高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题24函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题24函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(原卷版+解析)，共48页。试卷主要包含了(2023·全国甲等内容，欢迎下载使用。

专题24 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
最值或值域
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
三角函数的图象
五点法作图
三角函数的图象与性质交汇
单调性
奇偶性
周期性
对称性
由图定式
图象变换
练高考 明方向
1.(2023·全国甲（文）T5）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
2.(2023·浙江卷T6） 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
3.(2023·全国甲（理）T11）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4．(2023年高考全国甲卷理科)已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
5、(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cs(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝________.
6、(多选)(2023·新高考全国卷Ⅰ)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝( )
A．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))
B．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))
C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))
D．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2x))
7．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在有且仅有3个极大值点； ②在有且仅有2个极小值点
③在单调递增； ④的取值范围是
其中所有正确结论的编号是( )
A．①④ B．②③C．①②③ D．①③④
8．(2023高考数学课标Ⅰ卷理科)已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为( )
(A)11 (B)9 (C)7 (D)5
9．(2023年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知曲线,,则下面结论正确的是( )
A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线
B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线
D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线
10．(2023高考数学课标Ⅲ卷理科)函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到.
11．(2023高考数学新课标1理科)设当时，函数取得最大值，则 =______．
12．(2023高考数学新课标1理科)函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为( )
A．B．
C．D．
13．(2023高考数学新课标理科)已知，函数在上单调递减。则的取值范围是( )
A．B．C．D．
讲典例 备高考
类型一、由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象求解析式
基础知识：
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
2.用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如表所示
基本题型：
1、（文字语言为情境的由图定式）已知函数y＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋φ))＋n的最大值为4，最小值是0，最小正周期是eq \f(π,2)，直线x＝eq \f(π,3)是其图象的一条对称轴，若A>0，ω>0,0<φ2．（表格语言为情境的由图定式）某同学利用描点法画函数y＝Asin(ωx＋φ)其中0经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式应是________．
3．（图象语言为情境的由图定式）函数的部分图象如图所示，其中，，.
则函数解析式为________.
4、（文字语言为情境的由图定式与函数性质相结合）（多选题）己知函数的一个零点，为图象的一条对称轴，且上有且仅有7个零点，下述结论正确的是（ ）
A． B．
C．上有且仅有4个极大值点 D．上单调递增
5、（图象语言为情境的由图定式与函数性质相结合）（多选题）函数的部分图像如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．直线是函数图像的一条对称轴
B．函数的图像关于点对称
C．函数的单调递增区间为
D．将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像
基本方法：
根据三角函数图象求解析式，一般思路就是由题中条件(如部分图象中的已知点、最值、周期、对称轴、对称中心)信息，利用待定系数法求得A，ω，φ的值，其基本步骤如下：
(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq \f(M－m,2)，b＝eq \f(M＋m,2).
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝eq \f(2π,T).通常从图中可以看出半个周期或四分之一(三)个周期．
(3)求φ，常用方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入，此时A，ω，b已知；或代入图象与直线y＝b的交点求解，此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上；或利用φ的范围确定k的取值．
②五点法：以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”即图象在x轴上方且上升时与x轴的交点，此时ωx＋φ＝0；“第二点”即图象的“峰点”，此时ωx＋φ＝eq \f(π,2)；“第三点”即图象下降时与x轴的交点，此时ωx＋φ＝π；“第四点”即图象的“谷点”，此时ωx＋φ＝eq \f(3π,2)；“第五点”即图象在x轴下方且上升时与x轴的交点，此时ωx＋φ＝2π.
类型二、函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的变换
基础知识：
由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种方法
基本题型：
1、（同名函数图象之间平移变换）为了得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象( )
A．向右平移eq \f(π,6)个单位 B．向右平移eq \f(π,3)个单位
C．向左平移eq \f(π,6)个单位 D．向左平移eq \f(π,3)个单位
2．（异名函数图象之间平移变换）把函数f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象向左平移m(m>0)个单位，得到函数g(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象，则m的最小值是( )
A.eq \f(7,24)π B.eq \f(17,24)π
C.eq \f(5,24)π D.eq \f(19,24)π
3．（图象平移与函数解析式交汇）已知函数的图象经过点，且的相邻两个零点的距离为，为得到的图象，可将图象上所有点（ ）
A．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的，纵坐标不变
B．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的，纵坐标不变
C．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
D．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
4．（图象平移与图象对称交汇）已知将函数的图象向右平移个单位长度得到画的图象，若和的图象都关于对称，则________.
