高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题05函数的概念及表示(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题05函数的概念及表示(原卷版+解析)，共47页。试卷主要包含了【2022年新高考I卷12题】，【2022年新高考I卷8题】，已知是奇函数，则______.等内容，欢迎下载使用。

练高考 明方向
1、【2022年新高考I卷12题】
2、【2022年新高考I卷8题】
3．(2023全国卷Ⅰ)已知函数．若存在2个零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
4．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知是定义域为的奇函数，满足．若，则( )
A． B．0 C．2 D．50
答案：C
解析：因为是定义域为的奇函数，且满足，
所以，即，所以，，因此是周期函数且．
又，
且，所以，
所以，故选C．
5．(2023年高考数学新课标Ⅰ卷理科)函数在单调递减,且为奇函数．若,则满足的的取值范围是( )
A．B．C．D．
答案： D
【解析】因为为奇函数且在上单调递减,要使成立,则满足,所以由得,即使成立的满足,选D．
【考点】函数的奇偶性、单调性
【点评】奇偶性与单调性的综合问题,要重视利用奇、偶函数与单调性解决不等式和比较大小问题,若在上为单调递增的奇函数,且,则,反之亦成立．
6．(2023天津）已知函数设，若关于的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
A． B． C． D．
答案：A
【解析】解法一 根据题意，作出的大致图象，如图所示
当时，若要恒成立，结合图象，只需，
即，故对于方程，，解得；当时，若要恒成立，结合图象，只需，即，又，当且仅当，即时等号成立，所以，综上，的取值范围是．
解法二 由题意的最小值为，此时．不等式在R上恒成立等价于在R上恒成立．当时，令，，不符合，排除C、D；当时，令，，不符合，排除B．选A．
7．(2023江苏）设是定义在且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是 ．
答案：8
【解析】由于，则需考虑的情况，在此范围内，且时，设，且互质，若，则由，可设，且互质，因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此，
因此不可能与每个周期内对应的部分相等，只需考虑与每个周期的部分的交点，
画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，
且处，则在附近仅有一个交点，因此方程的解的个数为8．
8．(2023年北京) 设函数． QUOTE fx=x3−3x， x≪a，−2x， x>?。
= 1 \* GB3 ①若，则的最大值为____________________；
= 2 \* GB3 ②若无最大值，则实数的取值范围是_________________．
答案：，.
【解析】 = 1 \* GB3 ①若，则，当时，；
当时，，所以函数在上单调递
增，在 上单调递减，所以函数在上的最大值为．
综上函数的最大值为2．
= 2 \* GB3 ②函数与的大致图象如图所示
若无最大值，由图象可知，即．
讲典例 备高考
函数的概念及表示
函数的概念
函数的三要素
函数的表示
分段函数
抽象函数
类型一、函数的概念
基础知识：
函数的概念：
一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
基本题型：
1．下列图形中，不是函数图象的是（ ）
A．B．
C．D．．
2．下列函数：（1）；（2）；（3）y＝1（﹣1≤x＜1）．其中与函数y＝1是同一个函数的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
3．下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．下列各组函数是同一函数的是（ ）
①与； ②与；
③与； ④与
A．①②B．①③C．①④D．④
基本方法：若两函数的定义域和对应关系相同，则这两个函数是同一个函数。
类型二、函数的三要素及表示
基础知识：
函数的三要素：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，定义域、对应关系、值域是构成函数的三要素
函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
注意事项：
(1)垂直于x轴的直线与函数的图象至多有1个交点，即在定义域内的直线与图象只有1个交点．
(2)树立定义域优先的思想．
(3)求函数的定义域时常用的结论
①分式中，分母不为0；
②偶次方根中，被开方数非负；
③对于y＝x0，要求x≠0，负指数的底数不为0；
④对数函数中，真数大于0，底数大于0且不等于1；
⑤指数函数的底数大于0且不等于1；
⑥对于正切函数y＝tan x，要求x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.
基本题型：
1、求函数的定义域.
点评：（1）函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念．求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴.
