高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题15导数与函数的极值、最值(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题15导数与函数的极值、最值(原卷版+解析)，共51页。试卷主要包含了已知函数f=2x3-ax2+2，已知函数f=14x3-x2+x，))检验等内容，欢迎下载使用。

专题15 导数与函数的极值、最值
导数与函数的极值、最值
极值的概念
求函数的极值
极值的判断
含参的极值问题
含参的最值问题
求函数的最值
求参数的值
求参数的范围
参数引起
的讨论
求参数的值
求参数的范围
参数引起
的讨论
练高考 明方向
1.(2023·全国甲（文T8）(理T6)）. 当时，函数取得最大值，则（ ）
A. B. C. D. 1
2.(2023·新高考Ⅰ卷T10）已知函数，则（ ）
A. 有两个极值点B. 有三个零点
C. 点是曲线的对称中心D. 直线是曲线的切线
3.(2023·全国乙（理）T16） 已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
4．(2023·新高考Ⅰ卷)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________．
5．(2023年高考全国乙卷理科)设，若为函数的极大值点，则( ）
AB．C．D．
6．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)是否存在，使得在区间最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由．
7.(2023·全国卷Ⅲ文科·T20)已知函数f(x)=2x3-ax2+2.
(1)讨论f(x)的单调性.
(2)当08.(2023·北京高考理科·T19同2019·北京高考文科·T20)已知函数f(x)=14x3-x2+x.
(1)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程.
(2)当x∈[-2,4]时,求证:x-6≤f(x)≤x.
(3)设F(x)=|f(x)-(x+a)|(a∈R),记F(x)在区间[-2,4]上的最大值为M(a),当M(a)最小时,求a的值.
9．(2023年高考数学课标卷Ⅰ（理）)(12分)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若存在两个极值点，证明：．
10．(2023年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知函数．
(1)若，证明：当时，，当时，；
(2)若是的极大值点，求．
11．(2023高考数学课标Ⅱ卷理科)(本小题满分12分)(I)讨论函数 的单调性，并证明当时，；
(II)证明：当 时，函数 有最小值．设的最小值为，求函数的值域．
12．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)若是函数的极值点，则的极小值为( )
A．B．C．D．1
13．(2023高考数学课标2理科)已知函数=．
(Ⅰ)讨论的单调性；
(Ⅱ)设，当时，, 求的最大值；
(Ⅲ)已知，估计ln2的近似值(精确到0．001)
14．(2023高考数学新课标理科)已知函数满足满足．
(1)求的解析式及单调区间；
(2)若，求的最大值．
15．(2023高考数学新课标2理科)已知函数，下列结论中错误的是( )
A．
B．函数的图象是中心对称图形
C．若是的极小值点，则在区间上单调递减
D．若是的极值点，则
16．(2023年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知函数,则的最小值是 ．
17．(2023年高考数学新课标Ⅰ卷理科)如图,圆形纸片的圆心为,半径为,该纸片上的等边三角形的中心为为圆上的点,,,分别是以为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后,分别以为折痕折起,,,使得重合,得到三棱锥．当的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:)的最大值为__________．
18．(2023高考数学新课标1理科)若函数=的图像关于直线=－2对称，则的最大值是______．
讲典例 备高考
类型一、函数极值的判断
基础知识：
(1)函数的极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则x＝a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值。
(2)函数的极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则x＝b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值。
基本题型：
1、已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)有( )
A．两个极大值，一个极小值
B．两个极大值，无极小值
C．一个极大值，一个极小值
D．一个极大值，两个极小值
2．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)＝xln x，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))＝eq \f(1,e)，则f(x)( )
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，又无极小值
3．已知函数（）可变形为，它可看作是由函数和复合而成的，则函数（）（ ）
A．无极小值B．有极小值1C．无极大值D．有极大值
基本方法：
1、极值的判断：可导函数在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．同时要注意导数为零的点不一定是极值点．
2．知图判断函数极值的情况。先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号。
3、导函数图象的应用策略
(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；
(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性，进而研究函数的极值、最值．
类型二、求函数的极值
基本题型：
1．已知函数f(x)＝(x2－m)ex，若函数f(x)的图象在x＝1处切线的斜率为3e，则f(x)的极大值是( )
A．4e－2 B．4e2 C．e－2 D．e2
2．函数f(x)＝eq \f(3,2)x2－ln x的极值点为( )
A．0,1，－1 B.eq \f(\r(3),3)
C．－eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(3),3)，－eq \f(\r(3),3)
3、已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
基本方法：
1．函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
注意：(1)导数为零的点不一定是极值点．
(2)对于求解析式中含有参数的函数极值问题，一般要对方程f′(x)＝0的根的情况进行讨论，分两个层次讨论．第一层次，讨论在定义域内是否有根；第二层次，在有根的条件下，再讨论根的大小．
类型三、含参的极值问题
基本题型：
1．（求参数的值）设函数f(x)＝ln x＋ax2－eq \f(3,2)x，若x＝1是函数f(x)的极大值点，则函数f(x)的极小值为( )
A．ln 2－2 B．ln 2－1
C．ln 3－2 D．ln 3－1
2．（求参数的范围）若函数在区间内有极小值，则的取值范围为________．
3．（求参数的值）已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1处取得极值0，则m＋n＝( )
A．4 B．11 C．4或11 D．3或9
4、（参数引起的讨论）已知函数f(x)＝ln x＋eq \f(k,x)－1，k∈R.判断函数f(x)是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由．
基本方法：
1．已知极值求参数。若函数f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则f′(x0)＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反。
2、对于求解析式中含有参数的函数极值问题，一般要对方程f′(x)＝0的根的情况进行讨论，分两个层次讨论．第一层次，讨论在定义域内是否有根；第二层次，在有根的条件下，再讨论根的大小．
3、已知函数极值点或极值求参数的策略
列式：根据极值点处导数为0或极值列方程(组)，利用待定系数法求解
验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证
注意：若函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在极值点，则函数y＝f′(x)在区间(a，b)内存在变号零点。
类型三、求函数的最值
基础知识：
函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：
一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。
(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
基本题型：
1．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为1 B．的最小值为1
C．的最小值为1 D．的最小值为1
2．已知函数，，若，，则的最大值为______________
3．设函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为
（1）求的值；
（2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值．
基本方法：
求函数f(x)在[a，b]上的最值的方法
(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；
(2)若函数在区间[a，b]内有极值，则要先求出函数在[a，b]上的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；
(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．
注意：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
类型五、含参的最值问题
基本题型：
1．（求参数的范围）若函数f(x)＝eq \f(1,3)x3＋x2－eq \f(2,3)在区间(a，a＋3)内既存在最大值也存在最小值，则a的取值范围是( )
A．(－3，－2) B．(－3，－1)
C．(－2，－1) D．(－2,0)
2．（参数引起的分类讨论）设函数.