5．（图象平移与函数单调性交汇）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数在区间上是单调递减函数，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．（图象平移与函数值域交汇）将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，则在区间上的值域为_______.
7、（图象平移与函数性质交汇）（多选题）将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则下列判断正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增 B．函数图象关于直线对称
C．函数在区间上单调递减 D．函数图象关于点对称
基本方法：
1、通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．注意先伸缩后平移时平移距离为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(φ,ω)))个单位．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象变换的注意点
先伸缩后平移．值得注意的是，对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换自变量x，如果x的系数不是1，那么需把x的系数提取后再确定平移的单位和方向．
3、三角函数图象与性质综合问题的求解思路
(1)将函数整理成y＝Asin(ωx＋φ)＋B(ω>0)的形式；
(2)把ωx＋φ看成一个整体；
(3)借助正弦函数y＝sin x的图象与性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
类型三、函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的应用
基本题型：
1．（用图研究函数性质）已知函数，则( )
A．的值域为 B．的单调递增区间为
C．当且仅当时， D．的最小正周期时
2．（用图研究函数零点）已知函数的图象如图所示，若函数的两个不同零点分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（用图研究方程的根）已知函数f(x)＝2eq \r(3)sineq \f(ωx,2)cseq \f(ωx,2)＋2cs2eq \f(ωx,2)－1(ω>0)的周期为π，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，方程feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝m恰有两个不同的实数解x1，x2，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋x2))＝( )
A．2 B．1 C．－1 D．－2
4．（用图研究函数图象交点）函数的图像与直线y＝a在(0，)上有三个交点，其横坐标分别为，，，则的取值范围为_______.
基本方法：
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1．为了得到的图像，可以将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
2．函数在区间上的零点的个数是
A．10B．20C．30D．40
3．已知函数，，的图象如图所示，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4、（多选题）已知函数，则（ ）
A．为的一个周期B．的图象关于直线对称
C．在上单调递减D．的一个零点为
5．设函数，，若方程恰好有三个根，分别为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图是函数在区间上的图像，将该图像向右平移个单位长度后，所得图像关于直线对称，则的最大值为（ ）．
A．B．C．D．
7．将函数的图象向右平移()个单位，得到函数的图象.在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数其图象的相邻两条对称轴之间的距离为．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为 B．函数的图象关于点对称
C．函数在上有且仅有1个零点 D．函数在上为减函数
8、（多选题）函数(，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数
C．若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是奇函数
D．，若恒成立，则的最小值为
9．函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则下列判断正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数的图象关于直线对称
C．当时，函数的最小值为
D．要得到函数的图象，只需要将的图象向右平移个单位
10、（多选题）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象,则函数具有性质( )
A．在上单调递增,为偶函数B．最大值为1,图象关于直线对称
C．在上单调递增,为奇函数D．周期为,图象关于点对称
11、（多选题）已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．函数为奇函数
B．函数在上单调递增
C．若，则的最小值为
D．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
12、（多选题）将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则（ ）
A．是偶函数 B．的最小正周期为
C．的图像关于直线对称 D．的图像关于点对称
13．函数的部分图象如图所示，给出以下结论：
① 的最小正周期为2； ② 的一条对称轴为；
③ 在，上单调递减；④ 的最大值为；则错误的结论为________.
14．（2023·河南平顶山）已知函数，若对满足，的，，有的最小值为.若将其图象沿轴向右平移个单位，再将得到的图象各点的横坐标伸长到原来的两倍（纵坐标不变），得到函数的解析式为______.
15．已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则______．
16．已知函数．
（1）在给定的平面直角坐标系中，画函数的简图；
（2）求的单调增区间；
（3）函数的图象只经过怎样的平移变换就可得到的图象？
17．函数的部分象如图所示.
(1)求的最小正周期及解析式；
(2)求函数在区间上的取值范围.
18．已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式：
（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域．
19．如图是函数的部分图象.