（2）求函数定义域之前，尽量不要对函数的解析式式化简变形，以免引起定义域的变化。
（3）求定义域的原则：中;中;中
不同时为零； ④为常数）中且；⑤中。
【小结】求解函数定义域的步骤：
（1）找条件：先把所有限制条件都考虑全面，做到不遗漏；
解不等式：分别求每个限制条件所确定的自变量的取值集合；
求交集：求这些集合的交集，即为函数的定义域。
2．函数的定义域是（ ）
A．（–1，+∞）B．（–1，1）∪（1，+∞）
C．[–1，+∞）D．[–1，1）∪（1，+∞）
3．函数y＝eq \f(\r(－x2－x＋2),ln x)的定义域为( )
A．(－2,1) B．[－2,1]
C．(0,1) D．(0,1]
4．已知的定义域为，的定义域是（ ）
A． B．C．D．
5．已知的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【基本方法】
求函数定义域的策略
(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．
(2)求抽象函数的定义域：
①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域．
[提醒] (1)函数f(g(x))的定义域指的是x的取值范围，而不是g(x)的取值范围；
(2)求函数的定义域时，对函数解析式先不要化简；
(3)求出函数的定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式；
(4)函数f(x)±g(x)的定义域是函数f(x)，g(x)的定义域的交集．
类型三、函数的表示
基础知识：
函数的表示法：表示函数的常用方法有：
解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；
图象法：选取的自变量要有代表性，能反映定义域的特征
列表法．注意定义域对图象的影响：与x轴垂直的直线与函数图象最多有一个公共点
基本题型：
待定系数法求解析式
1．已知二次函数，其图象过点，且满足，则的解析式为______.
【小结】用待定系数法求函数的解析式的基本步骤：
设：根据函数类型设出函数的解析式； 2、列：根据条件列出不等式；
解：解方程； 4、答：写出解析式，回答问题。
2．已知函数是一次函数，且，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
换元法求解析式
1．已知＝＋，则f（x）的解析式为________．
【小结】利用换元法解决已知求解析式的基本步骤：
（1）设元：即令，注意t的取值范围；
（2）转化：根据，用t把x表示出来，即求出；
（3）代入：即把代入，也就是说把中的x换成；
（4）整理：即对进行整理，最后把t换成x.
2．已知，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
配凑法求解析式
1．已知，则的表达式是（ ）
A． B． C．D．
【小结】对于已知，求函数f(x)解析式的类型，解题时可用配凑法求解．配凑法就是说通过配方法、填项去项等措施对进行变换，最终配凑出，然后求出。
2．设，则（ ）
A．B．C．D．
方程组法求解析式
1、已知函数满足对任意有，求.
2．已知，则函数f(x)的解析式为___________.
利用奇偶性求解析式
1.若是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式。
【小结】根据函数奇偶性求解析式的步骤：
（1）设点：设点为所求区间对应图象上的任意一点，并求出其关于原点对称的点；
（2）代点：把点的坐标代入已知区间的解析式，整理即可。
注意：利用奇偶性求解析式时不要忽略定义域，特别是的情况。
2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为
_________．
【小结】根据函数奇偶性求解析式的步骤：
（1）设：要求哪个区间的解析式，就设在哪个区间；
（2）代：利用已知区间的解析式代入进行推导；
（3）转：根据的奇偶性，把写成或，从而解出。
基本方法：
1、待定系数法求函数解析式的技巧
若已知函数类型(如一次函数、二次函数等)，可用待定系数法求解，例如，二次函数可设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a，b，c即可．
2、配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式
3、换元法求函数解析式的技巧
主要解决已知复合函数f(g(x))的解析式求解函数f(x)的解析式的问题，先令g(x)＝t，解出x，即用t表示x，然后代入f(g(x))中即可求得f(t)，从而求得f(x)．要注意新元的取值范围．
4、方程组法求解函数解析式的技巧
已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))，f(－x)等，可令x为eq \f(1,x)，－x等，得到另一个等式，通过解方程组求出f(x)．此外，也可利用赋予特殊值的方法求出这个等式中的有关量，从而求得f(x)．在求解过程中注意分类讨论与整合、等价转化与化归等数学思想的灵活应用．
类型四、分段函数
基础知识：
1、在函数定义域内，对于自变量x取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数．
分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交．
2．处理分段函数问题时，需注意
(1)分段函数不是多个函数，而是一个函数，自变量与函数值在不同范围内有不同的对应关系．
(2)解决分段函数问题时，首先要确定自变量的取值范围，然后选择与其相应的函数解析式．
1、（分段函数的函数值）在函数 中，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2、设函数 若，则实数t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
点评：求分段函数的函数值时，一般先确定自变量的取值在定义域的哪个子区间，然后用与这个区间相对应的对应关系来求函数值。
【小结】已知函数值求自变量值的步骤：
（1）讨论：对自变量的取值范围进行分类讨论；
（2）代入：由不同取值范围，代入对应的解析式中；
（3）求解：通过解方程求出字母的值；
（4）检验：检验所求的值是否在所讨论的区间内。
3．（分段函数的单调性）若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4、（分段函数与不等式、函数零点）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0
的解集是_______．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．
5、(分段函数与不等式）已知函数 则不等式的解集为 ．
6. (分段函数与不等式）己知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的取值范围是______.
