高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题43二项分布、超几何分布【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题43二项分布、超几何分布【原卷版+解析】，共47页。

【热点聚焦】
离散型随机变量的均值与方差是高考的热点题型，以解答题为主，以实际问题为背景考查离散型随机变量的分布列求法、均值与方差在实际问题中的应用.
（1）考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念及其性质；
（2）考查超几何分布、二项分布及其应用、n 次独立重复试验的模型及其应用.
（3）二项分布的分布列及其概率分布往往与离散型随机变量的数字特征结合命题．
【重点知识回眸】
（一）n次独立重复试验
(1)定义
一般地，在相同条件下重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，称为n次独立重复试验．
(2)公式
一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k，(k＝0,1,2，…，n)．
（二）二项分布
1.若将事件A发生的次数设为X，发生的概率为P，不发生的概率q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pkqn－k(k＝0,1,2，…，n)
于是得到X的分布列
由于表中第二行恰好是二项式展开式
(q＋p)n＝Ceq \\al(0,n)p0qn＋Ceq \\al(1,n)p1qn－1＋…＋Ceq \\al(k,n)pkqn－k＋…＋Ceq \\al(n,n)pnq0各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．
2.二项分布的期望、方差：
若，则.
若，则．
（三）超几何分布
1.在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布．
2．超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则.
【典型考题解析】
热点一 独立重复试验的概率
【典例1】（山东·高考真题（理））位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P 移动5次后位于点的概率为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023·天津外国语大学附属外国语学校高三阶段练习）若某射手每次射击击中目标的概率均为，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有两次击中目标的概率为（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（2023·天津·高考真题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．
【规律方法】
1独立重复试验的特点
(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的.
(2)每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．
2.运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解；在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．
3．解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验；
4．在解题时，还要注意“正难则反”的思想的运用，即利用对立事件来求其概率．
热点二 二项分布及其应用
【典例4】(2023·全国·高三专题练习）若随机变量X服从二项分布，则______．
【典例5】(2023·全国·高三专题练习）如果随机变量服从二项分布，服从二项分布，那么当变化时，关于成立的的个数为______．
【典例6】（2023·天津·高考真题（理））设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.
【总结提升】
1. 二项分布满足的条件
(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．
(2)各次试验中的事件是相互独立的．
(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．
(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．
2.二项展开式的通项与二项分布的概率公式的“巧合”
一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即与，每次试验中.我们将这样的试验称为次独立重复试验，也称为伯努利试验．在次独立重复试验中，每次试验事件发生的概率均为，即，.由于试验的独立性，次试验中，事件在某指定的次发生，而在其余次不发生的概率为.而在次试验中，事件恰好发生次的概率为，.它恰好是的二项展开式中的第项．
热点三 二项分布有关的均值与方差问题
【典例7】(2023·河南·上蔡县衡水实验中学高三阶段练习（理））已知随机变量，则（ ）
A．4.8B．5.8C．9.6D．10.6
【典例8】(2023·全国·高考真题（理））某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则
A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3
【典例9】(2023·全国·高考真题（理））一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则____________．
【规律方法】
与二项分布有关的期望、方差的求法
(1)求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b)．
热点四 超几何分布及其应用
【典例10】(2023·四川·成都七中模拟预测（理））袋中有6个大小相同的黑球，编号为，还有4个同样大小的白球，编号为，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（ ）
①取出的最大号码服从超几何分布；
②取出的黑球个数服从超几何分布；
③取出2个白球的概率为；
④若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为
A．①②B．②④C．③④D．①③④
【典例11】(2023·广东广州·一模）某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试.经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们的“向量数量积”知识点掌握的情况进行调查，样本调查结果如下表：
假设每位学生是否掌握“向量数量积”知识点相互独立.
(1)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，用表示抽取的2名学生中使用“AI作业”的人数，求的分布列和数学期望；
(2)用样本频率估计概率，从甲校高一学生中抽取一名使用“AI作业”的学生和一名不使用“AI作业”的学生，用“X=1”表示该名使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“X=0”表示该名使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”，用“Y=1”表示该名不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“Y=0”表示该名不使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”.比较方差DX和DY的大小关系.
【典例12】(2023·天津·高考真题（理））已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
【总结提升】
超几何分布的实际应用问题，主要是指与两类不同元素的抽取问题的概率计算和离散型随机变量的分布列、期望及方差的求解等有关的问题．描述的是不放回抽样问题，其实质是古典概型，主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型．
解题方法步骤：
①定型：根据已知建立相应的概率模型，并确定离散型随机变量服从的分布的类型，特别要区分超几何分布与二项分布．
②定参：确定超几何分布中的三个参数N，M，n.即确定试验中包含的元素的个数、特殊元素的个数及要抽取的元素个数．
③列表：根据离散型随机变量的取值及其对应的概率列出分布列．
④求值：根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数值求值．
热点五 概率统计综合问题
【典例13】(2023·四川省南部中学高三阶段练习（理））我省将在2025年全面实施新高考，取消文理科，实行“”，其中，“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在高中学业水平考试的物理、历史科目中选择其中一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科．为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在称为中青年，年龄在称为中老年），并把调查结果制成下表：
(1)把年龄在称为中青年，年龄在称为中老年，请根据上表完成列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？
(2)若从年龄在的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为，求的分布列以及.
