高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题24正弦定理、余弦定理及其应用【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题24正弦定理、余弦定理及其应用【原卷版+解析】，共49页。

【热点聚焦】
近几年高考对解三角形问题考查，大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.与平面几何相结合的问题，要注重几何图形的特点的利用.由于新教材将正弦定理、余弦定理列入平面向量的应用，与平面向量相结合的命题将会出现.另外，“结构不良问题”作为实验，给予考生充分的选择空间，充分考查学生对数学本质的理解，引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养，克服“机械刷题”现象．同时，也增大了解题的难度.
【重点知识回眸】
（一）正弦、余弦定理
1.在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
提醒：在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，求第三边时，使用余弦定理比使用正弦定理简洁．
2. 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.
其原则为关于边、或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行
（1）
（2）（恒等式）
（3）
3.余弦定理的变式应用：
公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出是钝角还是锐角
当时，，即为锐角；
当（勾股定理）时，，即为直角；
当时，，即为钝角
（二）三角形常用面积公式
(1)S＝eq \f (1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝eq \f (1,2)absin C＝eq \f (1,2)acsin B＝eq \f (1,2)bcsin A；
(3)S＝eq \f (1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
（三）常用结论
1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：eq \f (A＋B,2)＝eq \f (π,2)－eq \f (C,2).
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cs(A＋B)＝－cs C；
(3)sin eq \f (A＋B,2)＝cs eq \f (C,2)；(4)cs eq \f (A＋B,2)＝sin eq \f (C,2).
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B；b＝acs C＋ccs A；c＝bcs A＋acs B．
4．三角形中的大角对大边
在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B．
5.海伦公式：
6.向量方法： （其中为边所构成的向量，方向任意）
证明：
，而

坐标表示：，则
7.三角形内角和（两角可表示另一角）.

