广东省广州市八十九中2022-2023学年高二上学期期中数学试题(原卷版+解析)

这是一份广东省广州市八十九中2022-2023学年高二上学期期中数学试题(原卷版+解析)，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）
A B.
C. D. 与斜交
3. 如图所示，在三棱柱中，底面，，，点，分别是棱，的中点，则直线与所成的角是（ ）
A. B. C. D.
4. 圆与直线相交所得弦长为（ ）
A. 1B. C. 2D. 2
5. 在空间四边形ABCD中，＝（ ）
A. －1B. 0
C. 1D. 不确定
6. 过定点A的直线与过定点的直线交于点与不重合），则面积的最大值为（ ）
A. B. C. 2D. 4
7. 在三棱锥中，点E，F分别是的中点，点G在棱上，且满足，若，则（ ）
A. B. C. D.
8. 阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二．多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9. 已知向量，则下列结论中正确是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 不存在实数，使得
D. 若，则
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B. 点关于直线的对称点为
C. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
D. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
11. 在棱长为2的正方体中，E、F、G分别为BC、、的中点，则下列选项正确的是（ ）
A.
B. 直线与EF所成角的余弦值为
C. 三棱锥的体积为
D. 存在实数、使得
12. 已知圆和圆的交点为、，则（ ）
A. 两圆的圆心距
B. 圆上存点，圆上存在点，使得
C. 圆上存在两点和使得
D. 圆上的点到直线的最大距离为
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 若直线与平行，则_____________，与间的距离为_____________．
14. 在棱长为的正方体中，直线到平面的距离为_______________．
15. 如图，已知一个的二面角的棱上有两点和，且和分别是在这两个面内且垂直于的线段．又知，，，则求CD的长为___．
16. 若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是______.
三、解答题：（本题共6小题，共70分）
17. 已知△ABC的顶点坐标为A（﹣3，9）、B（2，2）、C（5，3）．
（1）求AC边中线所在直线方程；
（2）求△ABC面积．
18. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，是的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19. 如图，某海面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险?
20. 已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知.
（1）线段的长
（2）求到平面的距离；
21. 如图，已知梯形，//，，四边形为正方形，且平面平面．
（1）求证：平面；
（2）点M在线段上运动，求平面与平面夹角余弦值的取值范围．
22. 已知的方程是，直线l经过点.
（1）若直线l与相切，求直线l的方程；
（2）若直线l与相交于A，B两点，与直线交于点M，求证：为定值.
高二上学期期中考试数学试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
【解析】
分析：根据斜率与倾斜角的关系，直接得到答案.
【详解】因为直线，则其斜率
即，且
所以
故选:A.
2. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）
A. B.
C. D. 与斜交
答案：B
【解析】
分析：判断与的位置关系，进而可得出结论.
【详解】由已知可得，则，因此，.
故选：B.
3. 如图所示，在三棱柱中，底面，，，点，分别是棱，的中点，则直线与所成的角是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
【解析】
分析：建立如图所示的空间直角坐标系，求出和的坐标，进而由夹角公式可求得结果.
【详解】如图所示，建立空间直角坐标系．由于，不妨取，则，，，，∴，，∴，又，∴，即直线与所成的角为.
故选：C．
4. 圆与直线相交所得弦长为（ ）
A. 1B. C. 2D. 2
答案：D
【解析】
分析：
利用垂径定理可求弦长.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
故弦长为：，
故选：D.
5. 在空间四边形ABCD中，＝（ ）
A. －1B. 0
C. 1D. 不确定
答案：B
【解析】
分析：
令，利用空间向量的数量积运算律求解.
【详解】如图，
令，
则，
，
.
故选：B
6. 过定点A的直线与过定点的直线交于点与不重合），则面积的最大值为（ ）
A. B. C. 2D. 4
答案：C
【解析】
分析：根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得.
【详解】动直线化为，可知定点，
动直线化为，可知定点，
又
所以直线与直线垂直，为交点，
.
则，当且仅当时，等号成立.
即面积的最大值为2.
故选：C.
7. 在三棱锥中，点E，F分别是的中点，点G在棱上，且满足，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
【解析】
分析：利用空间向量的加、减运算即可求解.
【详解】
由题意可得
故选：B.
8. 阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
【解析】
分析：根据点的轨迹方程可得，结合条件可得，即得.
【详解】设，，所以，
又，所以．
因为且，所以，
整理可得，
又动点M的轨迹是，
所以，解得，
所以，又，
所以，因为，
所以的最小值为．
故选：C．
二．多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9. 已知向量，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 不存在实数，使得
D. 若，则
答案：AC
【解析】
分析：根据向量的模的计算公式，可判定A选项正确；根据向量垂直的条件，列出方程，可判定B选项错误；根据共线向量的条件，列出方程组，可判定C选项正确；根据向量的数量积的运算公式，列出方程，可判定D选项错误.
