高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)考向21三角恒等变换(重点)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)考向21三角恒等变换(重点)(原卷版+解析)，共48页。

【2022·全国·高考真题】若，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】由已知得：,
即：，
即：,
所以,
故选：C
【2022·浙江·高考真题】若，则__________，_________．
答案：
【解析】，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴ ，
则．
故答案为：；．
1．给角求值
给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解．
2．给值求值
已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：
（1）先化简所求式子．
（2）观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数名及角入手）．
（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．
3．给值求角
通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：
（1）已知正切函数值，则选正切函数．
（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是，则选正、余弦皆可；若角的范围是，则选余弦较好；若角的范围为，则选正弦较好．
4．与三角函数的图象及性质相结合的综合问题
（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成或
的形式．
（2）利用公式求周期．
（3）根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．
（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数或的单调区间．
1．两角和与差正切公式变形
；
．
2．降幂公式与升幂公式
；
．
3．其他常用变式
．
3．拆分角问题：①；；②；③；
④；⑤．
注意特殊的角也看成已知角，如．
1．两角和与差的正余弦与正切
①；
②；
③；
2．二倍角公式
①；
②；
③；
3．降次（幂）公式
4．半角公式
5．辅助角公式
（其中）．
1．(2023·四川省内江市第六中学模拟预测（理））某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，彰显城市积极向上的活力.某公司设计方案如图，等腰△PMN的顶点P在半径为20的大⊙O上，点M，N在半径为10的小⊙O上，点O，P在弦MN的同侧.设，当△PMN的面积最大时，对于其它区域中的某材料成本最省，则此时（ ）
A．B．C．D．0
2．(2023·全国·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（文））若，则（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·江苏无锡·模拟预测）若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·河南省杞县高中模拟预测（文））已知，若，则（ ）
A．B．
C．或D．或
1．(2023·全国·模拟预测）已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·河南省杞县高中模拟预测（理））已知，若，则（ ）
A．B．C．或D．或
3．(2023·河南安阳·模拟预测（理））函数的最小正周期和最小值分别为（ ）
A．和B．和0C．和D．和0
4．(2023·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））若，则（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·全国·高三专题练习）已知，均为锐角，且，.则（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·全国·高三专题练习）已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．（多选题）(2023·全国·模拟预测）下列四个等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（多选题）(2023·辽宁·大连市普兰店区高级中学模拟预测）已知函数在上单调递增，则的可能值是（ ）
A．B．C．D．
9．（多选题）(2023·湖北武汉·模拟预测）已知函数关于对称，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在上单调递增
C．的最大值为
D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于点对称
10．（多选题）(2023·重庆南开中学模拟预测）已知函数，，则下列判断正确的有（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象向左平移个单位可以得到函数的图象
C．函数的最小正周期为
D．函数在区间内单调递增
11．（多选题）(2023·全国·河源市河源中学模拟预测）如果函数的最大值为，那么该三角函数的周期可能为（ ）
A．B．C．D．
12．（多选题）(2023·重庆·西南大学附中模拟预测）已知，，，且，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．，可能是方程的两根
D．
13．(2023·浙江·杭师大附中模拟预测）函数，，，则______________．
14．(2023·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））方程在区间上的所有解的和等于___________.
15．(2023·江苏南通·模拟预测）若＝3，则＝________．
16．(2023·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））已知，，则______．
17．(2023·广东茂名·二模）图一是东汉末年与三国初期东吴数学家赵爽创造的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，三个全等的不等腰三角形构成一个大的正三角形和一个小的正三角形（如图二）．已知.
(1)求证：EF=EB；
(2)求 的值．
18．(2023·浙江·绍兴一中模拟预测）已知函数．
(1)求函数的最小正周期和对称中心；
(2)若，方程有两个实数解，求实数m的取值范围．
19．(2023·浙江省江山中学高三期中）已知函数.
(1)求区数在区间上的值域；
(2)若，且，求.
1．(2023·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高考真题（文））（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·浙江·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．（2023·全国·高考真题（文））若，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346B．373C．446D．473
6．（2023·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．（多选题）（2023·全国·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023·浙江·高考真题）已知，则________；______．
10．(2023·浙江·高考真题）若，则__________，_________．
11．(2023·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则________；________．
12．(2023·上海·高考真题）已知，则的值为_________.
13．（2023·北京·高考真题）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．
14．（2023·江苏·高考真题）已知 =，则的值是____.