8.三角形的中线定理与角平分线定理
（1）三角形中线定理：如图，设为的一条中线，则 （知三求一）
证明：在中
①
②
为中点

①②可得：
（2）角平分线定理：如图，设为中的角平分线，则
证明：过作∥交于

为的角平分线

为等腰三角形
而由可得：
（四）测量中的几个常用术语
提醒：涉及到角时，一定要弄清此角的始边和终边所在位置．如方位角135°的始边是指北方向线，始边顺时针方向旋转135°得到终边；方向角南偏西30°的始边是指南方向线，向西旋转30°得到终边．
【典型考题解析】
热点一 利用正、余弦定理解三角形
【典例1】（2023·全国·高考真题（文））在中，已知，，，则（ ）
A．1B．C．D．3
【典例2】（2023·山东·高考真题）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且 ，则等于（ ）
A．3B．C．3或D．-3或
【典例3】(2023·全国·高考真题（文））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【总结提升】
1.解三角形的常用方法：
（1）直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解
（2）间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求解
2.解三角形的常见题型及求解方法
(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及eq \f (a,sin A)＝eq \f (b,sin B)＝eq \f (c,sin C)，可先求出角C及b，再求出c.
(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccs A，先求出a，再求出角B，C．
(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C．
(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理eq \f (a,sin A)＝eq \f (b,sin B)可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由eq \f (a,sin A)＝eq \f (c,sin C)可求出c，而通过eq \f (a,sin A)＝eq \f (b,sin B)求角B时，可能有一解或两解或无解的情况．
热点二 三角形面积问题
【典例4】(2023·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
【典例5】(2023·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
【规律方法】
1.求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
热点三 三角形的周长问题
【典例6】(2023·北京·高考真题）在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
【典例7】(2023·全国·高考真题（理））记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
【规律方法】
求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用已知条件列方程求解．【典例7】反映的“整体代换”思想，具有一定的技巧性.
热点四 判断三角形的形状
【典例8】（2023·海南·高考真题）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【整体点评】
方法一：根据正弦定理以及余弦定理可得的关系，再根据选择的条件即可解出，是本题的通性通法,也是最优解；
方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式，消去角，可求出角，从而可得，再根据选择条件即可解出．
【典例9】（2023·全国·高考真题（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，证明：△ABC是直角三角形．
【总结提升】
1.判定三角形形状的两种常用途径
2．判定三角形的形状的注意点
在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
3.确定三角形要素的条件：
（1）唯一确定的三角形：
① 已知三边（SSS）：可利用余弦定理求出剩余的三个角
② 已知两边及夹角（SAS）：可利用余弦定理求出第三边，进而用余弦定理（或正弦定理）求出剩余两角
③ 两角及一边（AAS或ASA）：利用两角先求出另一个角，然后利用正弦定理确定其它两条边
（2）不唯一确定的三角形
① 已知三个角（AAA）：由相似三角形可知，三个角对应相等的三角形有无数多个.由正弦定理可得：已知三个角只能求出三边的比例：
② 已知两边及一边的对角（SSA）：比如已知，所确定的三角形有可能唯一，也有可能是两个.其原因在于当使用正弦定理求时，，而时，一个可能对应两个角（1个锐角，1个钝角），所以三角形可能不唯一.（判定是否唯一可利用三角形大角对大边的特点）
热点五 正弦定理、余弦定理实际应用
【典例10】（2023·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A．表高B．表高
C．表距D．表距
【典例11】（2023·全国·高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346B．373C．446D．473
【典例12】(2023·上海·高考真题）如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知m，m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.
(1)若∠ADE，求EF的长；
(2)当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？
（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m²）
热点五 平面几何中的解三角形问题
【典例13】（2023·浙江·高考真题）在中，，M是的中点，，则___________，___________.
【典例14】（2023·江苏·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
【整体点评】
（1）方法一：使用余弦定理求得，然后使用正弦定理求得；方法二：抓住45°角的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用两角和的正弦公式求得的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得的正弦值，进而得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有的直角三角形，进而求解，也是很优美的方法.
【典例15】（2023·北京·高考真题）在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；
【总结提升】
与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路
求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．
具体解题思路如下：
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·贵州贵阳·高三开学考试（文））“云楼”是白云区泉湖公园的标志性建筑，也是来到这里必打卡的项目之一，它端坐于公园的礼仪之轴，建筑外形主体木质结构，造型独特精巧，是泉湖公园的“阵眼”和“灵魂”，同时也是泉湖历史与发展变化的资料展示馆．小张同学为测量云楼的高度，如图，选取了与云楼底部D在同一水平面上的A，B两点，在A点和B点测得C点的仰角分别为45°和30°，测得米，，则云楼的高度CD为（ ）
A．20米B．25米C．米D．米
2．(2023·河南·郑州四中高三阶段练习（文））在中，角的对边分别为，已知三个向量，共线，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．钝角三角形
