2024年高考数学一轮复习满分攻略(新高考地区专用)考点03复数(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2024年高考数学一轮复习满分攻略(新高考地区专用)考点03复数(精讲)(原卷版+解析)，共53页。试卷主要包含了数系扩充的脉络，复数集，复数，))等内容，欢迎下载使用。

知识点1 复数的概念及代数表示
1.数系扩充的脉络
自然数集→整数集→有理数集→实数集→复数集．
2.复数集
①定义：全体复数所成的集合叫做复数集．
②表示：通常用大写字母C表示．
3.复数
①定义：把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．满足i2＝－1.a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．
②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．
注：复数概念的三点说明
(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
(2)复数的虚部是实数b而非bi.
(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是．
易错辨析：任意两个复数都能比较大小？任意两个复数都不能比较大小？
当两个复数有虚数时，不可以比较大小，当两个复数都是实数时，可以比较大小.
知识点2 两个复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di (a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
注：(1)在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立．
(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．
知识点3 复数的分类
对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.
(1)复数(a＋bi，a，b∈R)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(实数b＝0,虚数b≠0\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(纯虚数a＝0,非纯虚数a≠0))))
(2)集合表示：
知识点4 复数的几何意义
1、建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
(1)复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示．
(2)实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数．
(3)虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
2、复数的几何意义
（1）复数的几何意义——与点对应
复数的几何意义1：复数复平面内的点
（2）复数的几何意义——与向量对应
复数的几何意义2：复数 平面向量
注：复数的几何意义
这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi)；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量eq \(OZ,\s\up6(→))是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与eq \(OZ,\s\up6(→))相等的向量有无数个．
知识点5 复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对应的向量为eq \(OZ,\s\up6(→))，则向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|.由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝eq \r(a2＋b2)(r≥0，r∈R)．
注：(1)数的角度理解：复数a＋bi(a，b∈R)的模|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小．
(2)几何角度理解：表示复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值)．类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示复数z1, z2对应的点之间的距离．
(3)复数z的方程在复平面上表示的图形
①a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
②|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
知识点6 复数代数形式的加减法
1、运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.（两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.）
2、加法运算律
对任意，有，．
注：对复数的加法、减法运算应注意以下几点
(1)一种规定：复数代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算；
特殊情形：当复数的虚部为零时，与实数的加法、减法法则一致．
(2)运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立．实数的移项法则在复数中仍然成立．
(3)运算结果：两个复数的和(差)是唯一确定的复数．
3、复数加减法的几何意义
知识点7 复数的乘除法及其运算律
1、复数的除法
（1）复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积
(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
（2）复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
注：对复数乘法的三点说明
(1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1)．
(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．
(3)常用结论
①(a±bi)2＝a2±2abi－b2 (a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
③(1±i)2＝±2i.
④i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
⑤i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
2、共轭复数
（1）定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数
（2）表示：z的共轭复数用eq \x\t(z)表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \x\t(z)＝a－bi
注：共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：
(1)；(2)；(3)；(4)；
(5)；(6)；(7)|zn|=|z|n
3、复数的除法
（1）复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，则eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i.
注：对复数除法的两点说明
①实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．
②代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．
特别提醒：复数的除法类似于根式的分母有理化．
（2）记住以下结果，可提高运算速度：①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；②eq \f(1－i,1＋i)＝－i，eq \f(1＋i,1－i)＝i；③eq \f(1,i)＝－i.
知识点8 复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
1、复数的三角表示式
（1）定义：
r(csθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量eq \(OZ,\s\up6(→))所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
注意：复数三角形式的特点：模非负，角相同，余弦前，加号连
（2）非零复数z辐角θ的多值性
以x轴正半轴为始边，向量 eq \(OZ,\s\up6(→))所在的射线为终边的角θ叫复数z＝a＋bi的辐角，因此复数z的辐角是θ＋2kπ(k∈Z) (k∈Z)．
（3）辐角主值
①表示法：用argz表示复数z的辐角主值．
②定义：适合[0,2π)的角θ叫辐角主值．即 0≤arg z<2π.
③唯一性：复数z的辐角主值是确定的、唯一的．
2、复数的代数形式与三角形式的互化
复数z＝a＋bi＝r(csθ＋isinθ)的两种表示式之间的关系为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝r·csθ，,b＝r·sinθ，,r＝\r(a2＋b2).))
注：复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式.我们可以根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化.
复数的代数形式化三角形式的步骤:
①先求复数的模；
②决定辐角所在的象限；
③根据象限求出辐角(常取它的主值)；
④写出复数的三角形式．
3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件
两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等．
4、复数三角形式的乘法及其几何意义
设 、的三角形式分别是：
简记为 ：模数相乘，幅角相加.
