2024年高考数学一轮复习满分攻略(新高考地区专用)考点14导数的综合应用(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2024年高考数学一轮复习满分攻略(新高考地区专用)考点14导数的综合应用(精讲)(原卷版+解析)，共82页。试卷主要包含了证明不等式，恒成立问题，讨论零点个数，根据函数零点情况求参数范围，与零点有关的不等式问题等内容，欢迎下载使用。

知识点1 利用导数证明不等式
利用导数证明不等式问题一般要用到构造法，构造法是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：
(1)直接构造法：证明不等式f(x)>g(x)(f(x)0(f(x)－g(x)f(x)对x∈D恒成立，则只需a>f(x)max；若af(x)min；若存在x0∈D，使ag(x)max恒成立，从而f(x)>g(x)，但f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”；
(3)若不能直接转化为最值问题的不等式证明可将不等式的某一部分“隔离”开，单独进行研究，然后再纳入整体进行论证．
4．(2023·吉林·东北师大附中模拟预测（文））已知函数，，
(1)判断函数的单调性；
(2)证明：.
5．(2023·甘肃武威·模拟预测（文））设函数，其中为自然对数的底数，曲线在处切线的倾斜角的正切值为．
（1）求的值；
（2）证明：．
3、适当放缩法
导数方法证明不等式中，最常见的是ex和ln x与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式如下：(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号；(2)ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号．
6．(2023·全国·模拟预测（文））已知函数在区间上单调．
(1)求的最大值；
(2)证明：当时，．
7．(2023·山东泰安·模拟预测）已知函数.
(1)若函数，讨论的单调性.
(2)若函数，证明：.
利用结论证明不等式
8．(2023·青海·模拟预测（理））已知函数.
(1)求的最小值；
(2)若，证明：.
9．(2023·陕西·宝鸡中学模拟预测）已知函数.
(1)若都有，求正数的最大值；
(2)求证：.
利用隐零点证明不等式
10．(2023·四川省宜宾市第四中学校模拟预测（文））已知函数.
(1)若有两个极值点，求实数a的取值范围；
(2)当时，证明：.
11．(2023·吉林省实验中学模拟预测（理））已知函数．
(1)设，求在 上的最大值；
(2)当时，求证：．
12．(2023·河南安阳·模拟预测（理））已知函数．
(1)若是的极值点，求a；
(2)若，证明：．
（四）与数列有关的不等式证明
13．(2023·福建省漳州第一中学模拟预测）已知函数.
(1)当时，，求的最大值；
(2)设，证明：.
14．(2023·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知函数
(1)求证：函数在上单调递增；
(2)求证：数列的前n项和小于
15．(2023·辽宁·沈阳二中模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，求的取值范围；
(3)判断与的大小，并证明．
考点二 恒(能)成立问题
解题方略：
1、利用导数解决不等式的恒成立或有解问题的主要策略：①构造函数，利用导数求出最值，进而求出参数的取值范围；②分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 有些不易分参的也可采用“同构”技巧.
2、不易分参时，可考虑对参数进行分类讨论. 有时也可用“同构思维”解决
（一）分离参数法
利用分离参数法确定不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ为参数)恒成立问题中参数范围的步骤：
(1)将参数与变量分离，化为f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式；
(2)求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值；
(3)解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min，得到λ的取值范围．
16．(2023·四川内江·模拟预测（文））已知函数，
(1)讨论的单调性；
(2)若不等式对任意恒成立，求的最大值．
17．(2023·天津·南开中学模拟预测）已知函数，为函数的导函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求m的取值范围．
18．(2023·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（理））已知函数．
(1)若在上仅有一个零点，求实数a的取值范围；
(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．
19．(2023·河南洛阳·模拟预测（文））已知函数在处取得极值4．
(1)求a，b的值；
(2)若存在，使成立，求实数的取值范围．
（二）等价转化法求参数范围
根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题如若：
(1)f(x)≥a恒成立，则f(x)min≥a，然后利用最值确定参数满足的不等式，解不等式即得参数范围；
(2)f(x)≥a能成立(有解)，则可等价转化为f(x)max≥a求参数范围．
20．(2023·全国·模拟预测（文））设函数，其中.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，求实数的取值范围.
21．(2023·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若在上恒成立，求实数a的取值范围.
