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所属成套资源：高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)(原卷版+解析)
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高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)18五种有关对数函数的图象和性质的常考点(原卷版+解析)
展开这是一份高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)18五种有关对数函数的图象和性质的常考点(原卷版+解析)，共33页。试卷主要包含了对数函数图象的特征，对数函数的性质等内容，欢迎下载使用。
1.对数函数图象的特征
(1)底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a>1时，图象上升；0
2.对数函数的性质
方法指导
一、对数型函数的图象问题
1.对可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性（单调区间）、值域（最值）、零点时，常利用数形结合思想。
2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解。
二、对数函数的性质的应用
1.比较对数值大小的方法
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；
(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；
(3)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较；
2.解对数不等式
形如的不等式，借助的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0
3.解与对数函数有关的单调性问题的一般步骤：
一求，求出函数的定义域；
二判，判断对数函数的底数与1的关系，分a>1与0
探究一：对数函数的定义域
已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
思路分析：根据与的取值范围一致，从而得到，进而求得函数的定义域.
【变式练习】
1．若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，则函数的定义域为
A．B．C．D．
解不等式，得，再由，解出的取值范围，即得函数的定义域.
探究二：对数函数的值域问题
若函数在区间上单调递减，且，则
A．B．C．D．
思路分析：由函数在区间上单调递减，根据复合函数的单调性求得，而，，可得.
【变式练习】
1．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
2．函数的反函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
探究三：对数函数的图像判断
函数的图像大致为（ ）
A．B．C．D．
思路分析：当时，根据函数的极值可以排除C、D，当时，根据函数的单调性可以排除B，从而得到结果.
【变式练习】
1．若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
2．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
探究四：对数函数的单调性
函数的图象如图所示，则函数的单调增区间是（ ）
A．B．
C．D．和
思路分析：由给定图象可得的递减区间，由的单调性结合复合函数单调性即可得解.
【变式练习】
1．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是（ ）
A．B．C．D．
2．函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
探究五：对数函数的最值问题
记在时的最大值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
思路分析：画出的图象，然后讨论与，的大小关系，利用对数函数的性质，得出的解析式，然后求出最小值即可
【变式练习】
1．下列函数中，最小值为2的是（ ）
A．B．
C．D．
2．若(为自然对数)，则函数的最小值为（ ）
A．-3B．-2C．0D．6
题型突破训练
一、单选题
1．已知函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
3．在同一直角坐标系中，函数，（，且）的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
4．定义在上函数满足：，有，则下列关系式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，若实数a满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．函数的大致图像可以为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知为定义在R上的奇函数，当时，有，且当时，，关于下列命题正确的个数是（ ）
① ②函数在定义域上是周期为2的函数
③直线与函数的图象有2个交点 ；④函数的值域为
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、多选题
9．下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ）
A．与B．与
C．与D．与
10．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
11．设函数的定义域为，且满足，，当时，.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．当时，的取值范围为
C．为奇函数
D．方程仅有3个不同实数解
12．下列说法中正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．函数且的图象经过定点
C．幂函数在上单调递增，则的值为
D．函数的单调递增区间是
三、填空题
13．函数的定义域是__________.
14．已知是上的减函数，则的取值范围是______.
15．下列命题正确的是___________．（填序号）
①函数与互为反函数；
②函数的单调递减区间是；
③当且时，函数的图象恒过定点；
④函数在上为减函数，且，则实数m的取值范围是．
16．已知函数，若，，则________．
四、解答题
17．已知函数
(1)求不等式的解集；
(2)若对于任意恒成立，求的取值范围.
18．设函数，
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性，并证明.
19．已知函数，．
(1)求函数的定义域；
(2)若不等式在上恒成立，求实数m取值范围．
20．已知函数
(1)设函数是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式；
(2)已知集合
①求集合；
②当时，函数的最小值为，求实数的值．
21．已知是偶函数.
(1)求的值；
(2)设的最小值为，则实数的值.
