高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题27平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题27平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示(原卷版+解析)，共1页。试卷主要包含了(2023·全国乙，注意事项等内容，欢迎下载使用。
专题27 平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示
共线
向量
定理
平面向量的有关概念
向量
平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示
加法
向量的线性运算
单位向量
相等向量
平行向量
共线向量
减法
数乘
相反向量
零向量
向量的模
平面向量基本定理
平面
向量
坐标
表示
共线
向量
坐标
表示
练高考 明方向
1.(2023·全国乙（文）T3） 已知向量，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
2.(2023·新高考Ⅰ卷T3） 在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A. B. C. D.
3．(2023·新高考全国Ⅱ卷)若D为△ABC的边AB的中点，则eq \(CB,\s\up7(―→))＝( )
A．2eq \(CD,\s\up7(―→))－eq \(CA,\s\up7(―→)) B．2eq \(CA,\s\up7(―→))－eq \(CD,\s\up7(―→))
C．2eq \(CD,\s\up7(―→))＋eq \(CA,\s\up7(―→)) D．2eq \(CA,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))
4．(2023年高考数学课标卷Ⅰ)在中,为边上的中线，为的中点，则( )
A． B． C． D．
5．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为( )
A． B． C． D．
6．(2023高考数学新课标1理科)设D为 QUOTE \* MERGEFORMAT ABC所在平面内一点，则( )
A． B．
C． D．
7．(2023高考数学新课标2理科)设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．
8．(2023北京)在中，点，满足，．
若，则；．
讲典例 备高考
类型一、平面向量有关概念
基础知识：
1．向量的有关概念
基本题型：
1．等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点P，点E，F分别在两腰AB，CD上，EF过点P，且EF//AD，则下列等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．(多选)下列说法正确的是( )
A．非零向量a与b同向是a＝b的必要不充分条件
B．向量eq \(AB,\s\up7(―→))∥eq \(CD,\s\up7(―→)) (eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(CD,\s\up7(―→))为非零向量)就是eq \(AB,\s\up7(―→))所在直线平行于eq \(CD,\s\up7(―→))所在直线
C．a与b是非零向量，若a与b同向，则a与－b反向
D．设λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
3．给出下列四个命题：
①eq \(AB,\s\up7(―→))∥eq \(CD,\s\up7(―→))，就是eq \(AB,\s\up7(―→))所在的直线与eq \(CD,\s\up7(―→))所在的直线平行；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则“eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(DC,\s\up7(―→))”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是( )
A．②③ B．①② C．③④ D．②④
4、（多选题）已知向量是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使共线的是( )
A．且 B．存在相异实数，使
C．（其中实数满足） D．已知梯形．其中
基本方法：
对于向量概念的理解应注意以下几点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．
(4)非零向量a与eq \f(a,|a|)的关系：eq \f(a,|a|)是a方向上的单位向量．
(5)向量的特征是有大小，有方向，向量既可以用有向线段表示，用字母表示，也可以用坐标表示。
(6)相等的向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量。
(7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负数，可以比较大小。
(8)向量是自由向量，所以平行向量就是共线向量，二者是等价的。
类型二、向量的线性运算
基础知识：
1.向量的线性运算
基本题型：
1．在平行四边形中，，则必有（ ）.