7．（分段函数与方程的根）已知若方程有且仅有3个实数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8、（分段函数的奇偶性）已知是奇函数，则______.
A．3−4B．−3C．2D．-26
基本方法：
1、求分段函数的函数值的方法
先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参．
(2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值．
2、涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解．
类型五、已知函数的定义域求参数问题的思路
基础知识; 求解此类问题需运用逆向思维以及化归与转化的思想方法．化归与转化即通过某种转化过程，将一个不易解决的问题转化为一个已经解决或比较容易解决的问题．
1．函数的定义域是全体实数，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
2．已知函数的值域是，则实数的取值范围是 .
新预测 破高考
1．函数的定义域为（ ）
A．或B．C．D．
2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．若，则等于（ ）
A．B．
C．D．
5．已知是一次函数，且，则的解析式为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
6．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
7．已知函数，则函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
8、已知函数是上的奇函数．当时，，且，
若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，
10．已知函数与函数的交点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
11．定义在上的函数，当时，，且为偶函数.函数，则方程所有根的和为（ ）
A．6B．8C．10D．12
12、已知函数，若方程有四个不同的解，则的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
13、（多选题）已知函数，以下结论正确的是（ ）
A．
B． 在区间上是增函数
C．若方程恰有3个实根，则
D．若函数在上有6个零点，则的取值范围是
14．已知函数对任意满足：，二次函数满足：且．则___________，___________。
15．若函数 的定义域为[-1,3]，则函数的定义域为 ___________
17、已知函数，若在单调递增，则实数的取值范围是_____。
18、函数为定义在上的奇函数，则_______，______.
19、已知函数若，则实数的取值范围为___．
20．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为________.
2023高考一轮复习讲与练
05 函数的概念及表示
练高考 明方向
1、【2022年新高考I卷12题】
2、【2022年新高考I卷8题】
3．(2023全国卷Ⅰ)已知函数．若存在2个零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
答案：C
【解析】函数存在 2个零点，即关于的方程
有2 个不同的实根，即函数的图象与直线
有2个交点，作出直线与函数的图象，
如图所示，由图可知，，解得，故选C．
4．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知是定义域为的奇函数，满足．若，则( )
A． B．0 C．2 D．50
答案：C
解析：因为是定义域为的奇函数，且满足，
所以，即，所以，，因此是周期函数且．
又，
且，所以，
所以，故选C．
5．(2023年高考数学新课标Ⅰ卷理科)函数在单调递减,且为奇函数．若,则满足的的取值范围是( )
A．B．C．D．
答案： D
【解析】因为为奇函数且在上单调递减,要使成立,则满足,所以由得,即使成立的满足,选D．
【考点】函数的奇偶性、单调性
【点评】奇偶性与单调性的综合问题,要重视利用奇、偶函数与单调性解决不等式和比较大小问题,若在上为单调递增的奇函数,且,则,反之亦成立．
6．(2023天津）已知函数设，若关于的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
A． B． C． D．
答案：A
【解析】解法一 根据题意，作出的大致图象，如图所示
当时，若要恒成立，结合图象，只需，
即，故对于方程，，解得；当时，若要恒成立，结合图象，只需，即，又，当且仅当，即时等号成立，所以，综上，的取值范围是．
解法二 由题意的最小值为，此时．不等式在R上恒成立等价于在R上恒成立．当时，令，，不符合，排除C、D；当时，令，，不符合，排除B．选A．
7．(2023江苏）设是定义在且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是 ．
答案：8
【解析】由于，则需考虑的情况，在此范围内，且时，设，且互质，若，则由，可设，且互质，因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此，
因此不可能与每个周期内对应的部分相等，只需考虑与每个周期的部分的交点，
画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，
且处，则在附近仅有一个交点，因此方程的解的个数为8．
8．(2023年北京) 设函数． QUOTE fx=x3−3x， x≪a，−2x， x>?。
= 1 \* GB3 ①若，则的最大值为____________________；
= 2 \* GB3 ②若无最大值，则实数的取值范围是_________________．
答案：，.