几何意义：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是．
5、复数三角形式的除法及其几何意义
设 、的三角形式分别是：
简记为 ：模数相除，幅角相减
几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是．
1．（2023•新高考Ⅱ）复数2−i1−3i在复平面内对应点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2023•北京）若复数z满足（1﹣i）•z＝2，则z＝（ ）
A．﹣1﹣iB．﹣1+iC．1﹣iD．1+i
3．（2023•浙江）已知a∈R，（1+ai）i＝3+i（i为虚数单位），则a＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣3D．3
4．（2023•乙卷）设2（z+z）+3（z−z）＝4+6i，则z＝（ ）
A．1﹣2iB．1+2iC．1+iD．1﹣i
5．（2023•新高考Ⅰ）已知z＝2﹣i，则z（z+i）＝（ ）
A．6﹣2iB．4﹣2iC．6+2iD．4+2i
6．（2023•甲卷）已知（1﹣i）2z＝3+2i，则z＝（ ）
A．﹣1−32iB．﹣1+32iC．−32+iD．−32−i
7．（2023•北京）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1，2），则i•z＝（ ）
A．1+2iB．﹣2+iC．1﹣2iD．﹣2﹣i
8．（2023•新课标Ⅰ）若z＝1+2i+i3，则|z|＝（ ）
A．0B．1C．2D．2
9．（2023•新课标Ⅰ）若z＝1+i，则|z2﹣2z|＝（ ）
A．0B．1C．2D．2
10．（2023•新课标Ⅱ）（1﹣i）4＝（ ）
A．﹣4B．4C．﹣4iD．4i
考点一 复数的有关概念
解题方略：
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b；
(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(3)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．所以解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
①复数是实数的条件:①z=a+bi∈R⇔b=0(a,b∈R);②z∈R⇔z=z;③z∈R⇔z2≥0.
②复数是纯虚数的条件:①z=a+bi是纯虚数⇔a=0且b≠0(a,b∈R);②z是纯虚数⇔z+z=0(z≠0);③z是纯虚数⇔z2<0.
复数的实部与虚部
【例1-1】(2023·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））已知为虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A．B．C．2D．2i
【例1-2】(2023·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））已知复数，那么的虚部为（ ）
A．B．C．4D．
【例1-3】(2023·江西·南昌十中高三阶段练习（文））复数满足，则复数的实部是（ ）
A．B．C．D．
【例1-4】(2023·安徽·巢湖市第一中学高三期中（文））设复数的实部与虚部分别为a，b，则（ ）
A．B．C．1D．2
【例1-5】(2023·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知复数的实部和虚部相等，则___________．
【题组练透】
1、(2023·福建南平·三模）已知复数，则复数的虛部为（ ）
A．B．C．D．
2、(2023·四川·内江市教育科学研究所三模（文））若复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．1
3、(2023·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（理））已知是虚数单位，若复数的实部是虚部的2倍，则（ ）
A．B．C．D．
4、(2023·陕西陕西·二模（理））设复数z满足，且z的实部小于虚部，则（ ）
A．B．
C．D．
共轭复数
【例1-6】(2023·山东泰安·三模）已知复数，i为虚数单位，则z的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
【例1-7】(2023·安徽黄山·二模（理））已知复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．
C．D．
【例1-8】(2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知a，，i是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ）
A．B．C．D．
【例1-9】(2023·河南商丘·三模（理））已知，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【题组练透】
1、(2023·全国·高三专题练习）已知复数满足，则共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2、【多选】(2023·全国·高三专题练习）已知复数z，则下列结论正确的是（ ）
A．是实数B．C．是纯虚数D．
3、(2023·全国·高三专题练习）已知i为虚数单位，复数在复平面内对应的点关于原点对称，且，则_______．
复数相等
【例1-10】(2023·山西晋中·模拟预测（理））已知，（为虚数单位），则等于（ ）
A．1B．C．2D．
【例1-11】(2023·全国·高三专题练习）已知是虚数单位，若，则的值为______.
【例1-12】(2023·陕西咸阳·三模（理））设，其中为虚数单位，是实数，则（ ）
A．1B．C．D．2
【例1-13】(2023·浙江·高三专题练习）已知复数，，并且，则的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．
【题组练透】
1、(2023·河南洛阳·三模（理））已知，其中是虚数单位，则（ ）
A．3B．1C．-1D．-3
2、(2023·全国·高三专题练习）已知，，则（ ）
A．2B．C．D．1
3、(2023·全国·高三专题练习（理））若复数，（），，则等于（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
复数分类
【例1-14】(2023·全国·高三阶段练习（理））已知复数（为虚数单位，）为实数，则（ ）
A．B．C．D．
【例1-15】(2023·云南·昆明一中高三阶段练习（文））若，其中，为虚数单位，则实数的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【例1-16】(2023·全国·高三专题练习（文））若为纯虚数，其中，则（ ）
A．B．
C．D．
【例1-17】(2023·全国·高三专题练习（理））已知命题 ，命题q：复数为纯虚数，则命题 是 的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【题组练透】
1、(2023·浙江·慈溪中学模拟预测）已知复数满足（其中为实数，为虚数单位）.若，则实数（ ）
A．B．C．D．2
2、(2023·浙江·舟山中学高三阶段练习）若复数（，i为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．3B．C．12D．
3、(2023·宁夏·银川一中二模（理））已知为虚数单位，复数满足为纯虚数，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
4、(2023·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）若，为复数，则“是纯虚数”是“，互为共轭复数”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
待定系数求复数
【例1-18】(2023·全国·高三专题练习）已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【例1-19】(2023·云南昆明·模拟预测（文））已知复数z满足，且，则（ ）
A．B．C．2D．
【题组练透】
1、(2023·全国·高三专题练习（文））设（为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2、(2023·河北·高三阶段练习）已知复数z满足条件，则（ ）
A．B．C．或D．或
3、(2023·新疆·三模（理））若复数z满足.则z等于（ ）
A．B．C．D．
4、(2023·福建宁德·模拟预测）若，则的值为（ ）
A．B．2C．D．3
考点二 复数的模
解题方略：
复数的模
设eq \(OZ,\s\up6(→))对应的复数为z＝a＋bi，则向量eq \(OZ,\s\up6(→))的长度叫做复数z＝a＋bi的模，|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)
（2）两个复数的差的模的几何意义
两个复数的差的模的几何意义是∶复平面内与这两复数对应的两点之间的距离.即设复数在复平面内对应的点分别是，则=
一般地，设复数对应的点分别是,则复数z对应的点Z的轨迹如下：
① 若，则为圆；
② 若，则为圆环，但不包括边界；
③ 若，则为垂直平分线；
④ 若常数，则当常数大于AB时，为椭圆；当常数等于AB时，为线段；当常数小于AB时，不存在；
⑤ 若常数，则当常数大于AB时，不存在；当常数等于AB时，为一条射线；当常数小于AB 时，为双曲线的一支.