（1）求函数的表达式；
（2）若函数满足方程，求在内的所有实数根之和；
（3）把函数的图象的周期扩大为原来的两倍，然后向右平移个单位，再把纵坐标伸长为原来的两倍，最后向上平移一个单位得到函数的图象．若对任意的，方程在区间上至多有一个解，求正数的取值范围．
y＝Asin(ωx＋φ)
(A>0，ω>0，x≥0)表示一个简谐运动
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝eq \f(2π,ω)
f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)
ωx＋φ
_φ_
ωx＋φ
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
－eq \f(φ,ω)
eq \f(\f(π,2)－φ,ω)
eq \f(π－φ,ω)
eq \f(\f(3π,2)－φ,ω)
eq \f(2π－φ,ω)
y＝f(x)
0
A
0
－A
0
x
0
1
2
3
4
y
1
0
1
－1
－2
2023高考一轮复习讲与练
专题24 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
最值或值域
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
三角函数的图象
五点法作图
三角函数的图象与性质交汇
单调性
奇偶性
周期性
对称性
由图定式
图象变换
练高考 明方向
1.(2023·全国甲（文）T5）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
分析：先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.
【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，解得，又，故当时，的最小值为.
2.(2023·浙江卷T6） 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
答案：D
分析：根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．
3.(2023·全国甲（理）T11）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
分析：由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】依题意可得，因为，所以，要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：
则，解得，即．
4．(2023年高考全国甲卷理科)已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
答案：2
解析：由图可知，即，所以；由五点法可得，
即；所以．因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，可得的最小正整数为2．

方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2．
5、(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cs(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝________.
答案：－eq \r(3)
【解析】设函数f(x)＝2cs(ωx＋φ)的周期为T.由题图可知eq \f(3,4)T＝eq \f(13,12)π－eq \f(π,3)，∴T＝π.又T＝eq \f(2π,|ω|)，
∴|ω|＝2.不妨设ω>0，则f(x)＝2cs(2x＋φ)．将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13π,12)，2))代入f(x)中，可得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13π,12)))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(13π,12)＋φ))＝2，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13π,6)＋φ))＝1，∴eq \f(13π,6)＋φ＝2kπ(k∈Z)，∴φ＝2kπ－eq \f(13π,6)(k∈Z)．取k＝1，得φ＝－eq \f(π,6)，
∴f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))). ∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,2)－\f(π,6)))＝2cseq \f(5π,6)＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))＝－eq \r(3).
6、(多选)(2023·新高考全国卷Ⅰ)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝( )
A．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))
B．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))
C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))
D．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2x))
答案：BC
【解析】由题图可知，函数的最小正周期T＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－\f(π,6)))＝π，∴eq \f(2π,|ω|)＝π，ω＝±2.
当ω＝2时，y＝sin(2x＋φ)，将点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))代入得，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,6)＋φ))＝0，∴2×eq \f(π,6)＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，
即φ＝2kπ＋eq \f(2π,3)，k∈Z，∴y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))，故A错误；
由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))知B正确；
由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)＋\f(π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))知C正确；
由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(5π,6)))))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2x))知D错误．
综上可知，正确的选项为B、C.
7．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在有且仅有3个极大值点； ②在有且仅有2个极小值点
③在单调递增； ④的取值范围是
其中所有正确结论的编号是( )
A．①④ B．②③C．①②③ D．①③④
答案：D
【解析】在有且仅有3个极大值点，分别对应，故①正确．在有2个或3个极小值点，分别对应和，故②不正确．因为当时，，由在有且仅有5个零点．则，解得，故④正确．由，得，，所以在单调递增，故③正确．综上所述，本题选D．
8．(2023高考数学课标Ⅰ卷理科)已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为( )
(A)11 (B)9 (C)7 (D)5
答案：B
【解析】由题意知：，则，其中，在单调，，接下来用排除法：若，此时
在递增，在递减，不满足在单调
若，此时，满足在单调递减．
9．(2023年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知曲线,,则下面结论正确的是( )
A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线
B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线
D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线
答案： D
【解析】因为函数名不同,所以先将利用诱导公式转化成与相同的函数名,则,则由上各点的横坐标缩短到原来的倍变为,再将曲线向左平移个单位得到,故选D．
10．(2023高考数学课标Ⅲ卷理科)函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到.
答案：
【解析】因为，，所以函数的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到.