C．有一个角是的直角三角形D．等腰直角三角形
3．(2023·安徽蚌埠·一模）圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）.当正午阳光照射在表上时，影子就会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至.如图是根据蚌埠市（北纬）的地理位置设计的圭表的示意图，已知蚌埠市冬至正午太阳高度角（即）约为，夏至正午太阳高度角（即）约为.圭面上冬至线和夏至线之间的距离（即的长）为7米，则表高（即的长）约为（ ）（已知）
A．米B．米C．米D．米
二、多选题
4．(2023·吉林·延边第一中学高一期中）下列命题错误的是（ ）
A．三角形中三边之比等于相应的三个内角之比
B．在中，若，则
C．在的三边三角共6个量中，知道任意三个，均可求出剩余三个
D．当时，为锐角三角形；当时，为直角三角形；当时，为钝角三角形
5．（2023·黑龙江黑河·高二阶段练习）在中，已知是角的平分线，则的长度可能为（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·吉林·长春市第二实验中学高一期末）中国南宋时期杰出的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即（为三角形的面积，、、为三角形的三边）．现有满足，且的面积，则下列结论正确的是（ ）
A．的最短边长是2B．的三个内角满足
C．的外接圆半径为D．的中线的长为
三、填空题
7．(2023·贵州·贵阳乐湾国际实验学校高三开学考试（理））在中，角A，B，C所对的边分别为，且，B=，若的面积S=2，则=___________.
8．(2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，若，则△ABC的形状是________.
四、解答题
9．(2023·云南昆明·高三开学考试）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求A；
(2)若，，求的面积.
10．(2023·湖南·高三开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角B的大小；
(2)若BC边上的高为，求.
11．(2023·贵州贵阳·高三开学考试（文））在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若，________，求△ABC的周长．
在①；②△ABC的面积为这两个条件中任选一个，补充在横线上．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
12．(2023·全国·高三专题练习）已知的内角的对边分别为.
(1)求的大小；
(2)若的周长为，面积为，求.
13．(2023·湖北·高三开学考试）已知的角的对边分别为 ，且，
(1)求角;
(2)若平分交线段于点，且，求的周长.
14．(2023·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）已知的三个内角所对的边分别为a，b，c，.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积.
15．(2023·浙江·高三开学考试）在中，角的对边分别为为的面积，请在①；②这两个条件中任选一个，完成下列问题：（注：如果两个条件都解答，按第一个解答计分）
(1)求角大小；
(2)若且，求的面积.
16．(2023·河南·模拟预测（文））在中，角所对的边为，已知.
(1)求；
(2)设的平分线与交于点，求的长.
17．(2023·安徽蚌埠·一模）记内角的对边为，已知于.
(1)证明：；
(2)若，求的值.
18．(2023·云南师大附中高三阶段练习）在中，已知，，，为边上的中点，的面积为.
(1)求的长；
(2)点在边上，且，与相交于点，求的余弦值.
定理
正弦定理
余弦定理
内容
a2＝b2＋c2－2bccs A；
b2＝c2＋a2－2cacs B；
c2＝a2＋b2－2abcs C
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
c＝2Rsin C；
(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(3)eq \f (a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝eq \f (a,sin A)＝2R
cs A＝eq \f (b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f (c2＋a2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f (a2＋b2－c2,2ab)
术语名称
术语意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是[0°，360°)
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α
例：(1)北偏东α：
(2)南偏西α：
坡角与坡度
坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡度(坡比)，即i＝eq \f (h,l)＝tan θ
专题24 正弦定理、余弦定理及其应用
【热点聚焦】
近几年高考对解三角形问题考查，大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.与平面几何相结合的问题，要注重几何图形的特点的利用.由于新教材将正弦定理、余弦定理列入平面向量的应用，与平面向量相结合的命题将会出现.另外，“结构不良问题”作为实验，给予考生充分的选择空间，充分考查学生对数学本质的理解，引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养，克服“机械刷题”现象．同时，也增大了解题的难度.
【重点知识回眸】
（一）正弦、余弦定理
1.在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
提醒：在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，求第三边时，使用余弦定理比使用正弦定理简洁．
2. 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.
其原则为关于边、或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行
（1）
（2）（恒等式）
（3）
3.余弦定理的变式应用：
公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出是钝角还是锐角
当时，，即为锐角；
当（勾股定理）时，，即为直角；
当时，，即为钝角
（二）三角形常用面积公式
(1)S＝eq \f (1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝eq \f (1,2)absin C＝eq \f (1,2)acsin B＝eq \f (1,2)bcsin A；
(3)S＝eq \f (1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
（三）常用结论
1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：eq \f (A＋B,2)＝eq \f (π,2)－eq \f (C,2).
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cs(A＋B)＝－cs C；
(3)sin eq \f (A＋B,2)＝cs eq \f (C,2)；(4)cs eq \f (A＋B,2)＝sin eq \f (C,2).
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B；b＝acs C＋ccs A；c＝bcs A＋acs B．
4．三角形中的大角对大边
在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B．
5.海伦公式：
6.向量方法： （其中为边所构成的向量，方向任意）
证明：
，而

