高一数学新教材同步配套教学讲义(人教A版必修第二册)期末押题卷1(原卷版+解析)

这是一份高一数学新教材同步配套教学讲义(人教A版必修第二册)期末押题卷1(原卷版+解析)，共29页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．设复数，则复数z的虚部为（ ）
A．1B．C．D．
2．已知向量，若则（ ）
A．3B．C．12D．
3．在中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知点是斜边的中点，且，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．三棱柱中，与AC、AB所成角均为60°，，且，则与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．某校组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开区间），画出频率分布直方图（如图），下列说法不正确的是（ ）
A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有10人
B．这100名学生成绩的众数为85
C．估计全校学生成绩的平均分数为75
D．这100名学生成绩的中位数为
7．保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．在正方体中，为棱的一个三等分点（靠近点），分别为棱，的中点，过三点作正方体的截面，则下列说法正确的是（ ）
A．所得截面是六边形
B．截面过棱的中点
C．截面不经过点
D．截面与线段相交，且交点是线段的一个五等分点
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.）
9．已知平面非零向量，，下列结论正确的是（ ）
A．若是平面所有向量的一组基底，且不是基底，则实数
B．若存在非零向量使得，则
C．若，则存在唯一的正实数，使得
D．设，，且与不共线，若，则
10．已知m，n是互不重合的直线，，是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，，，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，则
11．已知数据的平均数为，标准差为，则（ ）
A．数据的平均数为，标准差为
B．数据的平均数为，标准差为
C．数据的平均数为，方差为
D．数据的平均数为，方差为
12．在中，角所对的边分别是，下列说法正确的是（ ）
A．若，则的形状是等腰三角形
B．，，若，则这样的三角形有两个
C．若，则面积的最大值为
D．若的面积，，则的最大值为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．已知，复平面内表示复数的点位于第三象限内，则m的取值范围是______.
14．如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则和所成的角等于______________．
15．把一个骰子连续抛掷两次，得到的点数依次为，，则使得关于的方程有2个互不相等的实数根的概率为________．
16．已知点是正六边形内部（包括边界）一动点，，则的最大值为__________．
四、解答题
17．已知复数z是纯虚数，且是实数．
(1)求复数z；
(2)若在复平面内，复数所对应的点位于第一象限，求实数a的取值范围．
18．新冠肺炎疫情期间，某市为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从市居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在的居民有2200人.
(1)求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数；
(2)从频率分布直方图中，估计本次评测分数的众数和平均数（精确到0.1）；
(3)设该市居民为50万人，估计全市居民对当地防疫工作评分在85分以上的人数.
19．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解全校学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位：时）各分为5组[0，10）、[10，20）、[20，30）、[30，40）、[40，50]，得到频率分布直方图如图所示.
(1)估计全校学生中课外阅读时间在[30，40）小时内的总人数是多少；
(2)从课外阅读时间不足10小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率；
(3)国家规定，初中学生平均每人每天课外阅读时间不少于半个小时.若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间，根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生的课外阅读时间？并说明理由.
20．如图，在四边形ABCD中，，，E是线段CD上的点，直线BD与直线AE相交于点P，设，，．
(1)若，，，E是线段CD的中点，求与同向的单位向量的坐标；
(2)若，用，表示，并求出实数的值．
21．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在问题中的横线上，并解答问题．
问题：在中，角所对的边分别为．已知，，
(1)求的值；
(2)求的值．
22．如图，在三棱柱中，已知，，，．
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的余弦值．
期末押题卷1
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．设复数，则复数z的虚部为（ ）
A．1B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
根据虚部的概念，即可得答案.
【详解】
因为复数，
所以数z的虚部为-2.
故选：C
2．已知向量，若则（ ）
A．3B．C．12D．
答案：B
【解析】
分析：
根据相互垂直的两个向量的数量积为0可得结果.
【详解】
,
因为，所以，
所以，得.
故选：B
3．在中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据余弦定理可求出结果.
【详解】
依题意得，
又，所以.
故选：D
4．用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知点是斜边的中点，且，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
根据斜二测画法，即直观图中平行于轴的长度不变，平行于轴的长度变为原来的一半，根据题中所给的数据以及图形，可知角形为直角三角形，，，，由此即可求出结果.
【详解】
因为为等腰直角三角形且，所以，，
由斜二测画法可知，，且三角形为直角三角形，，

所以三角形ABC的面积为．
故选：B.
