人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题15函数的零点问题(原卷版+解析)

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1、 函数的零点与方程的解
（1）函数零点的概念
对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
函数的零点就是方程的实数解，也是函数的图象与轴的公共点的横坐标.所以
方程有实数解
函数有零点
函数的图象与轴有公共点.
（2）函数零点存在定理
如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.
2、用二分法求方程的近似解
对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：
（1）确定零点的初始区间，验证.
（2）求区间的中点.
（3）计算，并进一步确定零点所在的区间：
= 1 \* GB3 ①若（此时），则就是函数的零点；
= 2 \* GB3 ②若（此时），则令；
= 3 \* GB3 ③若（此时），则令.
（4）判断是否达到精确度：若，则得到零点的近似值（或）；否则重复步骤（2）~（4）.
由函数零点与相应方程解的关系，我们可以用二分法来求方程的近似解.
3、 函数模型的应用
用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：
这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理、求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题.在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等.
【典型例题】
例1．(2023·江苏宿迁·高一期中）我县黄桃种植户为了迎合大众需求，提高销售量，打算以装盒售卖的方式销售．经市场调研，若要提高销售量，则黄桃的售价需要相应的降低，已知黄桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒黄桃的销售价格g(x)（单位：元）与销售量x（单位：万盒）之间满足关系式g(x)＝．
(1)写出利润F(x)（单位：万元）关于销售量x（单位：万盒）的关系式；（利润＝销售收入﹣成本）
(2)当销售量为多少万盒时，黄桃种植户能够获得最大利润？此时最大利润是多少？
例2．(2023·江苏省洪泽中学高一期中）某问题的题干如下：“已知定义在R上的函数满足：①对任意，均有；②当时，；③.”某同学提出一种解题思路，构造，使其满足题干所给条件.请按此同学的思路，解决以下问题.
(1)求的解析式；
(2)若方程恰有3个实数根，求实数m的取值范围.
例3．(2023·黑龙江·牡丹江市第二高级中学高一期中）已知定义在区间上的函数．
(1)求函数的零点；
(2)若方程有四个不等实根，且，证明．
例4．(2023·江苏·海安高级中学高一期中）设函数，（，）.
(1)若函数有且只有一个零点，求实数a值及相应的零点；
(2)当a＝1时，若，总，使得成立，求实数m的取值范围.
例5．(2023·北京市昌平区第二中学高一期中）已知函数．
(1)画出此函数的图像；
(2)求不等式的解集；
(3)若函数有三个零点，求的取值范围．
例6．(2023·北京·牛栏山一中高一期中）已知函数.
(1)画出函数的图象，并写出的解析式；
(2)设，
（i）求出的零点，并直接写出函数的单调区间；
（ii）若有四个不同的解，直接写出的取值范围.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·北京二中高一阶段练习）函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·辽宁·昌图县第一高级中学高一期中）用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·江苏盐城·高一期中）已知函数的两个零点分别为，，其中，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．(2023·吉林·扶余市第一中学高一期中）函数的零点所在区间为，则整数k等于（ ）
A．2B．1C．0D．-1
5．(2023·辽宁·沈阳市第十一中学高一期中）函数的零点个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
6．(2023·贵州遵义·高一期中）若函数的零点在区间内，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．(2023·上海市浦东复旦附中分校高一期中）已知函数，若方程有实根，则集合的元素个数可能是（ ）
A．或B．或C．或D．或
8．(2023·四川·树德中学高一阶段练习）函数，若关于x的方程有4个不同的根，则a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023·湖南省岳阳县第一中学高一阶段练习）定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．方程有且仅有三个解B．方程有且仅有三个解
C．方程有且仅有九个解D．方程有且仅有一个解
10．(2023·全国·高一课时练习）某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，．下列说法正确的有（ ）
A．的零点在区间内B．的零点在区间内
C．精确到0.1的近似值为1.4D．精确到0.1的近似值为1.5
11．(2023·全国·高一课时练习）（多选）如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y（单位：）与时间t（单位：月）满足函数关系，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．第5个月时，浮萍面积就会超过
C．浮萍的面积从蔓延到需要经过1.5个月
D．浮萍每月增加的面积都相等
12．(2023·江苏·苏州中学高一期中）已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A．关于x的方程在区间上的所有实数根的和为
B．关于x的方程在区间上的所有实数根的和为
C．若函数与的图象恰有5个不同的交点，则或
D．若函数与的图象恰有5个不同的交点，则或
三、填空题
13．(2023·甘肃·永昌县第一高级中学高一期中）若函数（且）与的图象有两个交点，则实数的取值范围为___________.
14．(2023·辽宁·大连八中高一期中）已知函数在区间中存在零点，在利用二分法求零点的近似值时，计算过程如下表格所示：
计算到表格中的最后一步可推断零点属于区间________.
