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高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题39直线、直线与圆及圆与圆位置关系(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题39直线、直线与圆及圆与圆位置关系(原卷版+解析)，共45页。
直线、直线与圆及圆与圆位置关系
直线与直线位置关系
两直线平行
两直线垂直
点线距离
直线与圆位置关系
圆与圆位置关系
圆与圆相切
圆与圆相离
圆与圆相交
直线与圆相切
直线与圆相离
直线与圆相交
练高考 明方向
1. (2023·北京卷T3）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A. B. C. 1D.
2.(2023·全国甲（文）T14） 设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
3.(2023·全国乙（文、理）T15） 过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
4.(2023·新高考Ⅰ卷T14） 写出与圆和都相切的一条直线的方程_______．
5.(2023·新高考Ⅱ卷T15） 已知点，若直线关于的对称直线与圆存在公共点，则实数a的取值范围为________．
6.(2023·浙江卷T17） 设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．
7．(2023·新高考Ⅰ卷)(多选)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则( )
A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3eq \r(2) D．当∠PBA最大时，|PB|＝3eq \r(2)
8．(2023·新高考Ⅱ卷)(多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
9．(2023年高考全国甲卷理科)抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
(1)求C，的方程；
(2)设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
10．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为
A．B．C． D．
11．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为( )
A．B．C．D．
12．(2023年高考数学课标Ⅲ卷（理）)直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是( )
A．B．C．D．
13．(2023高考数学课标Ⅱ卷理科)圆的圆心到直线的距离为1，则( )
A．B．C．D．
14．(2023高考数学新课标2理科)过三点，，的圆交轴于两点，则( )
A．B．8C．D．10
15．(2023高考数学课标Ⅲ卷理科)已知直线:与圆交于两点,过分别作的垂线与轴交于两点,若,则________________.
16．(2023高考数学课标2理科)设点M(,1)，若在圆O: 上存在点N，使得∠OMN=45°，则的取值范围是________．
17．(2023高考数学新课标1理科)已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆 内切，圆心的轨迹为曲线 C．
(Ⅰ)求C的方程；
(Ⅱ)是与圆,圆都相切的一条直线，与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．
讲典例 备高考
类型一、直线的方程
基础知识：
直线方程的5种形式
基本题型：
1．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
2．已知的顶点，、边中线方程分别为、，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知的顶点，高所在的直线方程分别为和，则所在直线的方程是_______．
4．在平面直角坐标系中，已知点和．
（）若，是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点的两条边所在直线的方程；
（）若，是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程及其端点的坐标．
基本方法：
求直线方程的方法
（1）直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，求出方程中的系数，写出直线方程
（2）待定系数法：先根据已知条件恰当设出直线的方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)解得系数，最后代入设出的直线方程
注：(1)选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用，选用点斜式或斜截式时，先分类讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，先分类讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是否为0.
(2)求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax＋By＋C＝0，且A≥0.
类型二、两直线位置关系
基础知识：
两条直线的位置关系：
基本题型：
1．(两直线垂直）过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为( )
A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0
2．（两直线平行）已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )
A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2
3．（两直线相交）直线，和直线不能构成三角形，则的个数是（ ）．
A．B．C．D．
4．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x＋2y＋1＝0和x＋2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x－4y＋c1＝0和3x－4y＋c2＝0，则|c1－c2|＝( )
A．2eq \r(3) B．2eq \r(5) C．2 D．4
5、（线点对称）直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为( )
A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0
C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0
基本方法：
1、两平行线间的距离的求法
(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；
(2)利用两平行线间的距离公式求解，利用公式前需把两平行线方程化为一般式，且x，y的系数对应相等，即一定要化成l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0的形式．
2、点关于直线的对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A×\f(x1＋x2,2)＋B×\f(y1＋y2,2)＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
类型三、直线与圆位置关系
基础知识：
1、直线与圆的位置关系
设圆O的半径为r(r＞0)，圆心到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系可用下表表示：
2、切线方程
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
3．切线长公式
(1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则点P到切点的切线长d＝eq \r(x0－a2＋y0－b2－r2).
(2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)的切线，则点P到切点的切线长d＝eq \r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).
基本题型：
1．（线圆位置关系的判断）已知定点在单位圆内部，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
2．（线圆相交）圆C的半径为5，圆心在x轴的负半轴上，且被直线截得的弦长为6，则圆C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（线圆相切）已知P（x，y）是直线kx+y+3=0（k>0）上一动点，PA，PB 是圆C：+2y=0的两条切线，.A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（多选题）已知直线过点且与圆相切，直线与轴交于点，点是圆上的动点，则下列结论中正确的有（ ）
A．点的坐标为 B．面积的最大值为
C．当直线与直线垂直时， D．的最大值为
5、（切线方程及切线长）已知点P(eq \r(2)＋1,2－eq \r(2))，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
6．在平面直角坐标系中，直线x+y+3＝0与圆C相切，圆心C的坐标为(1,1)．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线y＝kx+2与圆C没有公共点，求k的取值范围；
（3）设直线y＝x+m与圆C交于M，N两点，且OM⊥ON，求m的值．
基本方法：
1、判断直线与圆的位置关系常见的两种方法
(1)代数法：eq \(――→,\s\up7(判别式),\s\d5(Δ＝b2－4ac))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(>0⇔相交，,＝0⇔相切，,<0⇔相离.))