（1）若，求函数的递减区间；
（2）当时，记函数，求函数在区间上的最小值．
3．（求参数的值）已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数的最小值为，求参数a的值．
类型五、函数极值与最值得交汇问题
基本题型：
1．（多选）已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A．函数在时，取得极小值
B．对于，恒成立
C．若，则
D．若，对于恒成立，则的最大值为，的最小值为1
2．已知函数有极小值－6.
（1）求的单调区间；
（2）求的值；
（3）求在[－3，4]上的最大值和最小值.
3．已知函数f(x)＝eq \f(ax2＋bx＋c,ex)(a＞0)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．
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1．函数在上的最小值为（ ）
A．B．C．0D．
2．函数在内存在极值点，则（ ）
A．B．
C．或D．或
3、已知函数f(x)＝(x2－m)ex，若函数f(x)的图象在x＝1处切线的斜率为3e，则f(x)的极大值是( )
A．4e－2 B．4e2 C．e－2 D．e2
4．函数在上的最大值是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
5．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝x·f′(x)的图象的一部分如图所示，则( )
A．f(x)的极大值为f(eq \r(3))，极小值为f(－eq \r(3)) B．f(x)的极大值为f(－eq \r(3))，极小值为f(eq \r(3))
C．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3) D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)
6．如图是函数的大致图象，则（ ）
A． B．C．D．
7．已知函数（），，的最大值为3，最小值为，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．（多选）材料：函数是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，初等函数是由常数和基本初等函数经过有限次的有理运算及有限次的复合所产生的，且能用一个解析式表示的函数，如函数（），我们可以作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即（）为初等函数．根据以上材料，对于初等函数（）的说法正确的是（ ）
A．无极小值B．有极小值1C．无极大值D．有极大值
10．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数有极小值也有最小值
B．函数存在两个不同的零点
C．当时，恰有三个不相等的实根
D．当时，的最大值为，则的最小值为
11．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1，1]，则f(m)的最小值为________.
12．已知函数f(x)＝ln x－eq \f(m,x)(m<0)在区间[1，e]上取得最小值4，则m＝________.
13．若，为函数相邻的两个极值点，且在，处分别取得极小值和极大值，则定义为函数的一个“极优差”．那么，函数的“极优差”为______．
14、已知函数f(x)＝eq \f(ex,x)。
(1)求函数f(x)的单调区间。
(2)设函数g(x)＝xf(x)－ax＋1，若g(x)在(0，＋∞)上存在极值点，求实数a的取值范围。
15．已知函数f(x)＝excs x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．
16．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.
（1）求常数a，b，c的值；
（2）判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值.
17．已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．
(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线l与直线3x－y＝0平行，求切线l的方程；
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最小值．
18．已知函数，其中为常数.
（1）若a＝0，求函数f（x）的极值；
（2）若a＝﹣1，证明：函数f（x）在（0，1）上有唯一的极值点，且.
19．已知函数，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，函数在上的最大值为M，若存在，使得成立，求实数b的取值范围．
2023高考一轮复习讲与练
专题15 导数与函数的极值、最值
导数与函数的极值、最值
极值的概念
求函数的极值
极值的判断
含参的极值问题
含参的最值问题
求函数的最值
求参数的值
求参数的范围
参数引起
的讨论
求参数的值
求参数的范围
参数引起
的讨论
练高考 明方向
1.(2023·全国甲（文T8）(理T6)）. 当时，函数取得最大值，则（ ）
A. B. C. D. 1
答案：B
分析：根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
2.(2023·新高考Ⅰ卷T10）已知函数，则（ ）
A. 有两个极值点B. 有三个零点
C. 点是曲线的对称中心D. 直线是曲线的切线
答案：AC
分析：利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.
【详解】由题，，令得或，令得，
所以在上单调递减，在，上单调递增，所以是极值点，故A正确；因，，，所以，函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.
3.(2023·全国乙（理）T16） 已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
答案：
【解析】
分析：由分别是函数的极小值点和极大值点，可得时，，时，，再分和两种情况讨论，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，根据导数的结合意义结合图象即可得出答案.
【详解】，因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，所以当时，，当时，，若时，当时，，则此时，与前面矛盾，故不符合题意，若时，则方程的两个根为，即方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，
令，则，设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，则切线的斜率为，故切线方程为，
则有，解得，则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，所以，解得，
又，所以，综上所述，的范围为.
【点睛】本题考查了函数的极值点问题，考查了导数的几何意义，考查了转化思想及分类讨论思想，有一定的难度.
4．(2023·新高考Ⅰ卷)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________．
答案：1
【解析】当x＞eq \f(1,2)时，f(x)＝2x－1－2ln x，f′(x)＝2－eq \f(2,x)＝eq \f(2x－2,x).令f′(x)＞0，得x＞1，令f′(x)＜0，得eq \f(1,2)＜x＜1，所以f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝1.当0＜x≤eq \f(1,2)时，f(x)＝1－2x－2ln x，f′(x)＝－2－eq \f(2,x)＝eq \f(－2x－2,x)＜0，所以f(x)在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上单调递减，所以f(x)min＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－2lneq \f(1,2)＝2ln 2＞1.所以f(x)的最小值为1.
