高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题39二项式展开项的通项及应用【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题39二项式展开项的通项及应用【原卷版+解析】，共28页。

【热点聚焦】
二项展开式定理的问题是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：
（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）；
（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；
（3）二项式定理的应用．
【重点知识回眸】
1. 二项式定理
，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数 ()叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即展开式的第项；.
2．二项展开式形式上的特点
(1)项数为.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为.
(3)字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到.
(4)二项式的系数从，，一直到，.
3. 二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，，，.
(2)增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式系数是递增的；由对称性知：当时，二项式系数是递减的．
当是偶数时，中间的一项取得最大值．
当是奇数时，中间两项 和相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和
的展开式的各个二项式系数的和等于，即，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即，
（4）常用结论
①＝1；②； = 3 \* GB3 ③； = 4 \* GB3 ④.
4.二项式的应用
（1）求某些多项式系数的和；
（2）证明一些简单的组合恒等式；
（3）证明整除性,①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；
（4）近似计算.当充分小时，我们常用下列公式估计近似值：
①；②；
（5）证明不等式.
【典型考题解析】
热点一 二项式展开式的通项公式的应用
【典例1】（2023·全国·高考真题（理））的展开式中常数项是__________（用数字作答）．
【典例2】（2023·浙江·高考真题）在二项式的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.
【典例3】(2023·山西·高三阶段练习）二项式的展开式中含项的系数为24，则______．
【典例4】(2023·全国·高考真题）的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
【总结提升】
1.二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下：
①求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)an－rbr(r＝0,1,2，…，n)求通项．
②列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．
③求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．
2.已知展开式的某项或其系数求参数，可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．
3.求解形如的展开式问题的思路
(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如，然后展开分别求解．
(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如；
(3)分别得到的通项公式，综合考虑．
4.求几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题，可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可．
热点二 形如的展开式问题
【典例5】（2023·江西南昌·高三阶段练习）的展开式中含的项的系数为（ ）
A．B．180C．D．11520
【典例6】(2023·全国·高三专题练习）的展开式中，的系数是（ ）
A．120B．-120C．60D．30
【典例7(2023·山东济南·模拟预测）的展开式中，含项的系数为______（用数字作答）.
【规律方法】
求三项展开式中某些特定项的系数的方法
(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．
(2)两次利用二项式定理的通项公式求解．
(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．
热点三 二项式系数的和与各项的系数和问题
【典例8】(2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．31B．32C．15D．16
【典例9】（2023·全国·高三专题练习）若，且，则实数的值可以为（ ）
A．1或B．C．或3D．
【典例10】(2023·北京四中高三开学考试）设多项式，则___________，___________.
【规律方法】
赋值法在求各项系数和中的应用
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．
(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)．
①奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝.
②偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
热点四 二项式系数的性质
【典例11】（2023·全国·高三专题练习）在（）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n的值不可能是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【典例12】(2023·全国·高三阶段练习）已知的展开式中含的系数为60，则下列说法正确的是（ ）
A．的展开式的各项系数之和为1B．的展开式中系数最大的项为
C．的展开式中的常数项为D．的展开式中所有二项式的系数和为32
【典例13】(2023·浙江·三模）在二项式的展开式中，常数项是__________，二项式系数最大的项的系数是__________．
【规律方法】
1．二项式系数最大项的确定方法
(1)如果n是偶数，则中间一项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(第\f(n,2)＋1项))的二项式系数最大；
(2)如果n是奇数，则中间两项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(第\f(n＋1,2)项与第\f(n＋1,2)＋1项))的二项式系数相等并最大．
2．展开式系数最大值的两种求解思路
(1)由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ak≥ak－1，,ak≥ak＋1))即可求得答案．
(2)由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值．
热点五 二项式定理应用
【典例14】(2023·全国·高三专题练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，法国数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．
B．在第2022行中第1011个数最大
C．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数
D．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3
【典例15】（2023·全国·高三专题练习（理））设，则除以9所得的余数为______．
【典例16】（2023·山东·高三阶段练习）某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是________.
【规律方法】
1.二项式定理应用的常见题型及求解策略
（1）逆用二项式定理的关键是根据所给式的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．
（2）利用二项式定理解决整除问题的思路：①观察除式与被除式间的关系；②将被除式拆成二项式；③结合二项式定理得出结论．
（3） 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.
2.特别提醒:
（1）分清是第项，而不是第项.