5．三棱柱中，与AC、AB所成角均为60°，，且，则与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
延长至，使得，，异面直线与所成角为或其补角．设，求出中的三边长后可得结论．
【详解】
如图，延长至，使得，连接，，则由与平行且相等得平行四边形，所以，
所以异面直线与所成角为或其补角．
设，则是菱形且，所以，
，
是等边三角形，，
又，所以，
则，所以，
，
所以异面直线与所成角的余弦值是．
故选：A．
6．某校组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开区间），画出频率分布直方图（如图），下列说法不正确的是（ ）
A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有10人
B．这100名学生成绩的众数为85
C．估计全校学生成绩的平均分数为75
D．这100名学生成绩的中位数为
答案：C
【解析】
分析：
A由直方图求区间上的样本数量；B由频率的大小确定众数的位置；C、D根据频率直方图求出平均数、中位数.
【详解】
A：由直方图知：内的学生有人，正确；
B：由图知：内的学生频率最大，则众数为85，正确；
C：全校学生成绩的平均分数为，错误；
D：由，则中位数在区间内，令中位数为，则，可得，正确.
故选：C
7．保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的概率是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
根据给定条件，利用列举法计算古典概率，再用互斥事件的概率公式计算作答.
【详解】
密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列的结果有：，，共5个，它们等可能，
最多输入2次就能开锁的事件A，它是输入1次能开锁的事件，第2次输入才能开锁的事件的和，它们互斥，
，，则，
最多输入2次就能开锁的概率是.
故选：C
8．在正方体中，为棱的一个三等分点（靠近点），分别为棱，的中点，过三点作正方体的截面，则下列说法正确的是（ ）
A．所得截面是六边形
B．截面过棱的中点
C．截面不经过点
D．截面与线段相交，且交点是线段的一个五等分点
答案：D
【解析】
分析：
根据给定条件，作出过三点的正方体的截面，再逐项推理判断作答.
【详解】
在正方体中，依题意，直线FG与直线交于点P，显然，
直线FE交DA延长线于点Q，则有，如图，
连接，则有，而平面平面，平面平面，
平面与平面有公共点，则平面与平面必有一条交线，此交线平行于，也平行于，
连，因，则四边形是平行四边形，于是得，即平面平面，
因此点是平面截正方体的截面的一个顶点，连交分别于点O，H，
连接，则五边形是平面截正方体所得的截面，A不正确，C不正确；
由知，，即，B不正确；
由得，即，则截面与线段相交，且交点是线段的一个五等分点，D正确.
故选：D
【点睛】
方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，
或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.）
9．已知平面非零向量，，下列结论正确的是（ ）
A．若是平面所有向量的一组基底，且不是基底，则实数
B．若存在非零向量使得，则
C．若，则存在唯一的正实数，使得
D．设，，且与不共线，若，则
答案：AD
【解析】
分析：
对于A，由共线向量定理列方程求解即可，对于B，举例判断，对于C，对两边平方化简即可判断，对于D，取的中点，的三等分点，连接设，则，由已知条件可得，从而可得∥，进而可得，然后可求得结果
【详解】
对于A，因为是平面所有向量的一组基底，所以与不共线，因为不是基底，所以共线，所以存在唯一实数，使，所以，解得，所以A正确，
对于B，若，则，而此时与不一定相等，所以B错误，
对于C，因为，所以，所以，
所以与共线反向，或与中至少有一个为零向量，所以不可能存在唯一的正实数，使得，所以C错误，
对于D， 取的中点，的三等分点，连接则∥,
，
因为，所以，所以四边形，设，则
，所以，
因为，，
所以,
所以∥，
所以∥，
所以，
所以,所以D正确，
故选：AD
10．已知m，n是互不重合的直线，，是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，，，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，则
答案：ACD
【解析】
分析：
A根据面面平行的判定判断；B由线面、面面位置关系，结合平面的基本性质判断；C过作平面，由线面平行性质及平行公理的推论判断；D由面面垂直的判定判断.
【详解】
A：由，且，，根据面面平行的判定知：，正确；
B：，，，则或，错误；
C：过作平面，而，则，又则，，故，所以，正确；
D：由，，根据面面垂直的判定知：，正确.
故选：ACD
11．已知数据的平均数为，标准差为，则（ ）
A．数据的平均数为，标准差为
B．数据的平均数为，标准差为
C．数据的平均数为，方差为
D．数据的平均数为，方差为
答案：BC
【解析】
分析：
根据平均数、方差、标准差的定义逐项判断可得答案.