22．已知函数与函数，函数的定义域为．
(1)求的定义域和值域；
(2)若存在，使得成立，求的取值范围；
(3)已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数．利用上述结论，求函数的对称中心．（直接写出结果，不需写出过程）函数
(a>0，且a≠1)
图象
a>1
0
定义域为(0，+∞)
值域为R
过定点(1，0)，即当x=1时，y=0
当x>1时，y>0；当0
在区间(0，＋∞）上是增函数
在区间(0，＋∞）上是减函数
常考题型18 五种有关对数函数的图象和性质的常考点
必备知识
1.对数函数图象的特征
(1)底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a>1时，图象上升；0
2.对数函数的性质
方法指导
一、对数型函数的图象问题
1.对可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性（单调区间）、值域（最值）、零点时，常利用数形结合思想。
2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解。
二、对数函数的性质的应用
1.比较对数值大小的方法
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；
(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；
(3)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较；
2.解对数不等式
形如的不等式，借助的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0
3.解与对数函数有关的单调性问题的一般步骤：
一求，求出函数的定义域；
二判，判断对数函数的底数与1的关系，分a>1与0
探究一：对数函数的定义域
已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
思路分析：根据与的取值范围一致，从而得到，进而求得函数的定义域.
答案：D
【详解】由，得，
所以，所以．
故选：D.
【变式练习】
1．若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】函数的定义域是[1，3]，
∴，解得．
又，且，∴．
故函数的定义域是．
故选：C.
2．已知函数，则函数的定义域为
A．B．C．D．
解不等式，得，再由，解出的取值范围，即得函数的定义域.
答案：D
【详解】对于函数，，即，解得.
对于函数，有，解得.
因此，函数的定义域为.
故选：D.
探究二：对数函数的值域问题
若函数在区间上单调递减，且，则
A．B．C．D．
思路分析：由函数在区间上单调递减，根据复合函数的单调性求得，而，，可得.
答案：A
【详解】因为函数在区间上单调递减
令
根据复合函数的单调性得
解得
，
所以
故选：A
【变式练习】
1．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】由题意可知集合A＝（﹣∞，0）集合B＝（0，）
∴A∩B＝（﹣∞，0）∩（0，）＝∅
故选：A．
2．函数的反函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【详解】解：∵，∴，
∴函数的值域为，
∵的定义域即函数的值域，
∴的定义域为．
故选：C
探究三：对数函数的图像判断
函数的图像大致为（ ）
A．B．C．D．
思路分析：当时，根据函数的极值可以排除C、D，当时，根据函数的单调性可以排除B，从而得到结果.
答案：A
【详解】当时，，在处取得最小值，排除C、D，
当时，为减函数，
故选:A．
【变式练习】
1．若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【详解】由函数的图象为减函数可知，，
再由图象的平移变换知，的图象由向左平移不超过一个单位，可知，
故函数的图象递减，且，则符合题意的只有B中图象
故选：B.
2．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【详解】由可得且，所以的定义域为且，
由定义域可排除C、D，
当时，，，可排除B，由排除法可知选项A正确；
故选：A.
探究四：对数函数的单调性
函数的图象如图所示，则函数的单调增区间是（ ）
A．B．
C．D．和
思路分析：由给定图象可得的递减区间，由的单调性结合复合函数单调性即可得解.
答案：D
【详解】由函数的图象可得的递减区间是，而函数在上单调递减，
则函数的单调增区间，必有或，解得或，
所以函数的单调增区间是和.
故选：D
【变式练习】
1．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】解：对于A，函数为偶函数，在区间上单调递减，故错误；
对于B，函数关于对称，是非奇非偶函数，故错误；
对于C，函数为偶函数，在区间上，单调递增，故正确；
对于D，对数函数为非奇非偶函数，故错误.
故选：C
2．函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】由，则，，解得，即函数的定义域，
由题意，令，，则，
易知在其定义域上单调递减，要求函数的单调递减区间，需求在上二次函数的递增区间，
由，则在上二次函数的递增区间为，
故选：C.
探究五：对数函数的最值问题
记在时的最大值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
思路分析：画出的图象，然后讨论与，的大小关系，利用对数函数的性质，得出的解析式，然后求出最小值即可
答案：A
【详解】由已知可得，
画出的图象，如下图所示，
当即时，由图象知，在上单调递减，
所以，
当即时，由图象知，在上单调递增，
所以，
当即时，由图象知，在上单调递减，在单调递增，
所以的最大值可能为或，
又，
所以当时，，
当时，，
综上
由对数函数的性质知的最小值为．
故选:A
【变式练习】
1．下列函数中，最小值为2的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【详解】A：，不合题意．
B：当时，，当且仅当时等号成立，不合题意．
C：当时，，不合题意．
D：因为，所以，符合题意．
故选：D
2．若(为自然对数)，则函数的最小值为（ ）
A．-3B．-2C．0D．6
答案：B
【详解】由题意，所以，则，设，，
又，而，所以时，，
所以函数的最小值为．
故选：B．
题型突破训练
一、单选题
1．已知函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】对任意的，存在，使得，则，
因为当时，单调递增，所以，
又因为当时，单调递减，所以，
所以由解得，
故选：A.