【详解】对于A中，由，可得，解得，故A选项正确；
对于B中，由，可得，解得，故B选项错误；
对于C中，若存在实数，使得，则，显然无解，即不存在实数，使得，故C选项正确；
对于D中，若，则，解得，于是，故D选项错误.
故选：AC.
【点睛】本题主要考查了空间向量的垂直与共线的表示及应用，以及空间向量的数量积的运算，其中解答中熟记空间向量的垂直与共线的条件，以及数量积的运算公式，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B. 点关于直线的对称点为
C. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
D. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
答案：ABD
【解析】
分析：A选项，利用斜率定义可知，当倾斜角为90°时，斜率不存在；B选项求解点关于直线的对称点，满足两点的斜率与乘积为-1，中点在已知直线上，进而求出对称点；C选项要考虑截距均为0的情况，D选项求出与坐标轴的交点坐标，进而求出围成的三角形的面积.
【详解】当倾斜角为90°时，斜率不存在，故A选项正确；设关于直线的对称点为，则满足，解得：，故点关于直线的对称点为，B正确；当在x轴和y轴上截距都等于0时，此时直线为，故C错误；直线与两坐标轴的交点坐标为与，故与两坐标轴围成的三角形的面积为，D正确
故选：ABD
11. 在棱长为2的正方体中，E、F、G分别为BC、、的中点，则下列选项正确的是（ ）
A.
B. 直线与EF所成角的余弦值为
C. 三棱锥的体积为
D. 存在实数、使得
答案：BD
【解析】
分析：对于A，根据平行线的与已知直线的垂直关系，可得答案；
对于B，根据线线夹角的定义，作平行，根据三角形的余弦定理，可得答案；
对于C，根据体积的组合关系，找到三棱锥所在的三棱柱，减去其余部分，可得答案；
对于D，根据平行关系，进行平面延拓，由线面平行，可得三个向量共面，可得答案.
【详解】对于A，在正方体中，，易知与不垂直，故错误；
对于B，在正方体中，取的中点，连接，如下图，
易知，则为直线与夹角或其补角，
，，，
中，，
因此，直线与EF所成角的余弦值为，故正确；
对于C，根据题意作图如下：
易知三棱柱的体积，
三棱锥的体积，
四棱锥的体积，
三棱锥的体积，故错误；
对于D，连接，作图如下：
易知，则共面，，则共面，
即存在实数、使得，故正确；
故选：BD.
12. 已知圆和圆的交点为、，则（ ）
A. 两圆的圆心距
B. 圆上存点，圆上存在点，使得
C. 圆上存在两点和使得
D. 圆上的点到直线的最大距离为
答案：ABD
【解析】
分析：求出两圆圆心距，可判断A选项；计算出的取值范围，可判断B选项；求出，可判断C选项；求出圆上的点到直线的最大距离，可判断D选项.
【详解】对于A选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
所以，，A对；
对于B选项，因为，则两圆相交，
所以，，，
因为，所以，圆上存点，圆上存在点，使得，B对；
对于C选项，将两圆方程作差可得，即直线的方程为，
圆心到直线的距离为，所以，，
对于圆上的任意两点、，，C错；
对于D选项，圆心到直线的距离的最大值为，D对.
故选：ABD.
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 若直线与平行，则_____________，与间的距离为_____________．
答案： ①. ②.
【解析】
分析：直接根据两直线平行，列出方程即可求得，然后用两平行直线间的距离公式即可得到结果.
【详解】因为直线与平行，
则，即,
两平行直线间的距离,
故答案为:；.
14. 在棱长为的正方体中，直线到平面的距离为_______________．
答案：
【解析】
分析：以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据平面可知所求距离即为点到平面的距离，利用点到面的距离的向量求法可求得结果.
【详解】以为坐标原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系，
，平面，平面，平面，
直线到平面的距离即为点到平面的距离；
，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
点到平面的距离，
即直线到平面的距离.
故答案为：.
15. 如图，已知一个的二面角的棱上有两点和，且和分别是在这两个面内且垂直于的线段．又知，，，则求CD的长为___．
答案：
【解析】
分析：由向量的线性运算法则得到，根据题设条件和向量的数量积、向量模的计算公式，即可求解.
【详解】由向量的线性运算法则，可得，
因为，，且二面角的平面角为，
可得，，且，
又因为和分别是在这两个面内且垂直于的线段，所以，
所以
.
故答案为：.
16. 若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是______.
