高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题25正(余)弦定理的应用(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题25正(余)弦定理的应用(原卷版+解析)，共41页。
正（余）弦定理的应用
求边
求角
求面积
练高考 明方向
1.(2023·新高考Ⅱ卷T18） 记的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
（1）求的面积；（2）若，求b．
2.(2023·全国乙（文）T17）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
（1）若，求C；（2）证明：
3.(2023·全国乙（理）T17）记的内角的对边分别为，已知．
（1）证明：；
（2）若，求的周长．
4.(2023·北京卷T16）在中，．
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长．
5.(2023·浙江卷T18） 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）求的值；
（2）若，求的面积．
6.(2023·浙江卷T11） 我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．
7．(2023年高考全国甲卷理科)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A．B．C三点，且A．B．C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A．C两点到水平面的高度差约为()( )
A．346B．373C．446D．473
8．(2023·天津高考)在△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin A∶sin B∶sin C＝2∶1∶eq \r(2)，b＝eq \r(2).
(1)求a的值；
(2)求cs C的值；
(3)求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2C－\f(π,6)))的值．
9、(2023·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.
(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
10．(2023·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为eq \r(3)，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________.
11．(2023·浙江高考)在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2eq \r(3)，则AC＝______，
cs∠MAC＝________.
12．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)在△ABC中，csC=，AC=4，BC=3，则csB=( )
A．B．C．D．
13．(2023年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)的内角的对边分别为．设．
(1)求；(2)若，求．
14．(2023年高考数学课标Ⅲ卷（理）)的内角的对边分别为，若的面积为，则( )
A．B．C．D．
15．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理）)在中，，，，则( )
A．B．C．D．
16．(2023高考数学课标Ⅲ卷理科)在△ABC中,,边上的高等于,则( )
A．B．C．D．
17．(2023高考数学课标2理科)钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=( )
A．5B．C．2D．1
18．(2023年高考全国乙卷理科)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
19．(2023年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)的内角，，的对边分别为，，.若，，，则的面积为 ．
20、【2019年高考浙江卷】在中，，，，点在线段上，
若，则___________，___________．
21. 【2019年高考天津卷理数】在中，内角所对的边分别为．已知，．
（1）求的值；（2）求的值．
22．(2023年高考数学新课标Ⅰ卷理科)的内角的对边分别为,已知的面积为．
(1)求; (2)若,,求的周长．
23．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)的内角的对边分别为．已知，，．
(1)求；(2)设为边上一点，且，求的面积．
24．(2023高考数学课标Ⅰ卷)的内角的对边分别为，已知
(= 1 \* ROMANI)求；(= 2 \* ROMANII)若，的面积为，求的周长．
25．(2023高考数学课标Ⅱ卷理科)的内角的对边分别为，若，，，则 ．
讲典例 备高考
类型一、正（余）弦定理的基本应用
基础知识：
1．余、正弦定理的内容及其变形
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
2、主要结论：
(1)在△ABC中，A＋B＋C＝π.变形：eq \f(A＋B,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(C,2).
(2)在△ABC中，内角A，B，C成等差数列⇔B＝eq \f(π,3)，A＋C＝eq \f(2π,3).B.
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(4)有关三角形内角的三角函数关系式：sin(A＋B)＝sin C；cs(A＋B)＝－cs C；
tan(A＋B)＝－tan C；sineq \f(A＋B,2)＝cseq \f(C,2)；cseq \f(A＋B,2)＝sineq \f(C,2).
(5)大边对大角，大角对大边，如a＞b⇔A＞B⇔sin A＞sin
(6)在斜△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.
(7)三角形射影定理：在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B；b＝acs C＋ccs A；c＝bcs A＋acs B.
基本题型：
1．（求角的大小）在中，内角的对边分别是，若，，则____.
