高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)考向41离散型随机变量的分布列与数字特征(六大经典题型)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)考向41离散型随机变量的分布列与数字特征(六大经典题型)(原卷版+解析)，共79页。试卷主要包含了5，0等内容，欢迎下载使用。

经典题型一：离散型随机变量
经典题型二：求离散型随机变量的分布列
经典题型三：离散型随机变量的分布列的性质
经典题型四：离散型随机变量的均值
经典题型五：离散型随机变量的方差
经典题型六：决策问题
(2023·全国·高考真题（理））甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【解析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为
．
（2）依题可知，的可能取值为，所以，
,
，
，
.
即的分布列为
期望.
(2023·浙江·高考真题）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则__________，_________．
答案：
【解析】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有种，所以，
由已知可得的取值有1，2，3，4，
，，
所以,
故答案为：，.
知识点一．离散型随机变量的分布列
1、随机变量
在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母，，，，…表示．
注意：
（1）一般地，如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果．这种试验就是随机试验．
（2）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币，表示反面向上，表示正面向上．
（3）随机变量的线性关系：若是随机变量，，是常数，则也是随机变量．
2、离散型随机变量
对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量．
注意：
（1）本章研究的离散型随机变量只取有限个值．
（2）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出．
3、离散型随机变量的分布列的表示
一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下：
我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列．
4、离散型随机变量的分布列的性质
根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：
（1），；（2）．
注意：
①性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数．
②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．
知识点二．离散型随机变量的均值与方差
1、均值
若离散型随机变量的分布列为
称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
注意：（1）均值刻画的是取值的“中心位置”，这是随机变量的一个重要特征；
（2）根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质．
2、均值的性质
（1）（为常数）．
（2）若，其中为常数，则也是随机变量，且．
（3）．
（4）如果相互独立，则．
3、方差
若离散型随机变量的分布列为
则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差．
注意：（1）描述了相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；
（2）标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方．
4、方差的性质
（1）若，其中为常数，则也是随机变量，且．
（2）方差公式的变形：．
1、用定义法求离散型随机变量的分布列及均值、方差的步骤：
（1）理解的意义，写出可能取的全部值；
（2）求取每个值的概率；
（3）写出的分布列；
（4）由均值的定义求．
2、求离散型随机变量的分布列一般要涉及到随机变量概率的求法，求概率时一定要弄清相应的概率类型（古典概型、相互独立事件的概率、独立重复实验、条件概率）．
（1） 利用古典概型求事件A的概率，关键是要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m．如果基本事件的个数比较少，可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来，然后再求出事件A中的基本事件数，利用公式求出事件A的概率，注意列举时必须按照某一顺序做到不重不漏；如果基本事件个数比较多，列举有一定困难时，也可借助两个计数原理及排列组合知识直接计算m，n，再运用公式求概率．
（2）较为复杂的概率问题的处理方法有：
①转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解；
②采用间接法，先求事件A的对立事件的概率，再由求事件A的概率．
3、高考对离散型随机变量的均值与方差的考查主要有以下三个命题角度：（1）已知离散型随机变量符合条件，求其均值与方差；（2）已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值；（3）已知离散型随机变量满足两种方案，试作出判断．利用随机变量的期望与方差可以帮助我们作出科学的决策，品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否等很多问题都与这两个特征两量有关．若我们希望实际的平均水平较理想，则先求随机变量，的期望，当时，不应认为它们一定一样好，需要用来比较这两个随机变量的方差，确定它们的偏离程度．若我们希望比较稳定性，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或接近．
经典题型一：离散型随机变量
1．(2023·全国·高三专题练习）袋中有大小相同质地均匀的5个白球、3个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（ ）
A．至少取到1个白球B．取到白球的个数
C．至多取到1个白球D．取到的球的个数
2．(2023·全国·高三专题练习）下面是离散型随机变量的是（ ）
A．电灯炮的使用寿命
B．小明射击1次，击中目标的环数
C．测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值
D．一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置
3．(2023·全国·高三专题练习）甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
4．(2023·浙江·高三专题练习）对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ,则ξ=k表示的试验结果为( )
A．第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
B．第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
C．前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
D．前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
经典题型二：求离散型随机变量的分布列
5．(2023·全国·高三专题练习）随机变量的概率分布满足（，1，2，…，10），则的值为___________.
6．(2023·河南·上蔡县衡水实验中学高三阶段练习（理））设随机变量的概率分布列如下表：
则（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·浙江省苍南中学高三阶段练习）甲，乙两位同学组队去参加答题拿小豆的游戏，规则如下：甲同学先答2道题，至少答对一题后，乙同学才有机会答题，同样也是两次机会.每答对一道题得10粒小豆.已知甲每题答对的概率均为，乙第一题答对的概率为，第二题答对的概率为.若乙有机会答题的概率为.
(1)求;
(2)求甲，乙共同拿到小豆数量的分布列及期望.
8．(2023·全国·高三专题练习）已知袋内有5个白球和6个红球，从中摸出2个球，记，求X的分布列.