5．(2023年高考全国乙卷理科)设，若为函数的极大值点，则( ）
AB．C．D．
答案：D
解析：若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故．有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的．依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的．当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故．当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故．综上所述，成立．
【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答．
6．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)是否存在，使得在区间最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由．
答案：(1)见详解；(2)或．
【解析】(1)． 令，得或．
若，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减；
若时，在单调递增；
若，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减．
(2)满足题设条件的存在．
(ⅰ)当时，由(1)知，在单调递增，所以在区间的最小值为，最大值为．此时满足题设条件当且仅当，即．
(ⅱ)当时，由(1)知，在单调递减，所以在区间的最大值为，最小值为．此时满足题设条件当且仅当，即．
(ⅲ)当时，由(1)知，在的最小值为，最大值为或．
若，则，与矛盾．
若，则或或，与矛盾．
综上，当且仅当或，在最小值为，最大值为1．
【点评】这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少．考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算．思考量不大，计算量略大．
7.(2023·全国卷Ⅲ文科·T20)已知函数f(x)=2x3-ax2+2.
(1)讨论f(x)的单调性.
(2)当0【解题指南】(1)求出f'(x),解不等式求单调区间.
(2)根据f'(x)的零点与区间的关系分类表示出最值,再求差的范围.
【解析】(1)f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).令f'(x)=0,得x=0或x=a3.
若a>0,则当x∈(-∞,0)∪a3,+∞时,f'(x)>0;当x∈0,a3时,f'(x)<0.
故f(x)在(-∞,0),a3,+∞上单调递增,在0,a3上单调递减;
若a=0,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
若a<0,则当x∈-∞,a3∪(0,+∞)时,f'(x)>0;当x∈a3,0时,f'(x)<0.
故f(x)在-∞,a3,(0,+∞)上单调递增,在a3,0上单调递减.
(2)当0所以f(x)在[0,1]的最小值为fa3=-a327+2,最大值为f(0)=2或f(1)=4-a.于是m=-a327+2,M=4−a,0所以M-m=2−a+a327,0当0当2≤a<3时,a327单调递增,所以M-m的取值范围是827,1.
综上,M-m的取值范围是827,2.
8.(2023·北京高考理科·T19同2019·北京高考文科·T20)已知函数f(x)=14x3-x2+x.
(1)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程.
(2)当x∈[-2,4]时,求证:x-6≤f(x)≤x.
(3)设F(x)=|f(x)-(x+a)|(a∈R),记F(x)在区间[-2,4]上的最大值为M(a),当M(a)最小时,求a的值.
【命题意图】本题主要考查导数的应用,求切线方程,研究函数的极值和最值,考查转化与化归能力、运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:难.
【解析】(1)f(x)定义域为R,f'(x)=34x2-2x+1,设切点为P(x0,y0),则
y0=f(x0)=14x03-x02+x0,k=f'(x0)=34x02-2x0+1=1,所以x0=0,83,
当x0=0时,y0=0,切线方程为y-0=x-0,即x-y=0;
当x0=83时,y0=827,切线方程为y-827=x-83,即27x-27y-64=0.
(2)令g(x)=f(x)-x=14x3-x2,x∈[-2,4],则g'(x)=f'(x)-1=34x2-2x,令g'(x)=0得x=0,83,
x,g'(x),g(x)关系如下
又因为g(-2)=-6,g(0)=0,g83=-6427,g(4)=0,所以在x∈[-2,4]上,g(x)min=-6,g(x)max=0,
所以-6≤g(x)≤0,即x-6≤f(x)≤x.
(3)由(2)知,-6≤f(x)-x≤0,-6-a≤f(x)-(x+a)≤-a,所以M(a)=max{|-6-a|,|-a|}=max{|a+6|,|a|},
①若a≤-6,则M(a)=max{-a-6,-a}=-a,当a=-6时,M(a)最小,为6;
②若-6③若a≥0,则M(a)=max{a+6,a}=a+6,当a=0时,M(a)最小,为6.
综上,M(a)最小为3,M(a)最小时a=-3.
9．(2023年高考数学课标卷Ⅰ（理）)(12分)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若存在两个极值点，证明：．
答案：解:（1）的定义域为，．
（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减．
（ii）若，令得，或．
当时，；
当时，．所以在单调递减，在单调递增．
（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当．
由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则．由于
，
所以等价于．
设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，．
所以，即．
10．(2023年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知函数．
(1)若，证明：当时，，当时，；
(2)若是的极大值点，求．
答案：【官方解析】当时，，
设函数，则
当时，；当时，，故当时，
所以在上单调递增
又，故当时，；当时，．
（2）（i）若，由（1）知，当时，
这与是的极大值点矛盾
（ii）若，设函数
由于当时，，故与符号相同
又，故是的极大值点，当且仅当是的极大值点
如果，则当，且时，，故不是的极大值点
如果，则存在根，故当，且时，，所以不是的极大值点，如果，则
则当时，；当时，
所以是的极大值点，从而是的极大值点
综上．
【民间解析】（1）法一：当时，
函数的定义域为，此时
记
则
所以函数在上单调递增，而
所以当时，，此时
当时，，此时
法二：当时，，
则，
①当时，，此时单调递减
所以时，，故函数在上单调递增
所以时，
②当时，，此时单调递增
所以时，，所以函数在上单调递增
所以当时，
综上所述若，证明：当时，，当时，．
（2）法一：由
可得
所以，因为是的极大值点
所以，当时，；当时，
又
设，则，
所以在上单调递增，所以当时，；当时，
所以当时，
设，则
当时，；当时，
所以函数在上单调递减；在上单调递增
所以任意时，
所以若时，，此时不存在极值，故
由（1）知，当时，；当时，
显然，当时，
①当时，则
若，则，使得当时，，此时不满足题意，故，即
②当时，则
若，则，使得当时，，此时，不满足题意，故，即
综上，，所以．
法二：
记，
当，时，
所以在上单调递增，所以当时，即
所以在上单调递增，与是的极大值点不符合；
当时，，显然可知递减
①，解得，则有，，递增；
时，，递减，所以，故递减，又
则，，，递增；，，，递减
此时为的极大值点，符合题意
②当时，有，
所以在有唯一零点，记为，则，，递增
则，递增，所以，即，递增，不符合题意；
③当时，有，
所以在有唯一零点，记为，则，，递减
则，递减，所以，即，递减，不符合题意
综上可知．
11．(2023高考数学课标Ⅱ卷理科)(本小题满分12分)(I)讨论函数 的单调性，并证明当时，；
(II)证明：当 时，函数 有最小值．设的最小值为，求函数的值域．
答案：（1）略；（2）．
分析：（Ⅰ）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当时，证明结论；
