2024年高考数学一轮复习满分攻略(新高考地区专用)考点04不等式的性质与常见不等式的解法(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2024年高考数学一轮复习满分攻略(新高考地区专用)考点04不等式的性质与常见不等式的解法(精讲)(原卷版+解析)，共68页。试卷主要包含了两个实数比较大小的依据，不等式的基本性质，简单分式不等式等内容，欢迎下载使用。
知识点1 不等关系
1．两个实数比较大小的依据
（1）作差法：①a＞b⇔a－b＞0；②a＝b⇔a－b＝0；③a＜b⇔a－b＜0.
（2）作商法eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)>1（a∈R，b>0）⇔a>b（a∈R，b>0），,\f(a,b)＝1⇔a＝b（a，b≠0），,\f(a,b)0）⇔a0）.))
2．不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
(3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c；
同向可加性：
异向可减性：
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；
同向正数可乘性：
异向正数可除性：
(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a＞b＞0⇒eq \r(n,a) ＞ eq \r(n,b)(n∈N，n≥2)．
（7）倒数法则：
注：常用结论：
倒数性质：(1)a>b，ab>0⇒eq \f(1,a)0⇒eq \f(a,c)>eq \f(b,d).
分数性质：若a>b>0，m>0，则(1)真分数性质：eq \f(b,a)eq \f(b－m,a－m)(b－m>0)；
(2)假分数性质：eq \f(a,b)>eq \f(a＋m,b＋m)；eq \f(a,b)0)．
3.不等式的证明方法
（1）综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法．
（2）分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立．
（3）反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．
注：(1)同向不等式可以相加，不能相减；
(2)一个不等式的两边同乘以同一正数，不等号方向不变；同乘以同一负数，不等号方向改变．
知识点2 常见不等式的解法
1.不等式的解集与不等式组的解集
（1）不等式的解集：一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．
（2）不等式组的解集：对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集．
注意事项：若不等式中所含不等式解集的交集为∅时，则不等式组的解集为∅.
2.一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集
(1)当a>0时，解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x>\f(b,a)))))．(2)当a0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；解含有两个绝对值形如的不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并.
③平方法:如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：，可以使用平方法.
④通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想.
7.高次不等式
高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式.
解法：穿根法
①将f(x)最高次项系数化为正数；
②将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；
③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；
④观察曲线显现出的f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集．
8.无理不等式的解法
无理不等式一般利用平方法和分类讨论解答.
无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，可转化为或，而等价于：或．
1．（2023•上海）下列不等式恒成立的是（ ）
A．a2+b2≤2abB．a2+b2≥﹣2abC．a+b≥2|ab|D．a2+b2≤﹣2ab
2.【多选】（2023•海南）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（ ）
A．a2+b2≥12B．2a﹣b＞12
C．lg2a+lg2b≥﹣2D．a+b≤2
3．（2023•全国）若lg12（4x﹣1）＞﹣2，则x的取值范围是 ．
4．（2023•天津）设x∈R，使不等式3x2+x﹣2＜0成立的x的取值范围为 ．
考点一 比较两个数(式)的大小
解题方略：
比较两数(式)大小的方法
注：比较两式大小还可用函数的单调性法
将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．
【例1-1】(2023·全国·高三专题练习）已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法确定
【例1-2】(2023·全国·高三专题练习）若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)．
【例1-3】(2023·江苏江苏·高三期末）已知＝，b＝3－ln4，c＝，则下列选项正确的是（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜b＜aD．c＜a＜b
【题组练透】
1、(2023·全国·高三专题练习）若，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．a，b大小不确定
2、(2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
3、(2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
考点二 不等式的性质及应用
解题方略：
利用不等式的性质判断正误的2种方法
(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可；
(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．
【例2-1】(2023·山东日照·二模）若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】(2023·陕西宝鸡·三模（理））若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【例2-3】(2023·山东省淄博第一中学高三开学考试）已知a，b，，那么下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则
【例2-4】【多选】(2023·山东聊城·一模）设，且，则( )
A．B．C．D．
【题组练透】
1、(2023·安徽黄山·二模（文））设实数、满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
2、(2023·北京·模拟预测）已知，下列不等式正确的是（ ）
A．B．C． D．
3、(2023·安徽亳州·高三期末（理））设，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4、(2023·北京房山·一模）若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
考点三 求代数式的取值范围
解题方略：
利用待定系数法求代数式的取值范围
已知M10⇒eq \f(1,a)0⇒eq \f(a,c)>eq \f(b,d).
分数性质：若a>b>0，m>0，则(1)真分数性质：eq \f(b,a)eq \f(b－m,a－m)(b－m>0)；
(2)假分数性质：eq \f(a,b)>eq \f(a＋m,b＋m)；eq \f(a,b)0)．
3.不等式的证明方法
（1）综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法．
（2）分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立．
（3）反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．
注：(1)同向不等式可以相加，不能相减；
(2)一个不等式的两边同乘以同一正数，不等号方向不变；同乘以同一负数，不等号方向改变．
知识点2 常见不等式的解法
1.不等式的解集与不等式组的解集
（1）不等式的解集：一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．
（2）不等式组的解集：对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集．
注意事项：若不等式中所含不等式解集的交集为∅时，则不等式组的解集为∅.
2.一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集
(1)当a>0时，解集为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x>\f(b,a)))))．(2)当a0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；解含有两个绝对值形如的不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并.
③平方法:如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：，可以使用平方法.
④通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想.
7.高次不等式
高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式.
解法：穿根法
①将f(x)最高次项系数化为正数；
②将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；
③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；
④观察曲线显现出的f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集．
8.无理不等式的解法
无理不等式一般利用平方法和分类讨论解答.