经典题型三：离散型随机变量的分布列的性质
9．(2023·全国·模拟预测）随机变量的分布列如表：其中，，成等差数列，则（ ）
A．B．C．D．
10．(2023·重庆九龙坡·三模）若随机变量X的分布列如下所示，且，则a､b的值分别是（ ）
A．0.1，0.4B．0.4，0.1
C．0.3，0.2D．0.2，0.3
11．(2023·浙江绍兴·二模）设，随机变量的分布列是
若，则（ ）
A．B．
C．D．
12．(2023·全国·模拟预测）已知随机变量的分布列是
随机变量的分布列是
以下错误的为（ ）
A．B．
C．D．
13．(2023·全国·高三专题练习）已知离散型随机变量X的分布列，则a＝（ ）
A．1B．C．D．
14．(2023·全国·高三专题练习）设随机变量X的概率分布列如下：则（ ）
A．B．C．D．
15．(2023·全国·高三专题练习）设随机变量ξ的分布列为（k=1，2，3，4，5），则下列说法错误的是（ ）
A．B．P（0.5<<0.8）=0.2
C．P（0.1<<0.5）=0.2D．P（=1）=0.3
16．(2023·广西桂林·模拟预测（文））设0＜a＜1．随机变量X的分布列是
则当a在（0，1）内增大时，（ ）
A．E（X）不变B．E（X）减小C．V（X）先增大后减小D．V（X）先减小后增大
经典题型四：离散型随机变量的均值
17．(2023·浙江省春晖中学模拟预测）盒中有大小相同的5个红球和3个白球，从中随机摸出3个小球，记摸到白球的个数为，则随机变量的数学期望 （ ）
A．B．C．D．
18．(2023·湖北省仙桃中学模拟预测）小明班的语文老师昨天报了一次听写，语文老师给了小明满分分，但实际上小明有一处写了个错别字，告诉了小王和小丁，错一处扣分，但小明自己不会给老师说，小王有的可能告诉老师，小丁有的可能告诉老师，他们都不会告诉其他同学，老师知道后就会把分扣下来，则最后小明的听写本上的得分期望（ ）
A．B．C．D．
19．(2023·辽宁·鞍山一中模拟预测）冬奥会的两个吉祥物是“冰墩墩”和“雪容融”．“冰墩墩”将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冰雪运动和现代科技特点．冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计创作，顶部的如意造型象征吉祥幸福．小明在纪念品商店买了6个“冰墩墩”和3个“雪容融”，随机选了3个寄给他的好朋友小华，则小华收到的“冰墩墩”的个数的平均值为（ ）
A．1B．2C．3D．1.5
20．(2023·江西南昌·模拟预测（理））如图是飞行棋部分棋盘图示，飞机的初始位置为0号格，抛掷一个质地均匀的骰子，若拋出的点数为1，2，飞机在原地不动；若抛出的点数为3，4，飞机向前移一格；若抛出的点数为5，6，飞机向前移两格．记抛掷骰子一次后，飞机到达1号格为事件．记抛掷骰子两次后，飞机到达2号格为事件．
(1)求；
(2)判断事件是否独立，并说明理由；
(3)抛掷骰子2次后，记飞机所在格子的号为，求随机变量的分布列和数学期望．
21．(2023·湖南益阳·模拟预测）已知一个袋子里装有颜色不同的个小球，其中红球个，黄球个，现从中随机取球，每次只取一球．
(1)若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球三次，至少两次取得红球”的概率
(2)若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有红球或取球次数达到四次就终止取球，记取球结束时一共取球次，求随机变量的分布列与期望．
22．(2023·四川成都·模拟预测（理））成都高中为了锻炼高三年级同学的身体，同时也为了放松持续不断的考试带来的紧张感，调节学习状态，特组织学生进行投篮游戏.投篮只有“命中”和“不命中”两种结果，“命中”加10分，“不命中”减10分.某班同学投篮“命中”的概率为，“不命中”的概率为，每次投篮命中与否相互独立.记该班同学次投篮后的总得分为.
(1)求且的概率；
(2)记，求的分布列与数学期望.
经典题型五：离散型随机变量的方差
23．(2023·浙江·绍兴一中模拟预测）已知袋中有大小相同、质地均匀的黑色小球m个和白色小球个，从中任取3个，记随机变量为取出的3个球中黑球的个数，则（ ）
A．都与m有关B．与m有关，与m无关
C．与m无关，与m有关D．都与m无关
24．(2023·江苏徐州·模拟预测）如图，在数轴上，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动3次，设质点最终所在位置的坐标为X，则X的方差为（ ）
A．0B．C．3D．5
25．(2023·河南洛阳·模拟预测（理））随机变量的概率分布列为，k＝1，2，3，其中c是常数，则的值为（ ）
A．10B．117C．38D．35
26．(2023·浙江绍兴·模拟预测）设，随机变量的分布列分别如下，则( )
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
27．(2023·浙江温州·三模）已知随机变量X，Y的分布列如下：
则（ ）
A．B．C．D．
28．(2023·浙江·三模）设，随机变量的分布列是
则当p在区间内增大时，（ ）
A．减小B．增大
C．先减小后增大D．先增大后减小
29．(2023·浙江·湖州市菱湖中学模拟预测）设，随机变量的分布列为
则当在内增大时（ ）
A．增大B．减小C． 先减小后增大D．先增大后减小
30．(2023·湖北·鄂南高中模拟预测）已知两个投资项目的利润率分别为随机变量和，根据市场分析，和的分布列如下：
(1)在两个项目上各投资200万元，和（单位：万元）表示投资项目和所获得的利润，求和；
(2)将万元投资项目，万元投资项目，表示投资项目所得利润的方差与投资项目所得利润的方差之和.则当为何值时，取得最小值？
31．(2023·北京延庆·模拟预测）2022年北京冬奥会的成功举办，带动中国3亿多人参与冰雪运动，这是对国际奥林匹克运动发展的巨大贡献．2020《中国滑雪产业白皮书》显示，2020-2021排名前十的省份的滑雪人次（单位：万人次）数据如下表：
(1)从滑雪人次排名前10名的省份中随机抽取1个省份，求该省2020-2021滑雪人次大于2018-2019滑雪人次的概率；
(2)从滑雪人次排名前5名的省份中随机选取3个省份，记这3个省份中2020-2021的滑雪人次超过150万人次的省份数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)记表格中2020-2021， 2019-2020两组数据的方差分别为与，试判断和的大小．结论不要求证明
32．(2023·河南河南·一模（理））一个不透明袋子里装有红色小球x个，绿色小球y个，蓝色小球z个，小球除颜色外其他都相同.从中任取一个小球，规定取出的小球是蓝色的积3分，绿色的积2分，红色的积1分.
(1)若，从该袋子中随机有放回的抽取2个小球，记X为取出小球的积分之和，求X的分布列；
(2)从该袋子中随机取一个小球，记Y为此小球的对应积分，若，求.
33．(2023·北京市大兴区精华培训学校三模）某工艺坊要将6件工艺原料加工成工艺品，每天完成一件工艺品，每件原料需先后完成1、2、3三道工序，工序1、2、3分别由工艺师甲、乙、丙完成，三位工艺师同时到岗，完成负责工序即可离岗，等待时按每小时10元进行补贴，记加工原料时工艺师乙、丙获得的总补贴为（单位：元），例如：加工原料1时工艺师乙等待1小时，获得补贴10元，丙等待7小时，获得补贴70元，则，已知完成各工序所需时长(小时)如下表：
由于客户催单，需要将每件原料时长最长的工序时间减少1小时，记此时加工原料时工艺师乙、丙获得的总补贴为（单位：元），例如：.
（1）从6件原料中任选一件，求的概率；
（2）从6件原料中任选三件，记为满足“”的件数，求的分布列及数学期望；
（3）记数据的方差为，数据的方差为，试比较，的大小.（只需写出结果）
经典题型六：决策问题
34．(2023·山东·烟台二中模拟预测）某新华书店将在六一儿童节进行有奖促销活动，凡在该书店购书达到规定金额的小朋友可参加双人赢取“购书券”的游戏．游戏规则为：游戏共三局，每局游戏开始前，在不透明的箱中装有个号码分别为、、、、的小球（小球除号码不同之外，其余完全相同）．每局由甲、乙两人先后从箱中不放回地各摸出一个小球（摸球者无法摸出小球号码）．若双方摸出的两球号码之差为奇数，则甲被扣除个积分，乙增加个积分；若号码之差为偶数，则甲增加个积分，乙被扣除个积分．游戏开始时，甲、乙的初始积分均为零，游戏结束后，若双方的积分不等，则积分较大的一方视为获胜方，将获得“购书券”奖励；若双方的积分相等，则均不能获得奖励．
(1)设游戏结束后，甲的积分为随机变量，求的分布列；
(2)以（1）中的随机变量的数学期望为决策依据，当游戏规则对甲获得“购书券”奖励更为有利时，记正整数的最小值为．
①求的值，并说明理由；
②当时，求在甲至少有一局被扣除积分的情况下，甲仍获得“购书券”奖励的概率．