22．(2023·海南海口·二模）已知函数，．
(1)若，求的最小值；
(2)若当时，恒成立，求a的取值范围．
23．(2023·江西南昌·模拟预测（理））已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若不等式在区间上有解，求实数的取值范围．
24．(2023·北京·二模）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)设函数．若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围．
考点三 讨论零点个数
解题方略：
含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围．由于利用零点存在定理时，一般不使用极限语言，故常常需要“取点”，可借助ex≥x＋1，lnx≤x－1等结构放缩，必要时可构造函数证明所取点的符号.
25．(2023·黑龙江·佳木斯一中三模（文））已知函数，，曲线和在原点处有相同的切线.
(1)求的值；
(2)判断函数在上零点的个数，并说明理由.
26．(2023·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知函数，其中．
(1)讨论函数的单调性；
(2)讨论函数零点的个数．
27．(2023·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数的极值点；
(2)当时，试讨论函数的零点个数.
考点四 根据函数零点情况求参数范围
解题方略：
根据函数零点的情况求参数值或取值范围的基本方法：①利用零点存在的判定定理构建不等式求解；②分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解；③转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.
28．(2023·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)若函数在无零点，求实数a的取值范围．
29．(2023·广东广州·一模）已知函数，.
(1)若函数只有一个零点，求实数a的取值所构成的集合；
(2)若函数恒成立，求实数a的取值范围.
30．(2023·广西·模拟预测（文））已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数有且仅有两个零点，求实数的取值范围.
31．(2023·福建·莆田华侨中学模拟预测）已知函数
(1)若，判断f（x）在（，0）的单调性；
(2)在[0，]上有且只有2个零点，求a的取值范围.
32．(2023·湖南益阳·模拟预测）已知函数．
(1)若函数存在极大值为，求实数的值
(2)设函数有三个零点，求实数的取值范围．
考点五 与零点有关的不等式问题
解题方略：
1、证明双变量不等式的基本思路：首先进行变量的转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的关系式，或者通过比值代换eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(令t＝\f(x2,x1)))，利用关系式将其中一个变量用另一个变量表示，代入要证明的不等式，化简后根据其结构特点构造函数，再借助导数，判断函数的单调性，从而求其最值，并把最值应用到所证不等式.
2、消参减元的主要目的是减元，进而建立与所求解问题相关的函数．消参减元法，主要是利用导数把函数的极值点转化为导函数的零点，进而建立参数与极值点之间的关系，消去参数或减少变元，从而简化目标函数．其解题要点如下．
(1)建方程：求函数的导函数，令f′(x)＝0，建立极值点所满足的方程，抓住导函数中的关键——导函数解析式中变号的部分(一般为一个二次整式)；
(2)定关系：即根据极值点所满足的方程，利用方程解的知识，建立极值点与方程系数之间的关系；
(3)消参减元：即根据两个极值点之间的关系，利用和差或积商等运算，化简或转化所求解问题，消掉参数或减少变量的个数；
(4)构造函数：即根据消参减元后的式子的结构特征，构造相应的函数；
(5)求解问题：即利用导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等，解决相关问题．
3、极值点偏移问题，除了前述方法外，也常通过构造关联(对称)函数求解，常见步骤如下：①构造奇函数F(x)＝f(x0－x)－f(x0＋x)；②对F(x)求导，判断F′(x)的符号，确定F(x)的单调性；③结合F(0)＝0，得到f(x0－x)>f(x0＋x)(或f(x0－x)(或(或(或(或1．
38．(2023·天津市宁河区芦台第一中学模拟预测）已知函数，.
(1)若，求函数的极值；
(2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；
(3)若，正实数满足，证明：.
（二）消参减元法
39．(2023·广西·模拟预测（理））已知函数，其中为非零实数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个极值点，且，证明：.
40．(2023·黑龙江大庆·三模（文））已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个极值点，，且，证明：．
41．(2023·四川省内江市第六中学模拟预测（文））已知函数，
（1）求函数的单调增区间；
（2）若函数有两个极值点，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
（三）构造关联(对称)函数
42．(2023·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））已知.
(1)若恒有两个极值点，（），求实数a的取值范围；
(2)在（1）的条件下，证明.
43．(2023·甘肃武威·模拟预测（理））已知.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：函数有且仅有两个零点，且.