2．若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】由于对数函数单调递增，且，故，∴，∵，，∴．故选：D
3．在同一直角坐标系中，函数，（，且）的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】当时，则，由指数函数的性质可知单调递增，由对数函数的性质可知单调递减，且当时，，A,B,C,D中，选项D满足；
当时，则，由指数函数的性质可知单调递减，由对数函数的性质可知单调递増，且当时，，在选项A,B,C,D，均不满足.
故选：D
4．定义在上函数满足：，有，则下列关系式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【详解】因为在上满足：，有
所以在上单调递减
对A选项，由
所以 ，所以，故A正确
对B选项，当时，此时，，故B项错误
对C选项，因为，
所以，所以，故C错误
对D选项，因为
所以，所以，故D错误
故选：A
5．已知，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】因为对数函数定义域为，
所以，解得，
所以的定义域为，所以，解得：，
关于不等式，代入表达式可得：，即，
所以，
因为，
所以解不等式可得，
所以不等式的解集为.
故选：C
6．已知函数，若实数a满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】
，其中，∵，则为偶函数，
当时，，则在上单调递增，
又，则，
即，故，则，解得.
故选：D.
7．函数的大致图像可以为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【详解】依题意，函数的定义域为，，即为奇函数，选项B，D不满足；
当时，单调递增，即，恒有，选项A不满足，C满足.
故选：C
8．已知为定义在R上的奇函数，当时，有，且当时，，关于下列命题正确的个数是（ ）
① ②函数在定义域上是周期为2的函数
③直线与函数的图象有2个交点 ；④函数的值域为
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：A
【详解】时，，则，，，又是R上的奇函数，因此，，所以，①正确；
，， ②错误；
作出函数的图象与直线（如图），可得直线与的图象只有两个交点和，
时，，其图象与直线只有一个交点，又是奇函数，从而在上的图象与直线只有一个交点，由命题①的推理可得，由于时，，同样由命题①的推理结合奇函数性质得，而时，，时，，因此③错，同时得出④错．
正确的命题只有①．
故选：A．
二、多选题
9．下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ）
A．与B．与
C．与D．与
答案：BC
【详解】对于A，函数，定义域均为R，而，，显然它们的对应法则不同，A不是；
对于B，函数，定义域均为R，且，它们的对应法则相同，B是；
对于C，函数，定义域均为，且，它们的对应法则相同，C是；
对于D，函数定义域，而定义域为R，D不是.
故选：BC
10．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：AC
【详解】对于A，，由对数函数性质得在上单调递增，故A正确，
对于B，，，不满足在上单调递增，故B错误，
对于C，，由指数函数性质得在上单调递增，故C正确，
对于D，，，故不是偶函数，故D错误，
故选：AC
11．设函数的定义域为，且满足，，当时，.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．当时，的取值范围为
C．为奇函数
D．方程仅有3个不同实数解
答案：BC
【详解】因为，所以，
因为，故，所以，
即，所以，所以，
所以的周期为8，因为，所以
因为，
所以，
因为时，，所以，故，A错误；
当，，所以，
当，，，
所以，
综上：当时，的取值范围为，B正确；
因为，所以关于对称，
故关于原点中心对称，所以为奇函数，C正确；
画出与的图象，如下：
显然两函数图象共有4个交点，其中，所以方程仅有4个不同实数解，D错误.
故选：BC
12．下列说法中正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．函数且的图象经过定点
C．幂函数在上单调递增，则的值为
D．函数的单调递增区间是
答案：ABC
【详解】A.命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，即“，”，故正确；
B.因为函数且，令得 ，此时 的图象经过定点，故正确；
C. 因为是幂函数，所以，即 ，解得 或 ，当时，在上单调递减，当 时，在上单调递增，故正确；
D.令，得 或，所以函数的定义域为，
又在上递增，在上递增，所以的单调递增区间是，
故选：ABC
三、填空题
13．函数的定义域是__________.