35．(2023·湖北·武汉二中模拟预测）2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为；甲与丙比赛，丙赢的概率为p，其中．
(1)若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？
(2)为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望的取值范围．
36．(2023·福建莆田·模拟预测）某企业有生产能力相同的甲、乙两条生产线，生产成本相同的同一种产品.为保障产品质量，质检部门分别从这两条生产线上各随机抽取100件产品，并检测其某项质量指标值.根据该质量指标值对应的产品等级，统计得到甲、乙生产线的样本频数分布表如下：
(1)根据样本频数分布表，估计乙生产线的该质量指标值的中位数；
(2)该企业为了守法经营，将所有次品销毁，每销毁一件次品的费用为10元.已知一、二、三等品的售价分别为120元/件、90元/件、60元/件.为响应政府拉闸限电的号召，企业计划关停一条生产线.视频率为概率，若您是企业的决策者，根据生产线效益的差异情况，您应关停哪条生产线，并说明理由.
37．(2023·广东茂名·模拟预测）某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测.若每件产品的生产成本为1200元，每件一级品可卖1700元，每件二级品可卖1000元，三级品禁止出厂且销毁.某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示.
(1)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从生产的所有产品中随机取出2件，求至少有一件产品是一级品的概率；
(2)现从样本产品中利用分层抽样的方法随机抽取10件产品，再从这10件中任意抽取3件，设取到二级品的件数为，求随机变量的分布列和数学期望；
(3)已知该生产线原先的年产量为80万件，为提高企业利润，计划明年对该生产线进行升级，预计升级需一次性投入2000万元，升级后该生产线年产量降为70万件，但产品质量显著提升，不会再有三级品，且一级品与二级品的产量比会提高到，若以该生产线今年利润与明年预计利润为决策依据，请判断该次升级是否合理.
1．（2023·浙江·高考真题）设，则随机变量的分布列是：
则当在内增大时
A．增大B．减小
C．先增大后减小D．先减小后增大
2．（多选题）（2023·海南·高考真题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（ ）
A．若n=1，则H(X)=0
B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大
C．若，则H(X)随着n的增大而增大
D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)
3．（2023·全国·高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．
（1）已知，求；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
4．（2023·北京·高考真题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
5．（2023·全国·高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
6．（2023·江苏·高考真题）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．
（1）求p1，q1和p2，q2；
（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用 n表示) ．
7．（2023·全国·高考真题（理））为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．
(i)证明：为等比数列；
(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
8．（2023·天津·高考真题（理））设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.
9．（2023·浙江·高考真题）袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则___________，___________.
10．（2023·浙江·高考真题）盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为，则_______；______．
经典题型一：离散型随机变量
1．答案：B
【解析】根据离散型随机变量的定义，能够一一列出的只能是B选项，
其中A、C选项是事件，D选项取到球的个数是个，ACD错误；
故选：B.
2．答案：B
【解析】对于A，电灯炮的使用寿命是变量，但无法将其取值一一列举出来，故A不符题意；
对于B，小明射击1次，击中目标的环数是变量，且其取值为，故X为离散型随机变量，故B符合题意；
对于C，测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值是变量，但无法一一列举出X的所有取值，故X不是离散型随机变量，故C不符题意；
对于D，一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置是变量，但无法一一列举出其所有取值，故X不是离散型随机变量，故D不符题意.
故选：B.
3．答案：D
【解析】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
所以有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
故选：D．
4．答案：D
【解析】由题意表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为，因此前次检测到的都是正品，第次检测的是一件次品.
故选D.
经典题型二：求离散型随机变量的分布列
5．答案：1024
【解析】由题意.
故答案为：1024.
6．答案：C
【解析】根据随机变量分布列的概率分布列知，，解得．又，∴或，则．
故选:C．
7．【解析】（1）由已知得，当甲至少答对1题后，乙才有机会答题.
所以乙有机会答题的概率为，
解得；
（2）X的可能取值为0，10，20，30，40；
所以X的分布列为：
.
8．【解析】由题意得，X的可能取值为0，1，
，
.
可得X的分布列如表所示：
经典题型三：离散型随机变量的分布列的性质
9．答案：D
【解析】因为，，成等差数列，所以，根据随机变量分布列的性质：，所以，所以.
故选：D.
10．答案：A
【解析】因为，
所以，解得，
因为，所以，解得，
故选：A
11．答案：B
【解析】由分布列可知：.
，
，即
所以联立方程组得：，解得：
故选：B
12．答案：C
【解析】对于A中，由分布列的性质，可得，解得，所以A正确．
对于B中，，所以B正确．
对于C中，，，
所以，所以C错误．
对于D中，，，
，，，
计算得，所以，所以D正确.
故选：C．
13．答案：C
【解析】由题意得随机变量X的分布列如表所示.
由分布列的性质得，，解得.
故选：C.
14．答案：C
【解析】由分布列性质可得： ，则 ，
由,
故选：C
15．答案：D
【解析】由题意可得，则，则，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D不正确，
故选：D.
16．答案：D
【解析】，∴E（X）增大；
，
∵0＜a＜1，∴V（X）先减小后增大．
故选：D．
经典题型四：离散型随机变量的均值
17．答案：B
【解析】盒中有大小相同的5个红球和3个白球，
从中随机摸出3个球，记摸到白球的个数为，
的可能取值为0，1，2，3，
所以，，
，，
的分布列为：
．
故选：B．
18．答案：D
【解析】由题意可知的可能取值为：、，
则，，
因此，.
故选：D.
19．答案：B
【解析】设小华收到的“冰墩墩”的个数为，则.
则；；
；.
所以.
故选：B
20．【解析】（1）由题意，因为飞机每前移一格的概率为，故；
（2）由题意，事件抛掷骰子一次后，飞机到达1号格，只能是前移了1格；事件抛掷骰子两次后，飞机到达2号格可能前移了两次一格，或一次前移两格一次原地不动.
故，，
因此，所以事件，相互独立．
（3）随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，
，，
，，，
所以随机变量的分布列为
所以．
21．【解析】（1）连续取球三次，记取得红球的次数为，则，
则．
（2）随机变量的所有可能取值为，，，