（2）在通项公式中，含有、、、、、这六个参数，只有、、、是独立的，在未知、的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转化为方程（组）求出、,然后代入通项公式求解.
（3）求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出，再求所需的某项；有时则需先求,计算时要注意和的取值范围以及 它们之间的大小关系.
（4）在中，就是该项的二项式系数，它与，的值无关；而项的系数是指化简后字母外的数．
（5）在应用通项公式时，要注意以下几点：
①它表示二项展开式的任意项，只要与确定，该项就随之确定；
②是展开式中的第项，而不是第项；
③公式中，，的指数和为且，不能随便颠倒位置；
④对二项式展开式的通项公式要特别注意符号问题．
= 5 \* GB3 ⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·全国·高三阶段练习（理））展开式中的常数项为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·全国·高三专题练习）的展开式中的项系数为（ ）
A．30B．10C．-30D．-10
3．(2023·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）在的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．7
4．(2023·湖南·高三开学考试）已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的系数为（ ）
A．0B．C．120D．
5．(2023·全国·高三专题练习）设，若，则展开式中系数最大的项是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）展开式中，项的系数为（ ）
A．5B．-5C．15D．-15
二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．展开式共6项
B．常数项为160
C．所有项的系数之和为729
D．所有项的二项式系数之和为64
8．(2023·湖北·黄冈中学高三阶段练习）已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
9．(2023·河北张家口·三模）已知的展开式中x项的系数为30，项的系数为M，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．M有最大值10D．M有最小值
三、填空题
10．(2023·全国·高三专题练习（文））“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第二行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第35项是______．
11．(2023·河北·三河市第三中学高三阶段练习）在的展开式中，所有二项式系数的和是16，则展开式中的常数项为 ____．
12．(2023·全国·高三专题练习）（1）已知的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，则__________.
（2）__________.
13．（2023·浙江·高考真题）在二项式的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.
14．(2023·浙江省春晖中学模拟预测）二项式的展开式中共有11项，则___________，常数项的值为___________.
15．(2023·全国·高三专题练习）在的展开式中，二项式系数之和为_________；各项系数之和为_________．（用数字作答）
四、解答题
16．（2023·江苏·高考真题）设.已知.
（1）求n的值；
（2）设，其中，求的值.
专题39 二项式展开项的通项及应用
【热点聚焦】
二项展开式定理的问题是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：
（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）；
（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；
（3）二项式定理的应用．
【重点知识回眸】
1. 二项式定理
，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数 ()叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即展开式的第项；.
2．二项展开式形式上的特点
(1)项数为.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为.
(3)字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到.
(4)二项式的系数从，，一直到，.
3. 二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，，，.
(2)增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式系数是递增的；由对称性知：当时，二项式系数是递减的．
当是偶数时，中间的一项取得最大值．
当是奇数时，中间两项 和相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和
的展开式的各个二项式系数的和等于，即，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即，
（4）常用结论
①＝1；②； = 3 \* GB3 ③； = 4 \* GB3 ④.
4.二项式的应用
（1）求某些多项式系数的和；
（2）证明一些简单的组合恒等式；
（3）证明整除性,①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；
（4）近似计算.当充分小时，我们常用下列公式估计近似值：
①；②；
（5）证明不等式.
【典型考题解析】
热点一 二项式展开式的通项公式的应用
【典例1】（2023·全国·高考真题（理））的展开式中常数项是__________（用数字作答）．
答案：
分析：写出二项式展开通项，即可求得常数项.
【详解】
其二项式展开通项：
当，解得
的展开式中常数项是：.
故答案为：.
【典例2】（2023·浙江·高考真题）在二项式的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.
答案：
分析：本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察的幂指数，使问题得解.
【详解】的通项为
可得常数项为，
因系数为有理数，，有共5个项
【典例3】(2023·山西·高三阶段练习）二项式的展开式中含项的系数为24，则______．
答案：
分析：写出二项式展开式的通项公式，根据已知项系数求参数a即可.
【详解】由二项式展开式通项为，且项的系数为24，
所以，可得.