坐标表示：，则
7.三角形内角和（两角可表示另一角）.

8.三角形的中线定理与角平分线定理
（1）三角形中线定理：如图，设为的一条中线，则 （知三求一）
证明：在中
①
②
为中点

①②可得：
（2）角平分线定理：如图，设为中的角平分线，则
证明：过作∥交于

为的角平分线

为等腰三角形
而由可得：
（四）测量中的几个常用术语
提醒：涉及到角时，一定要弄清此角的始边和终边所在位置．如方位角135°的始边是指北方向线，始边顺时针方向旋转135°得到终边；方向角南偏西30°的始边是指南方向线，向西旋转30°得到终边．
【典型考题解析】
热点一 利用正、余弦定理解三角形
【典例1】（2023·全国·高考真题（文））在中，已知，，，则（ ）
A．1B．C．D．3
答案：D
【解析】
分析：
利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.
【详解】
设，
结合余弦定理：可得：，
即：，解得：（舍去），
故.
故选：D.
【典例2】（2023·山东·高考真题）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且 ，则等于（ ）
A．3B．C．3或D．-3或
答案：A
【解析】
分析：
利用余弦定理求出，并进一步判断，由正弦定理可得，最后利用两角和的正切公式，即可得到答案；
【详解】
，，
，
，
，，
，
，
故选：A.
【典例3】(2023·全国·高考真题（文））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
答案：(1)；
(2)证明见解析．
【解析】
分析：
（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
(1)
由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
(2)
由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
【总结提升】
1.解三角形的常用方法：
（1）直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解
（2）间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求解
2.解三角形的常见题型及求解方法
(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及eq \f (a,sin A)＝eq \f (b,sin B)＝eq \f (c,sin C)，可先求出角C及b，再求出c.
(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccs A，先求出a，再求出角B，C．
(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C．
(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理eq \f (a,sin A)＝eq \f (b,sin B)可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由eq \f (a,sin A)＝eq \f (c,sin C)可求出c，而通过eq \f (a,sin A)＝eq \f (b,sin B)求角B时，可能有一解或两解或无解的情况．
热点二 三角形面积问题
【典例4】(2023·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
答案：(1)；
(2)．
【解析】
分析：
（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积．
(1)
由于， ，则．因为，
由正弦定理知，则．
(2)
因为，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面积．
【典例5】(2023·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
答案：(1)
(2)
【解析】
分析：
（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
(1)
由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
(2)
由正弦定理得：，则，则，.
【规律方法】
1.求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
热点三 三角形的周长问题
【典例6】(2023·北京·高考真题）在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
答案：(1)
(2)
【解析】
分析：
（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.
(1)
解：因为，则，由已知可得，
可得，因此，.
(2)
解：由三角形的面积公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周长为.
【典例7】(2023·全国·高考真题（理））记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
答案：(1)见解析
(2)14
【解析】
分析：
（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.
(1)
证明：因为，
所以，
所以，
即，
所以；
(2)
解：因为，
由（1）得，
由余弦定理可得，
则，
所以，
故，
所以，
所以的周长为.
【规律方法】
求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用已知条件列方程求解．【典例7】反映的“整体代换”思想，具有一定的技巧性.
热点四 判断三角形的形状
【典例8】（2023·海南·高考真题）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
答案：详见解析
【解析】
分析：
方法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.
【详解】
［方法一］【最优解】：余弦定理
由可得：，不妨设，
则：，即.
若选择条件①：
据此可得：，，此时.
若选择条件②：
据此可得：，
则：，此时：，则：.
若选择条件③：
可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.
［方法二］：正弦定理
由，得．
由，得，即，
得．由于，得．所以．
若选择条件①：
由，得，得．
解得．所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时．
若选择条件②：
由，得，解得，则．
由，得，得．
所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时．
若选择条件③：
由于与矛盾，所以，问题中的三角形不存在．
【整体点评】
方法一：根据正弦定理以及余弦定理可得的关系，再根据选择的条件即可解出，是本题的通性通法,也是最优解；
方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式，消去角，可求出角，从而可得，再根据选择条件即可解出．
【典例9】（2023·全国·高考真题（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，证明：△ABC是直角三角形．
答案：（1）；（2）证明见解析
【解析】
分析：
（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，可化为，即可解出；
（2）根据余弦定理可得，将代入可找到关系，
再根据勾股定理或正弦定理即可证出．
【详解】
（1）因为，所以，
即，
解得，又，
所以；
（2）因为，所以，
即①，
又②， 将②代入①得，，
即，而，解得，
所以，
故，
即是直角三角形．
【总结提升】
1.判定三角形形状的两种常用途径
2．判定三角形的形状的注意点
在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
3.确定三角形要素的条件：
（1）唯一确定的三角形：
① 已知三边（SSS）：可利用余弦定理求出剩余的三个角
② 已知两边及夹角（SAS）：可利用余弦定理求出第三边，进而用余弦定理（或正弦定理）求出剩余两角
③ 两角及一边（AAS或ASA）：利用两角先求出另一个角，然后利用正弦定理确定其它两条边
（2）不唯一确定的三角形
① 已知三个角（AAA）：由相似三角形可知，三个角对应相等的三角形有无数多个.由正弦定理可得：已知三个角只能求出三边的比例：
② 已知两边及一边的对角（SSA）：比如已知，所确定的三角形有可能唯一，也有可能是两个.其原因在于当使用正弦定理求时，，而时，一个可能对应两个角（1个锐角，1个钝角），所以三角形可能不唯一.（判定是否唯一可利用三角形大角对大边的特点）
热点五 正弦定理、余弦定理实际应用
【典例10】（2023·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A．表高B．表高
C．表距D．表距
答案：A
【解析】
分析：
利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．
【详解】
如图所示：
由平面相似可知，，而 ，所以
，而 ，
即＝ ．
故选：A.
【典例11】（2023·全国·高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346B．373C．446D．473
答案：B
【解析】
分析：
通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案．
【详解】
过作，过作，
故，
由题，易知为等腰直角三角形，所以．
所以．
因为，所以
在中，由正弦定理得：
，
而，
所以
所以．
故选：B．
【典例12】(2023·上海·高考真题）如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知m，m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.
(1)若∠ADE，求EF的长；
(2)当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？
（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m²）
答案：(1)23.3m
(2)当时，梯形FEBC的面积有最大值,最大值为
【解析】
分析：
（1）设EF与圆D相切于对点，连接，则，，在直角和直角中分别求出,从而得出答案.
（2）先求出梯形的面积的最小值，从而得出梯形FEBC的面积的最大值.
(1)
设EF与圆D相切于对点，连接，则，
则，所以直角与直角全等
所以
在直角中，

