高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题10函数值大小比较【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题10函数值大小比较【原卷版+解析】，共35页。
【热点聚焦】
比较大小的问题，是高考命题中热点问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序.这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答.从近两年命题情况看，题目的难度有增大趋势，往往需要构造函数，应用导数知识求解.
【重点知识回眸】
指数函数的图象与性质
1.指数函数的图象与性质
2.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．
对数函数的定义、图象与性质
1. 对数函数的定义、图象与性质
2.对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
（三）五种幂函数的图象和性质比较
（四）常用技巧和方法
1.判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为和
（1）如果底数和真数均在中，或者均在中，那么对数的值为正数
（2）如果底数和真数一个在中，一个在中，那么对数的值为负数
例如：等
2.比较大小的基本出发点：
（1）用好函数的单调性
（2）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况
例如：，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同
，从而只需比较底数的大小即可
（3）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如，可知，进而可估计是一个1点几的数，从而便于比较
3.常用的指对数变换公式：
（1）
（2）
（3）
（4）换底公式：
进而有两个推论： （令）
（五）利用导数比较大小
1.导数运算法则：
（1）
（2）
2.常见描述单调性的形式
（1）导数形式：单调递增；单调递减
（2）定义形式：或：表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减
3.技巧与方法：
（1）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整
（2）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较
（六）数形结合比较大小
1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系
（1）若关于轴对称，且单调增，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小
（2）若关于轴对称，且单调减，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大
2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点.抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图象作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小.
【典型考题解析】
热点一 “幂”的比较大小
【典例1】(2023·全国·高考真题）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若，则a､b､c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【规律方法】
（1）构建幂函数、指数函数模型；
（2）利用函数的单调性.
热点二 对数值比较大小
【典例3】(2023·天津·高考真题（理））已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【典例4】（2023·全国·高考真题（理））已知55