求复数的模
【例2-1】(2023·天津三中二模）已知复数，则___________.
【例2-2】(2023·北京市十一学校高三阶段练习）若复数z满足，则（ ）
A．1B．2C．D．
【例2-3】【多选】(2023·江苏·新沂市第一中学模拟预测）若为复数，则（ ）
A．B．
C．D．
【题组练透】
1、(2023·重庆南开中学模拟预测）已知复数z满足：（i为虚数单位），则复数z的模（ ）
A．1B．C．2D．
2、(2023·陕西西安·三模（理））已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
3、(2023·山西·模拟预测（文））已知，则（ ）
A．0B．1C．2D．
4、(2023·上海市实验学校高三阶段练习）已知复数满足，若，则的值为___________.
求点的轨迹
【例2-4】(2023·云南师大附中高三阶段练习（文））设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（ ）
A．B．C．D．
【例2-5】(2023·广东·金山中学高三阶段练习）已知复数z满足，若z在复平面内对应的点为，则（ ）
A．B．
C．D．
【例2-6】(2023·江苏南通·模拟预测）已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点Z所在区域的面积为（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【题组练透】
1、(2023·全国·高三专题练习（理））若复数z满足，其中i为虚数单位，则z对应的点满足方程（ ）
A．B．
C．D．
2、(2023·全国·高三专题练习）复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3、(2023·全国·高三专题练习）若复数满足，则复数对应的点的轨迹围成图形的面积等于（ ）
A．B．C．D．
求模的最值
【例2-7】(2023·江西萍乡·二模（理））复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【例2-8】(2023·陕西·长安一中模拟预测（理））已知是虚数单位，复数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【例2-9】(2023·湖南·岳阳一中一模）若为虚数单位，复数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【题组练透】
1、(2023·全国·高三专题练习）若复数满足，则的最大值是______.
2、(2023·全国·高三专题练习）如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．
3、(2023·广东茂名·模拟预测）设复数，满足，，则的最大值为（ ）
A．B．C．6D．
考点三 复数的四则运算
解题方略：
1、复数代数形式运算问题的解题策略
2、复数范围内实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为
(1)当Δ≥0时，x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)；
(2)当Δ<0时，x＝eq \f(－b±\r(－b2－4ac)i,2a).
注：实系数方程的虚数根必共轭成对出现
3、复数范围内解方程的一般思路是：
依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解．对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的（依然满足韦达定理）．注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解．
注：由于虚数单位的特殊性，不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根．
4、在含有z，z，|z|中至少两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z.
（一）复数的运算
【例3-1】(2023·陕西宝鸡·二模（理））若，则z=（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】(2023·河北·高三阶段练习）已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
【例3-3】(2023·全国·高三专题练习）i为虚数单位，复数z满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．z的虚部为－D．z在复平面内对应的点在第三象限
【题组练透】
1、(2023·贵州贵阳·二模（理））已知为虚数单位，复数满足，则（ ）
A．2B．C．D．
2、(2023·福建莆田·三模）若复数，则（ ）
A．B．C．D．
3、(2023·江苏·新沂市第一中学模拟预测）复数（ ）
A．B．C．1D．
（二）复数范围内方程根的问题
【例3-4】(2023·四川·宜宾市教科所三模（理））已知是虚数单位，是关于的方程的一个根，则（ ）
A．B．C．D．
【例3-5】(2023·全国·高三专题练习（理））已知复数3–2i是关于x的方程的一个根，则实数m，n的值分别为（ ）
A．6，5B．12，10C．12，26D．24，26
【例3-6】(2023·全国·高三专题练习）已知方程有两个虚根，若，则的值是（ ）
A．或B．C．D．
【例3-7】(2023·全国·高三专题练习）若关于x的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，则m的取值范围是________．
【题组练透】
1、(2023·全国·高三专题练习）设、，若（为虚数单位）是一元二次方程的一个虚根，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2、(2023·全国·高三专题练习）若是实系数一元二次方程的一个根，则______．
3、(2023·山东枣庄·一模）设，是方程在复数范围内的两个解，则（ ）
A．B．
C．D．
考点四 复数的几何意义
解题方略：
对复数几何意义的再理解
(1)复数z、复平面上的点Z及向量eq \(OZ,\s\up7(―→))相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq \(OZ,\s\up7(―→))；