故答案为：
【典例4】(2023·全国·高考真题）的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
答案：-28
分析：可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28
故答案为：-28
【总结提升】
1.二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下：
①求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)an－rbr(r＝0,1,2，…，n)求通项．
②列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．
③求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．
2.已知展开式的某项或其系数求参数，可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．
3.求解形如的展开式问题的思路
(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如，然后展开分别求解．
(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如；
(3)分别得到的通项公式，综合考虑．
4.求几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题，可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可．
热点二 形如的展开式问题
【典例5】（2023·江西南昌·高三阶段练习）的展开式中含的项的系数为（ ）
A．B．180C．D．11520
答案：B
分析：分情况讨论，要得到含的项，中有3项与2项4相乘，或者有4项与1项相乘，再相加求和即可.
【详解】根据题意，要得到含的项，则中有3项与2项4相乘，或者有4项与1项相乘.
故的展开式中含的项为.
即的展开式中含的项的系数为180.
故选：B
【典例6】(2023·全国·高三专题练习）的展开式中，的系数是（ ）
A．120B．-120C．60D．30
答案：A
分析：利用二项式定理展开，求得的第3项为，继续求得的展开式第3项为，即可求得的系数.
【详解】，展开式的
第项为，
令，可得第3项为，
的展开式的第项为，令，
可得第3项为，
所以的展开式中，
的系数是．
故选：A．
【典例7(2023·山东济南·模拟预测）的展开式中，含项的系数为______（用数字作答）.
答案：
分析：由，利用二项式展开式通项写出含项，即可得结果.
【详解】由，其展开式通项为，
所以含项为，故系数为.
故答案为：
【规律方法】
求三项展开式中某些特定项的系数的方法
(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．
(2)两次利用二项式定理的通项公式求解．
(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．
热点三 二项式系数的和与各项的系数和问题
【典例8】(2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．31B．32C．15D．16
答案：A
分析：根据二项式定理的逆用即可得到，进而可求n=5，根据二项式系数即可求解.
【详解】逆用二项式定理得，即，所以n=5，所以．
故选:A
【典例9】（2023·全国·高三专题练习）若，且，则实数的值可以为（ ）
A．1或B．C．或3D．
答案：A
分析：利用赋值法，分别令，和，
，
，
再根据，求得的值．
【详解】在中，
令可得，即，
令，可得，
∵，
∴，
∴，
整理得，
解得，或．
故选：A
【典例10】(2023·北京四中高三开学考试）设多项式，则___________，___________.
答案： -10 528
分析：利用二项式定理的展开式、通项以及分类讨论进行处理.
【详解】因为，
所以是展开式中的系数，设的展开式的通项为，
所以当时，.
同理设的展开式的通项为，
所以当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故.
故答案为：-10，528.
【规律方法】
赋值法在求各项系数和中的应用
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．
(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)．
①奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝.
②偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
热点四 二项式系数的性质
【典例11】（2023·全国·高三专题练习）在（）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n的值不可能是（ ）
A．7B．8C．9D．10
答案：D
分析：由题意，利用二项式系数的性质，求得的值．
【详解】当时，的展开式有8项，的展开式中二项式系数最大，
即第四项和第五项的二项式系数最大；
当时，的展开式有9项，的展开式中二项式系数最大，
即第五项的二项式系数最大；
当时，的展开式有10项，的展开式中二项式系数最大，
即第五项和第六项的二项式系数最大.
当时，的展开式有11项，的展开式中二项式系数最大，
即第六项的二项式系数最大.
故选：D．
【典例12】(2023·全国·高三阶段练习）已知的展开式中含的系数为60，则下列说法正确的是（ ）
A．的展开式的各项系数之和为1B．的展开式中系数最大的项为
C．的展开式中的常数项为D．的展开式中所有二项式的系数和为32
答案：BC
分析：根据题意求出，所以，再分析求解即可.
【详解】的展开通项为：，
当时，，所以，解得，
所以，令，所以各项系数和为：，故A错误；
当时，的展开式中所有二项式的系数和为：，故D错误；
当时，的展开通项为：，
令，所以，常数项为，故C正确；
设展开式中第项系数最大，所以，所以，
且，，解得，所以，
故系数最大的项为，故B正确.
故选：BC.
【典例13】(2023·浙江·三模）在二项式的展开式中，常数项是__________，二项式系数最大的项的系数是__________．
答案： 16 24
分析：直接由二项展开式计算常数项即可；由二项式系数的性质即可求出二项式系数最大的项，进而求得系数.
【详解】由题意知：常数项是；二项式系数最大的项为，故二项式系数最大的项的系数是24.
故答案为：16；24.