(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr⇔相离．
2、求直线被圆截得的弦长的常用方法
（1）几何法：直线被圆截得的半弦长、弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，且r2＝2＋d2
（2）代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)或
|AB|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(y1＋y22－4y1y2)(k≠0)
3、圆的切线方程的求法
（1）几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k。
（2）代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0，进而求出k。
类型四、圆与圆位置关系
基础知识：
1、圆与圆的位置关系
设圆O1，O2的半径分别为R，r(R＞r)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表表示：
2．两圆相交时公共弦的性质
圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时：
(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；
(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2)．
基本题型：
1．（两圆位置关系的判断）已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
2．（两圆的公共弦长）若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是( )
A．3 B．4 C．2eq \r(3) D．8
3．（有关圆圆的最值）已知圆，圆，分别为圆上的点，为轴上的动点，则的最小值为( )
A．B．C．D．
4．已知圆：和圆：相交于、两点，下列说法不正确的是（ ）
A．两圆有两条公切线
B．直线的方程为
C．线段的长为
D．所有过点、的圆系的方程可以记为
5．（圆线对称问题）若圆：与圆：关于直线对称，则______.
6．（圆圆位置关系的应用）若圆与圆相交，则的取值范围是________.
7．在平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆：交于点，，与圆：交于点，．
（1）若，求的长；
（2）若中点为，求面积的取值范围．
基本方法：
1．判断两圆位置关系的方法
常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．
2．两圆公共弦长的求法
先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长eq \f(l,2)，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解．
新预测 破高考
1．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数
A．1B．C．或1D．2或1
2．已知圆的标准方程是，直线，若直线被圆所截得的弦长为，则直线与直线的关系为（ ）
A．平行B．垂直C．平行或相交D．相交
3．过点P（1，3）且在x轴上的截距和在y轴上的截距相等的直线方程为( )
A．x+y–4=0B．3x-y=0
C．x+y–4=0或3x+y=0D．x+y–4=0或3x-y=0
4．点到直线：的距离最大时，与的值依次为( )
A．3，－3B．5，2
C．5，1D．7，1
5．已知圆的圆心到直线的距离为，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．内切C．外切D．相离
6．已知直线l过点，且与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点.若的面积为12（O为坐标原点），则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．若圆与直线相切，则（ ）
A．B．C．D．
8．中，，高，所在的直线方程分别为，，则所在直线的方程是（ ）．
A．B．
C．D．
9．在平面直角坐标系xOy中，若圆上存在点M，且点M关于直线的对称点N在圆上，则r的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆作切线，，，为切点，则直线经过定点（ ）
A．B．C．D．
11．(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝4与直线x＋my－m－2＝0，下列选项正确的是( )
A．直线与圆必相交 B．直线与圆不一定相交
C．直线与圆相交且所截最短弦长为2eq \r(3) D．直线与圆可以相切
12．(多选)已知△ABC的三个顶点为A(－1,2)，B(2,1)，C(3,4)，则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是( )
A．圆M的圆心坐标为(1,3) B．圆M的半径为eq \r(5)
C．圆M关于直线x＋y＝0对称 D．点(2,3)在圆M内
13．(多选)已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0相交于A，B两点，下列说法正确的为( )
A．两圆有两条公切线
B．直线AB的方程为y＝2x＋2
C．线段AB的长为eq \f(6,5)
D．若动点E在圆O上，动点F在圆M上，则|EF|的最大值为eq \r(5)＋3
14．若圆C：x2＋(y－4)2＝18与圆D：(x－1)2＋(y－1)2＝R2的公共弦长为6eq \r(2)，则圆D的半径为________．
15．过直线与直线的交点，且到点距离为的直线方程为____.
16．过点的直线与圆相交于、两点，且圆上一点到直线的距离的最大值为，则直线的方程是_____________．
17．已知直线与圆交于、两点，直线垂直平分弦，则的值为____________，弦的长为____________.
18．一束光沿直线射入，遇到直线发生反射，则反射光线所在直线方程为________.
19．已知圆，直线，点在直线上，过点作圆的切线、，切点为、．
（1）若，求点坐标；
（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于、两点，当时，求直线的方程；
（3）求证：经过、、三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出定点的坐标．
20．已知圆，点为圆上任意一点，点，线段的中点为，点的轨迹为曲线．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）求曲线与的公共弦长．
（3）求过点并与相切的直线方程．
名称
方程
适用条件
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
与x轴不垂直的直线
斜截式
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
两点式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0
平面内所有直线
斜截式
一般式
方程
y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2
A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq \\al(2,1)＋Beq \\al(2,1)≠0)，A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq \\al(2,2)＋Beq \\al(2,2)≠0)
相交
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
垂直
k1k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
平行
k1＝k2且b1≠b2
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1B2－A2B1＝0，,A1C2－A2C1≠0))
重合
k1＝k2且b1＝b2
A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0
位置关系
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ＜0
Δ＝0
Δ＞0
几何观点
d＞r
d＝r
d＜r
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图形
数量的关系
d＞R＋r
d＝R＋r
R－r＜d＜R＋r
d＝R－r
d＜R－r
公切线条数
4
3
2
1
0
2023高考一轮复习讲与练
专题39 直线、直线与圆及圆与圆位置关系
直线、直线与圆及圆与圆位置关系
直线与直线位置关系
两直线平行
两直线垂直
点线距离
直线与圆位置关系
圆与圆位置关系
圆与圆相切
圆与圆相离
圆与圆相交
直线与圆相切
直线与圆相离
直线与圆相交
练高考 明方向
1. (2023·北京卷T3）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A. B. C. 1D.
