函数的定义即可.
【详解】
由题意可得,
对于A,不是奇函数;
对于B,是奇函数;
对于C,,定义域不关于原点对称,不是奇函数;
对于D,,定义域不关于原点对称,不是奇函数.
故选:B
【点睛】
本题主要考查奇函数定义,考查学生对概念的理解,是一道容易题.
7.(2023·海南·高考真题)若定义在的奇函数f(x)在单调递减,且f(2)=0,则满足的x的取值范围是( )
A.B.
C.D.
答案:D
【解析】
分析:
首先根据函数奇偶性与单调性,得到函数在相应区间上的符号,再根据两个数的乘积大于等于零,分类转化为对应自变量不等式,最后求并集得结果.
【详解】
因为定义在上的奇函数在上单调递减,且,
所以在上也是单调递减,且,,
所以当时,,当时,,
所以由可得:
或或
解得或,
所以满足的的取值范围是,
故选:D.
【点睛】
本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式,考查分类讨论思想方法,属中档题.
8.(2023·全国·高考真题(文))已知函数f(x)=sinx+,则()
A.f(x)的最小值为2B.f(x)的图象关于y轴对称
C.f(x)的图象关于直线对称D.f(x)的图象关于直线对称
答案:D
【解析】
分析:
根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.
【详解】
可以为负,所以A错;
关于原点对称;
故B错;
关于直线对称,故C错,D对
故选:D
【点睛】
本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性,考查基本分析判断能力,属中档题.
9.(多选题)(2023·全国·高考真题)已知函数及其导函数的定义域均为,记,若,均为偶函数,则( )
A.B.C.D.
答案:BC
【解析】
分析:
转化题设条件为函数的对称性,结合原函数与导函数图象的关系,根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】
因为,均为偶函数,
所以即,,
所以,,则,故C正确;
函数,的图象分别关于直线对称,
又,且函数可导,
所以,
所以,所以,
所以,,故B正确,D错误;
若函数满足题设条件,则函数(C为常数)也满足题设条件,所以无法确定的函数值,故A错误.
故选:BC.
【点睛】
关键点点睛:解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质,准确把握原函数与导函数图象间的关系,准确把握函数的性质(必要时结合图象)即可得解.
10.(2023·全国·高考真题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______.
①;②当时,;③是奇函数.
答案:(答案不唯一,均满足)
【解析】
分析:
根据幂函数的性质可得所求的.
【详解】
取,则,满足①,
,时有,满足②,
的定义域为,
又,故是奇函数,满足③.
故答案为:(答案不唯一,均满足)
11.(2023·全国·高考真题)已知函数是偶函数,则______.
答案:1
【解析】
分析:
利用偶函数的定义可求参数的值.
【详解】
因为,故,
因为为偶函数,故,
时,整理得到,
故,
故答案为:1
12.(2023·全国·高考真题(理))关于函数f(x)=有如下四个命题:
①f(x)的图象关于y轴对称.
②f(x)的图象关于原点对称.
③f(x)的图象关于直线x=对称.
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是__________.
答案:②③
【解析】
分析:
利用特殊值法可判断命题①的正误;利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误;利用对称性的定义可判断命题③的正误;取可判断命题④的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于命题①,,,则,
所以,函数的图象不关于轴对称,命题①错误;
对于命题②,函数的定义域为,定义域关于原点对称,
,
所以,函数的图象关于原点对称,命题②正确;
对于命题③,,
,则,
所以,函数的图象关于直线对称,命题③正确;
对于命题④,当时,,则,
命题④错误.
故答案为:②③.
【点睛】
本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解,考查推理能力与计算能力,属于中等题.
13.(2023·全国·高考真题(文))若是奇函数,则_____,______.
答案: ; .
【解析】
分析:
根据奇函数的定义即可求出.
【详解】
因为函数为奇函数,所以其定义域关于原点对称.
由可得,,所以,解得:,即函数的定义域为,再由可得,.即,在定义域内满足,符合题意.
故答案为:;.
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数就叫做偶函数
关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数就叫做奇函数
关于原点对称
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