【解析】 = 1 \* GB3 ①若，则，当时，；
当时，，所以函数在上单调递
增，在 上单调递减，所以函数在上的最大值为．
综上函数的最大值为2．
= 2 \* GB3 ②函数与的大致图象如图所示
若无最大值，由图象可知，即．
讲典例 备高考
函数的概念及表示
函数的概念
函数的三要素
函数的表示
分段函数
抽象函数
类型一、函数的概念
基础知识：
函数的概念：
一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
基本题型：
1．下列图形中，不是函数图象的是（ ）
A．B．
C．D．．
答案：B
【详解】根据函数的定义：对于定义域内每一个，都有唯一一个与之对应，在B选项中，存在，有两个与之对应，故不是函数图象.
2．下列函数：（1）；（2）；（3）y＝1（﹣1≤x＜1）．其中与函数y＝1是同一个函数的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
答案：D
【详解】对于（1），函数＝1（x≠0），与函数y＝1（x∈R）的定义域不同，故不是同一个函数；
对于（2），函数＝1（t≠﹣1），与函数y＝1（x∈R）的定义域不同，故不是同一个函数；
对于（3），函数y＝1（﹣1≤x＜1），与函数y＝1（x∈R）的定义域不同，故不是同一个函数；
3．下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案：D
【详解】A. 因为定义域为R，的定义域为，故不是同一函数；
B. 定义域为R，的定义域为，故不是同一函数；
C. 因为定义域为R，，的定义域为，故不是同一函数；
D. 因为定义域为R，定义域为R，故是同一函数，
4．下列各组函数是同一函数的是（ ）
①与； ②与；
③与； ④与
A．①②B．①③C．①④D．④
答案：D
【详解】对于①，的定义域是，的定义域是，两函数的对应关系不同，不是同一函数；对于②，的定义域是，的定义域是，两函数的对应关系不同，不是同一函数；对于③，的定义域是，的定义域是，两函数的对应关系不同，不是同一函数；对于④，的定义域是，的定义域是，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数.
基本方法：若两函数的定义域和对应关系相同，则这两个函数是同一个函数。
类型二、函数的三要素及表示
基础知识：
函数的三要素：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，定义域、对应关系、值域是构成函数的三要素
函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
注意事项：
(1)垂直于x轴的直线与函数的图象至多有1个交点，即在定义域内的直线与图象只有1个交点．
(2)树立定义域优先的思想．
(3)求函数的定义域时常用的结论
①分式中，分母不为0；
②偶次方根中，被开方数非负；
③对于y＝x0，要求x≠0，负指数的底数不为0；
④对数函数中，真数大于0，底数大于0且不等于1；
⑤指数函数的底数大于0且不等于1；
⑥对于正切函数y＝tan x，要求x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.
基本题型：
1、求函数的定义域.
解：由函数解析式有意义知------------------------------------------------找条件
解不等式得,
即--------------------------------------------------------解不等式
故函数的定义域是--------------------------------------------求交集
点评：（1）函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念．求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴.