44．(2023·全国·模拟预测（文））已知函数f(x)＝x－alnx
(1)求函数f(x)的极值点；
(2)若方程有2个不等的实根，证明：.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题（理））设，，．则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．(2023·全国·高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
三、填空题
4．（2023·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
四、解答题
5．(2023·天津·高考真题）已知，函数
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若和有公共点，
（i）当时，求的取值范围；
（ii）求证：．
6．(2023·北京·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，讨论函数在上的单调性；
(3)证明：对任意的，有．
7．(2023·浙江·高考真题）设函数．
(1)求的单调区间；
(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：
（ⅰ）若，则；
（ⅱ）若，则．
（注：是自然对数的底数）
8．(2023·全国·高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
9．(2023·全国·高考真题（文））已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
10．(2023·全国·高考真题（理））已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则．
11．(2023·全国·高考真题（理））已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
第14讲 导数的综合应用
知识点1 利用导数证明不等式
利用导数证明不等式问题一般要用到构造法，构造法是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：
(1)直接构造法：证明不等式f(x)>g(x)(f(x)0(f(x)－g(x)f(x)对x∈D恒成立，则只需a>f(x)max；若af(x)min；若存在x0∈D，使ag(x)max恒成立，从而f(x)>g(x)，但f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”；
(3)若不能直接转化为最值问题的不等式证明可将不等式的某一部分“隔离”开，单独进行研究，然后再纳入整体进行论证．
4．(2023·吉林·东北师大附中模拟预测（文））已知函数，，
(1)判断函数的单调性；
(2)证明：.
【解析】(1)因为，，所以，
设，则，
因为，故，在区间上单调递减，
故，即，
所以函数在区间上单调递减.
(2)证明：；
设，，在区间上单调递减，
，，即，即；
设，，，
则在上单调递增，
，，
即，所以.
综上，.
5．(2023·甘肃武威·模拟预测（文））设函数，其中为自然对数的底数，曲线在处切线的倾斜角的正切值为．
（1）求的值；
（2）证明：．
【解析】（1）因为，所以，
，解得．
（2）由（1）可得
即证．
令，，于是在上是减函数，在上是增函数，所以（取等号）．
又令，则，于是在上是增函数，在上是减函数，所以（时取等号）．
所以，即．
3、适当放缩法
导数方法证明不等式中，最常见的是ex和ln x与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式如下：(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号；(2)ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号．
6．(2023·全国·模拟预测（文））已知函数在区间上单调．
(1)求的最大值；
(2)证明：当时，．
【解析】(1)由已知得，，
要使函数在区间上单调，可知在区间上单调递增，
令，得，即，
解得，（），
当时满足题意，此时，在区间上是单调递增的，故的最在值为.
(2)
当时，要证明，即证明，
而，故需要证明.
先证：，（）
记，
，
时，，所以在上递增，
，
故，即.
再证：，（）
令，
则则,
故对于，都有，因而在，上递减，
对于，都有，
因此对于，都有.
所以成立，即成立，
故原不等式成立.
7．(2023·山东泰安·模拟预测）已知函数.
(1)若函数，讨论的单调性.
(2)若函数，证明：.
【解析】(1)因为，所以，
的定义域为，
.
当时，在上单调递增.
当时，若，则单调递减；
若，则单调递增.
综上所述：当时，f(x)在上单调递增; 当时,f(x)在(0,1-a)上单调递减，在(1-a,+)上单调递增 ；
(2)证明：.
设，则.
当时，单调递减；当时，单调递增.
所以，
因此，当且仅当时，等号成立.
设，则.
当时，单调递减：当时，单调递增.
因此，
从而，则，
因为，所以中的等号不成立，
故.
利用结论证明不等式
8．(2023·青海·模拟预测（理））已知函数.
(1)求的最小值；
(2)若，证明：.
【解析】(1)由题意可得.
由，得；由，得.
则在上单调递减，在上单调递增，
故.
(2)证明：要证，即证，
即证.
设，则.
由（1）可知当时，.
由，得，由，得，
则，当且仅当时，等号成立.
即.
9．(2023·陕西·宝鸡中学模拟预测）已知函数.
(1)若都有，求正数的最大值；
(2)求证：.
【解析】(1)，
由已知，
时，，时，，
所以在上递减，在上递增，，
时，又，，得时，，
即，
因此若都有，则，所以的最大值为；
(2)由（1）时，
设，时，，
时，设，则，在上是增函数，
所以，即，，
所以，而，
所以，
综上，时，．
利用隐零点证明不等式
10．(2023·四川省宜宾市第四中学校模拟预测（文））已知函数.
(1)若有两个极值点，求实数a的取值范围；
(2)当时，证明：.
【解析】（1）的定义域为，，由题意在上有两解，
即，即有两解.