15．（2023·天津·高考真题）在，角所对的边分别为，已知，．
（I）求a的值；
（II）求的值；
（III）求的值．
1．答案：C
【解析】等腰△PMN中，，设△PMN的面积为，
则，，
求导
，
令，即，解得：（舍去负根），
记，，
当，，函数单调递增；
当，，函数单调递减；
故当时，即，取得极大值，即最大值，
则
故选：C.
2．答案：A
【解析】，所以，因为，
所以，所以．
故选：A．
3．答案：A
【解析】由已知可得，
则原式．
故选：A.
4．答案：A
【解析】.
故选：A.
5．答案：A
【解析】因为，所以，
又，所以，，
所以．
故选：A．
1．答案：D
【解析】解：因为
=-.
，
；
，，
所以，
故．
故选：D.
2．答案：B
【解析】因为，所以，
又，所以，
所以，
所以，
所以，
又，．
故选：B．
3．答案：D
【解析】由题意知，定义域为，，
则最小正周期为，最小值为，此时.
故选：D.
4．答案：D
【解析】由题意得：
，
故选：D．
5．答案：A
【解析】因为，均为锐角，故，又，故，故，，故
故选：A
6．答案：D
【解析】由题设，又，即，
所以，，
而.
故选：D
7．（多选题）答案：AD
【解析】∵，
∴，所以A正确；
∵设，
则，
而，故即，故B错误.
，所以C错误，
，所以D正确，
故选：AD．
8．（多选题）答案：AC
【解析】由题意，得，
由，解得,
当时，，即函数f（x）在上单调递增.
因为函数在上单调递增，所以.
故选：AC.
9．（多选题）答案：AC
【解析】对A，函数关于对称，故，所以，解得，故A正确；
对B，，当时，，此时是减函数，故B错误；
对C，最大值为，故C正确；
对D，把的图象向左平移个单位长度，得到，又，不为对称点处的横坐标，故D错误；
故选：AC
10．（多选题）答案：BC
【解析】A：，故关于对称，错误；
B：，正确；
C：，其周期为，正确；
D：在上，故在内不单调，错误.
故选：BC
11．（多选题）答案：BD
【解析】.
则其最大值为，
所以，则a=2+4k，，函数的周期即为.
对照四个选项中只有BD符合.
故选：BD
12．（多选题）答案：ABD
【解析】A. 由，，且 ，所以，所以故正确；
B. 因为，且，且，所以，故正确；
C.若，可能是方程的两根，则，，
因为，，所以，所以，又，，故错误；
D.，
，
，
，
，故正确；
故选：ABD
13．答案：
【解析】，，
，又，，
，，，
.
故答案为：.
14．答案：【解析】由可得，
，则，所以，，
解得，
因此，方程在区间上的所有解的和.
故答案为：.
15．答案：
【解析】
故答案为：.
16．答案：
【解析】，
因为，
所以，
故答案为：.
17．【解析】(1)证明：∵,
故设△DEF的面积为m,则 ，则△ABC的面积为，
∴三个全等的不等腰三角形的面积各自为，
设 ，则由题意可得
∵△DEF为等边三角形，
故在△DEF中，①，
在 中，②,
由 得， ，化简得 ，
∵ ，∴ 即 ,故EF＝EB．
(2)由（1）知， ，
在△ABE中，由余弦定理知，
∴，
∴，
由题意知是锐角，故 ，
同理可得,
由题意知是锐角，故,
故.
18．【解析】(1)
=
=
=
=
所以，最小正周期，
由，得
所以，对称中心为．
(2)因为，所以，
由正弦曲线可得．
19．【解析】(1)解：，
所以，
当时，，
故
从而，
所以函数在区间上的值域为：；
(2)解：
所以，
因，
若，则，矛盾！
故，
从而
所以.
1．答案：C
【解析】由已知得：,
即：，
即：,
所以,
故选：C
2．答案：D
【解析】由题意，
.
故选：D.
3．答案：C
【解析】法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设，则，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
4．答案：A
【解析】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
5．答案：B
【解析】
过作，过作，
故，
由题，易知为等腰直角三角形，所以．
所以．
因为，所以
在中，由正弦定理得：
，
而，
所以
所以．
故选：B．
6．答案：C
【解析】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
7．答案：B
【解析】由题意可得：，
则：，，
从而有：，
即.
故选：B.
8．（多选题）答案：AC
【解析】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
9．答案：
【解析】，
，
故答案为：
10．答案：
【解析】，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴ ，
则．
故答案为：；．
11．答案： 1
【解析】∵，∴
∴
故答案为：1，
12．答案：
【解析】由两角和的正切公式得.
故答案为.