求函数定义域之前，尽量不要对函数的解析式式化简变形，以免引起定义域的变化。
（3）求定义域的原则：中;中;中不同时为零；
④为常数）中且；⑤中。
【小结】求解函数定义域的步骤：
（1）找条件：先把所有限制条件都考虑全面，做到不遗漏；
解不等式：分别求每个限制条件所确定的自变量的取值集合；
求交集：求这些集合的交集，即为函数的定义域。
2．函数的定义域是（ ）
A．（–1，+∞）B．（–1，1）∪（1，+∞）
C．[–1，+∞）D．[–1，1）∪（1，+∞）
答案：D
【解析】要使函数有意义，必须满足，解得，且，
所以函数的定义域是。
3．函数y＝eq \f(\r(－x2－x＋2),ln x)的定义域为( )
A．(－2,1) B．[－2,1]
C．(0,1) D．(0,1]
答案：C
【解析】由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2－x＋2≥0，,ln x≠0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2≤x≤1，,x>0，x≠1，))∴04．已知的定义域为，的定义域是（ ）
A． B．C．D．
答案：D
【解析】的定义域为；；；的定义域为；
；；的定义域为．
5．已知的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】由的定义域为，得，所以，所以，的定义域为，令，得，即，所以的定义域为.
【基本方法】
求函数定义域的策略
(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．
(2)求抽象函数的定义域：
①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域．
[提醒] (1)函数f(g(x))的定义域指的是x的取值范围，而不是g(x)的取值范围；
(2)求函数的定义域时，对函数解析式先不要化简；
(3)求出函数的定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式；
(4)函数f(x)±g(x)的定义域是函数f(x)，g(x)的定义域的交集．
类型三、函数的表示
基础知识：
函数的表示法：表示函数的常用方法有：
解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；
图象法：选取的自变量要有代表性，能反映定义域的特征
列表法．注意定义域对图象的影响：与x轴垂直的直线与函数图象最多有一个公共点
基本题型：
待定系数法求解析式
1．已知二次函数，其图象过点，且满足，则的解析式为______.
答案：
【解析】
分析：由已知条件可得，再根据恒相等可得满足的方程组，求出的值后可得的解析式.
【详解】设， ——————————————————————设
所以，
又已知，又，
化简得到恒相等，
所以， ——————————————————————列
解得，，， ——————————————————————解
所以的解析式为. ——————————————————————答
【小结】用待定系数法求函数的解析式的基本步骤：
设：根据函数类型设出函数的解析式； 2、列：根据条件列出不等式；
解：解方程； 4、答：写出解析式，回答问题。
2．已知函数是一次函数，且，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【详解】设一次函数的解析式为，因为，可得，所以，解得，所以函数的解析式为.
换元法求解析式
1．已知＝＋，则f（x）的解析式为________．
答案：f（x）＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)
分析：令t＝＝＋1，换元后代入原解析式，即可求出f（x）的解析式.
【解析】令t＝＝＋1，则t≠1. --------------------------------------------------设元
则x＝， --------------------------------------------------转化
把x＝代入f，得f（t）＝＋ ----------------------------------------代入
整理得f(t)＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1. ---------------------------------------整理
所以所求函数的解析式为f（x）＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．
【点睛】本题主要考查了换元法求函数解析式，属于中档题.
【小结】利用换元法解决已知求解析式的基本步骤：
（1）设元：即令，注意t的取值范围；
（2）转化：根据，用t把x表示出来，即求出；
（3）代入：即把代入，也就是说把中的x换成；
（4）整理：即对进行整理，最后把t换成x.
2．已知，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【详解】令，则，又，所以，因此.
配凑法求解析式
1．已知，则的表达式是（ ）
A． B． C．D．
答案：C
【解析】
分析：利用配凑法，求得的表达式.
【详解】由于，——————————————————配凑
所以. —————————————————————解答
【点睛】本小题主要考查函数解析式的求法，属于基础题.
【小结】对于已知，求函数f(x)解析式的类型，解题时可用配凑法求解．配凑法就是说通过配方法、填项去项等措施对进行变换，最终配凑出，然后求出。
2．设，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】由题意得，又，
所以，
方程组法求解析式
1、已知函数满足对任意有，求.
答案：.
【解析】
分析：用代换，得，解方程组求出.
【详解】由已知得 ①
用代换，得 ② ————————————————代换
由①＋②得，————————————————消元
即，. ————————————————求解
【点睛】本题考查方程组法求函数解析式，是基础题.
