高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题19三角函数化简、求值【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题19三角函数化简、求值【原卷版+解析】，共29页。

【热点聚焦】
高考命题中对三角函数的化简、求值证明问题，主要以公式的基本运用、计算为主，经常要求未知角的三角函数值，此类问题的解决方法大体上有两个，一是从角本身出发，利用三角函数关系列出方程求解，二是向已知角（即三角函数值已知）靠拢，利用已知角将所求角表示出来，再利用三角函数运算公式展开并整体代换求解，在三角恒等变换过程中，准确记忆公式、适当变换式子、有效选取公式是解决问题的关键．
【重点知识回眸】
一.三角函数公式：
1.同角三角函数的基本关系式
= 1 \* GB3 ①平方关系：sin2α＋cs2α＝1(α∈R)．
= 2 \* GB3 ②商数关系：tan α＝eq \f(sin α,cs α)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
2.六组诱导公式
对于角“eq \f(kπ,2)±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”
3.两角和差的正余弦，正切公式：
① ②
③ ④
⑤ ⑥
4.辅助角公式：，其中
5.倍半角公式：
①
②
③
提醒：
(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中α＝β的特殊情况．
(2)二倍角是相对的，如eq \f (α,2)是eq \f (α,4)的2倍，3α是eq \f (3α,2)的2倍．
二.常用结论
1.同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α＝1－cs2α＝(1＋cs α)(1－cs α)；
cs2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)．
(2)(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α.
(3)sin α＝tan αcs αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f (π,2)，k∈Z)).
2．和差倍半公式的常用变式
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；
sin 2α＝eq \f (2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f (2tan α,1＋tan2α)；
cs 2α＝eq \f (cs2α－sin2α,cs2α＋sin2α)＝eq \f (1－tan2α,1＋tan2α).
3．降幂公式
sin2α＝eq \f (1－cs 2α,2)；
cs2α＝eq \f (1＋cs 2α,2)；
sin αcs α＝eq \f (1,2)sin 2α.
4．升幂公式
1＋cs α＝2cs2eq \f (α,2)；
1－cs α＝2sin2eq \f (α,2)；
1＋sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f (α,2)＋cs \f (α,2)))eq \s\up12(2)；
1－sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f (α,2)－cs \f (α,2)))eq \s\up12(2).
5．半角正切公式
tan eq \f (α,2)＝eq \f (sin α,1＋cs α)＝eq \f (1－cs α,sin α).
三.确定所涉及角的范围
当已知角的一个三角函数值求其他三角函数值时，角的范围将决定其他三角函数值的正负，所以要先判断角的范围，再进行三角函数值的求解.确定角的范围有以下几个层次：
（1）通过不等式的性质解出该角的范围（例如： ，则）
（2）通过该角的三角函数值的符号，确定其所在象限.
（3）利用特殊角将该角圈在一个区间内（区间长度通常为）
（4）通过题目中隐含条件判断角的范围.例如：，可判断出在第一象限.
【典型考题解析】
热点一 同角三角函数基本关系式“知一求二”
【典例1】(2023·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【典例2】(2023·福建·高考真题（文））若，且为第四象限角，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【总结提升】
对sin α，cs α，tan α的知一求二问题
(1)利用sin2α＋cs2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用eq \f (sin α,cs α)＝tan α可以实现角α的弦切互化．
(2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
热点二 已知tan α求sin α，cs α齐次式的值
【典例4】（辽宁·高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
【典例5】（四川·高考真题（文））已知sinα＋2csα＝0，则2sinαcsα－cs2α的值是______________.
【技法总结】
若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，对于分母为1的二次式，可用sin2α＋cs2α做分母求解．
热点三 sin α±cs α与sin αcs α关系的应用
【典例6】已知x∈(－π，0)，sin x＋cs x＝.求sin x－cs x的值；
【规律方法】
1.对于sin α＋cs α，sin α－cs α，sin αcs α这三个式子，知一可求二，若令sin α＋cs α＝t(t∈[－eq \r(2)，eq \r(2)])，则sin αcs α＝eq \f (t2－1,2)，sin α－cs α＝±eq \r(2－t2)(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．
2.利用sin αcs α＞0(sin αcs α＜0)可知sin α，cs α同号还是异号，再结合角α的范围或sin α±cs α的正负，可进一步确定sin α，cs α的正负．
热点四 诱导公式的应用
【典例7】（安徽·高考真题（理））设函数满足当时，，则（ ）
A．B．C．0D．
【典例8】(2023·全国·高考真题（文））已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ–）=___________.