15．(2023·辽宁鞍山·高一期中）已知，函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是________.
16．(2023·河南·濮阳一高高一期中）已知函数若互不相等的实数满足，则的取值范围______.
四、解答题
17．(2023·四川省射洪市太和中学高一期中）已知函数 ，且点在函数的图象上.
(1)求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象；
(2)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.
18．(2023·重庆南开中学高一期中）党的二十大报告提出，积极稳妥推进碳达峰碳中和，立足我国能源资源禀赋，坚持先立后破，有计划分步骤实施碳达峰行动，深入推进能源革命，加强煤炭清洁高效利用，加快规划建设新型能源体系，积极参与应对气候变化全球治理．在碳达峰、碳中和背景下，光伏发电作为我国能源转型的中坚力量发展迅速．在可再生能源发展政策的支持下，今年前8个月，我国光伏新增装机达到4447万千瓦，同比增长2241万千瓦．某公司生产光伏发电机的全年固定成本为1000万元，每生产x（单位：百台）发电机组需增加投入y（单位：万元），其中，该光伏发电机年产量最大为10000台．每台发电机的售价为16000元，全年内生产的发电机当年能全部售完．
(1)将利润P（单位：万元）表示为年产量x（单位：百台）的函数；
(2)当年产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？（总收入＝总成本＋利润）．
19．(2023·江苏南通·高一期中）已知函数，，其中.
(1)若的图象与直线没有公共点，求实数a的取值范围；
(2)当时，函数的最小值为，求实数m的值.
20．(2023·上海南汇中学高一期中）法国数学家佛朗索瓦·韦达，在欧洲被尊称为“现代数学之父”，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，由于其最早发现代数方程的跟与系数之间的关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理.韦达定理有着广泛的应用，是高中阶段非常重要的知识内容，为了致敬前辈数学家，请同学们利用韦达定理完成以下问题.
(1)关于的方程的一个实数根为2，求另一实数根及实数的值；
(2)关于的方程有两个实数根、，若，求实数的值；
(3)已知集合有且仅有3个元素，这3个元素恰为直角三角形的三条边长，求，的值.
21．(2023·吉林·长春吉大附中实验学校高一期中）已知为偶函数，为奇函数，且满足.
(1)求函数､的解析式；
(2)已知函数，，求函数的值域；
(3)若关于的方程在内恰有两个不等实根，求实数的取值范围.
22．(2023·上海中学高一期末）已知函数对一切实数都有成立，且．
(1)求的值和的解析式；
(2)将函数的图象向左平移一个单位得到函的图象，若，且，求的取值范围；
(3)若，关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．
零点区间
区间中点
重点对应的函数值
专题15 函数的零点问题
【考点预测】
1、 函数的零点与方程的解
（1）函数零点的概念
对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
函数的零点就是方程的实数解，也是函数的图象与轴的公共点的横坐标.所以
方程有实数解
函数有零点
函数的图象与轴有公共点.
（2）函数零点存在定理
如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.
2、用二分法求方程的近似解
对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：
（1）确定零点的初始区间，验证.
（2）求区间的中点.
（3）计算，并进一步确定零点所在的区间：
= 1 \* GB3 ①若（此时），则就是函数的零点；
= 2 \* GB3 ②若（此时），则令；
= 3 \* GB3 ③若（此时），则令.
（4）判断是否达到精确度：若，则得到零点的近似值（或）；否则重复步骤（2）~（4）.
由函数零点与相应方程解的关系，我们可以用二分法来求方程的近似解.
3、 函数模型的应用
用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：
这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理、求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题.在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等.
【典型例题】
例1．(2023·江苏宿迁·高一期中）我县黄桃种植户为了迎合大众需求，提高销售量，打算以装盒售卖的方式销售．经市场调研，若要提高销售量，则黄桃的售价需要相应的降低，已知黄桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒黄桃的销售价格g(x)（单位：元）与销售量x（单位：万盒）之间满足关系式g(x)＝．
(1)写出利润F(x)（单位：万元）关于销售量x（单位：万盒）的关系式；（利润＝销售收入﹣成本）
(2)当销售量为多少万盒时，黄桃种植户能够获得最大利润？此时最大利润是多少？
【解析】（1）由题意得，
（2）当时，由二次函数性质得，
当时，由基本不等式得，
则，当且仅当即时等号成立，
综上，当销售量为15万盒时，该村的获利最大，此时的最大利润为136万元
例2．(2023·江苏省洪泽中学高一期中）某问题的题干如下：“已知定义在R上的函数满足：①对任意，均有；②当时，；③.”某同学提出一种解题思路，构造，使其满足题干所给条件.请按此同学的思路，解决以下问题.