，
，
，
所以随机变量的分布列为
所以随机变量的期望为．
22．【解析】(1)，即投篮6次，4次命中，2次不命中，若第1次和第2次命中，则其余4次可任意命中两次；若第1次命中，第2次不命中，第3次命中，则其余3次可任意命中2次，故所求概率为.
(2)的可能取值为
，
，
，
的分布列为
故
经典题型五：离散型随机变量的方差
23．答案：C
【解析】由题可知：
，
，
故，
=
=．
故选：C．
24．答案：C
【解析】X可能取值为1，，3，
，
则，
故选：C．
25．答案：C
【解析】，k＝1，2，3，
，解得，
，
，
.
故选：C
26．答案：A
【解析】设随机变量为X，其可能的取值是，对应概率为，则其数学期望(均值)为，
其方差为：
，
则，，
；
，，
；
∴，
若，则，，故，即，故A正确，B错误；
若，则，但无法判断与1的大小，故无法判断的大小，故CD错误．
故选：A．
27．答案：D
【解析】，，，，，.
故选：D.
28．答案：D
【解析】，
，令，则，易得单调递减，
又，故存在，使得，则在单增，在单减，即先增大后减小.
故选：D.
29．答案：A
【解析】根据随机变量分布列的性质可知，
，
，
因为，所以单调递增，
故选：A
30．【解析】（1）依题意得：
，
.
（2）设投资项目所获利润为，投资项目所获利润为.
，
故当时，取得最小值.
31．【解析】（1）由表格可知，滑雪人次排名前十的省份中2020-2021滑雪人次大于2018-2019滑雪人次的频率为．
设事件从滑雪人次排名前十的省份中随机抽取1个省份，该省2020-2021滑雪人次大于2018-2019滑雪人次．
所以；
（2）由题意可知，X的可能取值是．
，，，
所以X的分布列为
所以X的数学期望为=；
（3）通过表格可以发现2020-2021，2019-2020两组数据中，2020-2021这一组数据比较分散不集中，
所以．
32．【解析】(1)由题意，抽取2个小球可能为{红，红}，{绿，绿}，{蓝，蓝}，{红，绿}，{红，蓝}，{绿，蓝}，则X可能为2、3、4、5、6，
又每次抽到红、绿、蓝球的概率分别、、，
∴，，，，，
∴X的分布列如下：
(2)由题设，当时，，
当时，，
当时，，
∴，
，
，
∴，则，，，
∴.
33．【解析】（1）由题意得，，，，，，
，，，，，，
所以从6件原料中任选一件，有，，，，
所以从6件原料中任选一件，的概率为；
（2）从6件原料中任选三件，记为满足“”的件数，则，
则；；，
X的分布列为
所以X的数学期望为；
（3）>．
经典题型六：决策问题
34．【解析】(1)记“一局游戏后甲被扣除个积分”为事件，“一局游戏后乙被扣除个积分”为事件，
由题可知，则，
当三局均为甲被扣除个积分时，，
当两局为甲被扣除个积分，一局为乙被扣除个积分时，，
当一局为甲被扣除个积分，两局为乙被扣除个积分时，，
当三局均为乙被扣除个积分时，，
所以，，，
，，
所以，随机变量的分布列为
(2)①由（1）易得，
显然甲、乙双方的积分之和恒为零，
当游戏规则对甲获得“购书券”奖励更为有利时，则需，
所以，，即正整数的最小值；
②当时，记“甲至少有一局被扣除积分”为事件，则，
由题设可知若甲获得“购书券”奖励则甲被扣除积分的局数至多为，
记“甲获得“购书券”奖励”为事件，易知事件为“甲恰好有一局被扣除积分”，
则，所以，，
即在甲至少有一局被扣除积分的情况下，甲仍获得“购书券”奖励的概率为．
35．【解析】（1）第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：
;
第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：
，
因为，所以，所以.
所以，业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛.
（2）由已知万元或万元.
由（1）知，业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛.
此时，业余队获胜的概率为，
专业队获胜的概率为，
所以，非平局的概率为，
平局的概率为.
的分布列为：
的数学期望为（万元）
而，所以的取值范围为：（单位：万元）.
36．【解析】(1)∵乙生产线抽取了100件产品，由样本频数分布表可知，质量指标值位于前两组的频数为18，前三组的频数为68，
∴中位数位于第三组，设乙生产线的该质量指标值的中位数为x，则
，
解得，
∴乙生产线的该质量指标值的中位数为；
(2)由题可得甲生产线生产次品的概率为，一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为，
设甲生产线生产一件产品的收入为X，则
（元），
乙生产线生产次品的概率为，一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为，
设乙生产线生产一件产品的收入为Y，则
（元）（元），
∴甲生产线生产一件产品的平均收入低于乙生产线生产一件产品的平均收入，应关停甲生产线.
37．【解析】(1)抽取的100件产品是一级品的频率是，则从生产的所有产品中任取1件，是一级品的概率是，
设从生产的所有产品中随机选2件，至少有一件是一级品的事件为，则，
所以至少有一件产品是一级品的概率是.
(2)依题意，10件产品中一级品7件，二级品2件，三级品1件，的可能值是，
，，，
所以的分布列为：
.
(3)今年利润为：(万元)，
明年预计利润为：(万元)，显然有，
所以该次升级方案合理.
1．答案：D
【解析】方法1：由分布列得，则
，则当在内增大时，先减小后增大.
方法2：则
故选D.
2．答案：AC
【解析】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.
对于B选项，若，则，，
所以，
当时，，
当时，，
两者相等，所以B选项错误.
对于C选项，若，则
，
则随着的增大而增大，所以C选项正确.
对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且 （ ）.
.
由于，所以 ，所以 ，
所以，
所以，所以D选项错误.
故选：AC
3．【解析】（1）.
（2）设，
因为，故，
若，则，故.
，
因为，，
故有两个不同零点，且，
且时，；时，；
故在，上为增函数，在上为减函数，
若，因为在为增函数且，
而当时，因为在上为减函数，故，
故为的一个最小正实根，
若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根，
综上，若，则.
若，则，故.
此时，，
故有两个不同零点，且，
且时，；时，；
故在，上为增函数，在上为减函数，
而，故，
又，故在存在一个零点，且.
所以为的一个最小正实根，此时，
故当时，.
（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
4．【解析】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；
所以总检测次数为20次；
②由题意，可以取20，30，
，，
则的分布列:
所以；
（2）由题意，可以取25，30，
两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为，
则.
5．【解析】（1）由题可知，的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以的分布列为
（2）由（1）知，．
若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以．
因为，所以小明应选择先回答类问题．
6．【解析】（1），
，
.
（2），
，
因此，
从而，
即.
又的分布列为
故.
7．【解析】（1）由题意可知所有可能的取值为：，，
；；
则的分布列如下：
（2），
，，
（i）
即
整理可得：
是以为首项，为公比的等比数列
（ii）由（i）知：
，，……，
作和可得：
表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.
8．【解析】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，
故，从面.
所以，随机变量的分布列为：
随机变量的数学期望.
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则.
且.
由题意知事件与互斥，
且事件与，事件与均相互独立，
从而由(Ⅰ)知：
.
9．答案： 1
【解析】，所以，
, 所以, 则．
由于
．
故答案为：1；．
10．答案：
【解析】因为对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，
所以，
随机变量，
，
，
所以.
故答案为：.
0
10
20
30
0.16
0.44
0.34
0.06
1
2
3
4
0
1