附：.
【典例14】(2023·重庆市二0三中学校高三阶段练习）2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市.为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
(1)在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求在抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”超过40人的条件下，“单板滑雪”不超过30人的概率；
(2)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行､转弯､停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”.则该轮测试记为“优秀”，在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
【典例15】(2023·四川·达州外国语学校高三阶段练习（理））某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取人进行调查，部分数据如下表所示（单位：人）：
(1)请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？
(2)若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取人，用随机变量表示被抽到的男性观众的人数，求的分布列和数学期望.
（参考公式：，其中．）
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·全国·高三专题练习）设个产品中有个次品，任取产品个，取到的次品可能有个，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
2．(2023·江苏·泗洪县洪翔中学高三阶段练习）已知随机变量，则（ ）
A．B．1C．D．2
3．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·全国·高三专题练习）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X，则（ ）
A．2B．1C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，现从中有放回地摸球8次（每次摸出一个球，放回后再进行下一次摸球），规定每次摸出红球计3分，摸出白球计0分，记随机变量表示摸球8次后的总分值，则（ ）
A．8B．C．D．16
6．(2023·江西赣州·高三阶段练习（理））下列四个命题中，正确的个数的是（ ）
①．若随机变量，且，则
②．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则A与是互斥事件，也是对立事件
③．一只袋内装有m个白球，个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了个白球，等于
④．由一组样本数据得到回归直线方程，那么直线至少经过中的一个点
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．(2023·全国·高三专题练习）盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为（ ）
A．恰有1个是坏的B．4个全是好的
C．恰有2个是好的D．至多有2个是坏的
8．(2023·全国·高三专题练习）一箱中装有6个同样大小的红球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的黄球，编号为7，8，9，10．现从箱中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是（ ）
A．X表示取出的最小号码
B．若有放回的取球时，X表示取出的最大号码
C．取出一个红球记2分，取一个黄球记1分，X表示取出的4个球的总得分
D．若有放回的取球时，X表示取出的黄球个数
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，3，…，10，用X表示小球落入格子的号码，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·全国·高三专题练习）在某独立重复实验中，事件相互独立，且在一次实验中，事件发生的概率为，事件发生的概率为，其中.若进行次实验，记事件发生的次数为，事件发生的次数为，事件发生的次数为.则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023·全国·高三专题练习）若袋子中有2个白球，3个黑球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记0分，记4次取球的总分数为X，则（ ）
A．B．
C．X的期望D．X的方差
12．(2023·全国·高三专题练习）已知随机变量，，，，记，其中，，则（ ）
A．B．
C．D．若，则
三、填空题
13．(2023·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））若随机变量，，则______.
14．(2023·全国·高三专题练习）把半圆弧分成等份，以这些分点（包括直径的两端点）为顶点，作出三角形，从中任取个不同的三角形，则这个不同的三角形中钝角三角形的个数不少于的概率为______．
15．(2023·全国·高三专题练习）将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1、2、3、4、5、6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是______.
16．(2023·全国·高三专题练习）一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中随机件，若用X表示所抽取的n件产品中不合格品的件数，则使的概率取得最大值时，______．
四、解答题
17．(2023·山东潍坊·高三阶段练习）为了加强地下水管理，防治地下水超采和污染，保障地下水质量和可持续利用，推进生态文明建设，由国务院第次常务会议通过的《地下水管理条例》自年月日起施行．某市水务部门组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前周每周普及的人数，得到下表：
并计算得：，，，．
(1)从这周的数据中任选个周的数据，以表示周中每周普及宣传人数不少于人的周数，求的分布列和数学期望；
(2)由于统计工作人员的疏忽，第周的数据统计有误，如果去掉第周的数据，试用剩下的数据求出每周普及的人数关于周数的线性回归方程．
附：线性回归方程中，，．
18．(2023·广西南宁·高三阶段练习（理））广西新高考改革方案已正式公布，根据改革方案，将采用“3+2+1”的高考模式．其中，“3”为语文、数学、外语3门参加全国统一考试．选择性考试科目为政治、历史、地理、物理、化学、生物6门．由考生根据报考高校以及专业要求，结合自身实际情况，首先在物理和历史中选择1门，再从政治、地理、化学、生物中选择2门，形成自己的“高考选考组合”．
(1)由于物理和历史两科必须选择1科，某校想了解高一新生选科的需求，随机选取100名高一新生进行调查，得到如下统计数据，判断是否有的把握认为“选科与性别有关”？
(2)该校将从参与调查的学生中抽取2人进行访谈，设选到“选择历史”的人数为，求的分布列和数学期望．
附：．
19．(2023·四川省邻水县第二中学高三阶段练习（理））2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚，王亚平，叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成.为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校高一年级组织2000名学生进行了航天知识竞赛并进行纪录（满分：100分）根据得分将数据分成7组：[20，30），[30，40），..，[80，90]，绘制出如下的频率分布直方图
(1)用频率估计概率，从该校随机抽取2名同学，求其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率；
(2)从得分在的学生中利用分层抽样选出8名学生，若从中选出3人参加有关航天知识演讲活动，求选出的3人竞赛得分不低于70分的人数的分布列及数学期望.