11．(2023高考数学新课标1理科)设当时，函数取得最大值，则 =______．
答案：
解析：∵==
令=，，则==，
当=，即=时，取最大值，此时=，∴===．
12．(2023高考数学新课标1理科)函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为( )
A．B．
C．D．
答案：D
解析：由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D．
13．(2023高考数学新课标理科)已知，函数在上单调递减。则的取值范围是( )
A．B．C．D．
答案：A
解析：∵y=sinx在上单调递减，∴，
∴而函数在上单调递减，
∴，
即得且，根据答案特征只能是k=0，
讲典例 备高考
类型一、由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象求解析式
基础知识：
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
2.用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如表所示
基本题型：
1、（文字语言为情境的由图定式）已知函数y＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋φ))＋n的最大值为4，最小值是0，最小正周期是eq \f(π,2)，直线x＝eq \f(π,3)是其图象的一条对称轴，若A>0，ω>0,0<φ答案：y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,6)))＋2.
【解析】依题意可得A＝eq \f(4－0,2)＝2，n＝eq \f(4＋0,2)＝2，ω＝eq \f(2π,\f(π,2))＝4，所以y＝2sin(4x＋φ)＋2，所以4×eq \f(π,3)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，即φ＝kπ－eq \f(5π,6)，k∈Z，因为0<φ2．（表格语言为情境的由图定式）某同学利用描点法画函数y＝Asin(ωx＋φ)其中0经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式应是________．
答案：y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x＋\f(π,6)))
【解析】由题意可知(0,1)，(2,1)关于对称轴对称，且对称轴x＝1，由三角函数的对称性可知，正弦函数在对称轴处取得最值，且过(1，A)，从而可得第二组(1,0)错误．把(1，A)代入可得，ω＋φ＝eq \f(π,2)，(2,1)，
(3，－1)关于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，0))对称，所以可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，0))是与函数的对称轴x＝1相邻的一个对称中心，从而函数的周期T＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－1))＝6，根据周期公式T＝eq \f(2π,ω)＝6，可得ω＝eq \f(π,3)，φ＝eq \f(π,6)，函数f(x)＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x＋\f(π,6)))，把函数图象上的点(0,1)代入函数解析式,可得Asineq \f(π,6)＝1，所以A＝2.所以y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x＋\f(π,6)))。
3．（图象语言为情境的由图定式）函数的部分图象如图所示，其中，，.
则函数解析式为________.
答案：；
【解析】（Ⅰ）根据函数的一部分图象，其中，，，
可得，，，∴.又，得，
∴，即，∵，∴，∴；
4、（文字语言为情境的由图定式与函数性质相结合）（多选题）己知函数的一个零点，为图象的一条对称轴，且上有且仅有7个零点，下述结论正确的是（ ）
A． B．
C．上有且仅有4个极大值点 D．上单调递增
答案：CD
【解析】为图象的一条对称轴，为的一个零点，
，且，，，，
在上有且仅有7个零点，，即，，
，又，所以，
令，解得，
当解得，因为，所以
故上有且仅有4个极大值点，由得，，
即在上单调递增，在上单调递增，综上，错误，正确，
5、（图象语言为情境的由图定式与函数性质相结合）（多选题）函数的部分图像如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．直线是函数图像的一条对称轴
B．函数的图像关于点对称
C．函数的单调递增区间为
D．将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像
答案：BC
【详解】由图知：，所以，因为，，即，。
所以.又因为，所以，，.
又因为，所以，所以.对选项A，，故A错误.对选项B，令，解得，.所以函数的对称中心为, ，故B正确.对选项C，，，解得，
所以函数的增区间为, ，故C正确.对选项D，，故D错误.
基本方法：
根据三角函数图象求解析式，一般思路就是由题中条件(如部分图象中的已知点、最值、周期、对称轴、对称中心)信息，利用待定系数法求得A，ω，φ的值，其基本步骤如下：
(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq \f(M－m,2)，b＝eq \f(M＋m,2).
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝eq \f(2π,T).通常从图中可以看出半个周期或四分之一(三)个周期．
(3)求φ，常用方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入，此时A，ω，b已知；或代入图象与直线y＝b的交点求解，此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上；或利用φ的范围确定k的取值．
②五点法：以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”即图象在x轴上方且上升时与x轴的交点，此时ωx＋φ＝0；“第二点”即图象的“峰点”，此时ωx＋φ＝eq \f(π,2)；“第三点”即图象下降时与x轴的交点，此时ωx＋φ＝π；“第四点”即图象的“谷点”，此时ωx＋φ＝eq \f(3π,2)；“第五点”即图象在x轴下方且上升时与x轴的交点，此时ωx＋φ＝2π.