在直角中，

(2)
设,，则，



所以梯形的面积为
当且当，即时取得等号，此时
即当时，梯形的面积取得最小值
则此时梯形FEBC的面积有最大值
所以当时，梯形FEBC的面积有最大值,最大值为
热点五 平面几何中的解三角形问题
【典例13】（2023·浙江·高考真题）在中，，M是的中点，，则___________，___________.
答案：
【解析】
分析：
由题意结合余弦定理可得，进而可得，再由余弦定理可得.
【详解】
由题意作出图形，如图，
在中，由余弦定理得，
即，解得（负值舍去），
所以，
在中，由余弦定理得，
所以；
在中，由余弦定理得.
故答案为：；.
【典例14】（2023·江苏·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
答案：（1）；（2）.
【解析】
分析：
（1）方法一：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.
（2）方法一：根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值，进而求得的值.
【详解】
（1）[方法一]：正余弦定理综合法
由余弦定理得，所以.
由正弦定理得.
[方法二]【最优解】：几何法
过点A作，垂足为E．在中，由，可得，又，所以．
在中，，因此．
（2）[方法一]：两角和的正弦公式法
由于，，所以.
由于，所以，所以.
所以
.
由于，所以.
所以.
[方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法
在（1）的方法二的图中，由，可得，从而．
又由（1）可得，所以．
[方法三]：几何法+正弦定理法
在（1）的方法二中可得．
在中，，
所以．
在中，由正弦定理可得，
由此可得．
[方法四]：构造直角三角形法
如图，作，垂足为E，作，垂足为点G．
在（1）的方法二中可得．
由，可得．
在中，．
由（1）知，所以在中，，从而．
在中，．
所以．
【整体点评】
（1）方法一：使用余弦定理求得，然后使用正弦定理求得；方法二：抓住45°角的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用两角和的正弦公式求得的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得的正弦值，进而得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有的直角三角形，进而求解，也是很优美的方法.
【典例15】（2023·北京·高考真题）在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；
答案：（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．
【解析】
分析：
（1）由正弦定理化边为角即可求解；
（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；
若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；
若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.
【详解】
（1），则由正弦定理可得，
，，，，
，解得；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，
与矛盾，故这样的不存在；
若选择②：由（1）可得，
设的外接圆半径为，
则由正弦定理可得，
，
则周长，
解得，则，
由余弦定理可得边上的中线的长度为：
；
若选择③：由（1）可得，即，
则，解得，
则由余弦定理可得边上的中线的长度为：
.
【总结提升】
与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路
求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．
具体解题思路如下：
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·贵州贵阳·高三开学考试（文））“云楼”是白云区泉湖公园的标志性建筑，也是来到这里必打卡的项目之一，它端坐于公园的礼仪之轴，建筑外形主体木质结构，造型独特精巧，是泉湖公园的“阵眼”和“灵魂”，同时也是泉湖历史与发展变化的资料展示馆．小张同学为测量云楼的高度，如图，选取了与云楼底部D在同一水平面上的A，B两点，在A点和B点测得C点的仰角分别为45°和30°，测得米，，则云楼的高度CD为（ ）