答案：A
分析：若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．
2.(2023·全国甲（文）T14） 设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
答案：
分析：设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】解：∵点M在直线上，∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴，
，解得，∴，，的方程为.
3.(2023·全国乙（文、理）T15） 过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
答案：或或或；
分析：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】解：依题意设圆的方程为，
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
故答案为：或或或；
4.(2023·新高考Ⅰ卷T14） 写出与圆和都相切的一条直线的方程_______．
答案：或或
分析：先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为，所以，设方程为，O到l的距离，解得，所以l的方程为，当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，当切线为n时，易知切线方程为，
5.(2023·新高考Ⅱ卷T15） 已知点，若直线关于的对称直线与圆存在公共点，则实数a的取值范围为________．
答案：
分析：首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；
【详解】关于对称的点的坐标为，在直线上，所以所在直线即为直线，所以直线为，即；圆，圆心，半径，依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
6.(2023·浙江卷T17） 设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．
答案：
分析：根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到，然后利用即可解出．
【详解】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则,，
设,于是，因为，所以，故的取值范围是.
7．(2023·新高考Ⅰ卷)(多选)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则( )
A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3eq \r(2) D．当∠PBA最大时，|PB|＝3eq \r(2)
解析：选ACD 由题意知直线AB：eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0，圆心(5,5)到直线x＋2y－4＝0的距离d＝eq \f(|5＋10－4|,\r(5))＝eq \f(11,\r(5)).因为eq \f(11,\r(5))＋4＜10，所以A项正确．因为eq \f(11,\r(5))－4＜2，所以B项错误．当直线PB与圆相切时，∠PBA取得最值．如图，当切点在点P的位置时，∠PBA最小，此时圆心(5,5)到点B的距离为eq \r(25＋9)＝eq \r(34)，则|PB|＝eq \r(34－16)＝3eq \r(2)；当切点在点P′的位置时，
∠PBA最大，同理可得|PB|＝3eq \r(2).所以C、D项正确．故选A、C、D.
8．(2023·新高考Ⅱ卷)(多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
解析：选ABD 选项A，∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0,0)到直线l的距离d＝eq \f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，
∴直线l与圆C相切，A正确；选项B，∵点A在圆C内，∴a2＋b2|r|，∴直线l与圆C相离，B正确；选项C，∵点A在圆C外，∴a2＋b2>r2，圆心C(0,0)到直线l的距离d＝eq \f(r2,\r(a2＋b2))<|r|，∴直线l与圆C相交，C错误；选项D，∵点A在直线l上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝eq \f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，∴直线l与圆C相切，D正确．故选A、B、D.
9．(2023年高考全国甲卷理科)抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
(1)求C，的方程；
(2)设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
答案：（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析
解析：（1）依题意设抛物线，
，所以抛物线的方程为，
与相切，所以半径为，所以的方程为；
（2）设
若斜率不存在，则方程为或，
若方程为，根据对称性不妨设，则过与圆相切的另一条直线方程为，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；
若方程为，根据对称性不妨设则过与圆相切的直线为，又，
，此时直线关于轴对称，所以直线与圆相切；
若直线斜率均存在，则，
所以直线方程为，整理得，
同理直线的方程为，
直线的方程为，与圆相切，
整理得，与圆相切，同理
所以为方程的两根，，
到直线的距离为：，
所以直线与圆相切；综上若直线与圆相切，则直线与圆相切．
【点睛】（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要充分利用的对称性，抽象出与关系，把的关系转化为用表示．
10．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为
A．B．C．D．
答案：D
【解析】圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而，当直线时，
，，此时最小．∴即，
由解得，．所以以为直径的圆的方程为，
即，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
11．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为( )
A．B．C．D．
答案：B
解析：由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为．
由题意可得，可得，解得或，所以圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为；圆心到直线的距离均为圆心到直线的距离均为；所以，圆心到直线的距离为．
【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题．
12．(2023年高考数学课标Ⅲ卷（理）)直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是( )
A．B．C．D．
答案：A
解法一：由直线易知，，故
圆的圆心到直线的距离为，
所以点到直线的距离的取值范围为即
所以，故选A．
解法二：设，则点到直线的距离，令，则代入圆的方程整理得：利用方程有解条件，则有
解法三：利用三角换元
设，则
解法四：利用面积公式的坐标形式
设则
下同解法二
注：①当然也可把点设为三角形式，并且更加简单！
②利用面积的向量表达形式,在实际运算中还是要转化为坐标形式才利于操作。
13．(2023高考数学课标Ⅱ卷理科)圆的圆心到直线的距离为1，则( )
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由得：，所以圆心坐标为，所以圆心到直线的距离为：，所以，故选A．
14．(2023高考数学新课标2理科)过三点，，的圆交轴于两点，则( )
A．B．8C．D．10
答案：C
解析：由已知得，，所以，所以，即为直角三角形，其外接圆圆心为，半径为，所以外接圆方程为，令，得，所以，故选C．
15．(2023高考数学课标Ⅲ卷理科)已知直线:与圆交于两点,过分别作的垂线与轴交于两点,若,则________________.