令，即的图象与直线有两个交点.
，得，当时，，递增；
当时，，递减，，，
时，；时，，
，，
a的取值范围是.
（2）当时，，即证，即证，
令，，令，则，
当时，，在递增.
，，
存在唯一的，使得，
当时，，递减；
当时，，递增，
.
又，，，
，
，.
11．(2023·吉林省实验中学模拟预测（理））已知函数．
(1)设，求在 上的最大值；
(2)当时，求证：．
【解析】（1）解：因为，则，其中，
令，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，所以，，
所以，对任意的恒成立，且不恒为零，
所以，函数在上单调递增，
所以，当时，.
（2）
证明：因为，则，
令，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，，，，
由零点存在定理可知，函数在区间上必有一个零点，且.
所以.
所以，当时，，当时，，
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，，
，.
对称轴为，所以当时，，
所以，，
综上所述，当时，.
12．(2023·河南安阳·模拟预测（理））已知函数．
(1)若是的极值点，求a；
(2)若，证明：．
【解析】(1)由题意知，，则，解得；
当时，，当时，，，，
当时，，，，则是的极值点，则；
(2)若，则，令，则，
令，则，又，则存在使，
则，，，，则函数在单减，在单增，
则，则.
（四）与数列有关的不等式证明
13．(2023·福建省漳州第一中学模拟预测）已知函数.
(1)当时，，求的最大值；
(2)设，证明：.
【解析】（1）的定义域为，，
因为在上单调递增，，
①当时，对于任意的，有，所以在上单调递增，
则对于任意的，，所以符合题意；
②当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，这与当时，矛盾，所以舍去；
综上，，所以的最大值为1.
（2）由（1）可知，当时，有，即，
令，，则，
所以，，…，，
将以上不等式左右两边分别相加，得，
所以
.
14．(2023·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知函数
(1)求证：函数在上单调递增；
(2)求证：数列的前n项和小于
【解析】(1)，
，
因为，所以，则，
而时，，，
故函数在上单调递增.
(2)要证，
即证：当时，且时，，
由（1）可知：，即，
故，
令，故，故，
故，
因为，，故，所以，
，
故
因为
，
故，
所以当时，且时，.
15．(2023·辽宁·沈阳二中模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，求的取值范围；
(3)判断与的大小，并证明．
【解析】（1）解：函数的定义域为，.
当时，对任意的，，此时函数的减区间为；
当时，方程在时的解为，
由可得，由可得，
此时，函数的减区间为，增区间为.
综上所述，当时，函数的减区间为；
当时，函数的减区间为，增区间为.
（2）解：当时，由可得或.
若对任意的恒成立，则，
令，其中，则，
令，其中，则，
所以，函数在上为减函数，
因为，，
所以，存在，使得，
当时，，即，此时函数单调递增，
当时，，即，此时函数单调递减，
且当时，，因为，故当时，，
，解得；
若对任意的恒成立，则，
令，其中，则，
所以，函数在上单调递减，当时，，，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
（3）
解：，理由如下：
由（1）知，当时，在上为增函数，
当时，，即，则，
因此，.
考点二 恒(能)成立问题
解题方略：
1、利用导数解决不等式的恒成立或有解问题的主要策略：①构造函数，利用导数求出最值，进而求出参数的取值范围；②分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 有些不易分参的也可采用“同构”技巧.
2、不易分参时，可考虑对参数进行分类讨论. 有时也可用“同构思维”解决
（一）分离参数法
利用分离参数法确定不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ为参数)恒成立问题中参数范围的步骤：
(1)将参数与变量分离，化为f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式；
(2)求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值；
(3)解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min，得到λ的取值范围．
16．(2023·四川内江·模拟预测（文））已知函数，
(1)讨论的单调性；
(2)若不等式对任意恒成立，求的最大值．
【解析】（1）解：，
当时，恒成立， 在上单调递增；
当时，令得，令得，在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时， 在上单调递增；
当时， 在上单调递增，在上单调递减；
（2）依题意得：对任意恒成立，等价于恒成立.
令，则，则当时，，当时，，又，
在上单调递减，在上单调递增，
，
，即的最大值为.
17．(2023·天津·南开中学模拟预测）已知函数，为函数的导函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求m的取值范围．
【解析】（1）由题可得，
①当时，时，，单调递减；
时，，单调递增；
②当时，时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递增；
③当时，时，，单调递增；
④当时，时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递增.