(1)求的解析式；
(2)若方程恰有3个实数根，求实数m的取值范围.
【解析】（1）因为，
代入①得，，
所以，
故，
又由③得，，
所以b=3；
因此，
经检验，，满足题干所给条件，
所以；
（2）因为方程恰有3个实数根，
显然0为其一个实数根，
所以方程恰有2个非0实数根，
即方程恰有2个实数根，且两根非，
由可得，，
又由均不是此方程的根，
则，
所以，m的取值范围为.
例3．(2023·黑龙江·牡丹江市第二高级中学高一期中）已知定义在区间上的函数．
(1)求函数的零点；
(2)若方程有四个不等实根，且，证明．
【解析】（1）令，解得，．
所以函数的零点是和.
（2）证明：
易知对勾函数的图像如下图所示：
则的图像如下：
如图，要使有四个根，则，
令，当，则，
由韦达定理知：；
当，则，
由韦达定理知：．
∴．
例4．(2023·江苏·海安高级中学高一期中）设函数，（，）.
(1)若函数有且只有一个零点，求实数a值及相应的零点；
(2)当a＝1时，若，总，使得成立，求实数m的取值范围.
【解析】（1）函数有且只有一个零点，
所以方程有且仅有一个根，
当时，，即，满足题设；
当时，，即，此时，满足题设；
综上，时，零点为2；，零点为4.
（2）因为对任意的，总，使得成立，
所以的值域是的值域的子集，
可得时， 在上单调递增，且，
所以的值域为.
当时，在上单调递增，故，即，
所以可得 解得；
当时，，不满足题意；
当时，在上单调递减，故，即，
所以可得，解得；
综上，m的取值范围为.
例5．(2023·北京市昌平区第二中学高一期中）已知函数．
(1)画出此函数的图像；
(2)求不等式的解集；
(3)若函数有三个零点，求的取值范围．
【解析】（1）因为，
故其函数图象如下所示：
.
（2）当时，令，即，解得，
当时，令，即，解得，
综上所述，不等式的解集为：.
（3）若函数有三个零点，
即的函数图象有三个交点，
数形结合可知，即可，解得，
故实数的取值范围为：.
例6．(2023·北京·牛栏山一中高一期中）已知函数.
(1)画出函数的图象，并写出的解析式；
(2)设，
（i）求出的零点，并直接写出函数的单调区间；
（ii）若有四个不同的解，直接写出的取值范围.
【解析】（1）因为，
所以，
函数的图象如下图所示：
（2）（i）因为，图象如下图所示，
令，可得，
所以当时，，解得：；
当时，，解得：；
的零点为和.
如图所示，在上单调递减；
在，上单调递增.
（ii）若有四个不同的解，
即与的图象有四个交点，如下图所示，
所以.
的取值范围为：.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·北京二中高一阶段练习）函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】对于A，当时，，，，在内无零点，A错误；
对于B，当从正方向无限趋近于时，，则；又，在内无零点，B错误；
对于C，，，且在上连续，在内有零点，C正确；
对于D，，，在内无零点，D错误.
故选：C.
2．(2023·辽宁·昌图县第一高级中学高一期中）用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为，，且单调递增，
即当时，，
所以零点在内，
故选：A
3．(2023·江苏盐城·高一期中）已知函数的两个零点分别为，，其中，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】设，，
则a，b是的两个零点；
函数的图象可以看成图象向下平移2个单位得到，且，，
如图所示：
故选：B.
4．(2023·吉林·扶余市第一中学高一期中）函数的零点所在区间为，则整数k等于（ ）
A．2B．1C．0D．-1
答案：A
【解析】∵，，在R上为单调递增函数，
∴零点所在区间为，∴．
故选：A.
5．(2023·辽宁·沈阳市第十一中学高一期中）函数的零点个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
答案：B
【解析】，或，
，，或，
时，不合题意，舍去，满足题意．
因此方程有三个解，即函数有三个零点．
故选：B．
6．(2023·贵州遵义·高一期中）若函数的零点在区间内，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】因为在上单调递增，且的图象是连续不断的，
所以，解得．
故选：B.
7．(2023·上海市浦东复旦附中分校高一期中）已知函数，若方程有实根，则集合的元素个数可能是（ ）
A．或B．或C．或D．或
答案：C
【解析】有实根，，解得：；
；
设，则；
①当时，，，即，解得：，
；
②当时，由得：，；
，
，，又恒成立，
，即，
共有四个不等实根，
；
综上所述：集合的元素个数可能为或.
故选：C.
8．(2023·四川·树德中学高一阶段练习）函数，若关于x的方程有4个不同的根，则a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】令，，即，解得；
故要使得方程有四个不相等的实数根，则与的图象有四个交点，如下图所示：
数形结合可知，.
故选：D.