答案：4
【解析】因为,且圆的半径为,所以圆心到直线的距离为,则由,解得,代入直线的方程,得,所以直线的倾斜角为,由平面几何知识知,在梯形中,.
16．(2023高考数学课标2理科)设点M(,1)，若在圆O: 上存在点N，使得∠OMN=45°，则的取值范围是________．
答案：
解析：在坐标系中画出圆O和直线y=1，其中在直线上，由圆的切线相等及三角形外角知识，可得。
17．(2023高考数学新课标1理科)已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆 内切，圆心的轨迹为曲线 C．
(Ⅰ)求C的方程；
(Ⅱ)是与圆,圆都相切的一条直线，与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．
答案：（1） （2）
解析：由已知得圆的圆心为（-1，0）,半径=1，圆的圆心为(1,0),半径=3．
设动圆的圆心为（，），半径为R．
（Ⅰ）∵圆与圆外切且与圆内切，∴|PM|+|PN|===4，由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为．
（Ⅱ）对于曲线C上任意一点（，），由于|PM|-|PN|=≤2，∴R≤2,
当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2．∴当圆P的半径最长时，其方程为，
当的倾斜角为时，则与轴重合，可得|AB|=．
当的倾斜角不为时，由≠R知不平行轴，设与轴的交点为Q，则=，可求得
Q（-4，0），∴设：，由于圆M相切得，解得．
当=时，将代入并整理得，
解得=，∴|AB|==．
当=－时，由图形的对称性可知|AB|=，
综上，|AB|=或|AB|=．
讲典例 备高考
类型一、直线的方程
基础知识：
直线方程的5种形式
基本题型：
1．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
答案：D
【解析】易知斜率不存在时不满足；设直线方程为，则截距和为：解得或 故直线方程为：和
2．已知的顶点，、边中线方程分别为、，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】由题意可知，点在直线上，设点，则线段的中点为，
易知点在直线上，则，解得，所以，点的坐标为.点在直线上，可设点，则线段的中点为点，
易知点在直线上，则，解得，所以，点的坐标为.
直线的斜率为，因此，直线的方程为，即.
3．已知的顶点，高所在的直线方程分别为和，则所在直线的方程是_______．
答案：
【解析】，解得，则高交点为，，
故，设，则，解得，故，
故所在直线的方程是，即.
4．在平面直角坐标系中，已知点和．
（）若，是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点的两条边所在直线的方程；
（）若，是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程及其端点的坐标．
答案：（）和；（）另外一条对角线为，端点为和．
【解析】（）∵，，，，
与直线垂直的直线斜率，，
整理得所求两条直线为和．
（）∵直线方程为：，另外一条对角线斜率，
设中点为，则另一条对角线过点，∴，整理得，
设另外两个端点坐标分别为，，∵在直线上，
∴，①，且，∴，②
联立①②解出或，即另外两个端点为与．
基本方法：
求直线方程的方法
（1）直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，求出方程中的系数，写出直线方程
（2）待定系数法：先根据已知条件恰当设出直线的方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)解得系数，最后代入设出的直线方程
注：(1)选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用，选用点斜式或斜截式时，先分类讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，先分类讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是否为0.
(2)求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax＋By＋C＝0，且A≥0.
类型二、两直线位置关系
基础知识：
两条直线的位置关系：
基本题型：
1．(两直线垂直）过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为( )
A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0
答案：A
【解析】由题意可设所求直线方程为x－2y＋m＝0，将A(2,3)代入上式得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0.故选A.
2．（两直线平行）已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )
A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2
答案：C
【解析】由两直线平行，得当k－3＝0，即k＝3时，两直线的方程分别为y＝－1和y＝eq \f(3,2)，显然两直线平行．
当k－3≠0时，由eq \f(k－3,2k－3)＝eq \f(4－k,－2)≠eq \f(1,3)，可得k＝5.综上，k的值是3或5.
3．（两直线相交）直线，和直线不能构成三角形，则的个数是（ ）．
A．B．C．D．
答案：C
【解析】当直线平行于时，，当直线平行于时，，当直线平行于时，，无解，当三条直线经过同一个点时，把直线和的交点代入，解得或.综上，满足条件的的值为或或或，共个.