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
【例4-1】(2023·山东·德州市教育科学研究院二模）已知i是虚数单位，a，b均为实数，且，则点(a，b)所在的象限为（ ）
A．一B．二C．三D．四
【例4-2】(2023·四川南充·三模（理））若复数，则z在复平面内对应的点在第______象限．
【例4-3】(2023江西省景德镇一中月考）在复平面内，平行四边形的三个顶点，A，B，C对应的复数分别为，，(为虚数单位)，则点D对应的复数为（ ）
A. B. C. D.
【题组练透】
1、(2023·山东泰安·二模）已知复数，i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
2、(2023·贵州毕节·三模（理））已知复数在复平面内对应的点与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则复数的共轭复数（ ）
A．B．C．D．
3、(2023·宁夏·石嘴山市第一中学三模（理））设复数，若复数对应的点在直线上， 则的最小值为___________
4、(2023·湖南岳阳·三模）已知复数z在复平面内的对应的点的坐标为(-2，1)，则下列结论正确的是（ ）
A．复数z的共轭复数是B． ，
C．D．的虚部是
复数加法的几何意义
向量加法的平行四边形法则
复数z1＋z2是以eq \(OZ1,\s\up6(→))，eq \(OZ2,\s\up6(→))为邻边的平行四边形的对角线eq \(OZ,\s\up6(→))所对应的复数
复数减法的几何意义
向量减法的三角形法则
复数z1－z2是从向量eq \(OZ2,\s\up6(→))的终点指向向量eq \(OZ1,\s\up6(→))的终点的向量eq \(Z2Z1,\s\up6(-----→))所对应的复数
交换律
z1z2＝z2z1
结合律
(z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
复数的加减法
在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可
复数的乘法
复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可
复数的
除法
除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式
第3讲 复数
知识点1 复数的概念及代数表示
1.数系扩充的脉络
自然数集→整数集→有理数集→实数集→复数集．
2.复数集
①定义：全体复数所成的集合叫做复数集．
②表示：通常用大写字母C表示．
3.复数
①定义：把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．满足i2＝－1.a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．
②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．
注：复数概念的三点说明
(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
(2)复数的虚部是实数b而非bi.
(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是．
易错辨析：任意两个复数都能比较大小？任意两个复数都不能比较大小？
当两个复数有虚数时，不可以比较大小，当两个复数都是实数时，可以比较大小.
知识点2 两个复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di (a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
注：(1)在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立．
(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．
知识点3 复数的分类
对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.
(1)复数(a＋bi，a，b∈R)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(实数b＝0,虚数b≠0\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(纯虚数a＝0,非纯虚数a≠0))))
(2)集合表示：
知识点4 复数的几何意义
1、建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
(1)复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示．
(2)实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数．
(3)虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
2、复数的几何意义
（1）复数的几何意义——与点对应
复数的几何意义1：复数复平面内的点
（2）复数的几何意义——与向量对应
复数的几何意义2：复数 平面向量
注：复数的几何意义
这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi)；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量eq \(OZ,\s\up6(→))是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与eq \(OZ,\s\up6(→))相等的向量有无数个．
知识点5 复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对应的向量为eq \(OZ,\s\up6(→))，则向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|.由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝eq \r(a2＋b2)(r≥0，r∈R)．
注：(1)数的角度理解：复数a＋bi(a，b∈R)的模|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小．
(2)几何角度理解：表示复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值)．类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示复数z1, z2对应的点之间的距离．
(3)复数z的方程在复平面上表示的图形
①a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
②|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
知识点6 复数代数形式的加减法
1、运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.（两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.）
2、加法运算律
对任意，有，．
注：对复数的加法、减法运算应注意以下几点
(1)一种规定：复数代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算；
特殊情形：当复数的虚部为零时，与实数的加法、减法法则一致．
(2)运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立．实数的移项法则在复数中仍然成立．
(3)运算结果：两个复数的和(差)是唯一确定的复数．
3、复数加减法的几何意义
知识点7 复数的乘除法及其运算律
1、复数的除法
（1）复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积
(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
（2）复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
注：对复数乘法的三点说明
(1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1)．
(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．
(3)常用结论
①(a±bi)2＝a2±2abi－b2 (a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
③(1±i)2＝±2i.
④i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
⑤i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
2、共轭复数
（1）定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数
（2）表示：z的共轭复数用eq \x\t(z)表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \x\t(z)＝a－bi
注：共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：
(1)；(2)；(3)；(4)；
(5)；(6)；(7)|zn|=|z|n
3、复数的除法
（1）复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，则eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i.
注：对复数除法的两点说明
①实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．
②代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．
特别提醒：复数的除法类似于根式的分母有理化．
（2）记住以下结果，可提高运算速度：①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；②eq \f(1－i,1＋i)＝－i，eq \f(1＋i,1－i)＝i；③eq \f(1,i)＝－i.
知识点8 复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
1、复数的三角表示式
（1）定义：
r(csθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量eq \(OZ,\s\up6(→))所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
注意：复数三角形式的特点：模非负，角相同，余弦前，加号连
（2）非零复数z辐角θ的多值性
以x轴正半轴为始边，向量 eq \(OZ,\s\up6(→))所在的射线为终边的角θ叫复数z＝a＋bi的辐角，因此复数z的辐角是θ＋2kπ(k∈Z) (k∈Z)．
（3）辐角主值
①表示法：用argz表示复数z的辐角主值．
②定义：适合[0,2π)的角θ叫辐角主值．即 0≤arg z<2π.
③唯一性：复数z的辐角主值是确定的、唯一的．
2、复数的代数形式与三角形式的互化
复数z＝a＋bi＝r(csθ＋isinθ)的两种表示式之间的关系为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝r·csθ，,b＝r·sinθ，,r＝\r(a2＋b2).))
注：复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式.我们可以根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化.