13．答案：（均可）
【解析】因为，
所以，解得，故可取.
故答案为：（均可）.
14．答案：
【解析】
故答案为：
15．【解析】（I）因为，由正弦定理可得，
，；
（II）由余弦定理可得；
（III），，
，，
所以.
考向21 三角恒等变换
【2022·全国·高考真题】若，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】由已知得：,
即：，
即：,
所以,
故选：C
【2022·浙江·高考真题】若，则__________，_________．
答案：
【解析】，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴ ，
则．
故答案为：；．
1．给角求值
给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解．
2．给值求值
已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：
（1）先化简所求式子．
（2）观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数名及角入手）．
（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．
3．给值求角
通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：
（1）已知正切函数值，则选正切函数．
（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是，则选正、余弦皆可；若角的范围是，则选余弦较好；若角的范围为，则选正弦较好．
4．与三角函数的图象及性质相结合的综合问题
（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成或
的形式．
（2）利用公式求周期．
（3）根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．
（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数或的单调区间．
1．两角和与差正切公式变形
；
．
2．降幂公式与升幂公式
；
．
3．其他常用变式
．
3．拆分角问题：①；；②；③；
④；⑤．
注意特殊的角也看成已知角，如．
1．两角和与差的正余弦与正切
①；
②；
③；
2．二倍角公式
①；
②；
③；
3．降次（幂）公式
4．半角公式
5．辅助角公式
（其中）．
1．(2023·四川省内江市第六中学模拟预测（理））某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，彰显城市积极向上的活力.某公司设计方案如图，等腰△PMN的顶点P在半径为20的大⊙O上，点M，N在半径为10的小⊙O上，点O，P在弦MN的同侧.设，当△PMN的面积最大时，对于其它区域中的某材料成本最省，则此时（ ）
A．B．C．D．0
答案：C
【解析】等腰△PMN中，，设△PMN的面积为，
则，，
求导
，
令，即，解得：（舍去负根），
记，，
当，，函数单调递增；
当，，函数单调递减；
故当时，即，取得极大值，即最大值，
则
故选：C.
2．(2023·全国·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】，所以，因为，
所以，所以．
故选：A．
3．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（文））若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由已知可得，
则原式．
故选：A.
4．(2023·江苏无锡·模拟预测）若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】.
故选：A.
5．(2023·河南省杞县高中模拟预测（文））已知，若，则（ ）
A．B．
C．或D．或
答案：A
【解析】因为，所以，
又，所以，，
所以．
故选：A．
1．(2023·全国·模拟预测）已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】解：因为
=-.
，
；
，，
所以，
故．
故选：D.
2．(2023·河南省杞县高中模拟预测（理））已知，若，则（ ）
A．B．C．或D．或
答案：B
【解析】因为，所以，
又，所以，
所以，
所以，
所以，
又，．
故选：B．
3．(2023·河南安阳·模拟预测（理））函数的最小正周期和最小值分别为（ ）
A．和B．和0C．和D．和0
答案：D
【解析】由题意知，定义域为，，
则最小正周期为，最小值为，此时.
故选：D.
4．(2023·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由题意得：
，
故选：D．
5．(2023·全国·高三专题练习）已知，均为锐角，且，.则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为，均为锐角，故，又，故，故，，故
故选：A
6．(2023·全国·高三专题练习）已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由题设，又，即，
所以，，
而.
故选：D
7．（多选题）(2023·全国·模拟预测）下列四个等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：AD
【解析】∵，
∴，所以A正确；
∵设，
则，
而，故即，故B错误.
，所以C错误，
，所以D正确，
故选：AD．
8．（多选题）(2023·辽宁·大连市普兰店区高级中学模拟预测）已知函数在上单调递增，则的可能值是（ ）
A．B．C．D．
答案：AC
【解析】由题意，得，
由，解得,
当时，，即函数f（x）在上单调递增.
因为函数在上单调递增，所以.
故选：AC.
9．（多选题）(2023·湖北武汉·模拟预测）已知函数关于对称，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在上单调递增
C．的最大值为
D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于点对称
答案：AC
【解析】对A，函数关于对称，故，所以，解得，故A正确；
对B，，当时，，此时是减函数，故B错误；
对C，最大值为，故C正确；
对D，把的图象向左平移个单位长度，得到，又，不为对称点处的横坐标，故D错误；
故选：AC
10．（多选题）(2023·重庆南开中学模拟预测）已知函数，，则下列判断正确的有（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象向左平移个单位可以得到函数的图象
C．函数的最小正周期为
D．函数在区间内单调递增
答案：BC
【解析】A：，故关于对称，错误；
B：，正确；
C：，其周期为，正确；
D：在上，故在内不单调，错误.