（Ⅱ）用导数法求函数的最值，在构造新函数，又用导数法求解．
【解析】（Ⅰ）的定义域为．
且仅当时，，所以在单调递增，
因此当时，
所以
（II）
由（I）知，单调递增，对任意
因此，存在唯一使得即，
当时，单调递减；
当时，单调递增．
因此在处取得最小值，最小值为
于是，由单调递增
所以，由得
因为单调递增，对任意存在唯一的
使得所以的值域是
综上，当时，有最小值，的值域是．
12．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)若是函数的极值点，则的极小值为( )
A．B．C．D．1
答案：A
【命题意图】本题主要考查导数的极值概念及其极大值与极小值判定条件，意在考查考生的运算求解能力．
【解析】∵ ∴ 导函数，∵ ∴
∴ 导函数，令，∴ ，
当变化时，，随变化情况如下表：
从上表可知：极小值为．
13．(2023高考数学课标2理科)已知函数=．
(Ⅰ)讨论的单调性；
(Ⅱ)设，当时，, 求的最大值；
(Ⅲ)已知，估计ln2的近似值(精确到0．001)
答案：解析：
（Ⅰ），等号仅当时成立所以在上单调递增．
（Ⅱ）
当时，，等号仅当时成立，所以在上单调递增，而，故．
当时，若满足，即时，，而，故，．
综上的最大值为2．
（Ⅲ）由（2）知，
当时，，得
当时，
，得
所以
14．(2023高考数学新课标理科)已知函数满足满足．
(1)求的解析式及单调区间；
(2)若，求的最大值．
答案：（１）增区间为,减区间为 （２）
解析: (Ⅰ),令得,,
再由,令得．
所以的解析式为．,
易知是上的增函数,且．所以
所以函数的增区间为,减区间为．
(Ⅱ)若恒成立,即恒成立，
,
(1)当时,恒成立, 为上的增函数,且当时, ,不合题意;
(2)当时,恒成立, 则,;
(3)当时, 为增函数,由得,
故
当时, 取最小值．
依题意有,即,
,,
令,则,
,所以当时, 取最大值．
故当时, 取最大值．
综上, 若，则 的最大值为．
15．(2023高考数学新课标2理科)已知函数，下列结论中错误的是( )
A．
B．函数的图象是中心对称图形
C．若是的极小值点，则在区间上单调递减
D．若是的极值点，则
答案：C
解析：由三次函数的图象可知，若是的极小值点，则极大值点在的左侧，所以函数在区间单调递减是错误的，选C．
16．(2023年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知函数,则的最小值是 ．
答案：
解法一：先求的最大值，设
，
即，
故根据奇函数知，
解法二：导数法+周期函数
当；；
解法三：均值不等式法
当且仅当时，，此时，
17．(2023年高考数学新课标Ⅰ卷理科)如图,圆形纸片的圆心为,半径为,该纸片上的等边三角形的中心为为圆上的点,,,分别是以为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后,分别以为折痕折起,,,使得重合,得到三棱锥．当的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:)的最大值为__________．
答案：
【解析】如下图,设正三角形的边长为x,则． ,

三棱锥的体积 ．
令,则, 令, ,,
．

【点评】对于三棱锥最值问题,肯定需要用到函数的思想进行解决,本题解决的关键是设好未知量,利用图形特征表示出三棱锥体积．当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决,当变量是高次时需要用到求导得方式进行解决．
18．(2023高考数学新课标1理科)若函数=的图像关于直线=－2对称，则的最大值是______．
答案：16
解析：由图像关于直线=－2对称，则0==，
0==，解得=8，=15，∴=，
∴===
当∈(－∞,)∪(－2, )时，＞0，当∈(,－2)∪(,+∞)时，＜0，∴在（－∞，）单调递增，在（，－2）单调递减，在（－2，）单调递增，在（，+∞）单调递减，故当=和=时取极大值，==16．
讲典例 备高考
类型一、函数极值的判断
基础知识：
(1)函数的极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则x＝a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值。
(2)函数的极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则x＝b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值。
基本题型：
1、已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)有( )
A．两个极大值，一个极小值
B．两个极大值，无极小值
C．一个极大值，一个极小值
D．一个极大值，两个极小值
答案：C
【解析】导函数f′(x)有三个零点，设为x1＜0，x2＝0，x3＞0，当x＜x1时，f′(x)＜0，当x1＜x＜0时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝x1处取得极小值；当x1＜x＜x2时，f′(x)＞0，当x2＜x＜x3时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝x2处无极值；当x2＜x＜x3时，f′(x)＞0，当x＞x3时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在x＝x3处取得极大值．
2．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)＝xln x，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))＝eq \f(1,e)，则f(x)( )
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，又无极小值
答案：D
【解析】因为xf′(x)－f(x)＝xln x，所以eq \f(xf′x－fx,x2)＝eq \f(ln x,x)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(fx,x)))′＝eq \f(ln x,x)，所以eq \f(fx,x)＝eq \f(1,2)ln2x＋c，
所以f(x)＝eq \f(1,2)xln2x＋cx.因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))＝eq \f(1,2e)ln2eq \f(1,e)＋c×eq \f(1,e)＝eq \f(1,e)，所以c＝eq \f(1,2)，所以f′(x)＝eq \f(1,2)ln2x＋ln x＋eq \f(1,2)＝
eq \f(1,2)(ln x＋1)2≥0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上既无极大值，也无极小值．
3．（多选）已知函数（）可变形为，它可看作是由函数和复合而成的，则函数（）（ ）
A．无极小值B．有极小值1C．无极大值D．有极大值
答案：AD
分析：对函数求导，根据导函数的符号得出函数的单调区间，再根据极值的定义判断出其极值情况，从而得解．
【详解】由题知，所以，
令，得，当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减．所以有极大值，为，无极小值．
基本方法：
1、极值的判断：可导函数在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．同时要注意导数为零的点不一定是极值点．
2．知图判断函数极值的情况。先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号。
3、导函数图象的应用策略
(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；
(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性，进而研究函数的极值、最值．
类型二、求函数的极值
基本题型：
1．已知函数f(x)＝(x2－m)ex，若函数f(x)的图象在x＝1处切线的斜率为3e，则f(x)的极大值是( )
A．4e－2 B．4e2 C．e－2 D．e2
答案：A
【解析】函数f(x)＝(x2－m)ex，求导可得f′(x)＝(x2＋2x－m)ex.因为函数f(x)的图象在x＝1处切线的斜率为3e，所以f′(1)＝(3－m)e＝3e，解得m＝0，所以f′(x)＝(x2＋2x)ex.