【规律方法】
应用诱导公式：“负化正，大化小，化到锐角就好了”．
诱导公式与同角关系综合问题：
（1）基本思路
①分析结构特点，选择恰当公式；
②利用公式化成单角三角函数；
整理得最简形式
（2）化简要求
①化简过程是恒等变换；
②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值
热点五 两角和、差及倍角公式的应用
【典例9】（2023·全国·高考真题（文））（ ）
A．B．C．D．
【典例10】（2023·全国·高考真题（理））已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例11】（2023·全国·高考真题（理））已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A．–2B．–1C．1D．2
【规律方法】
应用公式化简求值的策略
(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．
例如两角差的余弦公式可简化为“同名相乘，符号相反”．
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
热点六 两角和、差及倍角公式的逆用和变形
【典例12】（2023·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
【典例13】（2023·江苏·高考真题）已知，则的值是_____.
【典例14】(2023·全国·高考真题（理））已知，，则__________．
【总结提升】
1.两角和、差及倍角公式的逆用和变形
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)公式的一些常用变形
①sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β；
②cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β；
③1±sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f (α,2)±cs \f (α,2)))2；
④sin 2α＝eq \f (2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f (2tan α,tan2α＋1)；
⑤cs 2α＝eq \f (cs2α－sin2α,cs2α＋sin2α)＝eq \f (1－tan2α,1＋tan2α)；
⑥tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
2.常用技巧
(1)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，eq \r(3)等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．
热点七 巧用“角的变换”
【典例15】(2023·江苏·高考真题）若,则____________.
【典例16】(2023·浙江·高考真题）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求csβ的值．
【总结提升】
1.三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
2. 常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝（）－（）等.
3.提醒：求角时，一定要注意所求角的范围，并在解题过程中根据三角函数值的正负进一步缩小有关角的范围，以保证所求角在最小的范围内．
【精选精练】
一、单选题
1．（重庆·高考真题（理））若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（上海·高考真题（文））已知点 的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（ ）.
A．B．
C．D．
3．(2023·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．
C．D．
4.（2023·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高考真题（文））若，则（ ）
A．B．C．D．
6.(2023·全国·高考真题（文））已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（2023·全国·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
8．（2023·全国·高考真题（文））若，则__________．
9．（2023·江苏·高考真题）已知 =，则的值是____.
10．(2023·全国·高考真题（文））已知，则__________．
11.(2023·上海·高考真题）已知，则的值为_________.
12.(2023·全国·高考真题（文））已知，则__________．
13．(2023·全国·高考真题（文））已知，tanα=2，则cs(α−π4)=______________．
14.(2023·北京·高考真题（理））在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________.
15.(2023·浙江·高考真题）若，则__________，_________．
四、解答题
16．（广东·高考真题（文））已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
17.(2023·江苏·高考真题）已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．
19.（四川·高考真题）已知<<<,
(Ⅰ)求的值.
（Ⅱ）求.
角
函数
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin_α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cs_α
cs_α
余弦
cs_α
－cs_α
cs_α
－cs_α
sin_α
－sin_α
正切
tan_α
tan_α
－tan_α
－tan_α
专题19 三角函数化简、求值
【热点聚焦】
高考命题中对三角函数的化简、求值证明问题，主要以公式的基本运用、计算为主，经常要求未知角的三角函数值，此类问题的解决方法大体上有两个，一是从角本身出发，利用三角函数关系列出方程求解，二是向已知角（即三角函数值已知）靠拢，利用已知角将所求角表示出来，再利用三角函数运算公式展开并整体代换求解，在三角恒等变换过程中，准确记忆公式、适当变换式子、有效选取公式是解决问题的关键．
【重点知识回眸】
一.三角函数公式：
1.同角三角函数的基本关系式
= 1 \* GB3 ①平方关系：sin2α＋cs2α＝1(α∈R)．
= 2 \* GB3 ②商数关系：tan α＝eq \f(sin α,cs α)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
2.六组诱导公式
对于角“eq \f(kπ,2)±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”
3.两角和差的正余弦，正切公式：
① ②
③ ④
⑤ ⑥
4.辅助角公式：，其中
5.倍半角公式：
①
②
③
提醒：
(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中α＝β的特殊情况．
(2)二倍角是相对的，如eq \f (α,2)是eq \f (α,4)的2倍，3α是eq \f (3α,2)的2倍．
二.常用结论
1.同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α＝1－cs2α＝(1＋cs α)(1－cs α)；
cs2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)．
(2)(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α.
(3)sin α＝tan αcs αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f (π,2)，k∈Z)).
2．和差倍半公式的常用变式
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；
sin 2α＝eq \f (2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f (2tan α,1＋tan2α)；
cs 2α＝eq \f (cs2α－sin2α,cs2α＋sin2α)＝eq \f (1－tan2α,1＋tan2α).
3．降幂公式
sin2α＝eq \f (1－cs 2α,2)；
cs2α＝eq \f (1＋cs 2α,2)；
sin αcs α＝eq \f (1,2)sin 2α.