答案：
【解析】
分析：先求出直线所过定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图像，即可求出的取值范围.
【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点，
又曲线可化为，其表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分，如图.
当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得，
设，则，
由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须得，即
故答案为：.
三、解答题：（本题共6小题，共70分）
17. 已知△ABC的顶点坐标为A（﹣3，9）、B（2，2）、C（5，3）．
（1）求AC边中线所在直线的方程；
（2）求△ABC的面积．
答案：（1）4x+y-10=0
（2）
【解析】
分析：（1）先求解AC的中点M的坐标，利用直线方程的点斜式，即得解；
（2）先求解直线AC的方程，点B到直线AC的距离即为△ABC的AC边的高，利用面积公式求解即可.
【小问1详解】
△ABC的顶点坐标为A（-3，9）、B（2，2）、C（5，3），
所以AC的中点M的坐标为（，）=（1，6），
所以AC边中线所在直线BM方程为​​​​​​​，
即AC边中线所在直线的方程为4x+y-10=0；
【小问2详解】
由题意可得，直线AC的方程为，即3x+4y-27=0，
所以点B到直线AC的距离为h=，
,
则△ABC的面积为．
18. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，是的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
答案：（1）证明见解析
（2）
【解析】
分析：（1）取的中点为，连接、，即可证明四边形是平行四边形，从而得到，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【小问1详解】
证明：取的中点为，连接、，
因为、分别是、的中点，所以且，
又且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面.
【小问2详解】
解：因为，底面，所以两两互相垂直，以为坐标原点，
以分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示，
则，
则，
设平面一个法向量为，所以，
即，令，则，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
19. 如图，某海面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险?
答案：（1）；
（2）该船有触礁的危险．
【解析】
分析：（1）根据给定条件，求出点A，B的坐标，设出圆C的一般方程，利用待定系数法求解作答.
（2）求出船D的航线所在直线的方程，再利用点到直线距离公式计算判断作答.
【小问1详解】
依题意，因A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛千米处，则点，
又B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处，则，
设过O，A，B三点的圆C的方程为，
则，解得，
所以圆C的方程为．
【小问2详解】
因船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，则，
而船D沿着北偏东45°方向行驶，则船D的航线所在直线l的斜率为1，直线l的方程为，
由（1）知，圆C的圆心为，半径，
则圆心C到直线l的距离，则，
所以该船有触礁的危险.
20. 已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知.
（1）线段的长
（2）求到平面的距离；
答案：（1）
（2）
【解析】
分析：建立空间直角做标系，用空间向量的方法解题即可.
【小问1详解】
如右图，取的中点，则，因为，
所以，因为在底面的射影为，所以平面，
以为轴建立空间坐标系，
则，，，
，，
，，
，
由，得，
.
【小问2详解】
设平面的法向量为，，，所以，设，则，
所以点到平面的距离.
21. 如图，已知梯形，//，，四边形为正方形，且平面平面．
（1）求证：平面；
（2）点M在线段上运动，求平面与平面夹角余弦值的取值范围．
答案：（1）证明见解析；
（2）
【解析】
分析：（1）利用勾股定理证明，再由面面垂直即可证明线面垂直；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，利用法向量夹角与二面角夹角之间的关系，即可求得结果.
【小问1详解】
证明：在梯形中，由，得，
∵//，设，
∴，则，
∴，得．
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面.
【小问2详解】
根据（1）中所证可得：两两垂直，
故以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系：
令，
则．
，，，．
设为平面的一个法向量，
由，取，得，
设平面的一个法向量为，
由，取，得，
设平面与平面所成二面角为，
则．
∵，∴，故 .
即平面与平面所成二面角余弦值的取值范围为．
22. 已知的方程是，直线l经过点.
（1）若直线l与相切，求直线l的方程；
（2）若直线l与相交于A，B两点，与直线交于点M，求证：为定值.
答案：（1）或
（2）证明见解析
【解析】
分析：（1）根据直线斜率不存在和存在两种情况，结合圆心到直线的距离等于半径列式求解即可；
（2）设直线l的方程为，设线段的中点为N，则，再根据，联立直线与圆的方程，再结合韦达定理化简求解即可.
【小问1详解】
的方程化为标准形式是，圆心，半径，
当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为，
圆心C到直线l的距离为2，所以直线l与相切，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程是，即，
由直线l与相切，得，解得，
所以直线l的方程是，即.
综上所述，直线l的方程是或.
【小问2详解】
证明：因为直线l与相交于A，B两点，所以直线l的斜率存在，
设直线l的方程为，
联立得即点.
设线段的中点为N，则，设直线的方程是，
联立得即点，
所以
，
所以为定值-12.