令(x2＋2x)ex＝0，解得x＝0或x＝－2.当x<－2或x>0时，f′(x)>0，函数f(x)是增函数；
当－22．函数f(x)＝eq \f(3,2)x2－ln x的极值点为( )
A．0,1，－1 B.eq \f(\r(3),3)
C．－eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(3),3)，－eq \f(\r(3),3)
答案：B
【解析】由已知，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3x－eq \f(1,x)＝eq \f(3x2－1,x)，
令f′(x)＝0，得x＝eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(\r(3),3)舍去)).当x>eq \f(\r(3),3)时，f′(x)>0；当0所以当x＝eq \f(\r(3),3)时，f(x)取得极小值．从而f(x)的极小值点为x＝eq \f(\r(3),3)，无极大值点，选B.
3、已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
【解析】(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.
故b＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ex－\f(1,2))).
令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)<0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
基本方法：
1．函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
注意：(1)导数为零的点不一定是极值点．
(2)对于求解析式中含有参数的函数极值问题，一般要对方程f′(x)＝0的根的情况进行讨论，分两个层次讨论．第一层次，讨论在定义域内是否有根；第二层次，在有根的条件下，再讨论根的大小．
类型三、含参的极值问题
基本题型：
1．（求参数的值）设函数f(x)＝ln x＋ax2－eq \f(3,2)x，若x＝1是函数f(x)的极大值点，则函数f(x)的极小值为( )
A．ln 2－2 B．ln 2－1
C．ln 3－2 D．ln 3－1
答案：A
【解析】∵f(x)＝ln x＋ax2－eq \f(3,2)x(x>0)，∴f′(x)＝eq \f(1,x)＋2ax－eq \f(3,2)，∵x＝1是函数f(x)的极大值点，
∴f′(1)＝1＋2a－eq \f(3,2)＝2a－eq \f(1,2)＝0，解得a＝eq \f(1,4)，∴f′(x)＝eq \f(1,x)＋eq \f(x,2)－eq \f(3,2)＝eq \f(x2－3x＋2,2x)＝eq \f(x－1x－2,2x)，
∴当00，f(x)单调递增；当1当x>2时，f′(x)>0，f(x)单调递增．∴当x＝2时，f(x)有极小值，且极小值为f(2)＝ln 2－2.
2．（求参数的范围）若函数在区间内有极小值，则的取值范围为________．
答案：
分析：求，讨论和时的单调性与极小值点，使得极小值点位于区间即可求解.
【详解】由可得，当时，恒成立，所以在上单调递增，无极值；当时，令可得或；令可得：，所以时，在处取得极小值，若函数在区间内有极小值，则，解得，综上所述：的取值范围为。
3．（求参数的值）已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1处取得极值0，则m＋n＝( )
A．4 B．11 C．4或11 D．3或9
答案：B
【解析】因为f′(x)＝3x2＋6mx＋n，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f′－1＝0，,f－1＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－6m＋n＝0，,－1＋3m－n＋m2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＝9.))检验：当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝3))时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，不合题意，舍掉；
当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＝9))时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋3)(x＋1)，令f′(x)>0，得x<－3或x>－1；
令f′(x)<0，得－3在(－3，－1)上单调递减，符合题意．则m＋n＝2＋9＝11.
4、（参数引起的讨论）已知函数f(x)＝ln x＋eq \f(k,x)－1，k∈R.判断函数f(x)是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由．
【解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq \f(1,x)－eq \f(k,x2)＝eq \f(x－k,x2)，
当k≤0时，f′(x)>0，y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，此时f(x)无极值；
当k>0，x∈(0，k)时，f′(x)<0；当x∈(k，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)的单调递减区间是(0，k)，单调递增区间是(k，＋∞)．
所以f(x)的极小值点是x＝k，f(x)的极小值为f(k)＝ln k，无极大值点．
综上，当k≤0时，f(x)无极值；当k>0时，f(x)的极小值为ln k，无极大值．
基本方法：
1．已知极值求参数。若函数f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则f′(x0)＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反。
2、对于求解析式中含有参数的函数极值问题，一般要对方程f′(x)＝0的根的情况进行讨论，分两个层次讨论．第一层次，讨论在定义域内是否有根；第二层次，在有根的条件下，再讨论根的大小．
3、已知函数极值点或极值求参数的策略
列式：根据极值点处导数为0或极值列方程(组)，利用待定系数法求解
验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证
注意：若函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在极值点，则函数y＝f′(x)在区间(a，b)内存在变号零点。
类型三、求函数的最值
基础知识：
函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：
一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。
(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
基本题型：
1．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为1 B．的最小值为1
C．的最小值为1 D．的最小值为1
答案：AC
分析：利用导数分析函数的单调性，由此确定函数的最值.