【规律方法】
1．二项式系数最大项的确定方法
(1)如果n是偶数，则中间一项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(第\f(n,2)＋1项))的二项式系数最大；
(2)如果n是奇数，则中间两项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(第\f(n＋1,2)项与第\f(n＋1,2)＋1项))的二项式系数相等并最大．
2．展开式系数最大值的两种求解思路
(1)由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ak≥ak－1，,ak≥ak＋1))即可求得答案．
(2)由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值．
热点五 二项式定理应用
【典例14】(2023·全国·高三专题练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，法国数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．
B．在第2022行中第1011个数最大
C．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数
D．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3
答案：C
分析：A选项由及即可判断；B选项由二项式系数的增减性即可判断；C选项由及即可判断；D选项直接计算比值即可判断.
【详解】由可得
，故A错误；
第2022行中第1011个数为，故B错误；
，故C正确；
第34行中第15个数与第16个数之比为，故D错误.
故选：C.
【典例15】（2023·全国·高三专题练习（理））设，则除以9所得的余数为______．
答案：8
分析：根据已知条件将a写为，即，展开后观察式子即可得到结果.
【详解】因为，
所以，，
所以除以9所得的余数为8．
故答案为：8
【典例16】（2023·山东·高三阶段练习）某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是________.
答案：
分析：根据，由二项式定理进行近似计算即可.
【详解】根据二项式定理可得：
,
故答案为：
【规律方法】
1.二项式定理应用的常见题型及求解策略
（1）逆用二项式定理的关键是根据所给式的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．
（2）利用二项式定理解决整除问题的思路：①观察除式与被除式间的关系；②将被除式拆成二项式；③结合二项式定理得出结论．
（3） 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.
2.特别提醒:
（1）分清是第项，而不是第项.
（2）在通项公式中，含有、、、、、这六个参数，只有、、、是独立的，在未知、的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转化为方程（组）求出、,然后代入通项公式求解.
（3）求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出，再求所需的某项；有时则需先求,计算时要注意和的取值范围以及 它们之间的大小关系.
（4）在中，就是该项的二项式系数，它与，的值无关；而项的系数是指化简后字母外的数．
（5）在应用通项公式时，要注意以下几点：
①它表示二项展开式的任意项，只要与确定，该项就随之确定；
②是展开式中的第项，而不是第项；
③公式中，，的指数和为且，不能随便颠倒位置；
④对二项式展开式的通项公式要特别注意符号问题．
= 5 \* GB3 ⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·全国·高三阶段练习（理））展开式中的常数项为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】展开式通项为，令，解得，
因此，展开式中常数项为.
故选：A.
2．(2023·全国·高三专题练习）的展开式中的项系数为（ ）
A．30B．10C．-30D．-10
答案：B
分析：求得的通项，分别分析和的系数，即可求出答案.
【详解】因为，的通项为：
令，则，令，则，
所以的系数为．
故选：B.
3．(2023·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）在的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．7
答案：D
分析：首先写出展开式的通项，再令求出，再代入计算可得.
【详解】解：二项式展开式的通项为，
令，解得，所以，
故展开式中的系数为.
故选：D
4．(2023·湖南·高三开学考试）已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的系数为（ ）
A．0B．C．120D．
答案：A
分析：令，构建方程可得，再根据的展开式，令和，代入运算求解．
【详解】因为的展开式中各项系数的和为，
所以令，得，解得，
∵的展开式为
则展开式中含的项为，故的系数为0.
故选：A．
5．(2023·全国·高三专题练习）设，若，则展开式中系数最大的项是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：利用赋值法可求得，继而求得，由此可得,求得n的值，即可求得答案.
【详解】因为，所以当时，可得；
当时，可得．
又，所以，得，
所以的展开式中系数最大的项为第4项，即,
故选：B
6．（2023·全国·高三专题练习）展开式中，项的系数为（ ）
A．5B．-5C．15D．-15
答案：B
分析：根据展开式的含义，可确定出现有两种情况，求出每种情况展开式中含有的项，即可求得答案.
【详解】，表示5个相乘，
展开式中出现有两种情况，第一种是中选出3个和2个1，
第二种是中选出4个和1个，
所以展开式中含有项有和，
所以项的系数为,
故答案为：B
二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．展开式共6项
B．常数项为160
C．所有项的系数之和为729
D．所有项的二项式系数之和为64
答案：BCD
分析：利用二项展开式的特点判断A；求出指定项判断B；利用赋值法求出展开式系数和判断C；利用二项式系数的性质判断D作答.