-1
0
1
2
0.3
0.2
0
1
2
0
1
1
2
3
X
－1
0
1
2
P
X
0
a
1
P
0
1
2
P
0
1
2
P
X
1
0
Y
2
P
0.5
0.5
P
0.5
0.5
0
p
1
P
X
0
1
2
P
b
排名
省份
2020-2021
2019-2020
2018-2019
1
河北
221
136
235
2
吉林
202
123
207
3
北京
188
112
186
4
黑龙江
149
101
195
5
新疆
133
76
116
6
四川
99
52
69
7
河南
98
58
95
8
浙江
94
62
108
9
陕西
79
47
76
10
山西
78
39
100
原料
工序
原料1
原料2
原料3
原料4
原料5
原料6
工序1
1
1
2
3
2
4
工序2
6
4
3
1
4
1
工序3
5
3
4
6
3
2
质量指标值
等级
次品
二等品
一等品
二等品
三等品
次品
甲生产线（件）
2
19
40
24
14
1
乙生产线（件）
2
16
50
12
19
1
X
0
10
20
30
40
P
X
0
1
P
X
1
P
a

0
1
2
3





0
1
2
3
4
X
10
30
50
P
10
20
4
16
24
X
1
2
3
P
2
3
4
5
6
X



P

－6
P
0
1
2

0
1
2




0
1
2
3
考向41 离散型随机变量的分布列与数字特征
经典题型一：离散型随机变量
经典题型二：求离散型随机变量的分布列
经典题型三：离散型随机变量的分布列的性质
经典题型四：离散型随机变量的均值
经典题型五：离散型随机变量的方差
经典题型六：决策问题
(2023·全国·高考真题（理））甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【解析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为
．
（2）依题可知，的可能取值为，所以，
,
，
，
.
即的分布列为
期望.
(2023·浙江·高考真题）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则__________，_________．
答案：
【解析】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有种，所以，
由已知可得的取值有1，2，3，4，
，，
所以,
故答案为：，.
知识点一．离散型随机变量的分布列
1、随机变量
在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母，，，，…表示．
注意：
（1）一般地，如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果．这种试验就是随机试验．
（2）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币，表示反面向上，表示正面向上．
（3）随机变量的线性关系：若是随机变量，，是常数，则也是随机变量．
2、离散型随机变量
对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量．
注意：
（1）本章研究的离散型随机变量只取有限个值．
（2）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出．
3、离散型随机变量的分布列的表示
一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下：
我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列．
4、离散型随机变量的分布列的性质
根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：
（1），；（2）．
注意：
①性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数．
②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．
知识点二．离散型随机变量的均值与方差
1、均值
若离散型随机变量的分布列为
称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
注意：（1）均值刻画的是取值的“中心位置”，这是随机变量的一个重要特征；
（2）根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质．
2、均值的性质
（1）（为常数）．
（2）若，其中为常数，则也是随机变量，且．
（3）．
（4）如果相互独立，则．
3、方差
若离散型随机变量的分布列为
则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差．
注意：（1）描述了相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；
（2）标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方．
4、方差的性质
（1）若，其中为常数，则也是随机变量，且．
（2）方差公式的变形：．
1、用定义法求离散型随机变量的分布列及均值、方差的步骤：
（1）理解的意义，写出可能取的全部值；
（2）求取每个值的概率；
（3）写出的分布列；
（4）由均值的定义求．
2、求离散型随机变量的分布列一般要涉及到随机变量概率的求法，求概率时一定要弄清相应的概率类型（古典概型、相互独立事件的概率、独立重复实验、条件概率）．
（1） 利用古典概型求事件A的概率，关键是要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m．如果基本事件的个数比较少，可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来，然后再求出事件A中的基本事件数，利用公式求出事件A的概率，注意列举时必须按照某一顺序做到不重不漏；如果基本事件个数比较多，列举有一定困难时，也可借助两个计数原理及排列组合知识直接计算m，n，再运用公式求概率．
（2）较为复杂的概率问题的处理方法有：
①转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解；
②采用间接法，先求事件A的对立事件的概率，再由求事件A的概率．
3、高考对离散型随机变量的均值与方差的考查主要有以下三个命题角度：（1）已知离散型随机变量符合条件，求其均值与方差；（2）已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值；（3）已知离散型随机变量满足两种方案，试作出判断．利用随机变量的期望与方差可以帮助我们作出科学的决策，品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否等很多问题都与这两个特征两量有关．若我们希望实际的平均水平较理想，则先求随机变量，的期望，当时，不应认为它们一定一样好，需要用来比较这两个随机变量的方差，确定它们的偏离程度．若我们希望比较稳定性，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或接近．
经典题型一：离散型随机变量
1．(2023·全国·高三专题练习）袋中有大小相同质地均匀的5个白球、3个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（ ）
A．至少取到1个白球B．取到白球的个数
C．至多取到1个白球D．取到的球的个数
答案：B
【解析】根据离散型随机变量的定义，能够一一列出的只能是B选项，
其中A、C选项是事件，D选项取到球的个数是个，ACD错误；
故选：B.
2．(2023·全国·高三专题练习）下面是离散型随机变量的是（ ）
A．电灯炮的使用寿命
B．小明射击1次，击中目标的环数
C．测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值
D．一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置
答案：B
【解析】对于A，电灯炮的使用寿命是变量，但无法将其取值一一列举出来，故A不符题意；
对于B，小明射击1次，击中目标的环数是变量，且其取值为，故X为离散型随机变量，故B符合题意；
对于C，测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值是变量，但无法一一列举出X的所有取值，故X不是离散型随机变量，故C不符题意；
对于D，一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置是变量，但无法一一列举出其所有取值，故X不是离散型随机变量，故D不符题意.
故选：B.
3．(2023·全国·高三专题练习）甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
答案：D
【解析】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
所以有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
故选：D．