20．(2023·广东·福田外国语高中高三阶段练习）为了了解一个智力游戏是否与性别有关，从某地区抽取男女游戏玩家各名，其中游戏水平分为高级和非高级两种．
(1)根据题意完善下列列联表，依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为智力游戏水平高低与性别有关联
(2)按照性别用分层抽样的方法从这些人中抽取人，从这人中抽取人作为游戏参赛选手；
(ⅰ)若甲入选了人名单，求甲成为参赛选手的概率；
(ⅱ)设抽取的名选手中女生的人数为，求的分布列和期望．
附：，．
21．（2023·全国·高三专题练习）食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售．已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互之间没有影响．
(1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率；
(2)如果这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利400元，如果不能在该超市销售，则每箱亏损200元，现有4箱这种蔬菜，求这4箱蔬菜总收益的分布列．
22．（2023·全国·高三专题练习）已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立．假定某次试验种子发芽则称该次试验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的．
(1)第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率；
(2)第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的绝对值为X，求X的分布列及数学期望；
(3)第三小组进行试验，到成功了四次为止，在第四次成功之前共有三次失败的前提下，求恰有两次连续失败的概率．
X
0
1
…
k
…
n
P
Ceq \\al(0,n)p0qn
Ceq \\al(1,n)p1qn－1
…
Ceq \\al(k,n)pkqn－k
…
Ceq \\al(n,n)pnq0
X
0
1
…
m
P
…
甲校
乙校
使用AI作业
不使用AI作业
使用AI作业
不使用AI作业
基本掌握
32
28
50
30
没有掌握
8
14
12
26
年龄（岁）
频数
5
15
10
10
5
5
了解
4
12
6
5
2
1
了解新高考
不了解新高考
总计
中青年
中老年
总计
0.05
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
好评
差评
合计
男性
女性
合计
时间周
每周普及的人数
选择物理
选择历史
合计
男生
40
50
女生
合计
30
100
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
高级
非高级
合计
女
男
合计
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
专题43 二项分布、超几何分布
【热点聚焦】
离散型随机变量的均值与方差是高考的热点题型，以解答题为主，以实际问题为背景考查离散型随机变量的分布列求法、均值与方差在实际问题中的应用.
（1）考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念及其性质；
（2）考查超几何分布、二项分布及其应用、n 次独立重复试验的模型及其应用.
（3）二项分布的分布列及其概率分布往往与离散型随机变量的数字特征结合命题．
【重点知识回眸】
（一）n次独立重复试验
(1)定义
一般地，在相同条件下重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，称为n次独立重复试验．
(2)公式
一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k，(k＝0,1,2，…，n)．
（二）二项分布
1.若将事件A发生的次数设为X，发生的概率为P，不发生的概率q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pkqn－k(k＝0,1,2，…，n)
于是得到X的分布列
由于表中第二行恰好是二项式展开式
(q＋p)n＝Ceq \\al(0,n)p0qn＋Ceq \\al(1,n)p1qn－1＋…＋Ceq \\al(k,n)pkqn－k＋…＋Ceq \\al(n,n)pnq0各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．
2.二项分布的期望、方差：
若，则.
若，则．
（三）超几何分布
1.在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布．
2．超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则.
【典型考题解析】
热点一 独立重复试验的概率
【典例1】（山东·高考真题（理））位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P 移动5次后位于点的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，因此质点P 移动5次后位于点的概率为．
【典例2】（2023·天津外国语大学附属外国语学校高三阶段练习）若某射手每次射击击中目标的概率均为，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有两次击中目标的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：利用独立重复实验的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】他连续4次射击中，恰好有两次击中目标的概率为.
故选：B.
【典例3】（2023·天津·高考真题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．
答案：
分析：根据甲猜对乙没有猜对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解.
【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为；
则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为.
故答案为：；.
【规律方法】
1独立重复试验的特点
(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的.
(2)每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．
2.运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解；在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．
3．解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验；
4．在解题时，还要注意“正难则反”的思想的运用，即利用对立事件来求其概率．
热点二 二项分布及其应用
【典例4】(2023·全国·高三专题练习）若随机变量X服从二项分布，则______．
答案：
分析：根据二项分布计算公式计算出正确答案.
【详解】依题意，.
故答案为：
【典例5】(2023·全国·高三专题练习）如果随机变量服从二项分布，服从二项分布，那么当变化时，关于成立的的个数为______．
答案：
分析：由二项分布概率公式可构造方程得到，由的取值范围可得结果.
【详解】由得：，
即，，
又，，，则的个数有个.
故答案为：.
【典例6】（2023·天津·高考真题（理））设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.