【详解】对于A，因为，所以，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故函数的最小值为，A选项正确；
对于B，因为，所以，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故函数的最小值为，B选项错误；
对于C，因为，所以，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故函数的最小值为，C选项正确；
对于D，因为，所以，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故函数的最小值为，D选项错误．
2．已知函数，，若，，则的最大值为______________
答案：
分析：由已知等式代入可得，然后结合对数的运算和性质得出，构造函数并由函数的单调性可得出，代入到所求式子后得，再次构造函数，利用导数研究函数的单调性，可知当时，取得最大值，代入即可求出的最大值.
【详解】由题意得，，，，，
，即，设，则，
可知在上单调递增，所以，则，
，则，，令，则，
当时，则，单调递增，当时，则，单调递减，故当时，取得最大值，即的最大值为.
3．设函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为
（1）求的值；
（2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值．
答案：（1）；（2）单调递增区间是和，最大值是18，最小值是．
分析：
（1）求导函数，由二次函数的性质和导函数的几何意义建立方程，解之可求得答案；
（2）由得到求得导函数，分析导函数的符号，得出原函数的单调性，可求得最值.
【详解】（1），导函数的最小值为，，
又函数图象在点处的切线与直线垂直，而直线的斜率为，
函数图象在点处的切线的斜率为，即，解得，所以；
由得到，列表如下：
函数的单调递增区间是和，，
基本方法：
求函数f(x)在[a，b]上的最值的方法
(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；
(2)若函数在区间[a，b]内有极值，则要先求出函数在[a，b]上的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；
(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．
注意：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
类型五、含参的最值问题
基本题型：
1．（求参数的范围）若函数f(x)＝eq \f(1,3)x3＋x2－eq \f(2,3)在区间(a，a＋3)内既存在最大值也存在最小值，则a的取值范围是( )
A．(－3，－2) B．(－3，－1)
C．(－2，－1) D．(－2,0)
答案：A
【解析】由f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)＝0得x＝－2或x＝0，可以判断f(x)在x＝0处取得极小值f(0)＝－eq \f(2,3)，在x＝－2处取得极大值f(－2)＝eq \f(2,3).令f(x)＝－eq \f(2,3)，得x＝－3或x＝0，令f(x)＝eq \f(2,3)，得x＝－2或x＝1, 由题意知函数f(x)在开区间(a，a＋3)内的最大、最小值只能在x＝－2和x＝0处取得，结合函数f(x)的图象可得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜a＋3≤1，,－3≤a＜－2，))解得－3＜a＜－2，故a的取值范围是(－3，－2)．
2．（参数引起的分类讨论）设函数.
（1）若，求函数的递减区间；
（2）当时，记函数，求函数在区间上的最小值．
答案：（1）；（2）当时，最小值为；当时，最小值为.
分析：（1）求导，令，解不等式即可求出结果；
（2）求导，利用导数判断函数的单调性，进而根据单调性求出函数的最值即可.
【详解】（1）当时，，．
由，得.故函数的递减区间为．
∵，∴.∵，，
∴当时，，在上为减函数．因此，有最小值；
当时，在上，在上，∴在上为减函数，在 上为增函数．故g(x)有最小值.
综上，当时，在区间上的最小值为；当时，在上的最小值为.
3．（求参数的值）已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数的最小值为，求参数a的值．
答案：（1）单调减区间为，单调增区间为；（2）.
分析：
（1）对函数求导，然后说明每个区间导数的符号，进而求出函数的单调区间；
（2）求导，判断函数的单调性可知存在唯一根，进而知，即，结合已知，令，判断函数的单调性且，即可得解.
【详解】（1）当时， ，求导
令，即，则（舍）；.
∴当，，在区间单调递减；当，，在区间单调递增；∴函数的单调减区间为，单调增区间为；
（2），求导得：，
令，则，且开口向上，，∴存在，使得，
当，，在区间单调递减；当，，在区间单调递增；，即，又，两式相减得：，
令，求导，
∴函数在区间单调递增，且∴函数有唯一解，
∴，解得.
类型五、函数极值与最值得交汇问题
基本题型：
1．（多选）已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A．函数在时，取得极小值
B．对于，恒成立
C．若，则
D．若，对于恒成立，则的最大值为，的最小值为1
答案：BD
分析：利用导数，结合极值的定义、函数的单调性、导数的几何意义进行逐一判断即可.
【详解】，当时，，所以函数单调递减，而，所以不是函数的极值点，故选项A不正确；当时，函数单调递减，有，所以选项B正确；构造函数，由上可知：当，恒成立，所以，因此函数在时，单调递减，因此当时，，所以选项C不正确；
由上可知：函数在时，单调递减，所以有，因此的最大值为，
由，有，函数在原点处的切线为：，所以有，因此的最小值为1，所以本选项正确，
2．已知函数有极小值－6.
（1）求的单调区间；
（2）求的值；
（3）求在[－3，4]上的最大值和最小值.
答案：（1）单调递减区间为（－1，3），单调递增区间为（－∞，－1），（3，+∞）；（2）3；
（3）最大值为，最小值为.
分析：（1）利用导数求得的单调区间.（2）由的极小值列方程，由此求得的值.
（3）比较极值点和区间端点的函数值，求得在上的最大值和最小值.
【详解】（1），令，解得或，令，解得，
所以单调递减区间为（－1，3），单调递增区间为（－∞，－1），（3，+∞）.
（2）由（1）知，的极小值为，解得.
（3）由（1）知，在（－3，－1）单调递增，在（－1，3）上单调递减，在（3，4）上单调递增，
，，
，，
所以在[－3，4]上的最大值为，最小值为.
函数在上的最大值是18，最小值是．
3．已知函数f(x)＝eq \f(ax2＋bx＋c,ex)(a＞0)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．
【解析】(1)f′(x)＝eq \f(2ax＋bex－ax2＋bx＋cex,ex2)＝eq \f(－ax2＋2a－bx＋b－c,ex).