无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，可转化为或，而等价于：或．
1．（2023•上海）下列不等式恒成立的是（ ）
A．a2+b2≤2abB．a2+b2≥﹣2abC．a+b≥2|ab|D．a2+b2≤﹣2ab
【解析】A．显然当a＜0，b＞0时，不等式a2+b2≤2ab不成立，故A错误；
B．∵（a+b）2≥0，∴a2+b2+2ab≥0，∴a2+b2≥﹣2ab，故B正确；
C．显然当a＜0，b＜0时，不等式a+b≥2|ab|不成立，故C错误；
D．显然当a＞0，b＞0时，不等式a2+b2≤﹣2ab不成立，故D错误．
故选：B．
2.【多选】（2023•海南）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（ ）
A．a2+b2≥12B．2a﹣b＞12
C．lg2a+lg2b≥﹣2D．a+b≤2
【解析】①已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以（a+b）2≤2a2+2b2，则a2+b2≥12，故A正确．
②利用分析法：要证2a−b＞12，只需证明a﹣b＞﹣1即可，即a＞b﹣1，由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以：a＞0，﹣1＜b﹣1＜0，故B正确．
③lg2a+lg2b=lg2ab≤lg2(a+b2)2=−2，故C错误．
④由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，
利用分析法：要证a+b≤2成立，只需对关系式进行平方，整理得a+b+2ab≤2，即2ab≤1，故ab≤12=a+b2，当且仅当a＝b=12时，等号成立．故D正确．
故选：ABD．
3．（2023•全国）若lg12（4x﹣1）＞﹣2，则x的取值范围是 ．
【解析】lg12（4x﹣1）＞﹣2=lg124，
∴4x−1＞04x−1＜4，∴14＜x＜54，
∴x的取值范围为(14，54)．
故答案为：(14，54)．
4．（2023•天津）设x∈R，使不等式3x2+x﹣2＜0成立的x的取值范围为 ．
【解析】3x2+x﹣2＜0，将3x2+x﹣2分解因式即有：
（x+1）（3x﹣2）＜0；（x+1）（x−23）＜0；
由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边”
可得：﹣1＜x＜23；
即：{x|﹣1＜x＜23}；或（﹣1，23）；
故答案为：（﹣1，23）；
考点一 比较两个数(式)的大小
解题方略：
比较两数(式)大小的方法
注：比较两式大小还可用函数的单调性法
将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．
【例1-1】(2023·全国·高三专题练习）已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法确定
【解析】，
因为，所以，
又，所以，即.
故选：B
【例1-2】(2023·全国·高三专题练习）若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)．
【解析】易知a，b都是正数，＝＝lg89＞1，所以b＞a.
故答案为：＜
【例1-3】(2023·江苏江苏·高三期末）已知＝，b＝3－ln4，c＝，则下列选项正确的是（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜b＜aD．c＜a＜b
【解析】，,即，
，，
，，，故选：C
【题组练透】
1、(2023·全国·高三专题练习）若，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．a，b大小不确定
【解析】因为，
所以．故选：B.
2、(2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】，即，
∵，∴综上，.
故选：B
3、(2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因为，所以，
又因为，所以，
又因，所以且，
所以，所以，故选：D
考点二 不等式的性质及应用
解题方略：
利用不等式的性质判断正误的2种方法
(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可；
(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．
【例2-1】(2023·山东日照·二模）若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【解析】对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则，A选项正确；
对于B选项,若，，则，B选项错误；
对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，，，C选项错误；
对于D选项，因为，，所以无法判断与大小，D选项错误.
【例2-2】(2023·陕西宝鸡·三模（理））若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】对于A，构造函数，因为单调递增，又，所以，，，故A答案不对；
对于B ，构造函数，因为单调递增，又，所以，，故B答案正确；
对于C，，没有意义，故C答案不对；
对于D，取时，，故D答案不对；
故选：B.
【例2-3】(2023·山东省淄博第一中学高三开学考试）已知a，b，，那么下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则
【解析】．若，当时， ，所以不成立；
．若，当时，则，所以不成立；
．因为，将两边同除以，则，所以成立
．若且，当时，则，所以，则不成立．故选：．
【例2-4】【多选】(2023·山东聊城·一模）设，且，则( )
A．B．C．D．
【解析】对于A：，且，，解得，故A正确；
对于B：，即，，故B错误；
对于C：，且，，当且仅当时，等号成立，，故C正确；
对于D，且，
，
当且仅当，即时等号成立，
∵－3＝，∴，∴D错误.
故选：AC.
【题组练透】
1、(2023·安徽黄山·二模（文））设实数、满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【解析】对于A：当，时不成立，故A错误；
对于B：当，，所以，，即，故C错误；
对于C：当时不成立，故C错误；
对于D：因为，所以，又，
所以（等号成立的条件是），故D正确.
故选：D.
2、(2023·北京·模拟预测）已知，下列不等式正确的是（ ）
A．B．C． D．
【解析】A：，又，则，，故，即，错误；
B：当时，不成立，错误；
C：由，则，正确；
D：由，即，当时有，错误.
故选：C
3、(2023·安徽亳州·高三期末（理））设，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因为，所以，所以，故A错误；
因为，当时，，故B错误；
由，且时，，
所以，故C错误；
因为，所以
所以 ，故D正确.
故选：D.
4、(2023·北京房山·一模）若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】取满足，且，此时，A错误；
取满足，且，此时，B错误；
可得，C正确；
取满足，且，此时，D错误.故选：C.
考点三 求代数式的取值范围
解题方略：
利用待定系数法求代数式的取值范围
已知M1