2．已知，则函数f(x)的解析式为___________.
答案：
【详解】∵，①∴，②
①×3﹣②×5，得：﹣16f(x)=﹣10x﹣2，∴。
利用奇偶性求解析式
1.若是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式。
解：法一：设点为时，的图象上的任意一点，--------------------------------------------------设点
则其关于原点对称的点为
因为奇函数的图象关于原点对称，所以点在的图象上，
所以，即----------------------------------------------------------------代点
故求的解析式为
点评：图象是由点构成的，故图象的对称问题可以转化为点的对称问题。
【小结】根据函数奇偶性求解析式的步骤：
（1）设点：设点为所求区间对应图象上的任意一点，并求出其关于原点对称的点；
（2）代点：把点的坐标代入已知区间的解析式，整理即可。
法二：设，则，-----------------------------------------------------------------设
由已知得 - ------------------------------------------------------代
又
所以，即---------------------------------------- 转
故求的解析式为
点评：利用奇偶性求解析式时不要忽略定义域，特别是的情况。
2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为
_________．
答案：
【解析】由于函数是上的奇函数，则.当时，，
设，则，，此时，.
综上所述，.
【小结】根据函数奇偶性求解析式的步骤：
（1）设：要求哪个区间的解析式，就设在哪个区间；
（2）代：利用已知区间的解析式代入进行推导；
（3）转：根据的奇偶性，把写成或，从而解出。
基本方法：
1、待定系数法求函数解析式的技巧
若已知函数类型(如一次函数、二次函数等)，可用待定系数法求解，例如，二次函数可设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a，b，c即可．
2、配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式
3、换元法求函数解析式的技巧
主要解决已知复合函数f(g(x))的解析式求解函数f(x)的解析式的问题，先令g(x)＝t，解出x，即用t表示x，然后代入f(g(x))中即可求得f(t)，从而求得f(x)．要注意新元的取值范围．
4、方程组法求解函数解析式的技巧
已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))，f(－x)等，可令x为eq \f(1,x)，－x等，得到另一个等式，通过解方程组求出f(x)．此外，也可利用赋予特殊值的方法求出这个等式中的有关量，从而求得f(x)．在求解过程中注意分类讨论与整合、等价转化与化归等数学思想的灵活应用．
类型四、分段函数
基础知识：
1、在函数定义域内，对于自变量x取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数．
分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交．
2．处理分段函数问题时，需注意
(1)分段函数不是多个函数，而是一个函数，自变量与函数值在不同范围内有不同的对应关系．
(2)解决分段函数问题时，首先要确定自变量的取值范围，然后选择与其相应的函数解析式．
1、（分段函数的函数值）在函数 中，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
解：由题意知应分三种情况讨论：-----------------------------------讨论
当 时，则有，-------------------------------------------------代入
解得，--------------------------------------------------------------求解
又，符合题意。-------------------------------------------------检验
（2）当时，则有，--------------------------------------------代入
解得或，-------------------------------------------------------求解
又，故--------------------------------------------检验
当时，（舍）
则有，--------------------------------------------------------------代入
解得----------------------------------------------------求解
又，故------------------------------------------------------检验
2、设函数 若，则实数t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
解：令，则，-----------------------------------------------------------换元
则或，解得或，即；-------------------讨论、代入
则，即或，即或，即.----------------求解
点评：求分段函数的函数值时，一般先确定自变量的取值在定义域的哪个子区间，然后用与这个区间相对应的对应关系来求函数值。
【小结】已知函数值求自变量值的步骤：
（1）讨论：对自变量的取值范围进行分类讨论；
（2）代入：由不同取值范围，代入对应的解析式中；
（3）求解：通过解方程求出字母的值；
（4）检验：检验所求的值是否在所讨论的区间内。
3．（分段函数的单调性）若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：根据解析式及满足的不等式，可知函数是上的增函数，由分段函数单调性的性质，结合指数函数与一次函数单调性的性质，即可得关于的不等式组，解不等式组即可求得的取值范围.
【详解】函数满足对任意的实数都有，所以函数是上的增函数，则由指数函数与一次函数单调性可知应满足，
解得，所以数的取值范围为.