4．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x＋2y＋1＝0和x＋2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x－4y＋c1＝0和3x－4y＋c2＝0，则|c1－c2|＝( )
A．2eq \r(3) B．2eq \r(5) C．2 D．4
答案：B
【解析】直线x＋2y＋1＝0与x＋2y＋3＝0间的距离d1＝eq \f(|3－1|,\r(12＋22))＝eq \f(2\r(5),5)，直线3x－4y＋c1＝0与
3x－4y＋c2＝0间的距离d2＝eq \f(|c1－c2|,\r(32＋－42))＝eq \f(|c1－c2|,5).由菱形的性质，知d1＝d2，
所以eq \f(|c1－c2|,5)＝eq \f(2\r(5),5)，所以|c1－c2|＝2eq \r(5)，故选B.
5、（线点对称）直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为( )
A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0
C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0
答案：D
【解析】由ax＋y＋3a－1＝0，可得a(x＋3)＋(y－1)＝0，令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3＝0，,y－1＝0，))可得x＝－3，y＝1，所以
M(－3，1)，M不在直线2x＋3y－6＝0上，设直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为
2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则eq \f(|－6＋3－6|,\r(4＋9))＝eq \f(|－6＋3＋c|,\r(4＋9))，解得c＝12或c＝－6(舍去)，
所以所求方程为2x＋3y＋12＝0.
基本方法：
1、两平行线间的距离的求法
(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；
(2)利用两平行线间的距离公式求解，利用公式前需把两平行线方程化为一般式，且x，y的系数对应相等，即一定要化成l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0的形式．
2、点关于直线的对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A×\f(x1＋x2,2)＋B×\f(y1＋y2,2)＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
类型三、直线与圆位置关系
基础知识：
1、直线与圆的位置关系
设圆O的半径为r(r＞0)，圆心到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系可用下表表示：
2、切线方程
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
3．切线长公式
(1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则点P到切点的切线长d＝eq \r(x0－a2＋y0－b2－r2).
(2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)的切线，则点P到切点的切线长d＝eq \r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).
基本题型：
1．（线圆位置关系的判断）已知定点在单位圆内部，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
答案：C
【解析】在圆的内部，，因为圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离，直线与圆相离。
2．（线圆相交）圆C的半径为5，圆心在x轴的负半轴上，且被直线截得的弦长为6，则圆C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】设圆心为()，圆C的半径为5，弦长为6，圆心到直线的距离为.又圆心到直线的距离为，，解得.
圆C的方程为，即.
3．（线圆相切）已知P（x，y）是直线kx+y+3=0（k>0）上一动点，PA，PB 是圆C：+2y=0的两条切线，.A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】圆的圆心，半径是，由圆的性质知：，四边形的最小面积是，的最小值是切线长）.所以|PC|的最小值为，所以。
4．（多选题）已知直线过点且与圆相切，直线与轴交于点，点是圆上的动点，则下列结论中正确的有（ ）
A．点的坐标为 B．面积的最大值为
C．当直线与直线垂直时， D．的最大值为
答案：A、B、D
解析：由题意知直线的斜率存在，故设直线的方程为，∵直线与圆相切，∴，∴，∴直线的方程为，∴点坐标为，A正确；
∵圆上动点到直线的最大距离为，又∵，
∴，B正确；由直线与直线垂直，则，∴，C错误；最大，即时，又∵，
∴，D正确．
5、（切线方程及切线长）已知点P(eq \r(2)＋1,2－eq \r(2))，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
解析：(1)由题意得圆心C(1,2)，半径长r＝2.因为(eq \r(2)＋1－1)2＋(2－eq \r(2)－2)2＝4，所以点P在圆C上．
又kPC＝eq \f(2－\r(2)－2,\r(2)＋1－1)＝－1，所以切线的斜率k＝－eq \f(1,kPC)＝1.所以过点P的圆C的切线方程是
y－(2－eq \r(2))＝1×[x－(eq \r(2)＋1)]，即x－y＋1－2eq \r(2)＝0.
（2）因为(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，所以点M在圆C外部．当过点M的直线斜率不存在时，
直线方程为x＝3，又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，
所以直线x＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝eq \f(|k－2＋1－3k|,\r(k2＋1))＝r＝2，
解得k＝eq \f(3,4).所以切线方程为y－1＝eq \f(3,4)(x－3)，即3x－4y－5＝0.
综上可得，过点M的圆C的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.
因为|MC|＝eq \r(3－12＋1－22)＝eq \r(5)，所以过点M的圆C的切线长为eq \r(|MC|2－r2)＝eq \r(5－4)＝1.
6．在平面直角坐标系中，直线x+y+3＝0与圆C相切，圆心C的坐标为(1,1)．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线y＝kx+2与圆C没有公共点，求k的取值范围；
（3）设直线y＝x+m与圆C交于M，N两点，且OM⊥ON，求m的值．
答案：（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）∵直线与圆C相切，且圆心C的坐标为，
∴圆C的半径，则圆C的方程为；
（2）∵直线y＝kx+2与圆C没有公共点，∴点到直线的距离，
解得，∴k的取值范围为；
（3）联立，得，由，
解得，设，则，
∵，∴，，即，
即，∴，
解得，符合题意，∴．
基本方法：
1、判断直线与圆的位置关系常见的两种方法
(1)代数法：eq \(――→,\s\up7(判别式),\s\d5(Δ＝b2－4ac))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(>0⇔相交，,＝0⇔相切，,<0⇔相离.))