【详解】
， ，
对于A，与不存在关系，不一定相等，故错误；
对于B，，，所以数据的标准差为，故正确；
对于C，，，故正确；
对于D，数据的平均数为，方差为
，故错误.
故选：BC.
12．在中，角所对的边分别是，下列说法正确的是（ ）
A．若，则的形状是等腰三角形
B．，，若，则这样的三角形有两个
C．若，则面积的最大值为
D．若的面积，，则的最大值为
答案：ACD
【解析】
分析：
求得判定的形状是等腰三角形.选项A判断正确；求得角C有一个值.选项B判断错误；求得面积的最大值判断选项C；求得的最大值判断选项D.
【详解】
选项A：由，可得，化简得，则的形状是等腰三角形.判断正确；
选项B：由，，，则有，
由，可得，则,
则满足条件的三角形仅有一个.判断错误；
选项C：由，可得
则（当且仅当时等号成立），解之得
则面积.判断正确；
选项D：由的面积，可得
化简得，又，则
又，则，则，（当且仅当时等号成立）
即的最大值为.判断正确.
故选：ACD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．已知，复平面内表示复数的点位于第三象限内，则m的取值范围是______.
答案：
【解析】
分析：
根据复数对应的点位于第三象限内，列出相应的不等式组，解得答案.
【详解】
由题意可知，复数对应点的坐标为，该点位于第三象限内，
则满足 ,
得 ,所以,
故答案为：
14．如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则和所成的角等于______________．
答案：####
【解析】
分析：
先由异面直线夹角的定义确定和所成的角，再通过解三角形求夹角的大小.
【详解】
取的中点，连接，
因为E，F分别是棱，的中点，
所以，,，,
又，且，
所以，,
因为，所以为异面直线和的夹角，
在中，，
所以，
故和所成的角等于，
故答案为：.
15．把一个骰子连续抛掷两次，得到的点数依次为，，则使得关于的方程有2个互不相等的实数根的概率为________．
答案：
【解析】
分析：
依据古典概型去求解即可解决.
【详解】
若方程有2个互不相等的实数根，则，
一个骰子连续抛掷两次，得到的点数依次为，，记为，所有可能共36种，
其中满足题意的有，，，，，，，，，，，，，，，，，共17种.
故使得关于的方程有2个互不相等的实数根的概率为．
故答案为：
16．已知点是正六边形内部（包括边界）一动点，，则的最大值为__________．
答案：48
【解析】
分析：
通过分析图形，将求解的最大值，转化为求正六边形内部（包含边界）一点到边中点的距离的最大值，利用几何意义解决问题
【详解】
如图，设的中点为，连接，则 则 ．
因为点为正六边形内部（包括边界）一动点，所以当点与点或点重合时，取得最大值;
在中
易知，所以最大值为．
故答案为：48.
四、解答题
17．已知复数z是纯虚数，且是实数．
(1)求复数z；
(2)若在复平面内，复数所对应的点位于第一象限，求实数a的取值范围．
答案：(1)
(2)
【解析】
分析：
(1) 设z＝mi且，利用复数的运算法则化简，结合条件列方程求解；(2)根据复数的几何意义列不等式求实数a的取值范围．
(1)
设z＝mi且，
，
因为是实数，所以2m+3＝0，解得，
故复数；
(2)
依题意，，
因为复数所对应的点位于第一象限，所以
解得，故实数a的取值范围为．
18．新冠肺炎疫情期间，某市为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从市居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在的居民有2200人.
(1)求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数；
(2)从频率分布直方图中，估计本次评测分数的众数和平均数（精确到0.1）；
(3)设该市居民为50万人，估计全市居民对当地防疫工作评分在85分以上的人数.
答案：(1)0.025，4000人
(2)众数为85.0，平均数80.7
(3)212500
【解析】
分析：
（1）首先根据频率和为1，求，再根据落在区间的居民有2200人，求调查的总人数；
（2）根据众数和平均数公式，即可求解；
（3）首先计算评分在85分以上的频率，再计算人数.
(1)
有频率分布直方图知
即，解得
设总共调查了人，则，
解得，即调查的总人数为4000人；
(2)
最高小矩形底边中点横坐标即为众数，可得众数为，
由频率分布直方图知各段的频率分别为：0.02､0.04､0.14､0.20､0.35､0.25，
所以设平均数为，
则
(3)
由频率分布直方图知评分在85分以上的频率为
所以估计该市居民评分在85分以上的人数为:
19．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解全校学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位：时）各分为5组[0，10）、[10，20）、[20，30）、[30，40）、[40，50]，得到频率分布直方图如图所示.