答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
分析：(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；
(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.
【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，
故，从面.
所以，随机变量的分布列为：
随机变量的数学期望.
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则.
且.
由题意知事件与互斥，
且事件与，事件与均相互独立，
从而由(Ⅰ)知：
.
【总结提升】
1. 二项分布满足的条件
(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．
(2)各次试验中的事件是相互独立的．
(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．
(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．
2.二项展开式的通项与二项分布的概率公式的“巧合”
一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即与，每次试验中.我们将这样的试验称为次独立重复试验，也称为伯努利试验．在次独立重复试验中，每次试验事件发生的概率均为，即，.由于试验的独立性，次试验中，事件在某指定的次发生，而在其余次不发生的概率为.而在次试验中，事件恰好发生次的概率为，.它恰好是的二项展开式中的第项．
热点三 二项分布有关的均值与方差问题
【典例7】(2023·河南·上蔡县衡水实验中学高三阶段练习（理））已知随机变量，则（ ）
A．4.8B．5.8C．9.6D．10.6
答案：C
分析：先利用公式计算随机变量的方差，再利用公式计算即可.
【详解】因为随机变量，方差，
所以.
故选：C.
【典例8】(2023·全国·高考真题（理））某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则
A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3
答案：B
【详解】分析：判断出为二项分布，利用公式进行计算即可．
或
，
,可知
故答案选B.
【典例9】(2023·全国·高考真题（理））一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则____________．
答案：1.96
分析：根据二项分布，由公式得到结果.
【详解】由于是有放回的抽样，所以是二项分布，,填1.96
【规律方法】
与二项分布有关的期望、方差的求法
(1)求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b)．
热点四 超几何分布及其应用
【典例10】(2023·四川·成都七中模拟预测（理））袋中有6个大小相同的黑球，编号为，还有4个同样大小的白球，编号为，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（ ）
①取出的最大号码服从超几何分布；
②取出的黑球个数服从超几何分布；
③取出2个白球的概率为；
④若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为
A．①②B．②④C．③④D．①③④
答案：B
分析：根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取可判断①②；利用超几何分布求概率的方式即可判断③④
【详解】对于①，根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此可知取出的最大号码不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故①错误；
对于②，取出的黑球个数符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故②正确；
对于③，取出2个白球的概率为，故③错误；
对于④，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，
总得分最大的概率为，故④正确．
故选：B
【典例11】(2023·广东广州·一模）某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试.经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们的“向量数量积”知识点掌握的情况进行调查，样本调查结果如下表：
假设每位学生是否掌握“向量数量积”知识点相互独立.
(1)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，用表示抽取的2名学生中使用“AI作业”的人数，求的分布列和数学期望；
(2)用样本频率估计概率，从甲校高一学生中抽取一名使用“AI作业”的学生和一名不使用“AI作业”的学生，用“X=1”表示该名使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“X=0”表示该名使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”，用“Y=1”表示该名不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“Y=0”表示该名不使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”.比较方差DX和DY的大小关系.
答案：(1)分布列见解析，；
(2).
分析：（1）根据超几何分布列分布列，求解期望；
（2）由二项分布的方差公式求解.
（1）
依题意，，1，2，且，
，，
所以的分布列为：
故
（2）
由题意，易知服从二项分布，，
服从二项分布，，故.
【典例12】(2023·天津·高考真题（理））已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
答案：（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案见解析；（ii）．
【详解】分析：（Ⅰ）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．且分布列为超几何分布，即P（X=k）=（k=0，1，2，3）．据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为．
（ii）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为．
详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，
由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，
因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．
P（X=k）=（k=0，1，2，3）．
所以，随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望．
（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；
事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，
则A=B∪C，且B与C互斥，
由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，
故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．
所以，事件A发生的概率为．
【总结提升】
超几何分布的实际应用问题，主要是指与两类不同元素的抽取问题的概率计算和离散型随机变量的分布列、期望及方差的求解等有关的问题．描述的是不放回抽样问题，其实质是古典概型，主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型．
解题方法步骤：
①定型：根据已知建立相应的概率模型，并确定离散型随机变量服从的分布的类型，特别要区分超几何分布与二项分布．
②定参：确定超几何分布中的三个参数N，M，n.即确定试验中包含的元素的个数、特殊元素的个数及要抽取的元素个数．
③列表：根据离散型随机变量的取值及其对应的概率列出分布列．
④求值：根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数值求值．
热点五 概率统计综合问题
【典例13】(2023·四川省南部中学高三阶段练习（理））我省将在2025年全面实施新高考，取消文理科，实行“”，其中，“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在高中学业水平考试的物理、历史科目中选择其中一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科．为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在称为中青年，年龄在称为中老年），并把调查结果制成下表：
(1)把年龄在称为中青年，年龄在称为中老年，请根据上表完成列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？
(2)若从年龄在的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为，求的分布列以及.
附：.
答案：(1)表格见解析，有95%的把握认为对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关
(2)分布列见解析，期望
分析：第（1）问根据列联表数据计算与比较即可得到结论，第（2）问根据超几何分布概率和期望的计算公式求得期望.