答案：
【详解】要使函数有意义，则
，即，解得，.
所以，函数的定义域为.
故答案为：.
14．已知是上的减函数，则的取值范围是______.
答案：
【详解】根据题意可得：，且，解得.
故答案为：.
15．下列命题正确的是___________．（填序号）
①函数与互为反函数；
②函数的单调递减区间是；
③当且时，函数的图象恒过定点；
④函数在上为减函数，且，则实数m的取值范围是．
答案：①③④
【详解】对于①，由，得，所以函数与互为反函数，故①正确；
对于②，由反比例函数可知，函数的单调递减区间是，故②错误；
对于③，令，则，所以，所以当且时，函数的图象恒过定点，故③正确；
对于④，因为函数在上为减函数，且，所以，即，解得，所以实数m的取值范围是，故④正确；
故答案为：①③④.
16．已知函数，若，，则________．
答案：
【详解】解：因为，所以，
所以，
所以函数的定义域为，
又
因为，，，
所以，
所以，
故答案为：．
四、解答题
17．已知函数
(1)求不等式的解集；
(2)若对于任意恒成立，求的取值范围.
答案：(1)或；(2).
【详解】（1）
由，即
计算可得或
或
故解集为：或；
（2）令，则，原式可化为在上恒成立，
记函数在上单调递增，
，故的取值范围是.
18．设函数，
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性，并证明.
答案：(1)；(2)奇函数，证明见解析
【详解】（1）函数，
，，
即函数的定义域，
（2）是奇函数，
证明：，定义域关于原点对称，
，
即的奇函数，
19．已知函数，．
(1)求函数的定义域；
(2)若不等式在上恒成立，求实数m取值范围．
答案：(1)；(2)
【详解】（1）解：，
函数定义域满足，解得，
函数的定义域为；
（2）解：，所以，即
因为函数在上单调递增
所以在上恒成立，又，所以
又函数在上单调递增，所以
则.
20．已知函数
(1)设函数是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式；
(2)已知集合
①求集合；
②当时，函数的最小值为，求实数的值．
答案：(1)
(2)①；②的值为或5
【详解】（1）解：根据题意，当时，，
当时，，则，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，，
所以，
（2）解：①，即
所以，
所以，，解得
所以，
②
由①可得
所以，函数等价转化为，，
下面分三种情况讨论求解：
当，即，在上是增函数，所以，，解得，与矛盾，舍；
当，即时，在上是减函数，所以，解得，满足题意；
当，即时，，解得或（舍）
综上：的值为或5
21．已知是偶函数.
(1)求的值；
(2)设的最小值为，则实数的值.
答案：(1)；(2)
【详解】（1）解：函数的定义域为，
因为函数是偶函数，所以，
又，
，
所以，
所以；
（2）解：由（1）知，，
所以，
所以，
令，
当且仅当，即时等号成立，
设函数，
其图像是开口向上，对称轴方程为的抛物线，
当时，即时，
，解得，
当时，即时，
，
解得（舍去），
综上可知，.
22．已知函数与函数，函数的定义域为．
(1)求的定义域和值域；
(2)若存在，使得成立，求的取值范围；
(3)已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数．利用上述结论，求函数的对称中心．（直接写出结果，不需写出过程）
答案：(1)，值域为；
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可得．
由，得，故．
又，且，
的值域为；
（2），即，则．
存在，使得成立，
．
而，
当，即时，取得最小值，
故；
（3）设的对称中心为，
则函数是奇函数，
即是奇函数，
则恒成立，
恒成立，
所以恒成立，
所以，
因为上式对任意实数恒成立，
所以，得，
所以函数图象的对称中心为．函数
(a>0，且a≠1)
图象
a>1
0
定义域为(0，+∞)
值域为R
过定点(1，0)，即当x=1时，y=0
当x>1时，y>0；当0
在区间(0，＋∞）上是增函数
在区间(0，＋∞）上是减函数
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这是一份高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)22三角函数的图象与性质、函数y=Asin(ωx+φ)(原卷版+解析)，共41页。试卷主要包含了三角函数的周期性等内容，欢迎下载使用。
高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)19函数零点问题的三种常考点方法总结(原卷版+解析)：
这是一份高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)19函数零点问题的三种常考点方法总结(原卷版+解析)，共33页。试卷主要包含了函数零点的定义，几个等价关系，零点存在性定理等内容，欢迎下载使用。