A．20米B．25米C．米D．米
答案：B
分析：设，由锐角三角函数得到，，再在中利用余弦定理求出，即可得解.
【详解】解：依题意，，
设，在、中，，，所以，，
在中由余弦定理，
即，解得或（舍去），
所以云楼的高度为米；
故选：B
2．(2023·河南·郑州四中高三阶段练习（文））在中，角的对边分别为，已知三个向量，共线，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．钝角三角形
C．有一个角是的直角三角形D．等腰直角三角形
答案：A
分析：由向量共线的坐标运算可得，利用正弦定理化边为角，再展开二倍角公式整理可得，结合角的范围求得，同理可得，则答案可求．
【详解】向量，共线，，
由正弦定理得：，
，则，
，，，即．
同理可得．
形状为等边三角形．
故选：A．
3．(2023·安徽蚌埠·一模）圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）.当正午阳光照射在表上时，影子就会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至.如图是根据蚌埠市（北纬）的地理位置设计的圭表的示意图，已知蚌埠市冬至正午太阳高度角（即）约为，夏至正午太阳高度角（即）约为.圭面上冬至线和夏至线之间的距离（即的长）为7米，则表高（即的长）约为（ ）（已知）
A．米B．米C．米D．米
答案：C
分析：由题意可求出，再由的长为7米，求出，即可得出答案.
【详解】由图可知，
所以，
得.
故选：C.
二、多选题
4．(2023·吉林·延边第一中学高一期中）下列命题错误的是（ ）
A．三角形中三边之比等于相应的三个内角之比
B．在中，若，则
C．在的三边三角共6个量中，知道任意三个，均可求出剩余三个
D．当时，为锐角三角形；当时，为直角三角形；当时，为钝角三角形
答案：ACD
分析：对于ACD，举例判断，对于B，利用正弦定理结果合三角形的性质判断.
【详解】对于A，等腰直角三角形的三边比为，而三个内角的比为，所以A错误，
对于B，在中，当时，由正弦定理可得，因为在三角形中大边对大角，所以，所以B正确，
对于C，在中，若三个角确定，则这样的三角形三边无法确定，这样的三角形有无数个，所以C错误，
对于D，在中，时，由余弦定理可知角为锐角，而角的大小无法判断，所以三角形的形状无法判断，所以D错误，
故选：ACD
5．（2023·黑龙江黑河·高二阶段练习）在中，已知是角的平分线，则的长度可能为（ ）
A．B．C．D．
答案：ABC
分析：过作交延长线于，由题设可得且，进而有，令并在中应用余弦定理求x范围，即可得范围.
【详解】过作交延长线于，
又是角的平分线，得，故，
而，则，
令，则，
在中，，
可得，则，故A、B、C满足要求.
故选：ABC
6．(2023·吉林·长春市第二实验中学高一期末）中国南宋时期杰出的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即（为三角形的面积，、、为三角形的三边）．现有满足，且的面积，则下列结论正确的是（ ）
A．的最短边长是2B．的三个内角满足
C．的外接圆半径为D．的中线的长为
答案：BC
分析：依题意设，，（），利用面积公式求出，即可求出边长，从而判断A，再由余弦定理求出，即可判断B，利用正弦定理求出外接圆的半径，即可判断C，最后由数量积的运算律求出中线，即可判断D.
【详解】解：由，设，，（），
因为，所以，解得，则，，，故A错误；
因为，所以，，故B正确；
因为，所以，由正弦定理得，，故C正确；
，所以，故，故D错误．
故选：BC．
三、填空题
7．(2023·贵州·贵阳乐湾国际实验学校高三开学考试（理））在中，角A，B，C所对的边分别为，且，B=，若的面积S=2，则=___________.
答案：5
分析：先由面积公式计算，再利用余弦定理计算.
【详解】由三角形面积公式，，
所以，.
由余弦定理，.
所以，.
故答案为：5.
8．(2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，若，则△ABC的形状是________.
答案：等腰三角形或直角三角形
分析：由已知及余弦定理可得，即可判断△ABC的形状.
【详解】由余弦定理，，化简得，
