高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题01集合的运算【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题01集合的运算【原卷版+解析】，共20页。

【热点聚焦】
从考查内容看，集合主要考查三个方面：一是集合的概念及表示；二是集合的基本运算；三是集合关系或集合运算下的求参数（范围）问题．由于集合中元素具有广泛性，因此，其最易与简单不等式的解法（数轴）、函数、方程、简单曲线（点集）等相结合.
【重点知识回眸】
一、集合的表示法
①列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.
②描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.
③区间法：
④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.
二、集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().
三、集合间的基本关系
1.子集、真子集、集合相等
2. ∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
3．已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.
四、集合的基本运算
1.交集、并集、补集
2．A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B．
五、常用数集及其记法
表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集，C表示复数集.
【典型考题解析】
热点一 基本运算问题
【典例1】(2023·全国·高考真题（文））设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【典例2】(2023·全国·高考真题（理））设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【典例3】(2023·全国·高考真题（理））设全集，集合M满足，则（ ）
A．B．C．D．
【典例4】（2023·全国·高考真题（理））已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【规律方法】
（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．
（2）若集合中的元素是连续的实数，则用数轴（区间）表示，此时要注意端点是实心还是空心．
热点二 集合中的含参数问题
【典例5】（2023·全国·高考真题（理））设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ）
A．–4B．–2C．2D．4
【典例6】(2023·全国·高考真题（理））设集合，．若，则 ( )
A．B．C．D．
【典例7】已知集合A＝{x|x2－2x－3＜0}，B＝{x|2－a＜x＜1＋a}，若B⊆A，则实数a的取值范围为________．
【总结提升】
（1）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
（2）空集是任何集合的子集，当题目条件中有B⊆A时，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论，确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入验证，否则易增解或漏解．
（3）在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．
热点三 集合中的“新定义”问题
【典例8】（2023·浙江·高考真题）设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT
②对于任意x，yT，若x下列命题正确的是（ ）
A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素
B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素
D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素
【典例9】（山东·高考真题）集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且．假设集合，，，其中实数，，，，，满足：（1），；；（2）；（3）．计算____________________________________．
【总结提升】
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·天津·高考真题）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·全国·高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·全国·高考真题）若集合，则（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·北京·高考真题）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·北京·高考真题）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·全国·高考真题（理））已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·全国·高考真题（文））已知集合，，则A∩B中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
11．(2023·全国·高考真题（理））已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．9B．8C．5D．4
12．(2023·全国·高考真题（理））已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
13．(2023·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知集合，集合（为自然对数的底数），则（ ）
A．B．C．D．
14．(2023·江苏省木渎高级中学模拟预测）已知全集U，集合A，B为其子集，若，则（ ）
A．B．C．AD．B
二、双空题
15．（天津·高考真题（理））已知集合，集合且则m =__________，n = __________.
三、填空题
16．(2023·江苏·高考真题）已知集合，，若则实数的值为________
17．（2023·全国·高三专题练习）对于两个正整数m，n，定义某种运算“⊙”如下，当m，n都为正偶数或正奇数时，m⊙n＝m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊙n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，，}中元素的个数是_____.
四、解答题
18．(2023·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
名称
记号
意义
性质
示意图
子集
（或
A中的任一元素都属于B
(1)AA
(2)
(3)若且，则
(4)若且，则
或
真子集
AB
（或BA）
，且B中至少有一元素不属于A
（1）（A为非空子集）
(2)若且，则
集合
相等
A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A
(1)AB
(2)BA
名称
记号
意义
性质
示意图
交集
且
（1）
（2）
（3），
并集
或
（1）
（2）
（3），
补集
（1） （2）
专题01 集合的运算
【热点聚焦】
从考查内容看，集合主要考查三个方面：一是集合的概念及表示；二是集合的基本运算；三是集合关系或集合运算下的求参数（范围）问题．由于集合中元素具有广泛性，因此，其最易与简单不等式的解法（数轴）、函数、方程、简单曲线（点集）等相结合.
【重点知识回眸】
一、集合的表示法
①列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.
②描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.
③区间法：
④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.
二、集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().
三、集合间的基本关系
1.子集、真子集、集合相等
2. ∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
3．已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.
四、集合的基本运算
1.交集、并集、补集
2．A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B．
五、常用数集及其记法
表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集，C表示复数集.
【典型考题解析】
热点一 基本运算问题
【典例1】(2023·全国·高考真题（文））设集合，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
因为，，所以．
故选：A.
【典例2】(2023·全国·高考真题（理））设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.
【详解】
由题意，，所以,
所以.
故选：D.
【典例3】(2023·全国·高考真题（理））设全集，集合M满足，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
先写出集合,然后逐项验证即可
【详解】
由题知,对比选项知，正确,错误
故选:
【典例4】（2023·全国·高考真题（理））已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．6
答案：C
【解析】
分析：
采用列举法列举出中元素的即可.
【详解】
由题意，中的元素满足，且，
由，得，
所以满足的有，
故中元素的个数为4.
故选：C.
【规律方法】
（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．
（2）若集合中的元素是连续的实数，则用数轴（区间）表示，此时要注意端点是实心还是空心．
热点二 集合中的含参数问题
【典例5】（2023·全国·高考真题（理））设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ）
A．–4B．–2C．2D．4
答案：B
【解析】
分析：
由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.
【详解】
求解二次不等式可得：，
求解一次不等式可得：.
由于，故：，解得：.
故选：B.