（1）
（1）解: 列联表如图所示:
所以有的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联；
（2）
（2）解：年龄在的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，
则抽取的3人中了解新高考的人数可能取值为.
则.所以的分布列为：
.
【典例14】(2023·重庆市二0三中学校高三阶段练习）2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市.为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
(1)在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求在抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”超过40人的条件下，“单板滑雪”不超过30人的概率；
(2)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行､转弯､停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”.则该轮测试记为“优秀”，在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
答案：(1)
(2)
分析：（1）根据已知条件结合条件概率的概率公式求解；
（2）根据题意，结合二项分布的概率公式求解.
（1）
由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27，15，43，41，32，26，56，
36，49，20，参与“单板滑雪”的人数依次为46，52，26，37，58，18，25，48，32，30，
其中参与“自由式滑雪”的人数超过40人的有4个，参与“自由式滑雪”的人数超过40人，且“单板滑雪”的人数超过30人的有2个.
设事件为“从这10所学校中抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”的人数超过40人”
事件为“从10所学校中选出的3所学校中参与“单板滑雪”的人数不超过30人”
则，，
，
所以.
（2）
由题意可得小明同学在一轮测试中为“优秀”的概率为，
所以小在轮测试中获得“优秀”的次数满组，
由，得.
所以理论上至少要进行12轮测试.
【典例15】(2023·四川·达州外国语学校高三阶段练习（理））某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取人进行调查，部分数据如下表所示（单位：人）：
(1)请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？
(2)若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取人，用随机变量表示被抽到的男性观众的人数，求的分布列和数学期望.
（参考公式：，其中．）
答案：(1)列联表见解析；有99%的把握认为“观影评价与性别有关”．
(2)分布列见解析，期望为
分析：（1）把列联表补充完整，通过计算，即可得出结论．
（2）从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取1人为男性的概率，且各次抽取之间互相独立，故，即可得出分布列，计算期望．
（1）
列联表补充完整如下：
，
所以有99%的把握认为“观影评价与性别有关”．
（2）
从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取1人为男性的概率为，且各次抽取之间互相独立，故，其概率，，1，2，3．
所以，，
，．
其分布列为：
所以期望为：
【精选精练】
一、单选题
1．(2023·全国·高三专题练习）设个产品中有个次品，任取产品个，取到的次品可能有个，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
答案：A
分析：根据超几何分步的数学期望公式求解即可
【详解】由题意，个
故选：A
2．(2023·江苏·泗洪县洪翔中学高三阶段练习）已知随机变量，则（ ）
A．B．1C．D．2
答案：A
分析：由二项分布的概率公式求得，再根据方差公式计算．
【详解】由已知，，
所以．
故选：A．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量，若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：根据二项分布的均值和方差公式求解即可得，再求解，根据对立事件的概率和为1求解即可
【详解】因为，故，故，因为，解得.故，故
故选：B
4．(2023·全国·高三专题练习）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X，则（ ）
A．2B．1C．D．
答案：A
分析：X服从超几何分布，求出X的分布列，根据数学期望的计算方法计算即可．
【详解】X可能取1，2，3，其对应的概率为
，
，
，
∴．
故选：A
5．（2023·全国·高三专题练习）已知袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，现从中有放回地摸球8次（每次摸出一个球，放回后再进行下一次摸球），规定每次摸出红球计3分，摸出白球计0分，记随机变量表示摸球8次后的总分值，则（ ）
A．8B．C．D．16
答案：D
分析：先利用古典概型概率计算公式求出从袋中随机取出一球，该球为红球的概率，然后利用二项分布的方差计算公式得到有放回地摸球8次摸到红球的个数的方差，因为，利用方差的性质即可得到答案
【详解】由题意，袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，从袋中随机取出一个球，该球为红球的概率为 ，现从中有放回地摸球8次，每次摸球的结果不会相互影响，表示做了8次独立重复试验，用表示取到红球的个数，则 故：

又因为 根据方差的性质可得：

故选：D
6．(2023·江西赣州·高三阶段练习（理））下列四个命题中，正确的个数的是（ ）
①．若随机变量，且，则
②．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则A与是互斥事件，也是对立事件
③．一只袋内装有m个白球，个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了个白球，等于
④．由一组样本数据得到回归直线方程，那么直线至少经过中的一个点
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：B
分析：直接利用二项分布的期望与方差，互斥事件和对立事件的关系，排列组合，回归直线方程等相关知识对四个命题的真假判断.
【详解】对于①：由，且可得，
所以，则，故①错；
对于②：因为事件、、、彼此互斥，所以，
又，所以，与是互斥事件，也是对立事件，故②正确；
对于③：依题意，表示“一共取出了3个球，且前两次取出的都是白球，第三次取出的是黑球”.
因为袋内共有个球，从中任取3个球共有种不同的方法，
“前两次取出的都是白球，第三次取出的是黑球”有种不同的方法，
所以，故③正确；
对于④：回归直线方程一定过样本中心点，但是不一定经过样本数据中的点，故④错.