（2）由恒成立，即，
，
当时，恒成立，
当时，，当时，，
令，则，
当时，，单调递减且，
所以
当时，得，
时，，单调递减，时，，单调递增；
，故
综上，m的取值范围为.
18．(2023·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（理））已知函数．
(1)若在上仅有一个零点，求实数a的取值范围；
(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】（1）解：，，
当时，恒成立，所以在上单调递增．
又，，
所以此时在上仅有一个零点，符合题意；
当时，令，解得；令，解得，
所以在上单调递增，所以在上单调递减．
要使在上仅有一个零点，则必有，解得．
综上，当或时，在上仅有一个零点．
（2）
因为，所以对任意的，恒成立，
等价于在上恒成立．
令，则只需即可，
则，
再令，则，
所以在上单调递增．
因为，，所以有唯一的零点，且，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，所以，
设，则，
所以函数在上单调递增．
因为，所以，即．
所以，
则有．
所以实数a的取值范围为．
19．(2023·河南洛阳·模拟预测（文））已知函数在处取得极值4．
(1)求a，b的值；
(2)若存在，使成立，求实数的取值范围．
【解析】（1），则．
因为函数在处取得极值4，
所以，解得
此时．
易知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则是函数的极大值点，符合题意．故，．
（2）
若存在，使成立，则．
由（1）得，，
且在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围是．
（二）等价转化法求参数范围
根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题如若：
(1)f(x)≥a恒成立，则f(x)min≥a，然后利用最值确定参数满足的不等式，解不等式即得参数范围；
(2)f(x)≥a能成立(有解)，则可等价转化为f(x)max≥a求参数范围．
20．(2023·全国·模拟预测（文））设函数，其中.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，求实数的取值范围.
【解析】(1)，
.
当时，恒成立，则在上为减函数，
当时，令，可得，则，解得，
令，解得，
综上，当时，的减区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)
由，可得
设，
则.
①当时，，单调递增，而，
所以不满足题意，
②当时，令，解得，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
所以.
令，
，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以，又.
则，解得，所以实数的取值范围是.
21．(2023·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若在上恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】(1)的定义域是，.
①当时，恒成立，所以在上单调递增；
②当时，令，解得或（舍），令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
(2)若在上恒成立，即在上恒成立.
令，，
则.
当时，，，不符合题意；
当时，在上恒成立，所以在上单调递减，又，所以，不符合题意；
当时，若，即，在上恒成立，所以在上单调递增，又，所以在上恒成立，符合题意.
若，即，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，不符合题意；
若，即，在上恒成立，所以在上单调递减，又，所以，不符合题意.综上所述，实数a的取值范围是.
22．(2023·海南海口·二模）已知函数，．
(1)若，求的最小值；
(2)若当时，恒成立，求a的取值范围．
【解析】（1）当时，，所以，易知单调递增，且，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为．
（2）设，由题意对任意恒成立．，若，则，则存在，使得当时，，所以在上单调递减，故当时，，不符合题意．若，由知当时，，所以，当时， ，因此在上单调递增．又，所以当时，．综上，的取值范围是．
23．(2023·江西南昌·模拟预测（理））已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若不等式在区间上有解，求实数的取值范围．
【解析】（1）解：当时，，
，
当时，，，所以，即在上单调递增，
当时，，，所以，即在上单调递减，
则的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）解：因为，
则，
①当时，即时，因为，，，
所以，因此函数在区间上单调递增，
所以，不等式在区间上无解；
②当时，即时，当时，，，
因此，所以函数在区间上单调递减，
，不等式在区间上有解．
综上，实数的取值范围是．
24．(2023·北京·二模）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)设函数．若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围．
【解析】(1)因为，
所以．
当时，与的变化情况如表所示：
所以当时，函数的单调递增区间为，
函数的单调递减区间为．
(2)当时，，所以函数为偶函数．
所以当时，函数的单调递增区间为，，
函数的单调递减区间为，,
所以函数的最大值为．
设，则当时，．
对任意，存在，使得成立，
等价于．
当时，函数在区间上的最大值为，不合题意．
当时，函数在区间上的最大值为，
则，解得或，
所以．
当时，函数在区间上的最大值为，
则，解得，
所以.
综上所述，的取值范围是．
考点三 讨论零点个数
解题方略：
含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围．由于利用零点存在定理时，一般不使用极限语言，故常常需要“取点”，可借助ex≥x＋1，lnx≤x－1等结构放缩，必要时可构造函数证明所取点的符号.