2．（求角的函数值）在中，角，，的对边，，满足，且，则=（ ）
A．B．C．D．0
3、（求三角形的边长）已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，若sin A＝eq \f(2\r(2),3)，
sin B>sin C，a＝3，S△ABC＝2eq \r(2)，则b的值为( )
A．2或3 B．2 C．3 D．6
4、（求三角形的高）在中，，，，则边上的高为（ ）
A．B．2C．D．
5、（多选题）已知在中，角， ， 的对边分别为， ， ，则下列四个论断中正确的是（ ）
A.若，则；
B.`若， ， ，则满足条件的三角形共有两个；
C.若， ， 成等差数列， ， ， 成等比数列，则为正三角形；
D.若， ， 的面积，则.
基本方法：
利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．
利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断)．
类型二、求三角形的面积
基础知识：
1．三角形常用面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A；
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
基本题型：
1．已知，，分别为内角，，的对边，，，则的面积为（ ）
A．B．2C．D．
2．在中，面积，则（ ）
A． B．C．D．
3．△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．
4．已知分别为三个内角的对边，
(1)求 (2)若，的面积为，求．
5、在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
已知的内角，，所对的边分别是，，，若______.
（1）求角；
（2）若，求周长的最小值，并求出此时的面积.
基本方法：
与三角形面积有关问题的解题策略
(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；
(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量．
类型三、判断三角形的形状
基本题型：
1．在中，，，的对边分别为，，，，则的形状一定是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，设△ABC的面积为S，
若accs B＝eq \f(2\r(3),3)S，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
3、（多选题）在中，若，则的形状
A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形D．锐角三角形
4．已知中，三内角满足，三边满足，则是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
5．对于，有如下四个命题:
①若 ，则为等腰三角形；
②若，则是直角三角形；
③若，则是钝角三角形；
④若，则是等边三角形. 其中正确的命题序号是
6．在中，角，，所对的边分别是，，，且
（1）若，，求；
（2）若，试判断的形状.
基本方法：
1．判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．
2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制．
新预测 破高考
1.（多选题）在中，，，，则角的值可以是
A．B．C．D．
2．设的内角所对边的长分别为，若,则角=（ ）
A．B．
C．D．
3．在中，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．(多选)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝3，b＝2，sin B＝sin 2A，则( )
A．sin B＝eq \f(4\r(2),9) B．cs A＝－eq \f(1,3)
C．c＝3 D．S△ABC＝2eq \r(2)
5．如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则
A．和都是锐角三角形 B．和都是钝角三角形
C．是钝角三角形，是锐角三角形 D．是锐角三角形，是钝角三角形
6．在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，，则等于( )
A．90°B．60°
C．45°D．30°
7．设的内角所对的边分别为，且，已知的面积等于，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．在中，角的对边分别是， ，则的形状为
A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形
C．等腰直角三角形D．正三角形
9．已知为的三个内角的对边，向量，若，则内角A的大小为（ ）
A．B．C．D．
10．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝eq \r(10)，a2＋b2－c2＝absin C，
acs B＋bsin A＝c，则下列结论正确的是( )
A．tan C＝2 B．A＝eq \f(π,4)
C．b＝eq \r(2) D．△ABC的面积为6
11．在中，已知，则该的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰或直角三角形
12．在中，内角、、所对的边分别为、、，为的面积，，且，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
13．在中，角所对的边分别为，且满足．，的面积为1，则边=（ ）
A．B．4C．D．.
14．在中，内角，，所对的边分别为，，.若，，，则____.
15．在△中，分别为角的对边，已知，，面积，则________.
16．在中，则的值等于________.
17．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是，向量＝(a－c，b＋c)，＝(b－c，a)，且.
（1）求B；（2）若b＝，cs＝，求a.
18．在中，内角所对的边分别为，已知．
（1）证明：；（2）若的面积，求角的大小．
19．在中，角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求的值；（2）若，，求的值
20、已知在△ABC中，三边a，b，c分别对应三个内角A，B，C，且eq \f(a,c＋b－a)＝eq \f(c－b＋a,b).