所以四个命题中，正确的个数的是2.
故选：B.
7．(2023·全国·高三专题练习）盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为（ ）
A．恰有1个是坏的B．4个全是好的
C．恰有2个是好的D．至多有2个是坏的
答案：C
分析：盒中有10个螺丝钉，从盒中随机地抽取4个的总数为：，其中有3个是坏的，算出恰有1个坏的，恰有2个好的，4个全是好的，至多2个坏的取法数，根据超几何分布的计算公式即可求解，可得答案．
【详解】盒 中有10个螺丝钉 ，
从盒中随机地抽取4个的总数为：，
其中有3个是坏的，
恰有1个坏的，恰有2个好的， 4个全是好的，至多2个坏的取法数分别为：
，，，，
恰有1个坏的概率分别为：，
恰有2个好的概率为，
4个全是好的概率为，
至多2个坏的概率为；
故选：．
8．(2023·全国·高三专题练习）一箱中装有6个同样大小的红球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的黄球，编号为7，8，9，10．现从箱中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是（ ）
A．X表示取出的最小号码
B．若有放回的取球时，X表示取出的最大号码
C．取出一个红球记2分，取一个黄球记1分，X表示取出的4个球的总得分
D．若有放回的取球时，X表示取出的黄球个数
答案：C
分析：分别计算出四个选项中X的分布列或X的分布列类型，根据超几何分布的概念及计算公式，进行判断.
【详解】超几何分布的概念为：设总体有N个，其中含有M个不合格品。若从中随机不放回抽取n个产品，
则不合格品的个数X是一个离散随机变量，若n>M，则可能取0,1,2…，M，
由古典方法可以求得的概率是：
，，
假如n≤M，则X可能取0,1,2…，n；此时求得的概率是：
，，
根据超几何分布的定义，可知ABD均不合要求，C选项满足
A选项，X可能取值为1,2,3,4,5,6,7，
，，，
，，，
，
X的分布列为：
B选项，若有放回的取球时，X表示取出的最大号码，
则X的取值可能为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，
，，
，
，
，故不满足超几何分布；
C选项，X表示取出的4个球的总得分，则X的取值可能为4,5,6,7,8，
，，
，，
，
显然满足超几何分布，
D选项，若有放回的取球时，X表示取出的黄球个数，
则X的可能取值为0,1,2,3,4，
由于是有放回的取球，故，故D不满足超几何分布；
故选：C
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，3，…，10，用X表示小球落入格子的号码，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：AD
分析：根据题意，小球在下落过程中共碰撞小木钉次数，结合独立重复试验的概率公式和方差的公式，即可求解.
【详解】设事件A表示小球向右下落，设X等于事件A发生的次数，则X等于落入格子的号码，
而小球在下落过程中共碰撞小木钉10次，所以，
则，
所以，所以A正确，B不正确；
又由，所以C不正确，D正确.
故选：AD.
10．（2023·全国·高三专题练习）在某独立重复实验中，事件相互独立，且在一次实验中，事件发生的概率为，事件发生的概率为，其中.若进行次实验，记事件发生的次数为，事件发生的次数为，事件发生的次数为.则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：BC
分析：利用独立事件的乘法公式和二项分布的期望和方差公式进行判断即可.
【详解】因为，，即A错误；
因为，，即B正确；
因为独立，所以，所以，即C正确；
因为，，即D错误.
故选：BC.
11．（2023·全国·高三专题练习）若袋子中有2个白球，3个黑球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记0分，记4次取球的总分数为X，则（ ）
A．B．
C．X的期望D．X的方差
答案：CD
分析：由题意可知4次取球的总分数为X，即为4次取球取到白球的个数，故可确定判断A;由此可计算，判断B;利用二项分布的期望和方差公式计算期望和方差，即可判断C,D.
【详解】由题意知从袋子中有放回地随机取球4次，每次取到白球的概率为，
取到白球记1分，取到黑球的概率为，取到黑球记0分，
则记4次取球的总分数为X，即为4次取球取到白球的个数，
则知，A错误；
，B错误；
X的期望，C正确；
X的方差，D正确，
故选：CD．
12．(2023·全国·高三专题练习）已知随机变量，，，，记，其中，，则（ ）
A．B．
C．D．若，则
答案：ABD
分析：利用随机变量概率的性质证明选项A判断正确；利用二项分布数学期望的性质证明选项B判断正确；举反例否定选项C；利用单调性证明选项D判断正确.
【详解】对于A，，所以A正确；
对于B，因为，所以B正确；
对于C，当时，，所以C错误；
对于D，因为，所以当时，最大，所以D正确；
证明如下：若，则，
若，则，解得，
故当时，单调递增，当时，单调递减，
即当为整数时，或时，取得最大值，
当不为整数，k为的整数部分时，取得最大值．
故选：ABD．
三、填空题
13．(2023·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））若随机变量，，则______.
答案：
分析：利用二项分布的方差公式可得出关于的等式，解出的值，利用二项分布的期望公式以及期望的性质可求得结果.