令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c, 因为ex＞0，
所以y＝f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点，且f′(x)与g(x)符号相同．
又因为a＞0，所以当－3＜x＜0时，g(x)＞0，即f′(x)＞0；
当x＜－3或x＞0时，g(x)＜0，即f′(x)＜0.
所以函数y＝f(x)的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)和(0，＋∞)．
(2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f－3＝\f(9a－3b＋c,e－3)＝－e3，,g0＝b－c＝0，,g－3＝－9a－32a－b＋b－c＝0，))
解得a＝1，b＝5，c＝5，所以f(x)＝eq \f(x2＋5x＋5,ex).
因为函数y＝f(x)的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)和(0，＋∞)，
所以f(0)＝5为函数y＝f(x)的极大值．
故y＝f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大值，而f(－5)＝eq \f(5,e－5)＝5e5＞5＝f(0)，
所以函数y＝f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5.
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1．函数在上的最小值为（ ）
A．B．C．0D．
答案：B
分析：利用导数求解函数的最值即可.
【详解】由，得．
，得或．所以在和上单调递增，在上单调递减．又，，所以在上的最小值为．
2．函数在内存在极值点，则（ ）
A．B．
C．或D．或
答案：B
分析：由分离常数，通过构造函数法，结合函数的单调性求得的取值范围.
【详解】，，令，由于，
所以，在上递减，当时，；当时，.
由于函数在内存在极值点，所以.
3、已知函数f(x)＝(x2－m)ex，若函数f(x)的图象在x＝1处切线的斜率为3e，则f(x)的极大值是( )
A．4e－2 B．4e2 C．e－2 D．e2
答案：A
【解析】函数f(x)＝(x2－m)ex，求导可得f′(x)＝(x2＋2x－m)ex.
因为函数f(x)的图象在x＝1处切线的斜率为3e，所以f′(1)＝(3－m)e＝3e，解得m＝0，
所以f′(x)＝(x2＋2x)ex.令(x2＋2x)ex＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x<－2或x>0时，f′(x)>0，函数f(x)是增函数；
当－24．函数在上的最大值是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
答案：A
分析：利用导数分析函数在上的单调性，由此可求出该函数在区间上的最大值.
【详解】因为，则.当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减.所以，当时，函数取得最大值，即.
5．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝x·f′(x)的图象的一部分如图所示，则( )
A．f(x)的极大值为f(eq \r(3))，极小值为f(－eq \r(3)) B．f(x)的极大值为f(－eq \r(3))，极小值为f(eq \r(3))
C．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3) D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)
答案：D
【解析】由图象，当x<－3时，f′(x)<0；当－30，由此知极小值为f(－3)；当00；当x>3时，f′(x)<0，由此知极大值为f(3)。故选D。
6．如图是函数的大致图象，则（ ）
A． B．C．D．
答案：C
分析：根据给定图象求出函数的解析式，再求出其极值点x1，x2的关系式即可得解.
【详解】观察函数的图象知，-1，0，2是函数的零点，且，是函数的两个极值点，
于是得，求导得，因，是函数的两个极值点，则，是方程的两根，从而有，，
所以.
7．已知函数（），，的最大值为3，最小值为，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：先利用导数求出函数的单调性，得到的最小值为，最大值为，解方程组即得解.
【详解】．令，得或（舍去）．当时，，当时，，故为极小值点，也是最小值点．∵，，，
∴的最小值为，最大值为，∴，解得，∴．
8．已知函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：求得导函数，问题化为只有一个解，分离参数，转化为研究函数的单调性、极值，函数的变化趋势，结合函数图象从而得参数范围，注意检验函数极值．
【详解】易知函数的导数，令，得，即．设，则，
当时，或，所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增．因为函数有且只有一个极值点，所以直线与函数的图象有一个交点，作出的图象如图所示．由图得或．当时，恒成立，所以无极值，所以．
9．（多选）材料：函数是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，初等函数是由常数和基本初等函数经过有限次的有理运算及有限次的复合所产生的，且能用一个解析式表示的函数，如函数（），我们可以作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即（）为初等函数．根据以上材料，对于初等函数（）的说法正确的是（ ）
A．无极小值B．有极小值1C．无极大值D．有极大值
答案：AD
分析：根据给定信息，对函数变形并求导，进而判断其极值情况即可得解.
【详解】依题意，，，
求导得：，由，得，
当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以有极大值，无极小值.
10．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数有极小值也有最小值
B．函数存在两个不同的零点
C．当时，恰有三个不相等的实根
D．当时，的最大值为，则的最小值为
答案：ABD
分析：求出导函数，由确定函数的单调性、极值、函数的变化趋势，然后逐项分析即可．
【详解】由，得，令，则或，
当或时，；当时， ，所以在和上单调递减，在上单调递增，所以有极小值，有极大值，
当时，， 当时，，故函数的图象如图，

数形结合可知：函数有极小值也有最小值，故A正确；因为函数与轴有两个交点，故函数存在两个不同的零点，故B正确；当时，恰有三个不相等的实根等价于直线与函数有三个不同的交点，故，故C错误；当时，的最大值为，则，故D正确.
11．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1，1]，则f(m)的最小值为________.
答案：
分析：由极值的性质得出的值，再由导数得出f(m)的最小值.
【详解】f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0.即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.
由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，经检验符合题意，f′(x)＝－3x2＋6x，
由此可得f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增∴当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
12．已知函数f(x)＝ln x－eq \f(m,x)(m<0)在区间[1，e]上取得最小值4，则m＝________.
答案：－3e
【解析】f′(x)＝eq \f(1,x)＋eq \f(m,x2)＝eq \f(x＋m,x2).令f′(x)＝0，得x＝－m，且当0当x>－m时，f′(x)>0，f(x)单调递增．若－m≤1，即－1≤m<0时，f(x)min＝f(1)＝－m≤1，不可能等于4；
若1<－m≤e，即－e≤m<－1时，f(x)min＝f(－m)＝ln(－m)＋1，
令ln(－m)＋1＝4，得m＝－e3∉[－e，－1)；若－m>e，即m<－e时，f(x)min＝f(e)＝1－eq \f(m,e)，
令1－eq \f(m,e)＝4，得m＝－3e，符合题意．综上所述，m＝－3e.