(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr⇔相离．
2、求直线被圆截得的弦长的常用方法
（1）几何法：直线被圆截得的半弦长、弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，且r2＝2＋d2
（2）代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)或
|AB|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(y1＋y22－4y1y2)(k≠0)
3、圆的切线方程的求法
（1）几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k。
（2）代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0，进而求出k。
类型四、圆与圆位置关系
基础知识：
1、圆与圆的位置关系
设圆O1，O2的半径分别为R，r(R＞r)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表表示：
2．两圆相交时公共弦的性质
圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时：
(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；
(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2)．
基本题型：
1．（两圆位置关系的判断）已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
答案：B
【解析】化简圆到直线的距离 ，又 两圆相交. 选B
2．（两圆的公共弦长）若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是( )
A．3 B．4 C．2eq \r(3) D．8
答案：B
【解析】如图，连接O1A，O2A，由于⊙O1与⊙O2在点A处的切线互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以O1Oeq \\al(2,2)＝O1A2＋O2A2，即m2＝5＋20＝25，设AB交x轴于点C.在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝eq \f(\r(5),5)，所以在Rt△ACO2中，AC＝AO2·sin∠AO2O1＝2eq \r(5)×eq \f(\r(5),5)＝2，所以AB＝2AC＝4.故选B.
3．（有关圆圆的最值）已知圆，圆，分别为圆上的点，为轴上的动点，则的最小值为( )
A．B．C．D．
答案：D
【解析】如图所示，圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为,，半径为3，由图象可知，当三点共线时，取得最小值，且的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径之和，即，
4．已知圆：和圆：相交于、两点，下列说法不正确的是（ ）
A．两圆有两条公切线
B．直线的方程为
C．线段的长为
D．所有过点、的圆系的方程可以记为
答案：D
【解析】A. 因为圆：和圆：相交于、两点，所以两圆有两条公切线，故正确；B. 圆：和圆：的方程相减得：，所以直线的方程为，故正确；C. 圆心到直线的距离为，所以线段的长为，故正确；D. 因为，所以恒成立，即过AB两点，方程可化为，
而恒成立，所以方程表示圆，但此圆系不包括圆M，故不正确.
5．（圆线对称问题）若圆：与圆：关于直线对称，则______.
答案：
【解析】因为圆：，即，圆心，半径，由题意，得与关于直线对称，
则解得，，圆的半径，解得.
6．（圆圆位置关系的应用）若圆与圆相交，则的取值范围是________.
答案：或
【解析】整理圆的方程得：，整理圆的方程得，∴的圆心为，半径为2，圆：圆心为，半径为3，∵圆与圆相交，∴圆心之间的距离小于两圆半径之和，大于两圆半径之差，故有：，
即，解之得：或.
7．在平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆：交于点，，与圆：交于点，．
（1）若，求的长；
（2）若中点为，求面积的取值范围．
答案：（1）；（2）.
【解析】（1）因为AB＝，圆O半径为2，所以点O到直线AB的距离为
显然AB、CD都不平行于坐标轴，可设AB：，即
则点O到直线AB的距离，解得，因为AB⊥CD，所以
所以CD：，即，点M（2,1）到直线CD的距离
所以
（2）当AB⊥x轴，CD∥x轴时，此时AB=4，点E与点M重合，PM=2，所以△ABE的面积S=4
当AB∥x轴，CD⊥x轴时，显然不存在，舍
当AB与CD都不平行于坐标轴时，由（1）知
因为，所以，因为点E是CD中点，所以ME⊥CD，
所以
所以△ABE的面积记，则，
则，综上所述：。
基本方法：
1．判断两圆位置关系的方法
常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．
2．两圆公共弦长的求法
先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长eq \f(l,2)，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解．
新预测 破高考
1．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数
A．1B．C．或1D．2或1
答案：D
【解析】由题意，当，即时，直线化为，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当，即时，直线化为，
由直线在两坐标轴上的截距相等，可得，解得；综上所述，实数或．
2．已知圆的标准方程是，直线，若直线被圆所截得的弦长为，则直线与直线的关系为（ ）
A．平行B．垂直C．平行或相交D．相交
答案：C
【解析】由题知直线被圆所截得的弦长为，解得或，
所以直线的方程为或，所以直线与要么平行，要么相交。
3．过点P（1，3）且在x轴上的截距和在y轴上的截距相等的直线方程为( )
A．x+y–4=0B．3x-y=0
C．x+y–4=0或3x+y=0D．x+y–4=0或3x-y=0
答案：D
【解析】若直线过原点，设直线方程为y=kx，把点P（1，3）代入得k=3，此时直线为y=3x，即3x–y=0．
若直线不经过原点，设直线方程为+=1，即x+y=a．把点P（1，3）代入得a=4，所以直线方程为x+y=4，即x+y–4=0，故选D．
4．点到直线：的距离最大时，与的值依次为( )
A．3，－3B．5，2
C．5，1D．7，1
答案：C
【解析】直线，即，直线是过直线和交点的直线系方程，由，得，可得直线经过定点，当直线与垂直时，点到直线的距离最大，的最大值为，此时轴，可得直线斜率不存在，即.