25．(2023·黑龙江·佳木斯一中三模（文））已知函数，，曲线和在原点处有相同的切线.
(1)求的值；
(2)判断函数在上零点的个数，并说明理由.
【解析】（1）依题意得：函数，其导函数为 ，，所以．
曲线和在原点处有相同的切线.
，
．
（2）由（1）可知，，所以；
当时，，，此时无零点．
当时，
令
则，显然在上单调递增，
又，，所以存在使得，
因此可得时，，单调递减；
时，，单调递增；又，
所以存在，使得，
即时，，，单调递减；
时，，，单调递增；
又，，所以在上有一个零点．
综上，在上有1个零点．
26．(2023·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知函数，其中．
(1)讨论函数的单调性；
(2)讨论函数零点的个数．
【解析】(1)函数的定义域为，，
在一元二次方程中，，
①当时，，此时函数单调递增，增区间为，没有减区间；
②当时，，此时函数单调递增，增区间为，没有减区间；
③当时，一元二次方程有两个不相等的根，
分别记为，有，，可得，
有，
可得此时函数的增区间为减区间为，
综上可知，当时，函数的增区间为，没有减区间；
当时，函数的增区间为，
减区间为；
(2)由（1）可知：
①当时，函数单调递增，又由，可得此时函数只有一个零点为；
②当时，由，可得，
又由，由函数的单调性可知，
当且时，可得，有，
可得，
当时，
可知此时函数有且仅有3个零点，
由上知，当时，函数有且仅有一个零点；
当时，函数有且仅有3个零点．
27．(2023·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数的极值点；
(2)当时，试讨论函数的零点个数.
【解析】(1)当时，，则，
令 ，则.
当时，，，
在上单调递增，
，
在上单调递增.
当时，可得，
，
在单调递减；
综上，函数的极值点为.
(2)当时，，是的一个零点，
令，可得.
因为，
①当时，，，在单调递增，，
在单调递增，，此时在无零点.
②当时，，有， 此时在无零点.
③当时，，，在单调递增，又，，
由零点存在性定理知，存在唯一，使得.
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
又，，所以在上有个零点.
综上，当时，有个零点.
考点四 根据函数零点情况求参数范围
解题方略：
根据函数零点的情况求参数值或取值范围的基本方法：①利用零点存在的判定定理构建不等式求解；②分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解；③转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.
28．(2023·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)若函数在无零点，求实数a的取值范围．
【解析】(1)由题知，当时，，
∴，令，．
∴时，，单调递减；
时，，单调递增．
∴是的极小值点，∴的极小值为，无极大值．
(2)由题知，
∴，；令，
∴，∵，∴恒成立，
∴单调递增，即单调递增．
①当时，∴，∴单调递增
∴恒成立，即在上无零点，∴．
②当时，令，，，又单调递增，
∴时，，时，，
∴在时单调递减，时，单调递增，
∴，又∵时，
∴，，即在上有零点，不合题意；
综上所述．
29．(2023·广东广州·一模）已知函数，.
(1)若函数只有一个零点，求实数a的取值所构成的集合；
(2)若函数恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】（1）当时，显然满足题意
当时，若函数只有一个零点，
即只有一个根，因为1不是方程的根，所以可转化为
只有一个根，
即直线与函数（且）的图像只有一个交点.
，令，得，
在和上，，在上，，
所以在和上单调递减，在上单调递增.
在时有极小值，图像如图所示：
由图可知：若要使直线与函数的图像只有一个交点，
则或，
综上.
（2）恒成立，
等价于，
令（），
，
①若时，，
所以在上单调递增，
，即，满足，
②若时，则，，
所以在上单调递增，
当时，，不成立
故不满足题意.
③若时，令，，
，，
，单调递减，
，单调递增，
只需即可，
，，
令
，在上单调递增，
，时，，
，，
所以在上单调递增，
，即，
综上：
30．(2023·广西·模拟预测（文））已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数有且仅有两个零点，求实数的取值范围.
【解析】（1）解：，
由函数的定义域为，有，
①当时，，此时函数单调递增；
②当时，令可得，
可得函数的增区间为，减区间为；
（2）由（1）知，若函数有且仅有两个零点，必须且，
有，
可得，
由函数单调递增，且有，可得.
下面证明当时函数有两个不同零点，由于再结合及函数的单调性，利用零点存在定理验证时函数有两个零点，只需证明当足够小和足够大时即可.