二、多选题
9．(2023·湖南省岳阳县第一中学高一阶段练习）定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．方程有且仅有三个解B．方程有且仅有三个解
C．方程有且仅有九个解D．方程有且仅有一个解
答案：AD
【解析】对A：令，数形结合可知，或或；令，，，
又因为，故，
数形结合可知都有一个根，故方程有且仅有三个解，A正确；
对B：令，数形结合可知，；令，因为，数形结合可知，该方程有一个根，
故方程有且仅有一个解，故B错误；
对C：令，数形结合可知，或或；令，
由题可知，，数形结合可知，各有一个解，，有三个解，
故方程有且仅有五个解，故C错误；
对D：令，数形结合可知，；令，又，数形结合可知，该方程有一个解，
故方程有且仅有一个解，D正确.
故选：AD.
10．(2023·全国·高一课时练习）某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，．下列说法正确的有（ ）
A．的零点在区间内B．的零点在区间内
C．精确到0.1的近似值为1.4D．精确到0.1的近似值为1.5
答案：BC
【解析】易知是增函数，因为，，所以零点在内，所以A错误，B正确，
又1.4375和1.375精确到0.1的近似数都是1.4，所以C正确，D错误．
故选：BC.
11．(2023·全国·高一课时练习）（多选）如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y（单位：）与时间t（单位：月）满足函数关系，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．第5个月时，浮萍面积就会超过
C．浮萍的面积从蔓延到需要经过1.5个月
D．浮萍每月增加的面积都相等
答案：AB
【解析】由题意，函数图像满足的关系，由图象可知，当时，，
所以，解得，当时，，满足，
当时，，满足，故，选项A正确；
当时，，故浮萍蔓延的面积就会超过，选项B正确；
由题意，，所以，，所以，所以增加的时间为
，而，所以，故选项C错误；
由题意可知，当时，；当时，；当时，；
当时，；当时，，
所以从第一个开始，每个月增加的面积分别为、、、，
所以增加的面积不相等，故选项D错误.
故选：AB.
12．(2023·江苏·苏州中学高一期中）已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A．关于x的方程在区间上的所有实数根的和为
B．关于x的方程在区间上的所有实数根的和为
C．若函数与的图象恰有5个不同的交点，则或
D．若函数与的图象恰有5个不同的交点，则或
答案：AC
【解析】定义在R上的奇函数满足，
所以，所以，即函数的周期，
又函数为定义在R上的奇函数，所以，
又，所以函数关于对称，
当时，，解得，作函数的大致图象，如图，
由图可知方程在区间上的所有实数根的和为，故A正确，B错误；
若函数与的图象恰有5个不同的交点，
当时，由图象可知，直线过点时，即时，满足题意，
当时，找出两个临界情况，当直线过时，，有3个交点
当直线过时，有6个交点，
由图象知，当时，直线与的图象有5个交点.
综上，当或时，函数与的图象恰有5个不同的交点，故C正确D错误.
故选：AC
三、填空题
13．(2023·甘肃·永昌县第一高级中学高一期中）若函数（且）与的图象有两个交点，则实数的取值范围为___________.
答案：
【解析】当时，函数如图所示，此时，只有一个交点，不成立；
当时，函数如图所示，此时，要使两个函数的图象有两个交点，则有，即.
故答案为：
14．(2023·辽宁·大连八中高一期中）已知函数在区间中存在零点，在利用二分法求零点的近似值时，计算过程如下表格所示：
计算到表格中的最后一步可推断零点属于区间________.
答案：
【解析】因为，
又由表格可知，所以最后一步可推断零点属于区间，
故答案为：
15．(2023·辽宁鞍山·高一期中）已知，函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是________.
答案：
【解析】由于在上只有一个零点4，函数在上的两个零点为1和3，
若,此时在上没有零点，函数在上的两个零点为1和3，满足题意，
当时，此时在上有零点4，函数在上有零点为1和3，不满足题意，舍去
当时，此时在上有零点4，函数在上有零点为1，满足题意，
当时，此时在上有零点4，函数在上没有零点，不满足题意，舍去，
综上：或，
故答案为：
16．(2023·河南·濮阳一高高一期中）已知函数若互不相等的实数满足，则的取值范围______.
答案：
【解析】函数的图象如图所示：
设，因为，
因为偶函数关于轴对称，所以，
当时，，时，，
所以，即.
故答案为：
四、解答题
17．(2023·四川省射洪市太和中学高一期中）已知函数 ，且点在函数的图象上.
(1)求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象；
(2)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为点在函数的图象上，所以，解得 ，即 ，
其图象如图所示：
（2）将化为，
因为方程有两个不相等的实数根，
所以直线与函数的图象有两个公共点，
在同一坐标系中作出直线与函数的图象（如图所示），
由图象，得0