5．已知圆的圆心到直线的距离为，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．内切C．外切D．相离
答案：B
【解析】圆的圆心为，半径为.圆心到直线的距离为，解得.∴圆的圆心为，半径为2，
圆的标准方程为：，圆心坐标为，半径，
圆心距，∴两圆相内切，
6．已知直线l过点，且与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点.若的面积为12（O为坐标原点），则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】设直线l的方程为，则的面积为①.因为直线l过点，所以②.联立①②，解得，，故直线l的方程为，即.
7．若圆与直线相切，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由，可得：，故圆心为，半径为，
又因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得，
8．中，，高，所在的直线方程分别为，，则所在直线的方程是（ ）．
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】∵两边AB，AC上的高线方程分别为与，∴它们的斜率分别为，，故AB和AC的斜率分别为，，∴AB和AC的方程分别为，，整理为一般式可得，，联立方程组，解得，即，同理联立，解得，即，∴BC所在直线的方程为，即.
9．在平面直角坐标系xOy中，若圆上存在点M，且点M关于直线的对称点N在圆上，则r的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】由题意知，圆圆心，半径，圆圆心，半径，关于的对称点设为，则 ，解得，所以圆关于的对称圆，由题意知，圆与圆有公共点，因为，所以，解得，
10．已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆作切线，，，为切点，则直线经过定点（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为是直线的任一点，所以设，因为圆的两条切线、，切点分别为、，所以，，则点、在以为直径的圆上，即是圆和圆的公共弦，则圆心的坐标是，，且半径的平方是，所以圆的方程是，①，又，②，②①得，，
即公共弦所在的直线方程是：，即，由得，，所以直线恒过定点，。
11．(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝4与直线x＋my－m－2＝0，下列选项正确的是( )
A．直线与圆必相交 B．直线与圆不一定相交
C．直线与圆相交且所截最短弦长为2eq \r(3) D．直线与圆可以相切
答案：AC
【解析】由题意，圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的圆心C(1,1)，半径r＝2，直线x＋my－m－2＝0变形得x－2＋m(y－1)＝0，得直线过定点A(2,1)，因为|CA|＝eq \r(2－12＋1－12)＝1<2，所以直线与圆必相交，故A正确，B、D错误；由平面几何知识可知，当直线与过定点A和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，此时弦长为2eq \r(r2－|CA|2)＝2eq \r(3)，故C正确．故选A、C.
12．(多选)已知△ABC的三个顶点为A(－1,2)，B(2,1)，C(3,4)，则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是( )
A．圆M的圆心坐标为(1,3) B．圆M的半径为eq \r(5)
C．圆M关于直线x＋y＝0对称 D．点(2,3)在圆M内
答案：ABD
【解析】设△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋4－D＋2E＋F＝0，,4＋1＋2D＋E＋F＝0，,9＋16＋3D＋4E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝－6，,F＝5.))所以圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.故圆M的圆心坐标为(1,3)，半径为eq \r(5).因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1,3)，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称．因为(2－1)2＋(3－3)2＝1<5，故点(2,3)在圆M内．故选A、B、D.
13．(多选)已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0相交于A，B两点，下列说法正确的为( )
A．两圆有两条公切线
B．直线AB的方程为y＝2x＋2
C．线段AB的长为eq \f(6,5)
D．若动点E在圆O上，动点F在圆M上，则|EF|的最大值为eq \r(5)＋3
答案：AD
【解析】因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故A正确；因为圆O：x2＋y2＝4，圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，两圆作差得4x－2y＋4＝－4，即y＝2x＋4，所以直线AB的方程为y＝2x＋4，故B错误；
圆O：x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，则圆心到直线AB的距离d＝eq \f(4,\r(4＋1))＝eq \f(4\r(5),5)，
所以|AB|＝2eq \r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(5),5)))2)＝eq \f(4\r(5),5)，故C错误；圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的圆心M(－2,1)，半径为1，
所以|EF|max＝|OM|＋2＋1＝eq \r(5)＋3，故D正确．
14．若圆C：x2＋(y－4)2＝18与圆D：(x－1)2＋(y－1)2＝R2的公共弦长为6eq \r(2)，则圆D的半径为________．
答案：2eq \r(7)
【解析】由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y－42＝18，,x－12＋y－12＝R2，))得2x－6y＝4－R2，因为公共弦长为6eq \r(2)，所以直线2x－6y＝4－R2经过圆C的圆心(0,4)，即2×0－6×4＝4－R2，则R2＝28，所以圆D的半径为2eq \r(7).
15．过直线与直线的交点，且到点距离为的直线方程为____.
答案：或
【解析】由，得，所以，直线与的交点为.当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为，点到该直线的距离为，不合乎题意；当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为，即，由于点到所求直线的距离为，可得，
整理得，解得或.综上所述，所求直线的方程为或.