∴或，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
故答案为：等腰三角形或直角三角形
四、解答题
9．(2023·云南昆明·高三开学考试）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求A；
(2)若，，求的面积.
答案：(1)
(2)
分析：（1）由正弦定理将已知式子统一成角的形式，然后化简可求出角A；
（2）利用余弦定理求出，再利用三角形的面积公式可求得结果.
（1）
因为
所以由正弦定理得，
因为，所以，
所以，即，
又因为，所以.
（2）
由余弦定理，得，
解得.
所以的面积.
10．(2023·湖南·高三开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角B的大小；
(2)若BC边上的高为，求.
答案：(1)
(2)
分析：（1）先根据式子形式采取角化边，然后利用余弦定理的推论即可解出；
（2）先根据锐角三角函数的定义可知，，得出关系，再根据可求出，然后根据三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正弦公式化简，即可解出．
（1）
由，得，即，∴，∵，∴.
（2）
∵，且BC边上的高为，∴，∴，
∴.∵，∴C为锐角，∴，
∴.
11．(2023·贵州贵阳·高三开学考试（文））在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若，________，求△ABC的周长．
在①；②△ABC的面积为这两个条件中任选一个，补充在横线上．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
答案：(1)
(2)
分析：（1）利用正弦定理可得，从而可求B的大小.
（2）若选①，利用正弦定理可求，若选②，利用面积公式同样可得，结合余弦定理可求，从而可求周长.
（1）
由正弦定理可得，
而为三角形内角，故，故即.
而为三角形内角，故.
（2）
若选①，因为，故外接圆直径即.
而，故，
而，
故即，
故三角形的周长为.
若选②，因为三角形面积为，故即.
而，
故即，
故三角形的周长为.
12．(2023·全国·高三专题练习）已知的内角的对边分别为.
(1)求的大小；
(2)若的周长为，面积为，求.
答案：(1)
(2)
分析：（1）已知条件化，结合，可求的值，再得到；
（2）根据的面积，得到的值，结合三角形周长和余弦定理，从而解出的值.
（1）
由化简可得
，
在中，，所以，同理
所以
整理得：，
又，
故，
而，从而
（2）
的面积为，
所以，得①
的周长为，得②
由余弦定理得： ③
将①代入③得： ④
由②④得：，
所以.
13．(2023·湖北·高三开学考试）已知的角的对边分别为 ，且，
(1)求角;
(2)若平分交线段于点，且，求的周长.
答案：(1)
(2)
分析：（1）先利用余弦定理化简，然后代入已知式子中利用正弦定理统一成边的形式，再利用余弦定理可求出角，
（2）由结合平分，可得，作于，则由结合已知条件可得，解方程组可求得，再利用余弦定理可求出，从而可求出三角形的周长.
（1）
由余弦定理得
所以可化为
再由正弦定理，得，得，
所以.
因为， 所以
（2）
因为平分，所以.
由，
得.
作于，
则.
由，解得
由余弦定理，得，所以
故的周长为
14．(2023·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）已知的三个内角所对的边分别为a，b，c，.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积.
答案：(1)
(2)
分析：（1）利用正切的两角和公式计算可得答案；
（2）利用余弦定理和已知可得，再用三角形面积公式计算可得答案.
（1）
由，得
，所以，
又在，，
则，所以；
（2）
因为，所以①，
又，
则根据余弦定理，②，
由①②得，
.
15．(2023·浙江·高三开学考试）在中，角的对边分别为为的面积，请在①；②这两个条件中任选一个，完成下列问题：（注：如果两个条件都解答，按第一个解答计分）
(1)求角大小；
(2)若且，求的面积.
答案：(1)
(2)
分析：（1）根据不同的选择，结合正余弦定理，即可求得角；
（2）利用正弦定理和面积公式求解即可.
（1）
若选①：，由余弦定理得，
所以，又因为，
所以.
若选②：根据正弦定理边化角得