A．B．或
C．四边形是矩形D．四边形是正方形
2．如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
3、（多选题）如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
4．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若eq \(AO,\s\up7(―→))＝λeq \(AB,\s\up7(―→))＋μeq \(BC,\s\up7(―→))，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于( )
A．1 B.eq \f(1,2)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
基本方法：
平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．
(2)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解；含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解。
(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边
形；③运用法则找关系；④化简结果．
(4)利用平面向量的线性运算求参数的一般思路
①没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置。
②利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式。
③比较，观察可知所求。
类型三、共线向量定理
基础知识：
共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa。
2、常用结论：
（1）若A、B、C是平面内不共线的三点，则eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0⇔P为△ABC的重心。
（2）A，B，C三点共线，O为A，B，C所在直线外一点，则eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))且λ＋μ＝1。
特别，当A为线段BC中点时，eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))。
基本题型：
1．P是所在平面内一点，若，其中，则P点一定在（ ）
A．内部B．边所在直线上
C．边所在直线上D．边所在直线上
如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且eq \(AM,\s\up7(―→))＝eq \f(4,5)eq \(AB,\s\up7(―→))，连接AC，MN交于点P，若eq \(AP,\s\up7(―→))＝eq \f(4,11)eq \(AC,\s\up7(―→))，则点N在AD上的位置为( )
A．AD中点
B．AD上靠近点D的三等分点
C．AD上靠近点D的四等分点
D．AD上靠近点D的五等分点
3．已知向量a，b且eq \(AB,\s\up7(―→))＝a＋2b，eq \(BC,\s\up7(―→))＝－5a＋6b，eq \(CD,\s\up7(―→))＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
4、已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，eq \(OA,\s\up7(―→))＝a3eq \(OB,\s\up7(―→))＋a2 020eq \(OC,\s\up7(―→))，且eq \(AB,\s\up7(―→))＝deq \(BC,\s\up7(―→))，则S2 022＝( )
A．0 B．1 011
C．2 020 D．2 022
在△ABC中，点P满足eq \(BP,\s\up7(―→))＝2eq \(PC,\s\up7(―→))，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，
若eq \(AM,\s\up7(―→))＝meq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AN,\s\up7(―→))＝neq \(AC,\s\up7(―→))(m＞0，n＞0)，则m＋2n的最小值为( )
A．3 B．4
C．eq \f(8,3) D．eq \f(10,3)
在△ABC中，D在线段BC上，且eq \(BD,\s\up7(―→))＝2eq \(DC,\s\up7(―→))，eq \(AM,\s\up7(―→))＝λeq \(AC,\s\up7(―→))，eq \(AN,\s\up7(―→))＝μeq \(AB,\s\up7(―→))，λ，μ均为非零常数，
若N，D，M三点共线，则eq \f(2,λ)＋eq \f(1,μ)＝________.
7．设是两个不共线的向量，已知.
（1）求证：，，三点共线；
（2）若，且，求实数的值.
基本方法：
1、利用共线向量定理解题的策略
（1）证明三点共线：当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A，B，C三点共线⇔eq \(AB,\s\up7(―→))， eq \(AC,\s\up7(―→))共线
（2）含参共线问题：利用a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0构造含有参数的方程(组)，解方程(组)得到参数的值．若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0
（3）三点共线的应用：eq \(OA,\s\up7(―→))＝λeq \(OB,\s\up7(―→))＋μeq \(OC,\s\up7(―→)) (λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1
类型四、平面向量基本定理
基础知识：
1．平面向量基本定理
(1)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
(2)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2。
注意：能作为基底的两个向量必须是不共线的。
基本题型：
1．在平行四边形ABCD中，设eq \(CB,\s\up7(―→))＝a，eq \(CD,\s\up7(―→))＝b，E为AD的靠近D的三等分点，CE与BD交于F，则eq \(AF,\s\up7(―→))＝( )
A．－eq \f(3,4)a－eq \f(1,4)b B．－eq \f(3,4)a＋eq \f(1,4)b C．－eq \f(1,4)a－eq \f(3,4)b D. eq \f(1,4)a－eq \f(3,4)b
2．如图，正方形中，分别是的中点，若则（ ）
A．B．C．D．
3.如图，在△ABC中，eq \(AN,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(NC,\s\up7(―→))，P是BN上的一点，若eq \(AP,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋\f(2,9)))eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(2,9)eq \(BC,\s\up7(―→))，则实数m的值为( )
A.eq \f(1,9) B．eq \f(1,3) C．1 D．3
4．在△OAB中，P为线段AB上一点，4eq \(OP,\s\up7(―→))＝3eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))，且eq \(BA,\s\up7(―→))＝λeq \(PA,\s\up7(―→))，则( )
A．λ＝2 B．λ＝3
C．λ＝4 D．λ＝5
5．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为________.
基本方法：
用平面向量基本定理解决问题基本策略：
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．
类型五、平面向量的坐标表示
基础知识：
1．平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝x i＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y。
2．平面向量的坐标运算
3．向量共线的坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0。
4.注意事项：
(1)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).
(2)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(x1＋x2＋x3,3)，eq \f(y1＋y2＋y3,3))).
(3)a∥b的充要条件不能表示为eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)，因为x2，y2有可能为0.