4．(2023·浙江·高三专题练习）对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ,则ξ=k表示的试验结果为( )
A．第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
B．第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
C．前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
D．前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
答案：D
【解析】由题意表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为，因此前次检测到的都是正品，第次检测的是一件次品.
故选D.
经典题型二：求离散型随机变量的分布列
5．(2023·全国·高三专题练习）随机变量的概率分布满足（，1，2，…，10），则的值为___________.
答案：1024
【解析】由题意.
故答案为：1024.
6．(2023·河南·上蔡县衡水实验中学高三阶段练习（理））设随机变量的概率分布列如下表：
则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】根据随机变量分布列的概率分布列知，，解得．又，∴或，则．
故选:C．
7．(2023·浙江省苍南中学高三阶段练习）甲，乙两位同学组队去参加答题拿小豆的游戏，规则如下：甲同学先答2道题，至少答对一题后，乙同学才有机会答题，同样也是两次机会.每答对一道题得10粒小豆.已知甲每题答对的概率均为，乙第一题答对的概率为，第二题答对的概率为.若乙有机会答题的概率为.
(1)求;
(2)求甲，乙共同拿到小豆数量的分布列及期望.
【解析】（1）由已知得，当甲至少答对1题后，乙才有机会答题.
所以乙有机会答题的概率为，
解得；
（2）X的可能取值为0，10，20，30，40；
所以X的分布列为：
.
8．(2023·全国·高三专题练习）已知袋内有5个白球和6个红球，从中摸出2个球，记，求X的分布列.
【解析】由题意得，X的可能取值为0，1，
，
.
可得X的分布列如表所示：
经典题型三：离散型随机变量的分布列的性质
9．(2023·全国·模拟预测）随机变量的分布列如表：其中，，成等差数列，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为，，成等差数列，所以，根据随机变量分布列的性质：，所以，所以.
故选：D.
10．(2023·重庆九龙坡·三模）若随机变量X的分布列如下所示，且，则a､b的值分别是（ ）
A．0.1，0.4B．0.4，0.1
C．0.3，0.2D．0.2，0.3
答案：A
【解析】因为，
所以，解得，
因为，所以，解得，
故选：A
11．(2023·浙江绍兴·二模）设，随机变量的分布列是
若，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】由分布列可知：.
，
，即
所以联立方程组得：，解得：
故选：B
12．(2023·全国·模拟预测）已知随机变量的分布列是
随机变量的分布列是
以下错误的为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】对于A中，由分布列的性质，可得，解得，所以A正确．
对于B中，，所以B正确．
对于C中，，，
所以，所以C错误．
对于D中，，，
，，，
计算得，所以，所以D正确.
故选：C．
13．(2023·全国·高三专题练习）已知离散型随机变量X的分布列，则a＝（ ）
A．1B．C．D．
答案：C
【解析】由题意得随机变量X的分布列如表所示.
由分布列的性质得，，解得.
故选：C.
14．(2023·全国·高三专题练习）设随机变量X的概率分布列如下：则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由分布列性质可得： ，则 ，
由,
故选：C
15．(2023·全国·高三专题练习）设随机变量ξ的分布列为（k=1，2，3，4，5），则下列说法错误的是（ ）
A．B．P（0.5<<0.8）=0.2
C．P（0.1<<0.5）=0.2D．P（=1）=0.3
答案：D
【解析】由题意可得，则，则，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D不正确，
故选：D.
16．(2023·广西桂林·模拟预测（文））设0＜a＜1．随机变量X的分布列是
则当a在（0，1）内增大时，（ ）
A．E（X）不变B．E（X）减小C．V（X）先增大后减小D．V（X）先减小后增大
答案：D
【解析】，∴E（X）增大；
，
∵0＜a＜1，∴V（X）先减小后增大．
故选：D．
经典题型四：离散型随机变量的均值
17．(2023·浙江省春晖中学模拟预测）盒中有大小相同的5个红球和3个白球，从中随机摸出3个小球，记摸到白球的个数为，则随机变量的数学期望 （ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】盒中有大小相同的5个红球和3个白球，
从中随机摸出3个球，记摸到白球的个数为，
的可能取值为0，1，2，3，
所以，，
，，
的分布列为：
．
故选：B．
18．(2023·湖北省仙桃中学模拟预测）小明班的语文老师昨天报了一次听写，语文老师给了小明满分分，但实际上小明有一处写了个错别字，告诉了小王和小丁，错一处扣分，但小明自己不会给老师说，小王有的可能告诉老师，小丁有的可能告诉老师，他们都不会告诉其他同学，老师知道后就会把分扣下来，则最后小明的听写本上的得分期望（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由题意可知的可能取值为：、，
则，，
因此，.
故选：D.
19．(2023·辽宁·鞍山一中模拟预测）冬奥会的两个吉祥物是“冰墩墩”和“雪容融”．“冰墩墩”将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冰雪运动和现代科技特点．冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计创作，顶部的如意造型象征吉祥幸福．小明在纪念品商店买了6个“冰墩墩”和3个“雪容融”，随机选了3个寄给他的好朋友小华，则小华收到的“冰墩墩”的个数的平均值为（ ）
A．1B．2C．3D．1.5
答案：B
【解析】设小华收到的“冰墩墩”的个数为，则.
则；；
；.
所以.
故选：B
20．(2023·江西南昌·模拟预测（理））如图是飞行棋部分棋盘图示，飞机的初始位置为0号格，抛掷一个质地均匀的骰子，若拋出的点数为1，2，飞机在原地不动；若抛出的点数为3，4，飞机向前移一格；若抛出的点数为5，6，飞机向前移两格．记抛掷骰子一次后，飞机到达1号格为事件．记抛掷骰子两次后，飞机到达2号格为事件．
(1)求；
(2)判断事件是否独立，并说明理由；
(3)抛掷骰子2次后，记飞机所在格子的号为，求随机变量的分布列和数学期望．
【解析】（1）由题意，因为飞机每前移一格的概率为，故；
（2）由题意，事件抛掷骰子一次后，飞机到达1号格，只能是前移了1格；事件抛掷骰子两次后，飞机到达2号格可能前移了两次一格，或一次前移两格一次原地不动.
故，，
因此，所以事件，相互独立．
（3）随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，
，，
，，，
所以随机变量的分布列为
所以．
21．(2023·湖南益阳·模拟预测）已知一个袋子里装有颜色不同的个小球，其中红球个，黄球个，现从中随机取球，每次只取一球．
(1)若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球三次，至少两次取得红球”的概率
(2)若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有红球或取球次数达到四次就终止取球，记取球结束时一共取球次，求随机变量的分布列与期望．
【解析】（1）连续取球三次，记取得红球的次数为，则，
则．
（2）随机变量的所有可能取值为，，，
，
，
，
所以随机变量的分布列为
所以随机变量的期望为．
22．(2023·四川成都·模拟预测（理））成都高中为了锻炼高三年级同学的身体，同时也为了放松持续不断的考试带来的紧张感，调节学习状态，特组织学生进行投篮游戏.投篮只有“命中”和“不命中”两种结果，“命中”加10分，“不命中”减10分.某班同学投篮“命中”的概率为，“不命中”的概率为，每次投篮命中与否相互独立.记该班同学次投篮后的总得分为.
(1)求且的概率；
(2)记，求的分布列与数学期望.
【解析】(1)，即投篮6次，4次命中，2次不命中，若第1次和第2次命中，则其余4次可任意命中两次；若第1次命中，第2次不命中，第3次命中，则其余3次可任意命中2次，故所求概率为.
(2)的可能取值为
，
，
，
的分布列为
故
经典题型五：离散型随机变量的方差
23．(2023·浙江·绍兴一中模拟预测）已知袋中有大小相同、质地均匀的黑色小球m个和白色小球个，从中任取3个，记随机变量为取出的3个球中黑球的个数，则（ ）
A．都与m有关B．与m有关，与m无关
C．与m无关，与m有关D．都与m无关
答案：C
【解析】由题可知：
，
，
故，
=
=．
故选：C．
24．(2023·江苏徐州·模拟预测）如图，在数轴上，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动3次，设质点最终所在位置的坐标为X，则X的方差为（ ）