（2）
由正弦定理边化角得，
因为，所以，
又因为
所以
16．(2023·河南·模拟预测（文））在中，角所对的边为，已知.
(1)求；
(2)设的平分线与交于点，求的长.
答案：(1)
(2)2
分析：（1）利用正弦定理和余弦定理可得答案；
（2）利用余弦定理、角平分线性质可得答案.
（1）
由得 ，
再由正弦定理和余弦定理得
把代入得
所以；
（2）
由余弦定理可得 ，
因为是角的平分线， ,，
所以，所以.
在中，，
所以.
17．(2023·安徽蚌埠·一模）记内角的对边为，已知于.
(1)证明：；
(2)若，求的值.
答案：(1)证明见解析
(2)
分析：（1）利用正弦定理边化角，再结合正弦值的计算公式列方程即可；
（2）由面积公式得，利用余弦定理和辅助角公式化简即可.
（1）
根据正弦定理和题设可得，
又，所以.
（2）
由三角形的面积公式可得，
所以
又由余弦定理
因此，得
其中θ为锐角，且，于是，
所以
18．(2023·云南师大附中高三阶段练习）在中，已知，，，为边上的中点，的面积为.
(1)求的长；
(2)点在边上，且，与相交于点，求的余弦值.
答案：(1)
(2)
分析：（1）根据三角形面积公式可得角，再结合向量模长的求法可得线段.
（2）在中，由正弦定理可得，进而可得，可知点为三角形的重心，进而可得与，利用余弦定理可得解.
（1）
由，
解得，又，且即，
所以，
又，得，
所以；
（2）
在中，，
由，得，
所以为中点，，即，
且点为三角形的重心，则，，
所以，
所以的余弦值为.
定理
正弦定理
余弦定理
内容
a2＝b2＋c2－2bccs A；
b2＝c2＋a2－2cacs B；
c2＝a2＋b2－2abcs C
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
c＝2Rsin C；
(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(3)eq \f (a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝eq \f (a,sin A)＝2R
cs A＝eq \f (b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f (c2＋a2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f (a2＋b2－c2,2ab)
术语名称
术语意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是[0°，360°)
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α
例：(1)北偏东α：
(2)南偏西α：
坡角与坡度
坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡度(坡比)，即i＝eq \f (h,l)＝tan θ