(4)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．
基本题型：
1．已知平行四边形的顶点，，，则顶点D的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．(多选)已知点A(4,6)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，\f(3,2)))，与向量eq \(AB,\s\up7(―→))平行的向量的坐标可以是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(14,3)，3)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7，\f(9,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(14,3)，－3)) D．(7,9)
3．已知两个非零向量，不共线，若，，且A、B、D三点共线，则等于（ ）
A．B．C．2D．
4．设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝2|eq \(AP,\s\up7(―→))|，则点P的坐标为( )
A．(3,1) B．(1，－1)
C．(3,1)或(1，－1) D．(3,1)或(1,1)
5．设向量eq \(OA,\s\up7(―→))＝(1，－2)，eq \(OB,\s\up7(―→))＝(2m，－1)，eq \(OC,\s\up7(―→))＝(－2n,0)，m，n∈R，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则m＋n的最大值为( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
6、（多选题）已知向量则（ ）
A．B．
C．D．
7．如图是由等边和等边构成的六角星，图中，，，，，均为三等分点，两个等边三角形的中心均为，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
基本方法：
1、向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算法则进行计算。若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则。
2．两平面向量共线的充要条件有两种形式
①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②a∥b(b≠0)⇔a＝λb。
3．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数。当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解。
4．利用坐标运算解决几何问题，一般先要建立直角坐标系，将相关向量用坐标表示，再结合题目的要求列出关系式。
新预测 破高考
1．已知，，则与向量共线的单位向量为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
2．如图，在平行四边形中，点是边的中点，点是的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
3．有下列命题：①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同；②有向线段就是向量，向量就是有向线段；③若，则四边形是平行四边形；④若，，则；⑤若，，则．其中，假命题的个数是 （ ）
A．B．C．D．
4．设向量，，若与平行，则实数等于（ ）
A．B．C．2D．
5、（多选题）如图所示，在△ABC中，D是AB的中点，下列关于向量eq \(CD,\s\up7(―→))表示不正确的是( )
A．eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \(CA,\s\up7(―→))＋eq \(DB,\s\up7(―→)) B．eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(DA,\s\up7(―→))
C．eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→)) D．eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up7(―→))
6．直线l与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点K，若eq \(AB,\s\up7(―→))＝2eq \(AE,\s\up7(―→))，eq \(AD,\s\up7(―→))＝3eq \(AF,\s\up7(―→))，eq \(AC,\s\up7(―→))＝λeq \(AK,\s\up7(―→)) (λ∈R)，则λ＝( )
A．2 B.eq \f(5,2)
C．3 D．5
7．若a，β是一组基底，向量γ＝xa＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底a，β下的坐标．现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为( )
A．(2,0) B．(0，－2) C．(－2,0) D．(0,2)
8、已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设eq \(AD,\s\up7(―→))＝λeq \(AB,\s\up7(―→))＋μeq \(AC,\s\up7(―→)) (λ，μ∈R)，则eq \f(λ,μ)＝( )
A.eq \f(2\r(3),3) B.eq \f(\r(3),3)
C．3 D．2eq \r(3)
9．是内的一点，，则的面积与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
10．已知向量，，，则当取最小值时，实数（ ）
A．B．C．D．
11、（多选题）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是
A．若，则点是边的中点
B．若，则点在边的延长线上
C．若，则点是的重心
D．若，且，则的面积是面积的
12．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·eq \(OA,\s\up7(―→))＋SB·eq \(OB,\s\up7(―→))＋SC·eq \(OC,\s\up7(―→))＝0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．设O为三角形ABC内一点，且满足：eq \(OA,\s\up7(―→))＋2eq \(OB,\s\up7(―→))＋3eq \(OC,\s\up7(―→))＝3eq \(AB,\s\up7(―→))＋2eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CA,\s\up7(―→))，则eq \f(S△AOB,S△ABC)＝( )
A.eq \f(2,5) B．eq \f(1,2) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,3)
13、（多选题）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
14．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别是AB，AD上的动点，且满足2|eq \(AM,\s\up7(―→))|＋|eq \(AN,\s\up7(―→))|＝1，设eq \(AC,\s\up7(―→))＝xeq \(AM,\s\up7(―→))＋yeq \(AN,\s\up7(―→))，则2x＋3y的最小值为( )
A．48 B．49 C．50 D．51
15．在△ABC中，点P在BC上，且eq \(BP,\s\up7(―→))＝2eq \(PC,\s\up7(―→))，点Q是AC的中点，若eq \(PA,\s\up7(―→))＝(4,3)， eq \(PQ,\s\up7(―→))＝(1,5)，则eq \(BC,\s\up7(―→))＝________.
16．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则___________.
17．中，为边上的中点，动点在线段上移动时，若，则的最小值为______
18．已知非零向量满足，，且，则的值为______.
19．如图，在中，为边上不同于，的任意一点，点满足.若，求的最小值.
20．如图所示，在中，，，与相交于点.设，.
（1）试用向量、表示；
（2）在线段上取一点，在线段上取一点，使过点，设，，
求证：.
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为零的向量，其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±eq \f(a,|a|)
平行向量
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
共线向量
方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
(1)交换律：a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求两向量的差(即求a与b的相反向量－b的和的运算)
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ0时，λa的方向与a的方向相同；当λ