4．升幂公式
1＋cs α＝2cs2eq \f (α,2)；
1－cs α＝2sin2eq \f (α,2)；
1＋sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f (α,2)＋cs \f (α,2)))eq \s\up12(2)；
1－sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f (α,2)－cs \f (α,2)))eq \s\up12(2).
5．半角正切公式
tan eq \f (α,2)＝eq \f (sin α,1＋cs α)＝eq \f (1－cs α,sin α).
三.确定所涉及角的范围
当已知角的一个三角函数值求其他三角函数值时，角的范围将决定其他三角函数值的正负，所以要先判断角的范围，再进行三角函数值的求解.确定角的范围有以下几个层次：
（1）通过不等式的性质解出该角的范围（例如： ，则）
（2）通过该角的三角函数值的符号，确定其所在象限.
（3）利用特殊角将该角圈在一个区间内（区间长度通常为）
（4）通过题目中隐含条件判断角的范围.例如：，可判断出在第一象限.
【典型考题解析】
热点一 同角三角函数基本关系式“知一求二”
【典例1】(2023·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】
分析：
由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】
因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
【典例2】(2023·福建·高考真题（文））若，且为第四象限角，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
【详解】
∵sina=,且a为第四象限角,
∴，
则，
故选D.
【总结提升】
对sin α，cs α，tan α的知一求二问题
(1)利用sin2α＋cs2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用eq \f (sin α,cs α)＝tan α可以实现角α的弦切互化．
(2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
热点二 已知tan α求sin α，cs α齐次式的值
【典例4】（辽宁·高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
【典例5】（四川·高考真题（文））已知sinα＋2csα＝0，则2sinαcsα－cs2α的值是______________.
答案：－1
【解析】
由已知可得，sinα＝－2csα，即tanα＝－2
2sinαcsα－cs2α＝
【技法总结】
若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，对于分母为1的二次式，可用sin2α＋cs2α做分母求解．
热点三 sin α±cs α与sin αcs α关系的应用
【典例6】已知x∈(－π，0)，sin x＋cs x＝.求sin x－cs x的值；
答案：－.
【解析】由sin x＋cs x＝，
平方得sin2x＋2sin xcs x＋cs2x＝，
整理得2sin xcs x＝－.
∴(sin x－cs x)2＝1－2sin xcs x＝.
由x∈(－π，0)，知sin x＜0，
又sin x＋cs x＞0，
∴cs x＞0，则sin x－cs x＜0，
故sin x－cs x＝－.
【规律方法】
1.对于sin α＋cs α，sin α－cs α，sin αcs α这三个式子，知一可求二，若令sin α＋cs α＝t(t∈[－eq \r(2)，eq \r(2)])，则sin αcs α＝eq \f (t2－1,2)，sin α－cs α＝±eq \r(2－t2)(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．
2.利用sin αcs α＞0(sin αcs α＜0)可知sin α，cs α同号还是异号，再结合角α的范围或sin α±cs α的正负，可进一步确定sin α，cs α的正负．
热点四 诱导公式的应用
【典例7】（安徽·高考真题（理））设函数满足当时，，则（ ）
A．B．C．0D．
答案：A
【解析】
【详解】
试题分析：由题意，
，故选A.
【典例8】(2023·全国·高考真题（文））已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ–）=___________.
答案：
【解析】
分析：
由题求得θ的范围，结合已知求得cs（θ），再由诱导公式求得sin（）及cs（），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（θ）的值．
【详解】
解：∵θ是第四象限角，
∴，则，
又sin（θ），
∴cs（θ）．
∴cs（）＝sin（θ），sin（）＝cs（θ）．
则tan（θ）＝﹣tan（）．
故答案为．
【规律方法】
应用诱导公式：“负化正，大化小，化到锐角就好了”．
诱导公式与同角关系综合问题：
（1）基本思路
①分析结构特点，选择恰当公式；
②利用公式化成单角三角函数；
整理得最简形式
（2）化简要求
①化简过程是恒等变换；
②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值
热点五 两角和、差及倍角公式的应用
【典例9】（2023·全国·高考真题（文））（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.
【详解】
由题意，
.
故选：D.
【典例10】（2023·全国·高考真题（理））已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】
分析：
用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
【详解】
，得，
即，解得或（舍去），
又.
故选：A.
【典例11】（2023·全国·高考真题（理））已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A．–2B．–1C．1D．2
答案：D
【解析】
分析：
利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.
【详解】
，，
令，则，整理得，解得，即.
故选：D.
【规律方法】
应用公式化简求值的策略
(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．
例如两角差的余弦公式可简化为“同名相乘，符号相反”．
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
热点六 两角和、差及倍角公式的逆用和变形
【典例12】（2023·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
【详解】
由题意可得：，
则：，，
从而有：，
即.
故选：B.
【典例13】（2023·江苏·高考真题）已知，则的值是_____.
答案：.