复数的代数形式化三角形式的步骤:
①先求复数的模；
②决定辐角所在的象限；
③根据象限求出辐角(常取它的主值)；
④写出复数的三角形式．
3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件
两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等．
4、复数三角形式的乘法及其几何意义
设 、的三角形式分别是：
简记为 ：模数相乘，幅角相加.
几何意义：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是．
5、复数三角形式的除法及其几何意义
设 、的三角形式分别是：
简记为 ：模数相除，幅角相减
几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是．
1．（2023•新高考Ⅱ）复数2−i1−3i在复平面内对应点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解析】∵2−i1−3i=(2−i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)=2+6i−i−3i212+(−3)2=5+5i10=12+12i，
∴在复平面内，复数2−i1−3i对应的点的坐标为（12，12），位于第一象限．
故选：A．
2．（2023•北京）若复数z满足（1﹣i）•z＝2，则z＝（ ）
A．﹣1﹣iB．﹣1+iC．1﹣iD．1+i
【解析】因为（1﹣i）•z＝2，
所以z=21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i．
故选：D．
3．（2023•浙江）已知a∈R，（1+ai）i＝3+i（i为虚数单位），则a＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣3D．3
【解析】因为（1+ai）i＝3+i，即﹣a+i＝3+i，
由复数相等的定义可得，﹣a＝3，即a＝﹣3．
故选：C．
4．（2023•乙卷）设2（z+z）+3（z−z）＝4+6i，则z＝（ ）
A．1﹣2iB．1+2iC．1+iD．1﹣i
【解析】设z＝a+bi，a，b是实数，则z=a﹣bi，则由2（z+z）+3（z−z）＝4+6i，
得2×2a+3×2bi＝4+6i，得4a+6bi＝4+6i，得4a=46b=6，得a＝1，b＝1，
即z＝1+i，故选：C．
5．（2023•新高考Ⅰ）已知z＝2﹣i，则z（z+i）＝（ ）
A．6﹣2iB．4﹣2iC．6+2iD．4+2i
【解析】∵z＝2﹣i，
∴z（z+i）＝（2﹣i）（2+i+i）＝（2﹣i）（2+2i）＝4+4i﹣2i﹣2i2＝6+2i．
故选：C．
6．（2023•甲卷）已知（1﹣i）2z＝3+2i，则z＝（ ）
A．﹣1−32iB．﹣1+32iC．−32+iD．−32−i
【解析】因为（1﹣i）2z＝3+2i，
所以z=3+2i(1−i)2=3+2i−2i=(3+2i)i(−2i)⋅i=−2+3i2=−1+32i．
故选：B．
7．（2023•北京）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1，2），则i•z＝（ ）
A．1+2iB．﹣2+iC．1﹣2iD．﹣2﹣i
【解析】∵复数z对应的点的坐标是（1，2），
∴z＝1+2i，则i•z＝i（1+2i）＝﹣2+i，
故选：B．
8．（2023•新课标Ⅰ）若z＝1+2i+i3，则|z|＝（ ）
A．0B．1C．2D．2
【解析】z＝1+2i+i3＝1+2i﹣i＝1+i，
∴|z|=12+12=2．
故选：C．
9．（2023•新课标Ⅰ）若z＝1+i，则|z2﹣2z|＝（ ）
A．0B．1C．2D．2
【解析】若z＝1+i，则z2﹣2z＝（1+i）2﹣2（1+i）＝2i﹣2﹣2i＝﹣2，
则|z2﹣2z|＝|﹣2|＝2，
故选：D．
10．（2023•新课标Ⅱ）（1﹣i）4＝（ ）
A．﹣4B．4C．﹣4iD．4i
【解析】（1﹣i）4＝[（1﹣i）2]2＝（﹣2i）2＝﹣4．故选：A．
考点一 复数的有关概念
解题方略：
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b；
(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(3)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．所以解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
①复数是实数的条件:①z=a+bi∈R⇔b=0(a,b∈R);②z∈R⇔z=z;③z∈R⇔z2≥0.
②复数是纯虚数的条件:①z=a+bi是纯虚数⇔a=0且b≠0(a,b∈R);②z是纯虚数⇔z+z=0(z≠0);③z是纯虚数⇔z2<0.
复数的实部与虚部
【例1-1】(2023·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））已知为虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A．B．C．2D．2i
【解析】，所以复数的虚部为；故选：C
【例1-2】(2023·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））已知复数，那么的虚部为（ ）
A．B．C．4D．
【解析】由，即的虚部为4，故选：C.
【例1-3】(2023·江西·南昌十中高三阶段练习（文））复数满足，则复数的实部是（ ）
A．B．C．D．
【解析】依题意，所以，故的实部为.
故选：D.
【例1-4】(2023·安徽·巢湖市第一中学高三期中（文））设复数的实部与虚部分别为a，b，则（ ）
A．B．C．1D．2
【解析】，所以，；
故选：A
【例1-5】(2023·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知复数的实部和虚部相等，则___________．
【解析】依题意，，于是得，解得，则，
所以..
故答案为：
【题组练透】
1、(2023·福建南平·三模）已知复数，则复数的虛部为（ ）
A．B．C．D．
【解析】，故虚部为.故选：A.
2、(2023·四川·内江市教育科学研究所三模（文））若复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．1
【解析】因为复数满足，所以，所以的虚部为-1，
故选：B
3、(2023·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（理））已知是虚数单位，若复数的实部是虚部的2倍，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】，所以，解得，故选：B.
