高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题28平面向量的数量积及其应用(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题28平面向量的数量积及其应用(原卷版+解析)，共43页。试卷主要包含了(2023·全国乙等内容，欢迎下载使用。
专题28 平面向量数量积及其应用
平面向量数量积的有关概念
向量夹角
平面向量数量积及其应用
数量
积的
性质
平面向量数量积的性质及运算律
数量
积的
坐标
表示
数量积运算律
投影向量
数量积
定义
定义
法求
数量
积
几何
法求
数量
积
坐标
法求
数量
积
练高考 明方向
1.(2023·全国乙（理）T3） 已知向量满足，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
2.(2023·全国甲（文）） 已知向量．若，则______________．
3.(2023·全国甲（理）） 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
4.(2023·新高考Ⅱ卷T4） 已知，若，则（ ）
A. B. C. 5D. 6
(2023·新高考Ⅰ卷)(多选)已知O为坐标原点，点P1(cs α，sin α)，P2(cs β，－sin β)，P3(cs(α＋β)，
sin(α＋β))，A(1,0)，则( )
A．|eq \(OP1,\s\up7(―→))|＝|eq \(OP2,\s\up7(―→))| B．|eq \(AP1,\s\up7(―→))|＝|eq \(AP2,\s\up7(―→))|
C．eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OP3,\s\up7(―→))＝eq \(OP1,\s\up7(―→))·eq \(OP2,\s\up7(―→)) D．eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OP1,\s\up7(―→))＝eq \(OP2,\s\up7(―→))·eq \(OP3,\s\up7(―→))
6．(2023年高考全国乙卷理科)已知向量，若，则__________．
7．(2023年高考全国甲卷理科)已知向量．若，则________．
8．(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________.
9．(2023·全国甲卷)若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________.
(2023·天津高考)在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E.
DF∥AB且交AC于点F，则|2eq \(BE,\s\up7(―→))＋eq \(DF,\s\up7(―→))|的值为________；(eq \(DE,\s\up7(―→))＋eq \(DF,\s\up7(―→)))·eq \(DA,\s\up7(―→))的最小值为________．
11．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________．
12．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量a，b满足，，，则( )
A．B．C．D．
13．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)设为单位向量，且，则______________．
14、(2023·全国卷Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是( )
A．a＋2b B．2a＋b C．a－2b D．2a－b
15．(2023年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知非零向量，满足，且，则与的夹角为( )
A．B．C．D．
16．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知，为单位向量，且，若，则_____．
17．(2023年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知向量，，，若，则 ．
18．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知向量，满足，，则( )
A．4B．3C．2D．0
19．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是( )
A．B．C．D．
20．(2023年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知向量,的夹角为,,,则______．
21．(2023高考数学课标Ⅱ卷理科)已知向量，且，则( )
A．B．C．D．
22．(2023高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量,,则( )
A．B．C．D．
23．(2023高考数学课标Ⅰ卷理科)设向量，，且，则 ．
24．(2023高考数学课标1理科)已知A,B,C是圆O上的三点,若,则与的夹角为______．
25．(2023高考数学课标2理科)设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则ab=( )
A．1B．2C．3D．5
26．(2023高考数学新课标2理科)已知正方形的边长为2，为的中点，则＝________．
27．(2023高考数学新课标1理科)已知两个单位向量的夹角为60°，，若，则t =_____．
讲典例 备高考
类型一、求平面向量的数量积
基础知识：
向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作向量eq \(OA,\s\up7(―→))＝a，eq \(OB,\s\up7(―→))＝b，
则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角。
2、数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a与b的数量积(或内积)记作a·b，
即a·b＝|a||b|cs θ。
3、平面向量数量积的运算律：交换律：a·b＝b·a 结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c
4、平面向量数量积运算的常用公式：
①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； ②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2； ③a2＋b2＝0⇒a＝b＝0.
5、极化恒等式a·b＝eq \f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(a＋b,2)))2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(a－b,2)))2.
三角形模型：
在△ABC中，D为BC的中点，eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))＝|eq \(AD,\s\up7(―→))|2－|eq \(BD,\s\up7(―→))|2＝|eq \(AD,\s\up7(―→))|2－|eq \(CD,\s\up7(―→))|2＝|eq \(AD,\s\up7(―→))|2－eq \f(1,4)|eq \(BC,\s\up7(―→))|2.
平行四边形模型：在平行四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)(|eq \(AC,\s\up7(―→))|2－|eq \(BD,\s\up7(―→))|2)＝eq \(AO,\s\up7(―→))2－eq \(DO,\s\up7(―→))2.
基本题型：
1．已知，，，则( )
A．B．C．D．
2．在中，已知，，若点在斜边上，，则的值为 （ ）．
A．6B．12C．24D．48
3、已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则eq \(AP,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))的取值范围是( )
A．(－2,6) B．(－6,2)
C．(－2,4) D．(－4,6)
4．已知菱形的边长为4，，是的中点，则（ ）
A．24B．C．D．
5．在中，为的三等分点，则( )
A．B．C．D．
基本方法：
1、计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. 若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算求解
(3)几何法：根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，b，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解
2、解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算．但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补．
类型三、求两平面向量的夹角
基础知识：
1、向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作向量eq \(OA,\s\up7(―→))＝a，eq \(OB,\s\up7(―→))＝b，
则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角。
2、有关向量夹角的两个结论
①两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；
②两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b