(1)求角C的大小；
(2)当△ABC外接圆半径R＝1时，求△ABC面积的最大值，并判断此时△ABC的形状．
内容
变形
余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccs_A；
b2＝c2＋a2－2cacs_B；
c2＝a2＋b2－2abcs_C
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
正弦定理
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；
(3)eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C) ＝eq \f(a,sin A)＝2R
2023高考一轮复习讲与练
专题25 正（余）弦定理的应用
正（余）弦定理的应用
求边
求角
求面积
练高考 明方向
1.(2023·新高考Ⅱ卷T18） 记的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
（1）求的面积；（2）若，求b．
答案：（1） （2）
【解析】
分析：（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
【小问1详解】
由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
【小问2详解】
由正弦定理得：，则，
则，.
2.(2023·全国乙（文）T17）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
（1）若，求C；（2）证明：
答案：（1）； （2）证明见解析．
【解析】
分析：（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
【小问1详解】
由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
【小问2详解】
由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得，故原等式成立．
3.(2023·全国乙（理）T17）记的内角的对边分别为，已知．
（1）证明：；
（2）若，求的周长．
答案：（1）见解析 （2）14
分析：（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.
【小问1详解】
证明：因为，
所以，
所以，
即，所以；
【小问2详解】因为，由（1）得，
由余弦定理可得， 则，所以，
故，所以，所以的周长为.
4.(2023·北京卷T16）在中，．
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长．
答案：（1） （2）
【解析】
分析：（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.
【小问1详解】因为，则，由已知可得，
可得，因此，.
【小问2详解】由三角形的面积公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周长为.
5.(2023·浙江卷T18） 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）求的值；
（2）若，求的面积．
答案：（1）； （2）．
【解析】
分析：（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积．
【小问1详解】
由于， ，则．因为，
由正弦定理知，则．
【小问2详解】
因为，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面积．
6.(2023·浙江卷T11） 我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．
答案：.
分析：根据题中所给的公式代值解出．
【详解】因为，所以．
7．(2023年高考全国甲卷理科)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A．B．C三点，且A．B．C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A．C两点到水平面的高度差约为()( )
A．346B．373C．446D．473
答案：B
解析：
过作，过作，
故，
由题，易知为等腰直角三角形，所以．
所以．因为，所以
在中，由正弦定理得：，
而，
所以，所以．
8．(2023·天津高考)在△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin A∶sin B∶sin C＝2∶1∶eq \r(2)，b＝eq \r(2).
(1)求a的值；
(2)求cs C的值；
(3)求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2C－\f(π,6)))的值．
【解析】(1)∵sin A∶sin B∶sin C＝2∶1∶eq \r(2)，由正弦定理可得a∶b∶c＝2∶1∶eq \r(2)，
∵b＝eq \r(2)，∴c＝2，a＝2eq \r(2).
(2)由余弦定理可得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(8＋2－4,2×2\r(2)×\r(2))＝eq \f(3,4).
(3)∵cs C＝eq \f(3,4)，∴sin C＝eq \r(1－cs2C)＝eq \f(\r(7),4)，∴sin 2C＝2sin Ccs C＝2×eq \f(\r(7),4)×eq \f(3,4)＝eq \f(3\r(7),8)，
cs 2C＝2cs2C－1＝2×eq \f(9,16)－1＝eq \f(1,8)，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2C－\f(π,6)))＝sin 2Ccseq \f(π,6)－cs 2Csineq \f(π,6)＝eq \f(3\r(21)－1,16).
9、(2023·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.
(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【解析】(1)由2sin C＝3sin A及正弦定理可得2c＝3a，
结合b＝a＋1，c＝a＋2，解得a＝4，b＝5，c＝6.
在△ABC中，由余弦定理得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(16＋25－36,40)＝eq \f(1,8)，所以sin C＝ eq \r(1－cs2C)＝eq \f(3\r(7),8)，
S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×4×5×eq \f(3\r(7),8)＝eq \f(15\r(7),4).
(2)设存在正整数a满足条件，由已知c>b>a，所以∠C为钝角，
所以cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)