4、(2023·陕西陕西·二模（理））设复数z满足，且z的实部小于虚部，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】设，则，所以.
故选：D
共轭复数
【例1-6】(2023·山东泰安·三模）已知复数，i为虚数单位，则z的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
【解析】，所以z的共轭复数为，
故选：B.
【例1-7】(2023·安徽黄山·二模（理））已知复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】，，
，故复数的虚部为.
故选：A
【例1-8】(2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知a，，i是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为与互为共轭复数，所以，所以，
故选：D
【例1-9】(2023·河南商丘·三模（理））已知，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解析】，则，所以在复平面内对应的点为，位于第一象限
故选：A．
【题组练透】
1、(2023·全国·高三专题练习）已知复数满足，则共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解析】因为，所以，所以，
所以在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：D
2、【多选】(2023·全国·高三专题练习）已知复数z，则下列结论正确的是（ ）
A．是实数B．C．是纯虚数D．
【解析】设，则.对于A，为实数，故A正确；
对于B，，，故B正确；
对于C，，若，是实数，故C不正确；
对于D，，，故D不正确.
故选：AB
3、(2023·全国·高三专题练习）已知i为虚数单位，复数在复平面内对应的点关于原点对称，且，则_______．
【解析】在复平面内对应的点坐标为，复数在复平面内对应的点关于原点对称，
所以在复平面内对应的点为，所以，所以，
故答案为：.
复数相等
【例1-10】(2023·山西晋中·模拟预测（理））已知，（为虚数单位），则等于（ ）
A．1B．C．2D．
【解析】，所以.故选：B.
【例1-11】(2023·全国·高三专题练习）已知是虚数单位，若，则的值为______.
【解析】因为，所以，.
故答案为:
【例1-12】(2023·陕西咸阳·三模（理））设，其中为虚数单位，是实数，则（ ）
A．1B．C．D．2
【解析】因为，所以，解得，所以.
故选：B.
【例1-13】(2023·浙江·高三专题练习）已知复数，，并且，则的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．
【解析】∵，∴，化为，
∴，
∵，
∴当时，取得最小值；当时，取得最大值7，
∴，
∴的取值范围是，
故选：A.
【题组练透】
1、(2023·河南洛阳·三模（理））已知，其中是虚数单位，则（ ）
A．3B．1C．-1D．-3
【解析】因为，因为，
所以，即，所以；
故选：B
2、(2023·全国·高三专题练习）已知，，则（ ）
A．2B．C．D．1
【解析】因为，所以，所以，
所以，所以，所以.故选：A.
3、(2023·全国·高三专题练习（理））若复数，（），，则等于（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
【解析】由复数相等的定义可知，∴，.
∴，k∈Z,故选：D.
复数分类
【例1-14】(2023·全国·高三阶段练习（理））已知复数（为虚数单位，）为实数，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】为实数，
，解得：.
故选：A.
【例1-15】(2023·云南·昆明一中高三阶段练习（文））若，其中，为虚数单位，则实数的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【解析】由题意得，得，得，故选：C．
【例1-16】(2023·全国·高三专题练习（文））若为纯虚数，其中，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】依题意，，解得，故．故选：C
【例1-17】(2023·全国·高三专题练习（理））已知命题 ，命题q：复数为纯虚数，则命题 是 的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】
是纯虚数， ，
故命题是的充要条件
故选：C
【题组练透】
1、(2023·浙江·慈溪中学模拟预测）已知复数满足（其中为实数，为虚数单位）.若，则实数（ ）
A．B．C．D．2
【解析】由于，
因为，则，解得.
故选：A.
2、(2023·浙江·舟山中学高三阶段练习）若复数（，i为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．3B．C．12D．
【解析】令，即，
由复数相等知：，
解得，，
故选：B.
3、(2023·宁夏·银川一中二模（理））已知为虚数单位，复数满足为纯虚数，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设，所以，
因为为纯虚数，所以，解得，
所以的虚部为：.
故选：D.
4、(2023·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）若，为复数，则“是纯虚数”是“，互为共轭复数”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【解析】充分性：令，，满足是纯虚数，
不满足，互为共轭复数，不满足充分性.
必要性：若，满足，互为共轭复数，
则，不满足是纯虚数，不满足必要性.
所以“是纯虚数”是“，互为共轭复数”的既不充分也不必要条件.
故选：D
待定系数求复数
【例1-18】(2023·全国·高三专题练习）已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】令，，
.
故选：A.
【例1-19】(2023·云南昆明·模拟预测（文））已知复数z满足，且，则（ ）
A．B．C．2D．
【解析】设，则，
所以，，
所以，，得
所以，.
故选：D.
【题组练透】
1、(2023·全国·高三专题练习（文））设（为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设，则，
由可得，所以，，解得，
因此，复数的虚部为.
故选：B.
2、(2023·河北·高三阶段练习）已知复数z满足条件，则（ ）
A．B．C．或D．或
【解析】设，则，所以，，
所以，，则，解得或，
故或，因此，或.
故选：C.
3、(2023·新疆·三模（理））若复数z满足.则z等于（ ）
A．B．C．D．
【解析】设，则，，
则，解得，故.
故选：A.
4、(2023·福建宁德·模拟预测）若，则的值为（ ）
A．B．2C．D．3
【解析】因为，所以，
故设，则，
所以.