【详解】因为，则，解得，则，
因此，.
故答案为：.
14．(2023·全国·高三专题练习）把半圆弧分成等份，以这些分点（包括直径的两端点）为顶点，作出三角形，从中任取个不同的三角形，则这个不同的三角形中钝角三角形的个数不少于的概率为______．
答案：
分析：确定三角形的个数，以及直角三角形、钝角三角形的个数，利用组合计数原理以及古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】如下图所示，设为半圆弧的直径，、、为半圆弧另外的三个四等分点，
从、、、、这个点任取个点构成三角形，一共能组成三角形的个数为.
其中直角三角形有：、、，共个，钝角三角形的个数为，
由题意可知，，，
因此，所求概率为.
故答案为：.
15．(2023·全国·高三专题练习）将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1、2、3、4、5、6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是______.
答案：
分析：该题属于独立重复实验，利用二项分布概率公式代入即可求解.
【详解】根据题意，该实验为独立重复实验，记6点向上的次数为，则，，故，
因此至少出现一次6点向上的概率为.
故答案为：.
16．(2023·全国·高三专题练习）一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中随机件，若用X表示所抽取的n件产品中不合格品的件数，则使的概率取得最大值时，______．
答案：33
分析：由题意可得记函数利用导数即可得到答案
【详解】解：由题意可得且，
记函数
则由
解得(舍去),
所以当递增；
当递减；
因为，
所以当时，的概率取得最大值，
故答案为：33
四、解答题
17．(2023·山东潍坊·高三阶段练习）为了加强地下水管理，防治地下水超采和污染，保障地下水质量和可持续利用，推进生态文明建设，由国务院第次常务会议通过的《地下水管理条例》自年月日起施行．某市水务部门组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前周每周普及的人数，得到下表：
并计算得：，，，．
(1)从这周的数据中任选个周的数据，以表示周中每周普及宣传人数不少于人的周数，求的分布列和数学期望；
(2)由于统计工作人员的疏忽，第周的数据统计有误，如果去掉第周的数据，试用剩下的数据求出每周普及的人数关于周数的线性回归方程．
附：线性回归方程中，，．
答案：(1)分布列见解析；数学期望
(2)
分析：（1）首先确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式可求得数学期望；
（2）去掉第周数据后，可重新计算最小二乘法所需数据，由此可求得回归直线方程.
（1）
由表格数据知：每周普及宣传人数不少于人的周数周，
则所有可能的取值为，
；；；；
的分布列为：
数学期望.
（2）
去掉第周的数据可得统计表如下：
，，；
去掉第个月数据前，，
，
去掉第个月数据后，.
，，
剩下的数据求得的回归直线方程为：.
18．(2023·广西南宁·高三阶段练习（理））广西新高考改革方案已正式公布，根据改革方案，将采用“3+2+1”的高考模式．其中，“3”为语文、数学、外语3门参加全国统一考试．选择性考试科目为政治、历史、地理、物理、化学、生物6门．由考生根据报考高校以及专业要求，结合自身实际情况，首先在物理和历史中选择1门，再从政治、地理、化学、生物中选择2门，形成自己的“高考选考组合”．
(1)由于物理和历史两科必须选择1科，某校想了解高一新生选科的需求，随机选取100名高一新生进行调查，得到如下统计数据，判断是否有的把握认为“选科与性别有关”？
(2)该校将从参与调查的学生中抽取2人进行访谈，设选到“选择历史”的人数为，求的分布列和数学期望．
附：．
答案：(1)有的把握认为“选科与性别有关”；
(2)分布列见解析，期望为.
分析：（1）将列联表补充完整，计算，根据独立性检验判断；（2）写出取值并由超几何分布计算对应值的概率，列出分布列，根据公式求解期望.
（1）
将列联表补充完整得，
由独立性检验得
所以有的把握认为“选科与性别有关”
（2）
由题意，的取值为.
，
则的分布列为
19．(2023·四川省邻水县第二中学高三阶段练习（理））2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚，王亚平，叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成.为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校高一年级组织2000名学生进行了航天知识竞赛并进行纪录（满分：100分）根据得分将数据分成7组：[20，30），[30，40），..，[80，90]，绘制出如下的频率分布直方图
(1)用频率估计概率，从该校随机抽取2名同学，求其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率；
(2)从得分在的学生中利用分层抽样选出8名学生，若从中选出3人参加有关航天知识演讲活动，求选出的3人竞赛得分不低于70分的人数的分布列及数学期望.
答案：(1)
(2)分布列见解析，
分析：（1）由频率分布直方图计算概率；
（2）频率分布直方图由求出人数，得的可能值是，可得，由超几何分布概率公式计算出概率后得分布列，由期望公式计算出期望．
（1）
每名学生得分低于70分的概率为：，不低于80分的概率：.
故其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率为：.
（2）
由频率分布直方图可得8人中，的人数有2人，的人数有6人，
所以，的可能取值为，，
.
分布列为
故.