【解析】
分析：
由题意首先求得的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.
【详解】
由，
得，
解得，或.
，
当时，上式
当时，上式=
综上，
【典例14】(2023·全国·高考真题（理））已知，，则__________．
答案：
【解析】
【详解】
因为，
所以，①
因为，
所以，②
①②得，
即，
解得，
故本题正确答案为
【总结提升】
1.两角和、差及倍角公式的逆用和变形
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)公式的一些常用变形
①sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β；
②cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β；
③1±sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f (α,2)±cs \f (α,2)))2；
④sin 2α＝eq \f (2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f (2tan α,tan2α＋1)；
⑤cs 2α＝eq \f (cs2α－sin2α,cs2α＋sin2α)＝eq \f (1－tan2α,1＋tan2α)；
⑥tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
2.常用技巧
(1)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，eq \r(3)等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．
热点七 巧用“角的变换”
【典例15】(2023·江苏·高考真题）若,则____________.
答案：
【解析】
【详解】
故答案为.
【典例16】(2023·浙江·高考真题）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求csβ的值．
答案：（Ⅰ）；（Ⅱ） 或 .
【解析】
分析：
分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.
【详解】
详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，
所以.
（Ⅱ）由角的终边过点得，
由得.
由得，
所以或.
【总结提升】
1.三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
2. 常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝（）－（）等.
3.提醒：求角时，一定要注意所求角的范围，并在解题过程中根据三角函数值的正负进一步缩小有关角的范围，以保证所求角在最小的范围内．
【精选精练】
一、单选题
1．（重庆·高考真题（理））若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：C
【解析】
【详解】

,
所以 原式
，
故选C.
2．（上海·高考真题（文））已知点 的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（ ）.
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
由题意，设OA与x轴所成的角为，显然，，故，故纵坐标为
3．(2023·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】
分析：
由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】
由已知得：,
即：，
即：,
所以,
故选：C
4.（2023·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．
【详解】
将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
5．（2023·全国·高考真题（文））若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
6.(2023·全国·高考真题（文））已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项.
【详解】
由三点共线，从而得到，
因为，
解得，即，
所以，故选B.
二、多选题
7．（2023·全国·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：AC
【解析】
分析：
A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】
A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
三、填空题
8．（2023·全国·高考真题（文））若，则__________．
答案：
【解析】
分析：
直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.
【详解】
.
故答案为：.
9．（2023·江苏·高考真题）已知 =，则的值是____.
答案：
【解析】
分析：
直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.
【详解】
故答案为：
10．(2023·全国·高考真题（文））已知，则__________．
答案：.
【解析】
分析：
利用两角差的正切公式展开，解方程可得.
【详解】
，解方程得.
11.(2023·上海·高考真题）已知，则的值为_________.
答案：
【解析】
分析：
利用两角和的正切公式可求出的值.
【详解】
由两角和的正切公式得.
故答案为.
12.(2023·全国·高考真题（文））已知，则__________．
答案：.
【解析】
分析：
利用两角差的正切公式展开，解方程可得.
【详解】
，解方程得.
13．(2023·全国·高考真题（文））已知，tanα=2，则cs(α−π4)=______________．
答案：
【解析】
【详解】
由得，又，所以，因为，所以，因为，所以．
14.(2023·北京·高考真题（理））在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________.
答案：
【解析】
【详解】
试题分析：因为和关于轴对称，所以，那么，（或），
所以.
15.(2023·浙江·高考真题）若，则__________，_________．
答案：
【解析】
分析：
先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求．
【详解】
，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴ ，
则．
故答案为：；．
四、解答题
16．（广东·高考真题（文））已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
答案：（1）；（2）1
【解析】
【详解】
试题分析：（1）本题考察的是求三角函数的值，本题中只需利用两角和的正切公式，再把代入到展开后的式子中，即可求出所求答案．
（2）本题考察的三角函数的化简求值，本题中需要利用齐次式来解，先通过二倍角公式进行展开，然后分式上下同除以，得到关于的式子，代入，即可得到答案．
试题解析：（Ⅰ）
（Ⅱ）原式
．
17.(2023·江苏·高考真题）已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．
答案：（1）；（2）
【解析】
【详解】
分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.
详解：解：（1）因为，，所以．
因为，所以，
因此，．
（2）因为为锐角，所以．
又因为，所以，
因此．
因为，所以，
因此，．
19.（四川·高考真题）已知<<<,
(Ⅰ)求的值.
（Ⅱ）求.
答案：
【解析】
【详解】
本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力．
解：（Ⅰ）由，得
∴，于是
（Ⅱ）由，得
又∵，∴
由得：
所以
角
函数
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin_α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cs_α
cs_α
余弦
cs_α
－cs_α
cs_α
－cs_α
sin_α
－sin_α
正切
tan_α
tan_α
－tan_α
－tan_α