先说明当足够小时：
设，有，
由一元三次函数的图象和性质，当时，存在正实数，使得，
可得.
当时，，
当时，,
∴当时，成立；
再说明当足够大时：
设，
由三次函数的图象和性质可知，，当时，，
当且时，利用不等式
（设，,
，当时，，在[4,+∞)上单调递增，
∴当时恒成立，即成立），
有，
当时，，
故只要时，成立，
故若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围为.
31．(2023·福建·莆田华侨中学模拟预测）已知函数
(1)若，判断f（x）在（，0）的单调性；
(2)在[0，]上有且只有2个零点，求a的取值范围.
【解析】（1）当时，
.
当时，，所以，
又，故，从而，所以，f（x）在（，0）上单调递增；
（2）由函数，可知，
则f（x）在上有且只有1个零点.
，令，则在[0.]上恒成立.
即在[0，]上单调递，
当时，，f（x）在[0.]上单调递增.
则f（x）在（0，]上无零点，不合题意，舍去，
当时，，在[0，]上单调递减，
则在（0，]上无零点，不合题意，舍去，
当时，
则在（0，）上只有1个零点，设为.
且当时，；当时，
所以当时，在（0，）上单调递减，在（x0，）上单调递增，
又，因此只需即可，即
综上所述：
32．(2023·湖南益阳·模拟预测）已知函数．
(1)若函数存在极大值为，求实数的值
(2)设函数有三个零点，求实数的取值范围．
【解析】（1）由题意得函数的定义域为，
当时，有，在区间内恒成立，所以在区间内单调递减，无极值
当时，有，由得，由得
所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，
所以在取得极大值，故，即，
令，则，
在上小于，在上大于，所以在上递减，在上递增，所以在有最小值，所以，方程有且仅有一个根，所以，．
（2）因为，
则设，
则，显然在内递增且，
所以，在内，单调递减，在内，单调递增，所以有极小值，又
当时，在恒成立，即，所以在区间内单调递增，最多一个零点，不符合题意
当时，，，，
所以存在，使得，
则在内，，单调递增，在内，，单调递减，在内，，单调递增，
又，所以在上有且只有一个零点，
又，在上有且只有一个零点，
又，
在上有且只有一个零点所以函数恰有三个零点．
当时，在小于，又，
结合的单调性可知，存在，使得，
于是在内单调递减，在内单调递增，函数最多两个零点，不合题意．
综上所述，实数的取值范围是．
考点五 与零点有关的不等式问题
解题方略：
1、证明双变量不等式的基本思路：首先进行变量的转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的关系式，或者通过比值代换eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(令t＝\f(x2,x1)))，利用关系式将其中一个变量用另一个变量表示，代入要证明的不等式，化简后根据其结构特点构造函数，再借助导数，判断函数的单调性，从而求其最值，并把最值应用到所证不等式.
2、消参减元的主要目的是减元，进而建立与所求解问题相关的函数．消参减元法，主要是利用导数把函数的极值点转化为导函数的零点，进而建立参数与极值点之间的关系，消去参数或减少变元，从而简化目标函数．其解题要点如下．
(1)建方程：求函数的导函数，令f′(x)＝0，建立极值点所满足的方程，抓住导函数中的关键——导函数解析式中变号的部分(一般为一个二次整式)；
(2)定关系：即根据极值点所满足的方程，利用方程解的知识，建立极值点与方程系数之间的关系；
(3)消参减元：即根据两个极值点之间的关系，利用和差或积商等运算，化简或转化所求解问题，消掉参数或减少变量的个数；
(4)构造函数：即根据消参减元后的式子的结构特征，构造相应的函数；
(5)求解问题：即利用导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等，解决相关问题．
3、极值点偏移问题，除了前述方法外，也常通过构造关联(对称)函数求解，常见步骤如下：①构造奇函数F(x)＝f(x0－x)－f(x0＋x)；②对F(x)求导，判断F′(x)的符号，确定F(x)的单调性；③结合F(0)＝0，得到f(x0－x)>f(x0＋x)(或f(x0－x)(或(或(或(或1．
【解析】(1)，
当≤0时，0时，在()上，0．
在单调递减，在单调递增，
故的最小值为；
(2)
证明：，
同理，，
两式相减得，不妨设，
要证>1．只须证>1．即，
即证，令，即证，
设，恒成立，
故h(t)为增函数，，故原式得证．
38．(2023·天津市宁河区芦台第一中学模拟预测）已知函数，.