A．0B．C．3D．5
答案：C
【解析】X可能取值为1，，3，
，
则，
故选：C．
25．(2023·河南洛阳·模拟预测（理））随机变量的概率分布列为，k＝1，2，3，其中c是常数，则的值为（ ）
A．10B．117C．38D．35
答案：C
【解析】，k＝1，2，3，
，解得，
，
，
.
故选：C
26．(2023·浙江绍兴·模拟预测）设，随机变量的分布列分别如下，则( )
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
答案：A
【解析】设随机变量为X，其可能的取值是，对应概率为，则其数学期望(均值)为，
其方差为：
，
则，，
；
，，
；
∴，
若，则，，故，即，故A正确，B错误；
若，则，但无法判断与1的大小，故无法判断的大小，故CD错误．
故选：A．
27．(2023·浙江温州·三模）已知随机变量X，Y的分布列如下：
则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】，，，，，.
故选：D.
28．(2023·浙江·三模）设，随机变量的分布列是
则当p在区间内增大时，（ ）
A．减小B．增大
C．先减小后增大D．先增大后减小
答案：D
【解析】，
，令，则，易得单调递减，
又，故存在，使得，则在单增，在单减，即先增大后减小.
故选：D.
29．(2023·浙江·湖州市菱湖中学模拟预测）设，随机变量的分布列为
则当在内增大时（ ）
A．增大B．减小C． 先减小后增大D．先增大后减小
答案：A
【解析】根据随机变量分布列的性质可知，
，
，
因为，所以单调递增，
故选：A
30．(2023·湖北·鄂南高中模拟预测）已知两个投资项目的利润率分别为随机变量和，根据市场分析，和的分布列如下：
(1)在两个项目上各投资200万元，和（单位：万元）表示投资项目和所获得的利润，求和；
(2)将万元投资项目，万元投资项目，表示投资项目所得利润的方差与投资项目所得利润的方差之和.则当为何值时，取得最小值？
【解析】（1）依题意得：
，
.
（2）设投资项目所获利润为，投资项目所获利润为.
，
故当时，取得最小值.
31．(2023·北京延庆·模拟预测）2022年北京冬奥会的成功举办，带动中国3亿多人参与冰雪运动，这是对国际奥林匹克运动发展的巨大贡献．2020《中国滑雪产业白皮书》显示，2020-2021排名前十的省份的滑雪人次（单位：万人次）数据如下表：
(1)从滑雪人次排名前10名的省份中随机抽取1个省份，求该省2020-2021滑雪人次大于2018-2019滑雪人次的概率；
(2)从滑雪人次排名前5名的省份中随机选取3个省份，记这3个省份中2020-2021的滑雪人次超过150万人次的省份数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)记表格中2020-2021， 2019-2020两组数据的方差分别为与，试判断和的大小．结论不要求证明
【解析】（1）由表格可知，滑雪人次排名前十的省份中2020-2021滑雪人次大于2018-2019滑雪人次的频率为．
设事件从滑雪人次排名前十的省份中随机抽取1个省份，该省2020-2021滑雪人次大于2018-2019滑雪人次．
所以；
（2）由题意可知，X的可能取值是．
，，，
所以X的分布列为
所以X的数学期望为=；
（3）通过表格可以发现2020-2021，2019-2020两组数据中，2020-2021这一组数据比较分散不集中，
所以．
32．(2023·河南河南·一模（理））一个不透明袋子里装有红色小球x个，绿色小球y个，蓝色小球z个，小球除颜色外其他都相同.从中任取一个小球，规定取出的小球是蓝色的积3分，绿色的积2分，红色的积1分.
(1)若，从该袋子中随机有放回的抽取2个小球，记X为取出小球的积分之和，求X的分布列；
(2)从该袋子中随机取一个小球，记Y为此小球的对应积分，若，求.
【解析】(1)由题意，抽取2个小球可能为{红，红}，{绿，绿}，{蓝，蓝}，{红，绿}，{红，蓝}，{绿，蓝}，则X可能为2、3、4、5、6，
又每次抽到红、绿、蓝球的概率分别、、，
∴，，，，，
∴X的分布列如下：
(2)由题设，当时，，
当时，，
当时，，
∴，
，
，
∴，则，，，
∴.
33．(2023·北京市大兴区精华培训学校三模）某工艺坊要将6件工艺原料加工成工艺品，每天完成一件工艺品，每件原料需先后完成1、2、3三道工序，工序1、2、3分别由工艺师甲、乙、丙完成，三位工艺师同时到岗，完成负责工序即可离岗，等待时按每小时10元进行补贴，记加工原料时工艺师乙、丙获得的总补贴为（单位：元），例如：加工原料1时工艺师乙等待1小时，获得补贴10元，丙等待7小时，获得补贴70元，则，已知完成各工序所需时长(小时)如下表：
由于客户催单，需要将每件原料时长最长的工序时间减少1小时，记此时加工原料时工艺师乙、丙获得的总补贴为（单位：元），例如：.
（1）从6件原料中任选一件，求的概率；
（2）从6件原料中任选三件，记为满足“”的件数，求的分布列及数学期望；
（3）记数据的方差为，数据的方差为，试比较，的大小.（只需写出结果）
【解析】（1）由题意得，，，，，，
，，，，，，
所以从6件原料中任选一件，有，，，，
所以从6件原料中任选一件，的概率为；
（2）从6件原料中任选三件，记为满足“”的件数，则，
则；；，
X的分布列为
所以X的数学期望为；
（3）>．
经典题型六：决策问题
34．(2023·山东·烟台二中模拟预测）某新华书店将在六一儿童节进行有奖促销活动，凡在该书店购书达到规定金额的小朋友可参加双人赢取“购书券”的游戏．游戏规则为：游戏共三局，每局游戏开始前，在不透明的箱中装有个号码分别为、、、、的小球（小球除号码不同之外，其余完全相同）．每局由甲、乙两人先后从箱中不放回地各摸出一个小球（摸球者无法摸出小球号码）．若双方摸出的两球号码之差为奇数，则甲被扣除个积分，乙增加个积分；若号码之差为偶数，则甲增加个积分，乙被扣除个积分．游戏开始时，甲、乙的初始积分均为零，游戏结束后，若双方的积分不等，则积分较大的一方视为获胜方，将获得“购书券”奖励；若双方的积分相等，则均不能获得奖励．
(1)设游戏结束后，甲的积分为随机变量，求的分布列；
(2)以（1）中的随机变量的数学期望为决策依据，当游戏规则对甲获得“购书券”奖励更为有利时，记正整数的最小值为．
①求的值，并说明理由；
②当时，求在甲至少有一局被扣除积分的情况下，甲仍获得“购书券”奖励的概率．
【解析】(1)记“一局游戏后甲被扣除个积分”为事件，“一局游戏后乙被扣除个积分”为事件，
由题可知，则，
当三局均为甲被扣除个积分时，，
当两局为甲被扣除个积分，一局为乙被扣除个积分时，，
当一局为甲被扣除个积分，两局为乙被扣除个积分时，，
当三局均为乙被扣除个积分时，，
所以，，，
，，
所以，随机变量的分布列为
(2)①由（1）易得，
显然甲、乙双方的积分之和恒为零，
当游戏规则对甲获得“购书券”奖励更为有利时，则需，
所以，，即正整数的最小值；
②当时，记“甲至少有一局被扣除积分”为事件，则，
由题设可知若甲获得“购书券”奖励则甲被扣除积分的局数至多为，
记“甲获得“购书券”奖励”为事件，易知事件为“甲恰好有一局被扣除积分”，
则，所以，，
即在甲至少有一局被扣除积分的情况下，甲仍获得“购书券”奖励的概率为．
35．(2023·湖北·武汉二中模拟预测）2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为；甲与丙比赛，丙赢的概率为p，其中．
(1)若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？
(2)为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望的取值范围．
【解析】（1）第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：
;
第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：
，
因为，所以，所以.
所以，业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛.
（2）由已知万元或万元.
由（1）知，业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛.
此时，业余队获胜的概率为，
专业队获胜的概率为，
所以，非平局的概率为，
平局的概率为.
的分布列为：
的数学期望为（万元）
而，所以的取值范围为：（单位：万元）.
36．(2023·福建莆田·模拟预测）某企业有生产能力相同的甲、乙两条生产线，生产成本相同的同一种产品.为保障产品质量，质检部门分别从这两条生产线上各随机抽取100件产品，并检测其某项质量指标值.根据该质量指标值对应的产品等级，统计得到甲、乙生产线的样本频数分布表如下：
(1)根据样本频数分布表，估计乙生产线的该质量指标值的中位数；
(2)该企业为了守法经营，将所有次品销毁，每销毁一件次品的费用为10元.已知一、二、三等品的售价分别为120元/件、90元/件、60元/件.为响应政府拉闸限电的号召，企业计划关停一条生产线.视频率为概率，若您是企业的决策者，根据生产线效益的差异情况，您应关停哪条生产线，并说明理由.
【解析】(1)∵乙生产线抽取了100件产品，由样本频数分布表可知，质量指标值位于前两组的频数为18，前三组的频数为68，
∴中位数位于第三组，设乙生产线的该质量指标值的中位数为x，则
，
解得，