故选：D
考点二 复数的模
解题方略：
复数的模
设eq \(OZ,\s\up6(→))对应的复数为z＝a＋bi，则向量eq \(OZ,\s\up6(→))的长度叫做复数z＝a＋bi的模，|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)
（2）两个复数的差的模的几何意义
两个复数的差的模的几何意义是∶复平面内与这两复数对应的两点之间的距离.即设复数在复平面内对应的点分别是，则=
一般地，设复数对应的点分别是,则复数z对应的点Z的轨迹如下：
① 若，则为圆；
② 若，则为圆环，但不包括边界；
③ 若，则为垂直平分线；
④ 若常数，则当常数大于AB时，为椭圆；当常数等于AB时，为线段；当常数小于AB时，不存在；
⑤ 若常数，则当常数大于AB时，不存在；当常数等于AB时，为一条射线；当常数小于AB 时，为双曲线的一支.
求复数的模
【例2-1】(2023·天津三中二模）已知复数，则___________.
【解析】因为，所以，所以；
故答案为：
【例2-2】(2023·北京市十一学校高三阶段练习）若复数z满足，则（ ）
A．1B．2C．D．
【解析】设，则，∴解得∴.
故选：D
【例2-3】【多选】(2023·江苏·新沂市第一中学模拟预测）若为复数，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】对于A选项，当，时，
，，，
则，故A错误；
对于B选项，当，时，
，
则
，
因为，，
则，故B正确；
对于C选项，若，当时，，
，则，即，故C错误；
对于D选项，设，则，所以，
，即，故D正确；
故选：BD
【题组练透】
1、(2023·重庆南开中学模拟预测）已知复数z满足：（i为虚数单位），则复数z的模（ ）
A．1B．C．2D．
【解析】因为，所以，
所以.
故选：D.
2、(2023·陕西西安·三模（理））已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】由，
所以，
故选：B
3、(2023·山西·模拟预测（文））已知，则（ ）
A．0B．1C．2D．
【解析】因为，所以，所以，
所以．故选：D．
4、(2023·上海市实验学校高三阶段练习）已知复数满足，若，则的值为___________.
【解析】由，得，
因为，所以，解得或，
故答案为：2或
求点的轨迹
【例2-4】(2023·云南师大附中高三阶段练习（文））设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】z在复平面内对应的点为，则复数，则，由复数的模长公式可得.
故选：A
【例2-5】(2023·广东·金山中学高三阶段练习）已知复数z满足，若z在复平面内对应的点为，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因为复数z满足，所以，
即，化简得：，
故选：C
【例2-6】(2023·江苏南通·模拟预测）已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点Z所在区域的面积为（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【解析】令且，则，
所以，即对应区域是圆心为，半径分别为1，2的两个同心圆的面积差，
所以区域的面积为.
故选：C
【题组练透】
1、(2023·全国·高三专题练习（理））若复数z满足，其中i为虚数单位，则z对应的点满足方程（ ）
A．B．
C．D．
【解析】在复平面内，复数z对应的点为，则，，
因，于是得，
所以z对应的点满足方程是：.
故选：C
2、(2023·全国·高三专题练习）复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解析】设复数，因为，所以，
即复数z表所对应的点在以（5，5）为圆心，以2为半径的圆上，
所以z在复平面内对应的点所在的象限为第一象限.
故选：A
3、(2023·全国·高三专题练习）若复数满足，则复数对应的点的轨迹围成图形的面积等于（ ）
A．B．C．D．
【解析】复数满足，表示复数对应的点的轨迹是以点为圆心，半径为3的圆，所以围成图形的面积等于.
故选：D
求模的最值
【例2-7】(2023·江西萍乡·二模（理））复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由于，所以对应的点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，所以的最大值为.
故选：C
【例2-8】(2023·陕西·长安一中模拟预测（理））已知是虚数单位，复数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【解析】复数满足，设，，则，即，
复平面内复数对应的点在圆上，
在复平面内的几何意义是圆上的点与的距离，
则的最小值为：，
故选：A．
【例2-9】(2023·湖南·岳阳一中一模）若为虚数单位，复数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】表示的几何意义是复数对应的点到原点的距离小于等于1，
表示的几何意义是复数对应的点与点连线段的长度，
故的最大值为，
故选：C.
【题组练透】
1、(2023·全国·高三专题练习）若复数满足，则的最大值是______.
【解析】设，则，根据复数几何意义知，表示在复平面内，到的距离，则最大值为，故答案为：3
2、(2023·全国·高三专题练习）如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．
【解析】点到点与到点的距离之和为2．
点的轨迹为线段．而表示为点到点的距离．
数形结合，得最小距离为1，所以|z＋i＋1|min＝1.
故选：A
3、(2023·广东茂名·模拟预测）设复数，满足，，则的最大值为（ ）
A．B．C．6D．
【解析】由题意，复数，满足，，
可得在复平面内对应的点是以为圆心，以为半径的圆，
复数在复平面内对应的点是以为圆心，以为半径的圆，
则的几何意义是两圆上点的距离，
所以的最大值为.
故选：D.
考点三 复数的四则运算
解题方略：
1、复数代数形式运算问题的解题策略
2、复数范围内实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为
(1)当Δ≥0时，x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)；
(2)当Δ<0时，x＝eq \f(－b±\r(－b2－4ac)i,2a).
注：实系数方程的虚数根必共轭成对出现
3、复数范围内解方程的一般思路是：
依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解．对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的（依然满足韦达定理）．注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解．
注：由于虚数单位的特殊性，不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根．
4、在含有z，z，|z|中至少两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z.