(1)若，求函数的极值；
(2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；
(3)若，正实数满足，证明：.
【解析】(1)∵，∴，
此时，，
，，
由得，由得，
∴的单调增区间为，单调减区间为，
∴有极大值为，无极小值；
(2)由恒成立，得在上恒成立，
问题等价于在上恒成立.
令，只要.
∵.
令，
∵，∴在上单调递减.
∵，，
∴在(0，＋)上存在唯一的，使得，即，
∴.
∴当时，，g(x)单调递增，
当时，，g(x)单调递减，
∴，即，
∵，∴整数的最小值为；
(3)
由题可知，.
当时，，.
∵，
∴，
∴，
令，则由得，，
易知在上单调递减，在上单调递增，
∴，
∴，
解得成立.
（二）消参减元法
39．(2023·广西·模拟预测（理））已知函数，其中为非零实数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个极值点，且，证明：.
【解析】（1）函数的定义域为，
则，
①当即时，，函数在上单调递增；
②当即时，令，得，
则当时，，
当时，，
故在和上单调递增，在上单调递减；
③当时，，舍去.
则当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）
证明：因为有两个极值点，由（1）知当时，，
所以且，，
因为，所以，所以，，
要证，
，
，
令，
则，
所以在上单调递增，且，
故，即.
40．(2023·黑龙江大庆·三模（文））已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个极值点，，且，证明：．
【解析】(1)定义域为，
，．
∵，，
∴当时，，
所以，当时，在上单调递增；
当时，令，即，
解得，．
所以，当时，在，上单调递增，
在上单调递减．
(2)由（1）知，若函数有两个极值点，则，，，
．
设，则．
∵，∴．
设，易知在单调递减，且，
∴在恒成立，在区间单调递增，
∴，
∴．
41．(2023·四川省内江市第六中学模拟预测（文））已知函数，
（1）求函数的单调增区间；
（2）若函数有两个极值点，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1），，注意到，
①当时，，在上单调递增；
②当时，令，得，，此时，在及上导数值大于零，
所以在及上递增；
（2）由（1）知，，，，则，
由恒成立，即，
即，
即，
记，，
则，
故在上为增函数，
，
故.
（三）构造关联(对称)函数
42．(2023·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））已知.
(1)若恒有两个极值点，（），求实数a的取值范围；
(2)在（1）的条件下，证明.
【解析】(1)函数的定义域为，，
则方程有两个不同的正根，
即函数与图像有两个交点，
，令，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，且当时，，
当时，，如图，
由图可知；
(2)
设，
则，
在单调递增，故，
即.
而，故，
又，，在单调递减，故，即；
由知；
由(1)知，，为函数的极值点，
当时，函数单调递减，
当时，函数单调递增，
时，函数单调递减，
所以，故，
令（）.
，
，令，故当时，
单调递增，且，所以，故单调递减，
由，得，
即，即.
43．(2023·甘肃武威·模拟预测（理））已知.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：函数有且仅有两个零点，且.
【解析】(1)的定义域为.
当时，在上单调递增；
当时，由，得，由，得，
故在上单调递增，在上单调递减.
(2)当时，，由（1）知，在单调递增，在单调递减，所以
，所以在区间上存在零点，
因为在单调递增，故在区间上存在唯一的零点；
因为，所以在区间上存在零点，
因为在单调递减，所以在区间存在唯一的零点.
所以，函数有且仅有两个零点.
不妨设.
要证，只需证明，
因为在，e）单调递增且，所以只需证明
，又，只需证明
设，
，
当时，，
所以，所以在上单调递增，
所以，所以，
所以成立.故有.
44．(2023·全国·模拟预测（文））已知函数f(x)＝x－alnx
(1)求函数f(x)的极值点；
(2)若方程有2个不等的实根，证明：.
【解析】(1)f(x)的定义域是，求导得，
当，，函数f(x)没有极值点；
当时，令，得
在(0，a)上，，f(x)单调递减，在上，，f(x)单调递增，
∴函数f(x)有极小值点，无极大值点；
(2)由(1)知方程有2个不等的实根时，f(x)在定义域上不单调，一定有，在(0，a)上f(x)单调递减，在上f(x)单调递增，不妨设，
令，
∵，
∴，
由得，∴，
∴g(x)在(0，a)上单调递减，∴，
即，
结合题设有，
∵，而f(x)在上单调递增，
∴，即.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题（理））设，，．则（ ）
A．B．C．D．
【解析】解法一：，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0