类型二、函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的变换
基础知识：
由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种方法
基本题型：
1、（同名函数图象之间平移变换）为了得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象( )
A．向右平移eq \f(π,6)个单位 B．向右平移eq \f(π,3)个单位
C．向左平移eq \f(π,6)个单位 D．向左平移eq \f(π,3)个单位
答案：A
【解析】∵函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))))，∴为了得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象向右平移eq \f(π,6)个单位．
2．（异名函数图象之间平移变换）把函数f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象向左平移m(m>0)个单位，得到函数g(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象，则m的最小值是( )
A.eq \f(7,24)π B.eq \f(17,24)π
C.eq \f(5,24)π D.eq \f(19,24)π
答案：B
【解析】把函数f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象向左平移m(m>0)个单位，得到f(x)＝2cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2x＋m－\f(π,4)))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋2m－\f(π,4)))的图象，g(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＝2cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2x))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(5π,6)))，
由2m－eq \f(π,4)＝－eq \f(5π,6)＋2kπ，k∈Z，得m＝－eq \f(7π,24)＋kπ，k∈Z，∵m>0，∴当k＝1时，m最小，此时m＝π－eq \f(7π,24)＝eq \f(17π,24).
3．（图象平移与函数解析式交汇）已知函数的图象经过点，且的相邻两个零点的距离为，为得到的图象，可将图象上所有点（ ）
A．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的，纵坐标不变
B．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的，纵坐标不变
C．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
D．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
答案：A
【解析】由题意可知，，，∵，∴，，∵，∴，可得：，∴将的图象先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象。
4．（图象平移与图象对称交汇）已知将函数的图象向右平移个单位长度得到画的图象，若和的图象都关于对称，则________.
答案：
【解析】由题意，，因为和的图象都关于对
称，所以①，②，由①②，得
，又，所以，将代入①，得，注意到，所以，所以.
5．（图象平移与函数单调性交汇）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数在区间上是单调递减函数，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】由题意，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上是单调递减函数，，，.
，，解得，所以实数的最大值为.
6．（图象平移与函数值域交汇）将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，则在区间上的值域为_______.
答案：
【详解】由题意得的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍，这时变为，再把得到的图像向左平移个单位长度，这时变为，所以，，∵，∴.
7、（图象平移与函数性质交汇）（多选题）将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则下列判断正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增 B．函数图象关于直线对称
C．函数在区间上单调递减 D．函数图象关于点对称
答案：ABD
【解析】函数的图像向右平移个单位长度得到.由于，故是的对称轴，B选项正确.由于，故是的对称中心，D选项正确.由，解得，即在区间上递增，故A选项正确、C选项错误.
基本方法：
1、通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．注意先伸缩后平移时平移距离为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(φ,ω)))个单位．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象变换的注意点
先伸缩后平移．值得注意的是，对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换自变量x，如果x的系数不是1，那么需把x的系数提取后再确定平移的单位和方向．
3、三角函数图象与性质综合问题的求解思路
(1)将函数整理成y＝Asin(ωx＋φ)＋B(ω>0)的形式；
(2)把ωx＋φ看成一个整体；
(3)借助正弦函数y＝sin x的图象与性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
类型三、函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的应用
基本题型：
1．（用图研究函数性质）已知函数，则( )
A．的值域为 B．的单调递增区间为
C．当且仅当时， D．的最小正周期时
答案：D
【解析】当，即时，；当，即时，.综上，的值域为，故A错；的单调递增区间是和，B错误；当时，，故C错误；结合的图象可知的最小正周期是。
2．（用图研究函数零点）已知函数的图象如图所示，若函数的两个不同零点分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】由图象可知函数的最大值为2，所以，，所以，当时，，，，，即，当时，，得或，
解得，或，相邻的零点中，的最小值是.
3．（用图研究方程的根）已知函数f(x)＝2eq \r(3)sineq \f(ωx,2)cseq \f(ωx,2)＋2cs2eq \f(ωx,2)－1(ω>0)的周期为π，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，方程feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝m恰有两个不同的实数解x1，x2，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋x2))＝( )
A．2 B．1 C．－1 D．－2
答案：B
【详解】f(x)＝2eq \r(3)sineq \f(ωx,2)cseq \f(ωx,2)＋2cs2eq \f(ωx,2)－1＝eq \r(3)sin ωx＋cs ωx＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6))).