【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数的取值范围，在满足各段函数单调性的情况下，还需满足整个定义域内的单调性，属于中档题.
4、（分段函数与不等式、函数零点）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0
的解集是_______．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．
答案：(1,4)；
【解析】由题意得或，所以或，即，故不等式f(x)<0的解集是
当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.
5、(分段函数与不等式）已知函数 则不等式的解集为 ．
答案：
【解析】：若，则，由得：
，故.
若，则，由得：
，故.
综上，不等式的解集为 .
6. (分段函数与不等式）己知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的取值范围是______.
答案：
【解析】
分析：由题意可得为偶函数，求得在上连续，且为减函数，可得，即有即在恒成立，由一次函数的单调性，解不等式组，即可得到所求范围．
【详解】∵，∴为偶函数且在单调递减，∵在恒成立，∴在恒成立，则在恒成立，∴在恒成立
∴，解得.故答案为：.
【点睛】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用偶函数的性质和单调性，考查转化思想和运算能力，解答本题的关键是判断出函数的奇偶性与单调性，属于中档题．
7．（分段函数与方程的根）已知若方程有且仅有3个实数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：采用数形结合的方法，作出图像，根据直线过定点以及两函数图像有3个交点，可得结果.
【详解】由方程有且仅有3个实数解，等价于函数，图像有3个交点且直线过定点，如图：根据图形可知：，当直线与相切时，设切点，又，所以，在点处的切线方程：，又过定点，代入上式，可得，所以，当直线过点时，则，所以可知。
【点睛】本题考根据方程根的个数求参数，熟练使用等价转化的思想以及数形结合的方法，使问题化繁为简，考验对问题的分析能力，属中档题.
8、（分段函数的奇偶性）已知是奇函数，则______.
A．3−4B．−3C．2D．-26
答案：B
分析：运用是奇函数先求出即可
【详解】因为是奇函数，所以，所以。
【点睛】若是奇函数，则对定义域内的任意都有.
基本方法：
1、求分段函数的函数值的方法
先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参．
(2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值．
2、涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解．
类型五、已知函数的定义域求参数问题的思路
基础知识; 求解此类问题需运用逆向思维以及化归与转化的思想方法．化归与转化即通过某种转化过程，将一个不易解决的问题转化为一个已经解决或比较容易解决的问题．
1．函数的定义域是全体实数，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
答案：B
【解析】函数，因此，要使函数的定义域为全体实数，需满足对一切实数都成立，即解得.
2．已知函数的值域是，则实数的取值范围是 .
答案：
【解析】设，由已知条件可知可取到上的所有值，当时满足题意，当时需满足，解不等式得或，所以实数的取值范围是。
新预测 破高考
1．函数的定义域为（ ）
A．或B．C．D．
答案：B
【详解】因为有意义，所以，解得，
所以函数的定义域为.
2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案：B
【详解】A. 因为定义域为R，定义域为，故不是同一函数；
B. 定义域为R，定义域为R，故是同一函数；C. 定义域为R，定义域为，故不是同一函数；D. 定义域为R，定义域为，故不是同一函数；
3．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
【详解】由，则，解得且，
所以函数的定义域为.
4．若，则等于（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【详解】令，得，显然，由，可得，所以，所以
5．已知是一次函数，且，则的解析式为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
答案：A
【详解】设，则，
即对任意的恒成立，所以，解得：或，
所以的解析式为或，
6．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为当时，当时或，因此的取值范围是.
7．已知函数，则函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】对于函数f(x),当x≥0时，-x≤0,所以，同理当x<0时，，所以函数f(x)是偶函数.令，所以，所以函数h(x)是偶函数，所以排除B,D.当时，，故选A.
点睛：遇到函数的问题，大家都要联想到用函数的奇偶性、对称性、单调性和周期性等来帮助我们分析解答问题，所以本题要先研究函数f(x)、g(x)、h(x)的奇偶性，通过奇偶性排除选项.再利用其它性质分析求解.
8、已知函数是上的奇函数．当时，，且，
若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：根据奇偶性可求得在时的解析式，由此可确定的单调性，利用单调性可将所求不等式化为，解一元二次不等式求得结果.