∴乙生产线的该质量指标值的中位数为；
(2)由题可得甲生产线生产次品的概率为，一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为，
设甲生产线生产一件产品的收入为X，则
（元），
乙生产线生产次品的概率为，一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为，
设乙生产线生产一件产品的收入为Y，则
（元）（元），
∴甲生产线生产一件产品的平均收入低于乙生产线生产一件产品的平均收入，应关停甲生产线.
37．(2023·广东茂名·模拟预测）某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测.若每件产品的生产成本为1200元，每件一级品可卖1700元，每件二级品可卖1000元，三级品禁止出厂且销毁.某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示.
(1)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从生产的所有产品中随机取出2件，求至少有一件产品是一级品的概率；
(2)现从样本产品中利用分层抽样的方法随机抽取10件产品，再从这10件中任意抽取3件，设取到二级品的件数为，求随机变量的分布列和数学期望；
(3)已知该生产线原先的年产量为80万件，为提高企业利润，计划明年对该生产线进行升级，预计升级需一次性投入2000万元，升级后该生产线年产量降为70万件，但产品质量显著提升，不会再有三级品，且一级品与二级品的产量比会提高到，若以该生产线今年利润与明年预计利润为决策依据，请判断该次升级是否合理.
【解析】(1)抽取的100件产品是一级品的频率是，则从生产的所有产品中任取1件，是一级品的概率是，
设从生产的所有产品中随机选2件，至少有一件是一级品的事件为，则，
所以至少有一件产品是一级品的概率是.
(2)依题意，10件产品中一级品7件，二级品2件，三级品1件，的可能值是，
，，，
所以的分布列为：
.
(3)今年利润为：(万元)，
明年预计利润为：(万元)，显然有，
所以该次升级方案合理.
1．（2023·浙江·高考真题）设，则随机变量的分布列是：
则当在内增大时
A．增大B．减小
C．先增大后减小D．先减小后增大
答案：D
【解析】方法1：由分布列得，则
，则当在内增大时，先减小后增大.
方法2：则
故选D.
2．（多选题）（2023·海南·高考真题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（ ）
A．若n=1，则H(X)=0
B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大
C．若，则H(X)随着n的增大而增大
D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)
答案：AC
【解析】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.
对于B选项，若，则，，
所以，
当时，，
当时，，
两者相等，所以B选项错误.
对于C选项，若，则
，
则随着的增大而增大，所以C选项正确.
对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且 （ ）.
.
由于，所以 ，所以 ，
所以，
所以，所以D选项错误.
故选：AC
3．（2023·全国·高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．
（1）已知，求；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
【解析】（1）.
（2）设，
因为，故，
若，则，故.
，
因为，，
故有两个不同零点，且，
且时，；时，；
故在，上为增函数，在上为减函数，
若，因为在为增函数且，
而当时，因为在上为减函数，故，
故为的一个最小正实根，
若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根，
综上，若，则.
若，则，故.
此时，，
故有两个不同零点，且，
且时，；时，；
故在，上为增函数，在上为减函数，
而，故，
又，故在存在一个零点，且.
所以为的一个最小正实根，此时，
故当时，.
（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
4．（2023·北京·高考真题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
【解析】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；
所以总检测次数为20次；
②由题意，可以取20，30，
，，
则的分布列:
所以；
（2）由题意，可以取25，30，
两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为，
则.
5．（2023·全国·高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【解析】（1）由题可知，的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以的分布列为
（2）由（1）知，．
若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以．
因为，所以小明应选择先回答类问题．
6．（2023·江苏·高考真题）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．
（1）求p1，q1和p2，q2；
（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用 n表示) ．
【解析】（1），
，
.
（2），
，
因此，
从而，
即.
又的分布列为
故.
7．（2023·全国·高考真题（理））为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．
(i)证明：为等比数列；
(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
【解析】（1）由题意可知所有可能的取值为：，，
；；
则的分布列如下：
（2），
，，
（i）
即
整理可得：
是以为首项，为公比的等比数列
（ii）由（i）知：
，，……，
作和可得：
表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.
8．（2023·天津·高考真题（理））设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.
【解析】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，
故，从面.
所以，随机变量的分布列为：
随机变量的数学期望.
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则.
且.
由题意知事件与互斥，
且事件与，事件与均相互独立，
从而由(Ⅰ)知：
.
9．（2023·浙江·高考真题）袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则___________，___________.
答案： 1
【解析】，所以，
, 所以, 则．
由于
．
故答案为：1；．
10．（2023·浙江·高考真题）盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为，则_______；______．
答案：
【解析】因为对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，
所以，
随机变量，
，
，
所以.
故答案为：.
0
10
20
30
0.16
0.44
0.34
0.06
1
2
3
4
X
0
10
20
30
40
P
X
0
1
P
0
1


-1
0
1
2
0.3
0.2
0
1
2
0
1
1
2
3
X
1
P
a
X
－1
0
1
2
P
X
0
a
1
P

0
1
2
3





0
1
2
3
4
X
10
30
50
P
0
1
2
P
0
1
2
P
X
1
0
Y
2
P
0.5
0.5
P
0.5
0.5
0
p
1
P
X
0
1
2
P
b
10
20
4
16
24
排名
省份
2020-2021
2019-2020
2018-2019
1
河北
221
136
235
2
吉林
202
123
207
3
北京
188
112
186
4
黑龙江
149
101
195
5
新疆
133
76
116
6
四川
99
52
69
7
河南
98
58
95
8
浙江
94
62
108
9
陕西
79
47
76
10
山西
78
39
100
X
1
2
3
P
2
3
4
5
6
原料
工序
原料1
原料2
原料3
原料4
原料5
原料6
工序1
1
1
2
3
2
4
工序2
6
4
3
1
4
1
工序3
5
3
4
6
3
2
X



P

－6
P
质量指标值
等级
次品
二等品
一等品
二等品
三等品
次品
甲生产线（件）
2
19
40
24
14
1
乙生产线（件）
2
16
50
12
19
1
0
1
2

0
1
2




0
1
2
3