【典例6】(2023·全国·高考真题（理））设集合，．若，则 ( )
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
∵ 集合，，
∴是方程的解，即
∴
∴，故选C
【典例7】已知集合A＝{x|x2－2x－3＜0}，B＝{x|2－a＜x＜1＋a}，若B⊆A，则实数a的取值范围为________．
答案：(－∞，2]
【解析】
A＝{x|－1＜x＜3}．①若B＝∅，满足B⊆A，
此时2－a≥1＋a，即a≤.
②若B≠∅，由B⊆A得，解得＜a≤2.
由①②知a的取值范围为(－∞，2]．
【总结提升】
（1）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
（2）空集是任何集合的子集，当题目条件中有B⊆A时，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论，确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入验证，否则易增解或漏解．
（3）在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．
热点三 集合中的“新定义”问题
【典例8】（2023·浙江·高考真题）设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT
②对于任意x，yT，若x下列命题正确的是（ ）
A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素
B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素
D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素
答案：A
【解析】
分析：
分别给出具体的集合S和集合T，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可.
【详解】
首先利用排除法：
若取，则，此时，包含4个元素，排除选项 C；
若取，则，此时，包含5个元素，排除选项D；
若取，则，此时，包含7个元素，排除选项B；
下面来说明选项A的正确性：
设集合，且，，
则，且，则，
同理，，，，，
若，则，则，故即，
又，故，所以，
故，此时，故，矛盾，舍.
若，则，故即，
又，故，所以，
故，此时.
若， 则，故，故，
即，故，
此时即中有7个元素.
故A正确.
故选：A.
【典例9】（山东·高考真题）集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且．假设集合，，，其中实数，，，，，满足：（1），；；（2）；（3）．计算____________________________________．
答案：或
【解析】
分析：
由题设条件求，，，，，的大小关系，再根据集合运算新定义求即可.
【详解】
，得；，得；
∴，；同理，
∴．由(1)(3)可得．
∴，，．
或．
故答案为：或
【总结提升】
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·天津·高考真题）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
先求出，再根据交集的定义可求.
【详解】
，故，
故选：D.
2．(2023·全国·高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
求出集合后可求.
【详解】
，故，
故选：B.
3．(2023·全国·高考真题）若集合，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
求出集合后可求.
【详解】
，故，
故选：D
4．(2023·北京·高考真题）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
求出以为球心，5为半径的球与底面的截面圆的半径后可求区域的面积.
【详解】
设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形的中心，
且，故.
因为，故，
故的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，
而三角形内切圆的圆心为，半径为，
故的轨迹圆在三角形内部，故其面积为
故选：B
5．（2023·北京·高考真题）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】
分析：
结合题意利用并集的定义计算即可.
【详解】
由题意可得：.
故选：B.
6．（2023·全国·高考真题（理））已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
分析可得，由此可得出结论.
【详解】
任取，则，其中，所以，，故，
因此，.
故选：C.
10．（2023·全国·高考真题（文））已知集合，，则A∩B中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
答案：B
【解析】
分析：
采用列举法列举出中元素的即可.
【详解】
由题意，，故中元素的个数为3.
故选：B
11．(2023·全国·高考真题（理））已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．9B．8C．5D．4
答案：A
【解析】
分析：
根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.
【详解】
当时，；
当时，；
当时，；
所以共有9个，
故选：A.
【点睛】
本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.
12．(2023·全国·高考真题（理））已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
答案：B
【解析】
【详解】
试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A表示以为圆心，为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线上所有的点组成的集合，又圆与直线相交于两点，，则中有2个元素.故选B.
【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
13．(2023·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知集合，集合（为自然对数的底数），则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
求出集合由交集的运算可得答案.
【详解】
集合，
，
.
故选：C．
14．(2023·江苏省木渎高级中学模拟预测）已知全集U，集合A，B为其子集，若，则（ ）
A．B．C．AD．B
答案：C
【解析】
分析：
根据给定条件，判断集合A，B的关系，再利用并集的定义计算作答.
【详解】
全集U，集合A，B为其子集，因，则有，
所以.
故选：C.
二、双空题
15．（天津·高考真题（理））已知集合，集合且则m =__________，n = __________.
答案：-1,1
【解析】
【详解】
且
是方程的根，故
【考点定位】本题考查绝对值不等式、二次不等式的解法，考查学生利用转化思想的解题能力
三、填空题
16．(2023·江苏·高考真题）已知集合，，若则实数的值为________
答案：1
【解析】
【详解】
由题意，显然，所以，此时，满足题意，故答案为1．
17．（2023·全国·高三专题练习）对于两个正整数m，n，定义某种运算“⊙”如下，当m，n都为正偶数或正奇数时，m⊙n＝m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊙n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，，}中元素的个数是_____.
答案：13
【解析】
分析：
根据定义可求M，从而可求其含有的元素的个数.
【详解】
∵当m，n都为正偶数或正奇数时，m⊙n＝m+n；
当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊙n＝mn，
∴集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，，}
＝{（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3），（8，2），（9，1），
（1，10），（2，5），（5，2），（10，1）}，
共13个元素，
故答案为：13
四、解答题
18．(2023·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
答案：(1)
(2)
【解析】
分析：
（1）先求出集合，再根据并集的定义即可求出.
（2）由题可得，讨论和两种情况可求出.
（1）由，解得，所以，当时，，所以；
（2）由，得，当时，，解得．当时，，解得．综上实数的取值范围为．
名称
记号
意义
性质
示意图
子集
（或
A中的任一元素都属于B
(1)AA
(2)
(3)若且，则
(4)若且，则
或
真子集
AB
（或BA）
，且B中至少有一元素不属于A
（1）（A为非空子集）
(2)若且，则
集合
相等
A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A
(1)AB
(2)BA
名称
记号
意义
性质
示意图
交集
且
（1）
（2）
（3），
并集
或
（1）
（2）
（3），
补集
（1） （2）