（一）复数的运算
【例3-1】(2023·陕西宝鸡·二模（理））若，则z=（ ）
A．B．C．D．
【解析】.故选：C
【例3-2】(2023·河北·高三阶段练习）已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】，故选：C．
【例3-3】(2023·全国·高三专题练习）i为虚数单位，复数z满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．z的虚部为－D．z在复平面内对应的点在第三象限
【解析】由已知，所以，
，A错；
，C错；
的虚部是，C错；
对应点坐标为，在第三象限，D正确．
故选：D．
【题组练透】
1、(2023·贵州贵阳·二模（理））已知为虚数单位，复数满足，则（ ）
A．2B．C．D．
【解析】由已知，故选：D．
2、(2023·福建莆田·三模）若复数，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】
故选：C
3、(2023·江苏·新沂市第一中学模拟预测）复数（ ）
A．B．C．1D．
【解析】因为，所以故选：D
（二）复数范围内方程根的问题
【例3-4】(2023·四川·宜宾市教科所三模（理））已知是虚数单位，是关于的方程的一个根，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】是方程的一个根，是方程的另一个根，
，解得：.
故选：D.
【例3-5】(2023·全国·高三专题练习（理））已知复数3–2i是关于x的方程的一个根，则实数m，n的值分别为（ ）
A．6，5B．12，10C．12，26D．24，26
答案：C
【解析】复数是关于的方程的一个根，
则复数也是关于的方程的一个根，
，．
，．
故选：．
【例3-6】(2023·全国·高三专题练习）已知方程有两个虚根，若，则的值是（ ）
A．或B．C．D．
【解析】由已知方程有两个虚根，因此方程判别式小于0，即.,
设由韦达定理可知
所以, 即
, 即, 所以
所以
故答案为：C
【例3-7】(2023·全国·高三专题练习）若关于x的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，则m的取值范围是________．
【解析】因为关于x的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，
所以，
即，即 ，
解得 ，
所以m的取值范围是，
故答案为：
【题组练透】
1、(2023·全国·高三专题练习）设、，若（为虚数单位）是一元二次方程的一个虚根，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【解析】因为是实系数一元二次方程的一个虚根，则该方程的另一个虚根为，
由韦达定理可得，所以.
故选：C.
2、(2023·全国·高三专题练习）若是实系数一元二次方程的一个根，则______．
【解析】因为是实系数一元二次方程的一个根，
所以，即，
整理得，
所以，解得，则.
故答案为：.
3、(2023·山东枣庄·一模）设，是方程在复数范围内的两个解，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由方程得，由求根公式得，不妨设，.
，A错误；，B错误；
，C错误；，D正确.
故选：D.
考点四 复数的几何意义
解题方略：
对复数几何意义的再理解
(1)复数z、复平面上的点Z及向量eq \(OZ,\s\up7(―→))相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq \(OZ,\s\up7(―→))；
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
【例4-1】(2023·山东·德州市教育科学研究院二模）已知i是虚数单位，a，b均为实数，且，则点(a，b)所在的象限为（ ）
A．一B．二C．三D．四
【解析】∵，则可得
∴在第二象限，
故选：B．
【例4-2】(2023·四川南充·三模（理））若复数，则z在复平面内对应的点在第______象限．
【解析】因为，所以z在复平面内对应的点在第一象限.
故答案为：一.
【例4-3】(2023江西省景德镇一中月考）在复平面内，平行四边形的三个顶点，A，B，C对应的复数分别为，，(为虚数单位)，则点D对应的复数为（ ）
A. B. C. D.
【解析】由题知，，，，设.
则，.
因为为平行四边形，所以.
由，解得，
所以点对应的复数为.
故选：A.
【题组练透】
1、(2023·山东泰安·二模）已知复数，i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【解析】，则，对应的点位于第三象限.
故选：C.
2、(2023·贵州毕节·三模（理））已知复数在复平面内对应的点与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则复数的共轭复数（ ）
A．B．C．D．
【解析】复数在复平面内对应的点为，关于虚轴对称的点为，
所以，复数在复平面内对应的点为，即，
所以，.
故选：D
3、(2023·宁夏·石嘴山市第一中学三模（理））设复数，若复数对应的点在直线上， 则的最小值为___________
【解析】
故复数对应的点的坐标为 ，又因为点在直线
，整理得：
当且仅当 时，即 时等号成立，即的最小值为9
故答案为：9
4、(2023·湖南岳阳·三模）已知复数z在复平面内的对应的点的坐标为(-2，1)，则下列结论正确的是（ ）
A．复数z的共轭复数是B． ，
C．D．的虚部是
【解析】因为复数z在复平面内的对应的点的坐标为(-2，1)，所以，因此，所以选项A不正确；因为，所以选项B不正确；因为，所以选项C不正确；
因为，所以的虚部是，因此选项D正确，
故选：D
复数加法的几何意义
向量加法的平行四边形法则
复数z1＋z2是以eq \(OZ1,\s\up6(→))，eq \(OZ2,\s\up6(→))为邻边的平行四边形的对角线eq \(OZ,\s\up6(→))所对应的复数
复数减法的几何意义
向量减法的三角形法则
复数z1－z2是从向量eq \(OZ2,\s\up6(→))的终点指向向量eq \(OZ1,\s\up6(→))的终点的向量eq \(Z2Z1,\s\up6(-----→))所对应的复数
交换律
z1z2＝z2z1
结合律
(z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
复数的加减法
在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可
复数的乘法
复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可
复数的
除法
除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式