故选：BC
11．（多选题）(2023·全国·河源市河源中学模拟预测）如果函数的最大值为，那么该三角函数的周期可能为（ ）
A．B．C．D．
答案：BD
【解析】.
则其最大值为，
所以，则a=2+4k，，函数的周期即为.
对照四个选项中只有BD符合.
故选：BD
12．（多选题）(2023·重庆·西南大学附中模拟预测）已知，，，且，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．，可能是方程的两根
D．
答案：ABD
【解析】A. 由，，且 ，所以，所以故正确；
B. 因为，且，且，所以，故正确；
C.若，可能是方程的两根，则，，
因为，，所以，所以，又，，故错误；
D.，
，
，
，
，故正确；
故选：ABD
13．(2023·浙江·杭师大附中模拟预测）函数，，，则______________．
答案：
【解析】，，
，又，，
，，，
.
故答案为：.
14．(2023·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））方程在区间上的所有解的和等于___________.
答案：【解析】由可得，
，则，所以，，
解得，
因此，方程在区间上的所有解的和.
故答案为：.
15．(2023·江苏南通·模拟预测）若＝3，则＝________．
答案：
【解析】
故答案为：.
16．(2023·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））已知，，则______．
答案：
【解析】，
因为，
所以，
故答案为：.
17．(2023·广东茂名·二模）图一是东汉末年与三国初期东吴数学家赵爽创造的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，三个全等的不等腰三角形构成一个大的正三角形和一个小的正三角形（如图二）．已知.
(1)求证：EF=EB；
(2)求 的值．
【解析】(1)证明：∵,
故设△DEF的面积为m,则 ，则△ABC的面积为，
∴三个全等的不等腰三角形的面积各自为，
设 ，则由题意可得
∵△DEF为等边三角形，
故在△DEF中，①，
在 中，②,
由 得， ，化简得 ，
∵ ，∴ 即 ,故EF＝EB．
(2)由（1）知， ，
在△ABE中，由余弦定理知，
∴，
∴，
由题意知是锐角，故 ，
同理可得,
由题意知是锐角，故,
故.
18．(2023·浙江·绍兴一中模拟预测）已知函数．
(1)求函数的最小正周期和对称中心；
(2)若，方程有两个实数解，求实数m的取值范围．
【解析】(1)
=
=
=
=
所以，最小正周期，
由，得
所以，对称中心为．
(2)因为，所以，
由正弦曲线可得．
19．(2023·浙江省江山中学高三期中）已知函数.
(1)求区数在区间上的值域；
(2)若，且，求.
【解析】(1)解：，
所以，
当时，，
故
从而，
所以函数在区间上的值域为：；
(2)解：
所以，
因，
若，则，矛盾！
故，
从而
所以.
1．(2023·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】由已知得：,
即：，
即：,
所以,
故选：C
2．（2023·全国·高考真题（文））（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由题意，
.
故选：D.
3．（2023·浙江·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案：C
【解析】法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设，则，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
4．（2023·全国·高考真题（文））若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
5．（2023·全国·高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346B．373C．446D．473
答案：B
【解析】
过作，过作，
故，
由题，易知为等腰直角三角形，所以．
所以．
因为，所以
在中，由正弦定理得：
，
而，
所以
所以．
故选：B．
6．（2023·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
7．（2023·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意可得：，
则：，，
从而有：，
即.
故选：B.
8．（多选题）（2023·全国·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：AC
【解析】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
9．（2023·浙江·高考真题）已知，则________；______．
答案：
【解析】，
，
故答案为：
10．(2023·浙江·高考真题）若，则__________，_________．
答案：
【解析】，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴ ，
则．
故答案为：；．
11．(2023·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则________；________．
答案： 1
【解析】∵，∴
∴
故答案为：1，
12．(2023·上海·高考真题）已知，则的值为_________.
答案：
【解析】由两角和的正切公式得.
故答案为.
13．（2023·北京·高考真题）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．
答案：（均可）
【解析】因为，
所以，解得，故可取.
故答案为：（均可）.
14．（2023·江苏·高考真题）已知 =，则的值是____.
答案：
【解析】
故答案为：
15．（2023·天津·高考真题）在，角所对的边分别为，已知，．
（I）求a的值；
（II）求的值；
（III）求的值．
【解析】（I）因为，由正弦定理可得，
，；
（II）由余弦定理可得；
（III），，
，，
所以.