20．(2023·广东·福田外国语高中高三阶段练习）为了了解一个智力游戏是否与性别有关，从某地区抽取男女游戏玩家各名，其中游戏水平分为高级和非高级两种．
(1)根据题意完善下列列联表，依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为智力游戏水平高低与性别有关联
(2)按照性别用分层抽样的方法从这些人中抽取人，从这人中抽取人作为游戏参赛选手；
(ⅰ)若甲入选了人名单，求甲成为参赛选手的概率；
(ⅱ)设抽取的名选手中女生的人数为，求的分布列和期望．
附：，．
答案：(1)表格见解析，可以认为H0成立，认为“智力游戏水平高低与性别无关”
(2)(ⅰ) (ⅱ)分布列见解析，
分析：（1）根据卡方计算值与临界值比较即可求解，
（2）根据超几何分布的概率公式求解概率，进而得分布列以及期望，
（1）
由题意得到如下的列联表：
零假设：H0:智力游戏水平高低与性别无关.
由于．
故依据小概率值α=0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，
因此可以认为H0成立，认为“智力游戏水平高低与性别无关”
（2）
(ⅰ)甲成为参赛选手的概率
(ⅱ) 根据分层抽样的特征人中男女各人，女生的人数的所有取值为，，，，
； ；
；
随机变量的分布列：
．
21．（2023·全国·高三专题练习）食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售．已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互之间没有影响．
(1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率；
(2)如果这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利400元，如果不能在该超市销售，则每箱亏损200元，现有4箱这种蔬菜，求这4箱蔬菜总收益的分布列．
答案：(1)
(2)答案见解析
分析：（1）先求出每轮合格的概率，再利用对立事件的概率即可求得求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率；
（2）先分析出4箱蔬菜的总收益为随机变量X的所有可能，再利用二项独立重复试验二项分布的公式求出每种情况的概率，最后写出分布列即可
（1）
解：记Ai(i＝1，2，3)分别为事件“第一、二、三轮检测合格”，A为事件“每箱这种蔬菜不能在该超市销售”．
由题设知P(A1)＝1－＝，P(A2)＝1－＝，P(A3)＝，
所以P(A)＝1－P(A1)P(A2)P(A3)＝1－××＝．
（2）
解：设这4箱蔬菜的总收益为随机变量X，则X的所有可能取值为1600，1000，400，－200，－800，
且P(X＝1 600)＝，
P(X＝1 000)＝，
P(X＝400)＝，
P(X＝－200)＝，
P(X＝－800)＝．
故X的分布列为
22．（2023·全国·高三专题练习）已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立．假定某次试验种子发芽则称该次试验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的．
(1)第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率；
(2)第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的绝对值为X，求X的分布列及数学期望；
(3)第三小组进行试验，到成功了四次为止，在第四次成功之前共有三次失败的前提下，求恰有两次连续失败的概率．
答案：(1)；
(2)分布列见解析，期望为；
(3).
分析：(1)利用独立重复事件的概率乘法公式求解.
(2)由条件确定随机变量X的可能取值，再求其各值概率，由此得分布列，并由期望公式求出期望.
(3)先求出在第四次成功之前共有三次失败的总情况数，再求出恰有两次连续失败的基本事件数，最后由古典概率公式即可算出结果.
（1）
该小组恰有两次失败的概率
（2）
由题意可知X的取值集合为{0，2，4}，
则

故X的分布列为：
即所求数学期望为
（3）
由题意可知，在第四次成功之前共有三次失败的前提下，共有(个)基本事件，而满足恰有两次连续失败的基本事件共有(个)，从而由古典概型可得所求概率
X
0
1
…
k
…
n
P
Ceq \\al(0,n)p0qn
Ceq \\al(1,n)p1qn－1
…
Ceq \\al(k,n)pkqn－k
…
Ceq \\al(n,n)pnq0
X
0
1
…
m
P
…
0
1
2
3
甲校
乙校
使用AI作业
不使用AI作业
使用AI作业
不使用AI作业
基本掌握
32
28
50
30
没有掌握
8
14
12
26
0
1
2
P
X
0
1
2
3
P
年龄（岁）
频数
5
15
10
10
5
5
了解
4
12
6
5
2
1
了解新高考
不了解新高考
总计
中青年
中老年
总计
0.05
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
了解新高考
不了解新高考
总计
中青年
22
8
30
中老年
8
12
20
总计
30
20
50
0
1
2
好评
差评
合计
男性
女性
合计
好评
差评
合计
男性
40
68
108
女性
60
48
108
合计
100
116
216
0
1
2
3
X
1
2
3
4
5
6
7
P
时间周
每周普及的人数
时间周
每周普及的人数
选择物理
选择历史
合计
男生
40
50
女生
合计
30
100
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
选择物理
选择历史
合计
男生
40
10
50
女生
30
20
50
合计
70
30
100
1
2
3
高级
非高级
合计
女
男
合计
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
高级
非高级
合计
女
男
合计
X
1 600
1 000
400
－200
－800
P





X
0
2
4
P