【详解】当时，，，为上的奇函数，，，在上单调递增，在上单调递增，且当时，，在上单调递增，
由得：，即，解得：，实数的取值范围为.
【点睛】本题考查利用函数单调性求解函数不等式的问题，涉及到利用奇偶性求对称区间解析式、函数单调性的判断、一元二次不等式的求解等知识；关键是能够利用单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系.
9．已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，
答案：A
分析：本道题先绘制图像，然后将零点问题转化为交点问题，数形结合，计算a的范围，即可．
【详解】绘制出的图像，有3个零点，令与有三个交点，
则介于1号和2号之间，2号过原点，则，1号与相切，则
，，代入中，计算出，所以a的范围为，故选A．
10．已知函数与函数的交点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
答案：D
分析：根据函数解析式，先求得当时的导函数，利用导函数判断函数在时单调区间，并求得极小值；再根据函数性质可得为偶函数.在平面直角坐标系中画出与的图象，即可由函数图象判断两个函数交点个数.
【详解】当时，，则，令可得(舍去)或；
当时，，当时，，故在(0，1)上单调递减，在上单调递增，且.当时，则，且，故的图象关于y轴对称.因此，在同一坐标系中画出函数与曲线的图象如图所示：由图可知，它们有5个交点.故选:D。
【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调区间及求极值，分段函数奇偶性的判定，由数形结合法求两个函数交点个数，属于中档题.
11．定义在上的函数，当时，，且为偶函数.函数，则方程所有根的和为（ ）
A．6B．8C．10D．12
答案：C
分析：根据与的解析式，以及函数性质，画出函数图像，数形结合即可求解.
【详解】因为为偶函数，故关于对称，容易知也关于对称，故方程所有根的和为，为在区间上，与交点的个数；在同一直角坐标系中画出与的图像如下所示：
由图可知，两函数在上，与有5个交点，故方程所有根的和为为.故选：C.
12、已知函数，若方程有四个不同的解，则的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
答案：A
【解析】先作图象，由图象可得
因此为，从而.
13、（多选题）已知函数，以下结论正确的是（ ）
A．
B． 在区间上是增函数
C．若方程恰有3个实根，则
D．若函数在上有6个零点，则的取值范围是
答案：BCD
【解析】函数的图象如图所示：对A，，，所以，故A错误；对B，由图象可知 在区间上是增函数，故B正确；
对C，由图象可知，直线与函数图象恰有3个交点，故C正确；对D，由图象可得，当函数在上有6个零点，则，所以当时，；当时，，所以的取值范围是，故D正确.
14．已知函数对任意满足：，二次函数满足：且．则___________，___________。
答案：，；
【详解】（1）①，用代替上式中的，得②，联立①②，可得；设，所以，即，
所以，解得，，又，得，所以.
15．若函数 的定义域为[-1,3]，则函数的定义域为 ___________
答案：
【详解】函数的定义域，，函数应满足：解得的定义域是.
16、已知，若，则_______，______；
答案：
【解析】，，，，
，。
17、已知函数，若在单调递增，则实数的取值范围是_____。
答案：
【解析】思路：若在单调增，则在上任取，均有，在任取中就包含均在同一段取值的情况，所以可得要想在上单调增，起码每一段的解析式也应当是单调递增的，由此可得： ，但仅仅满足这个条件是不够的。还有一种取值可能为不在同一段取值，若也满足，均有，通过作图可发现需要左边函数的最大值不大于右边函数的最小值。代入，有左段右端，即，综上所述可得：。
18、函数为定义在上的奇函数，则_______，______.
答案：
【解析】根据题意，为定义在上的奇函数，则有，解可得：，则，则.
19、已知函数若，则实数的取值范围为___．
答案：
【解析】，令，即或，解得或，，或，或 或 或 ，解得或。
20．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为________.
答案：
【解析】由于函数是定义在上的奇函数，且当时，，
当时，，，此时，.
综上所述，.
①当时，由，得，解得，此时，；
②当时，即当时，由得，整理得，解得，此时；
③当时，即当时，由得，解得，此时.
综上所述，不等式的解集为.