13．若，为函数相邻的两个极值点，且在，处分别取得极小值和极大值，则定义为函数的一个“极优差”．那么，函数的“极优差”为______．
答案：
分析：根据函数导数，求出函数在所给区间上的极大值与极小值即可求解.
【详解】由题意，得，令，得，得或．
当时，单调递减；当时，为单调递增；当时，为单调递减．
故的极大值为，极小值为，“极优差”为．
14、已知函数f(x)＝eq \f(ex,x)。
(1)求函数f(x)的单调区间。
(2)设函数g(x)＝xf(x)－ax＋1，若g(x)在(0，＋∞)上存在极值点，求实数a的取值范围。
【解析】(1)f(x)＝eq \f(ex,x)，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以f′(x)＝eq \f(exx－1,x2)。当f′(x)＝0时，x＝1。
f′(x)与f(x)随x的变化情况如下表：
故f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)和(0,1)。
(2)g(x)＝ex－ax＋1，x∈(0，＋∞)，所以g′(x)＝ex－a，
①当a≤1时，g′(x)＝ex－a>0，即g(x)在(0，＋∞)上递增，此时g(x)在(0，＋∞)上无极值点。
②当a>1时，令g′(x)＝ex－a＝0，得x＝lna；令g′(x)＝ex－a>0，得x∈(lna，＋∞)；
令g′(x)＝ex－a<0，得x∈(0，lna)。故g(x)在(0，lna)上递减，在(lna，＋∞)上递增，
所以g(x)在(0，＋∞)有极小值无极大值，且极小值点为x＝lna。
故实数a的取值范围是(1，＋∞)。
15．已知函数f(x)＝excs x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．
【解析】(1)∵f(x)＝excs x－x，∴f(0)＝1，f′(x)＝ex(cs x－sin x)－1，∴f′(0)＝0，
∴y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)f′(x)＝ex(cs x－sin x)－1，令g(x)＝f′(x)，
则g′(x)＝－2exsin x≤0在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上恒成立，且仅在x＝0处等号成立，
∴g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递减，∴g(x)≤g(0)＝0，∴f′(x)≤0且仅在x＝0处等号成立，
∴f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递减，∴f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝－eq \f(π,2).
16．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.
（1）求常数a，b，c的值；
（2）判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值.
答案：（1）a＝，b＝0，c＝－；（2）x＝－1是极大值点，x＝1是极小值点，理由见解析，极大值1，极小值－1.
分析：（1）结合列方程组，由此求得的值.
（2）利用导数研究的单调性、极值点、极值.
【详解】（1）＝3ax2＋2bx＋c.∵x＝±1是函数f(x)的极值点，∴x＝±1是方程＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系，得，又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.
（2）f(x)＝x3－x，∴＝x2－＝(x－1)(x＋1)，当x<－1或x>1时，>0，
当－1∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1，当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
17．已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．
(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线l与直线3x－y＝0平行，求切线l的方程；
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最小值．
【解析】(1)f′(x)＝3x2－2ax.因为f′(1)＝3－2a＝3，所以a＝0，又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，
则切点坐标为(1,1)，斜率为3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝3(x－1)，
化简得3x－y－2＝0.
(2)令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝eq \f(2a,3)，
当eq \f(2a,3)≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，从而f(x)min＝f(0)＝0；
当eq \f(2a,3)≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而f(x)min＝f(2)＝8－4a；
当0从而f(x)min＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a,3)))＝eq \f(8a3,27)－eq \f(4a3,9)＝－eq \f(4a3,27).
综上所述，f(x)min＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，a≤0，,－\f(4a3,27)，018．已知函数，其中为常数.
（1）若a＝0，求函数f（x）的极值；
（2）若a＝﹣1，证明：函数f（x）在（0，1）上有唯一的极值点，且.
答案：（1）极大值为，无极小值；（2）证明见解析.
分析：
（1）利用导数求得的单调区间，进而求得的极值.
（2）利用二次求导的方法求得，结合二次函数的性质证得.
【详解】（1）,，
所以在递增，在递减，
所以在时取得极大值，无极小值.
（2），，令，.
，，所以在递增，
在递减.，，，
，所以存在唯一零点.
所以递增；递减.
当时，取得极大值，没有极小值.，则，
，由于，所以，
所以.
19．已知函数，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，函数在上的最大值为M，若存在，使得成立，求实数b的取值范围．
答案：（1）见解析；（2），．
分析：
（1）求出导数，分情况讨论：①时，解不等式，即得的单调区间；②时，解方程得或，按照1与的大小讨论，根据的符号即可求得其单调区间；
（2）当时，借助（1）问单调性易求得，存在，，使，等价于，由二次函数的性质可得不等式组，解出即可．
【详解】（1），
①当时，解，得，由，得，
所以函数的递增区间为，递减区间为在；
②时，令得或，
当时，，当变化时、随的变化情况如下表：
函数的递增区间为，，，递减区间为；
当时，，在上，在上，
所以函数的递增区间为，递减区间为；
综上所述：当时，函数的递增区间为，递减区间为在，
当时，函数的递增区间为，，，递减区间为，
当时，函数的递增区间为，递减区间为；
（2）由（1）知，当时，在上是增函数，在上是减函数，所以（1），
存在，，使，即存在，，使，只需函数在，上的最大值大于等于，所以有，即，解得：，所以的取值范围是，．
x
(-2,0)
0
0,83
83
83,4
g'(x)
+
0
-
0
+
g(x)
↗
↘
↗
+
0
-
0
+
极大值
极小值
x
0
0
极大值
极小值
x
(－∞，0)
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
－
0
＋
f(x)
↘
↘
极小值
↗

1
，
0
0
增
减
增