由T＝eq \f(2π,ω)＝π得ω＝2，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).作出函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) 上的
图象如图．由图可知x1＋x2＝eq \f(π,3)，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋x2))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,3)＋\f(π,6)))＝2×eq \f(1,2)＝1.
4．（用图研究函数图象交点）函数的图像与直线y＝a在(0，)上有三个交点，其横坐标分别为，，，则的取值范围为_______.
答案：
【详解】由题意因为x∈(0，)，则，可画出函数大致的图
则由图可知当时，方程有三个根，由解得，解得，且点与点关于直线对称，所以，点与点关于直线对称，故由图得，令，当为x∈(0，)时，解得或，所以，，，解得，则，即.
基本方法：
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1．为了得到的图像，可以将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
答案：B
【解析】因为，且==,所以由=，知，即只需将的图像向右平移个单位，故选B
2．函数在区间上的零点的个数是
A．10B．20C．30D．40
答案：A
【详解】画出图象函数和的图象，根据图象可得函数在区间上的零点的个数是10，故选A．
3．已知函数，，的图象如图所示，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案：D
【解析】由图可知，，所以，当时，函数取得最大值，所以，则，解得，∵，∴.
4、（多选题）已知函数，则（ ）
A．为的一个周期B．的图象关于直线对称
C．在上单调递减D．的一个零点为
答案：AD
【详解】根据函数知最小正周期为，正确.
当时，，由余弦函数的对称性知，错误；
函数在上单调递减，在上单调递增，故错误；
，，故正确.
5．设函数，，若方程恰好有三个根，分别为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为，由得，∴，
由得，∴，∴。
6．如图是函数在区间上的图像，将该图像向右平移个单位长度后，所得图像关于直线对称，则的最大值为（ ）．
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意可知，，所以，根据五点作图法可得，解得，所以，将该函数图像向右平移个单位长度后，得到的图像，又的图像关于直线对称，所以，即，因为，所以当时，取最大值．
7．将函数的图象向右平移()个单位，得到函数的图象.在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】由图可知，，因为的图象向右平移个单位，得到函数的图象，所以，所以，
所以或，，解得或，，
因为，所以.
8．已知函数其图象的相邻两条对称轴之间的距离为．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为 B．函数的图象关于点对称
C．函数在上有且仅有1个零点 D．函数在上为减函数
答案：D
【解析】∵函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，∴，，故A错误；由得，，将函数的图象向左平移个单位长度后的图象对应的解析式为
，其图象关于原点对称，所以为奇函数，所以，所以，所以，因为，所以，，于是．
∵，∴B错误；∵，，故C错误；由得，所以函数在上为减函数，故D正确；
8、（多选题）函数(，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数
C．若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是奇函数
D．，若恒成立，则的最小值为
答案：ACD
【详解】：对A，由题意知： ，，，，
即，（），（），又，，
，所以A正确 ；对B，把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，
得到的函数，，，在上不单调递增，故错误；对C，把的图像向左平移个单位，则所得函数为：，是奇函数，故正确；对D，对，恒成立，即，恒成立，令，，
则，，，，
，的最小值为，故D正确.
9．函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则下列判断正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数的图象关于直线对称
C．当时，函数的最小值为
D．要得到函数的图象，只需要将的图象向右平移个单位
答案：D
【详解】由函数的最大值为2可得，，因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以函数的最小正周期满足，所以，，又的图象关于点对称，所以即，所以，，当时，，
所以函数在上单调递增，故A正确；当时，，所以直线不是函数图象的对称轴，故B错误；当时，，，故C错误；将的图象向右平移个单位可得的函数为：
10、（多选题）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象,则函数具有性质( )
A．在上单调递增,为偶函数B．最大值为1,图象关于直线对称
C．在上单调递增,为奇函数D．周期为,图象关于点对称
答案：ABD
【解析】
则，单调递增，为偶函数， 正确错误；
最大值为，当时，为对称轴，正确；
，取，当时满足，图像关于点对称，正确；
11、（多选题）已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．函数为奇函数
B．函数在上单调递增
C．若，则的最小值为
D．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
答案：AC
【解析】因为直线是的对称轴,
所以,则,当时,,则,
对于选项A,,因为,所以为奇函数,故A正确；
对于选项B,,即,当时,在当单调递增,故B错误；
对于选项C,若,则最小为半个周期,即,故C正确；
对于选项D,函数的图象向右平移个单位长度,即,故D错误
12、（多选题）将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则（ ）
A．是偶函数 B．的最小正周期为
C．的图像关于直线对称 D．的图像关于点对称
答案：AD
【解析】函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，
为偶函数，故A正确；的周期为，排除B；因为，所以的图象不关于直线对称，排除C；，故D正确
13．函数的部分图象如图所示，给出以下结论：
① 的最小正周期为2； ② 的一条对称轴为；
③ 在，上单调递减；④ 的最大值为；则错误的结论为________.