(1)估计全校学生中课外阅读时间在[30，40）小时内的总人数是多少；
(2)从课外阅读时间不足10小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率；
(3)国家规定，初中学生平均每人每天课外阅读时间不少于半个小时.若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间，根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生的课外阅读时间？并说明理由.
答案：(1)720人
(2)
(3)需要增加，理由见解析
【解析】
分析：
（1）由分层抽样的特点可分别求得抽取的初中生、高中生人数，由频率分布直方图的性质可知初中生、高中生课外阅读时间在，小时内的频率，然后由频数样本容量频率可分别得初中生、高中生课外阅读时间在，小时内的样本学生数，最后将两者相加即可．
（2）记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，至少有2个初中生”为事件，由频数样本容量频率组距频率可分别得初中生、高中生中，阅读时间不足10个小时的学生人数，然后用列举法表示出随机抽取3人的所有可能结果以及事件的结果，从而得 ．
（3）同一组中的数据用该组区间中点值作为代表来计算样本中的所有初中生平均每天阅读时间，并与30小时比较大小，若小于30小时，则需要增加，否则不需要增加．
(1)
由分层抽样知，抽取的初中生有人，高中生有人．
初中生中，课外阅读时间在，小时内的频率为:
，学生人数为人．
高中生中，课外阅读时间在，小时内的频率为:
，学生人数约有人，
全校学生中课外阅读时间在，小时内学生总人数为人．
(2)
记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，至少有2个初中生”为事件，
初中生中，阅读时间不足10个小时的学生人数为人，
高中生中，阅读时间不足10个小时的学生人数为人．
记这3名初中生为，，，这2名高中生为，，
则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，所有可能结果共有10种，
即，，，，，，，，，，
而事件的结果有7种，它们是：，，，，，，，
至少抽到2名初中生的概率为．
(3)
样本中的所有初中生平均每天阅读时间为:
（小时），而（小时），
，该校需要增加初中学生课外阅读时间．
20．如图，在四边形ABCD中，，，E是线段CD上的点，直线BD与直线AE相交于点P，设，，．
(1)若，，，E是线段CD的中点，求与同向的单位向量的坐标；
(2)若，用，表示，并求出实数的值．
答案：(1)
(2)，
【解析】
分析：
（1）根据条件求出点的坐标，然后可算出答案；
（2）根据平面向量的线性运算可用，表示，然后可得，然后由点B，P，D共线可得，即可求出实数的值．
(1)
，易得，
又因为E是CD的中点，所以，
故，
则与同向共线单位向量，坐标为
(2)
因为，所以
又因为，所以
又因为，所以，又因为点B，P，D共线
，故
21．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在问题中的横线上，并解答问题．
问题：在中，角所对的边分别为．已知，，
(1)求的值；
(2)求的值．
答案：(1)
(2)
【解析】
分析：
（1）若选①，结合已知可得，则可求出，从而可求得，然后利用半角公式可求出，再利用正弦定理可求出的值；若选②，由已知结合余弦定理可求出，再利用同角三角函数的关系求出，然后利用正弦定理可求出的值；若选③，由正弦定理可得，再结合可求出的值；
（2）由（1）可得，得的值，从而可求得，再利用二倍角公式可得，进而可求出的值
(1)
选①，因为，，
所以，，所以，
所以，
所以
，
所以，
又因为，所以．
选②，因为，
所以，
因为
所以，
又因为，所以．
选③，在中，，
又，即，
所以，所以
(2)
由（1）得，又，
所以，
所以，
所以，
所以

．
22．如图，在三棱柱中，已知，，，．
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的余弦值．
(注：本小题用空间直角坐标系作答，不给分)
答案：(1)证明见解析；
(2)﹒
【解析】
分析：
(1)连接，用余弦定理求出，根据勾股定理证明，再证明平面即可；
(2)过作垂直于于E，过E作EF垂直于于F，连接，则是二面角的平面角，解△即可.
(1)
连接，在中，由余弦定理得：
，
又，，∴，∴，
又，=A，AB、平面，
∴平面，又平面，∴平面平面；
(2)
由(1)知平面平面，过点作垂直于于E，则面，则，
过E作EF垂直于于F，连接，
∵，、EF平面，
∴平面，∴是二面角的平面角，
在中，，
由(1)知CA⊥平面，∴CA⊥，则为矩形，
∵EF⊥，∴EF=AC=1，
在Rt△中，，
∴．