【详解】展开式的总项数是7，A不正确；
展开式的通项公式为，
令得，常数项为，B正确；
取得展开式的所有项的系数之和为，C正确；
由二项式系数的性质得展开式的所有项的二项式系数之和为，D正确.
故选：BCD.
8．(2023·湖北·黄冈中学高三阶段练习）已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：CD
分析：对于A，利用赋值法求解，对于B，利用二项式展开式的通项公式求解，对于C，利用赋值法求解，对于D，利用二项式展开式的通项公式求解.
【详解】对于A，令，则，令，则，
所以，所以A错误，
对于B，二项式展开式的通项公式为，所以，所以B错误，
对于C，令，则，因为，所以，，
因为，所以，所以，所以C正确，
对于D，因为二项式展开式的通项公式为，所以，， ，，，
所以，，
所以，所以D正确，
故选：CD
9．(2023·河北张家口·三模）已知的展开式中x项的系数为30，项的系数为M，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．M有最大值10D．M有最小值
答案：ABC
分析：由题可得，进而可判断AB，由题可得，利用导数可判断CD.
【详解】∵，
又的展开式的通项公式为，
∴，
，故B正确；
，又，，故A正确；
由题可得，
所以，
，由，得，
∴，，
∴M在处取得最大值10，无最小值，故C正确，D错误.
故选：ABC.
三、填空题
10．(2023·全国·高三专题练习（文））“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第二行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第35项是______．
答案：171
分析：根据杨辉三角，总结出规律，确定其第行的第三个数的通项，再确定第35项是第19行的第三个数，由通项公式即可求出结果
【详解】由杨辉三角可得，第2行的第三个数为1；
第3行的第三个数为 ；
第4行的第三个数为 ；
第5行的第三个数为 ；
……
因此第行的第三个数为 ；
而该数列的第35项是第19行的第三个数，所以第35项是
故答案为：171
11．(2023·河北·三河市第三中学高三阶段练习）在的展开式中，所有二项式系数的和是16，则展开式中的常数项为 ____．
答案：54
分析：先由题设条件解得，再利用展开式的通项公式即可求解.
【详解】因为的展开式中，所有二项式系数的和是16，所以，解得.
又的展开式的通项公式，
令，得，所以展开式中的常数项为.
故答案为：54.
12．(2023·全国·高三专题练习）（1）已知的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，则__________.
（2）__________.
答案： 5 21
分析：（1）根据二项展开式系数的公式代入计算即可；
（2）根据组合数的性质与运算公式进行计算即可.
【详解】（1）根据二项式定理可知，，所以；
（2）根据组合数性质可知，，
解得，又因为，所以，
所以.
故答案为：5；21
13．（2023·浙江·高考真题）在二项式的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.
答案：
分析：本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察的幂指数，使问题得解.
【详解】的通项为
可得常数项为，
因系数为有理数，，有共5个项
【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确.
14．(2023·浙江省春晖中学模拟预测）二项式的展开式中共有11项，则___________，常数项的值为___________.
答案：
分析：根据二项式展开式的性质求出，再写出展开式的通项，令，解得，再代入计算可得；
【详解】解：因为二项式的展开式中共有11项，所以，
则展开式的通项为，
令，解得，所以展开式的常数项为
故答案为：；
15．(2023·全国·高三专题练习）在的展开式中，二项式系数之和为_________；各项系数之和为_________．（用数字作答）
答案： 16 256
分析：根据二项式系数和公式求得二项式系数之和；再用赋值法求各项系数之和.
【详解】在的展开式中，二项式系数之和为；
令，，即各项系数和为.
故答案为：①；②.
四、解答题
16．（2023·江苏·高考真题）设.已知.
（1）求n的值；
（2）设，其中，求的值.
答案：（1）；
（2）-32.
分析：(1)首先由二项式展开式的通项公式确定的值，然后求解关于的方程可得的值；
(2)解法一：利用(1)中求得的n的值确定有理项和无理项从而可得a,b的值，然后计算的值即可；
解法二：利用(1)中求得的n的值，由题意得到的展开式，最后结合平方差公式即可确定的值.
【详解】（1）因为，
所以，
．
因为，
所以，
解得．
（2）由（1）知，．
．
解法一：
因为，所以，
从而．
解法二：
．
因为，所以．
因此．