答案：② ④
【详解】由图易知函数的最小正周期为，①正确；由图知，左侧第一个零点为：，
所以对称轴为，所以不是对称轴，②不正确；由图可知，即时函数是减函数，所以③正确；
因为正负不定，所以④不正确．所以只有② ④不正确．
14．已知函数，若对满足，的，，有的最小值为.若将其图象沿轴向右平移个单位，再将得到的图象各点的横坐标伸长到原来的两倍（纵坐标不变），得到函数的解析式为______.
答案：
【解析】，由，，且的最小值为，知，∴.由，得，，将其图象沿轴向右平移单位，得到，再将所得各点的横坐标伸长到原来的两倍（纵坐标不变），所得函数的解析式为.
15．已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则______．
答案：
【解析】函数是奇函数，所以，代入可得，
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．
则，的最小正周期为，则 ，解得，所以，
因为，代入可得，解得，所以，则。
16．已知函数．
（1）在给定的平面直角坐标系中，画函数的简图；
（2）求的单调增区间；
（3）函数的图象只经过怎样的平移变换就可得到的图象？
答案：（1）作图见解析；（2）和；（3）向左平移.
【详解】（1）列表如下：
图象如下：
（2）由解得（）.依题意，
令，得；令，得.所以的单调递增区间为和.
（3），所以向左平移，
得到.
17．函数的部分象如图所示.
(1)求的最小正周期及解析式；
(2)求函数在区间上的取值范围.
答案：(1)，；(2).
【详解】(1)由图象知，函数的周期，即，则，
又由五点对应法，可得，得， 则函数的解析式为.
(2)因为，所以，则，故，
令，即，则，当时取得最小值，当时取得最大值3，故的取值范围是。
18．已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式：
（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域．
答案：（1）；（2）.
【解析】（1）由题设图象可知，∵周期，又，∴，
∵过点，∴，即，∴，
即．∵，∴，故函数的解析式为；
（2）由题意可知，∵，∴，
∴，故，∴在上的值域为．
19．如图是函数的部分图象.
（1）求函数的表达式；
（2）若函数满足方程，求在内的所有实数根之和；
（3）把函数的图象的周期扩大为原来的两倍，然后向右平移个单位，再把纵坐标伸长为原来的两倍，最后向上平移一个单位得到函数的图象．若对任意的，方程在区间上至多有一个解，求正数的取值范围．
答案：（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）
【详解】（Ⅰ）由图可知：，即，又由图可知：是五点作图法中的第二点，，即．
（Ⅱ）因为的周期为，在内恰有个周期.
⑴当时，方程在内有个实根，设为，结合图像知 ，故所有实数根之和为 ；
⑵当时，方程在内有个实根为，故所有实数根之和为
⑶当时，方程在内有个实根，设为，结合图像知 ，故所有实数根之和为 ；
综上：当时，方程所有实数根之和为 ；
当时，方程所有实数根之和为 ；
（Ⅲ），函数的图象如图所示：
则当图象伸长为原来的倍以上时符合题意，所以．
y＝Asin(ωx＋φ)
(A>0，ω>0，x≥0)表示一个简谐运动
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝eq \f(2π,ω)
f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)
ωx＋φ
_φ_
ωx＋φ
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
－eq \f(φ,ω)
eq \f(\f(π,2)－φ,ω)
eq \f(π－φ,ω)
eq \f(\f(3π,2)－φ,ω)
eq \f(2π－φ,ω)
y＝f(x)
0
A
0
－A
0
x
0
1
2
3
4
y
1
0
1
－1
－2