16．过点的直线与圆相交于、两点，且圆上一点到直线的距离的最大值为，则直线的方程是_____________．
答案：或
【解析】圆的圆心为坐标原点，半径长为，由题意可知，圆心到直线的距离满足，.①当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，此时圆心在直线上，不合乎题意；②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，即，由点到直线的距离公式可得，解得.综上所述，直线的方程为或.
17．已知直线与圆交于、两点，直线垂直平分弦，则的值为____________，弦的长为____________.
答案：
【解析】由题意可知，直线与直线垂直，，可得，由于方程表示的曲线为圆，则，解得，且圆的圆心坐标为，圆心在直线上，所以，，解得，所以，圆的方程为，即，圆心坐标为，半径长为，
圆心到直线的距离为，因此，.
18．一束光沿直线射入，遇到直线发生反射，则反射光线所在直线方程为________.
答案：
【解析】联立，解得，则直线与直线的交点为.设直线上的点关于直线的对称点为，线段的中点在直线上，则，整理得.
直线的斜率为，直线与直线垂直，则，整理得.所以，解得，即点.所以，反射光线所在直线的斜率为，因此，反射光线所在直线的方程为，即.
19．已知圆，直线，点在直线上，过点作圆的切线、，切点为、．
（1）若，求点坐标；
（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于、两点，当时，求直线的方程；
（3）求证：经过、、三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出定点的坐标．
答案：（1）或；（2）或；（3）
【解析】（Ⅰ）由条件可知，设，则，
解得或，所以或
(Ⅱ)由条件可知圆心到直线的距离，设直线的方程为，
则，解得或，所以直线的方程为或
（III）设，过、、三点的圆即以为直径的圆，其方程为
整理得与相减得，
即，由得，所以两圆的公共弦过定点。
20．已知圆，点为圆上任意一点，点，线段的中点为，点的轨迹为曲线．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）求曲线与的公共弦长．
（3）求过点并与相切的直线方程．
答案：（1）；（2）；（3）或.
【解析】（1）：设点，，∵ 线段的中点为，，
∴ ，故，又∵ 为圆上任意一点，
∴ ，∴ 将代入得
∴点的轨迹的方程为
（2）， 两式做差得公共弦所在直线方程为：，点到之距离
所求与公共弦长为：
（3）当过点的切线斜率不存在时，即轴时，直线，显然与相切，满足条件；
当过点的切线斜率存在时，设直线斜率为，可知，即
由与相切得到直线的距离为，即：，解得，所以
综上，所求直线方程为：或.
名称
方程
适用条件
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
与x轴不垂直的直线
斜截式
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
两点式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0
平面内所有直线
斜截式
一般式
方程
y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2
A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq \\al(2,1)＋Beq \\al(2,1)≠0)，A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq \\al(2,2)＋Beq \\al(2,2)≠0)
相交
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
垂直
k1k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
平行
k1＝k2且b1≠b2
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1B2－A2B1＝0，,A1C2－A2C1≠0))
重合
k1＝k2且b1＝b2
A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0
位置关系
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ＜0
Δ＝0
Δ＞0
几何观点
d＞r
d＝r
d＜r
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图形
数量的关系
d＞R＋r
d＝R＋r
R－r＜d＜R＋r
d＝R－r
d＜R－r
公切线条数
4
3
2
1
0
直线、直线与圆及圆与圆位置关系
直线与直线位置关系
两直线平行
两直线垂直
点线距离
直线与圆位置关系
圆与圆位置关系
圆与圆相切
圆与圆相离
圆与圆相交
直线与圆相切
直线与圆相离
直线与圆相交
练高考 明方向
1. (2023·北京卷T3）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A. B. C. 1D.
2.(2023·全国甲（文）T14） 设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
3.(2023·全国乙（文、理）T15） 过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
4.(2023·新高考Ⅰ卷T14） 写出与圆和都相切的一条直线的方程_______．
5.(2023·新高考Ⅱ卷T15） 已知点，若直线关于的对称直线与圆存在公共点，则实数a的取值范围为________．
6.(2023·浙江卷T17） 设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．
7．(2023·新高考Ⅰ卷)(多选)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则( )
A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3eq \r(2) D．当∠PBA最大时，|PB|＝3eq \r(2)
8．(2023·新高考Ⅱ卷)(多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
9．(2023年高考全国甲卷理科)抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
(1)求C，的方程；
(2)设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
10．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为
A．B．C． D．
11．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为( )
A．B．C．D．
12．(2023年高考数学课标Ⅲ卷（理）)直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是( )
A．B．C．D．
13．(2023高考数学课标Ⅱ卷理科)圆的圆心到直线的距离为1，则( )
A．B．C．D．
14．(2023高考数学新课标2理科)过三点，，的圆交轴于两点，则( )
A．B．8C．D．10
15．(2023高考数学课标Ⅲ卷理科)已知直线:与圆交于两点,过分别作的垂线与轴交于两点,若,则________________.
16．(2023高考数学课标2理科)设点M(,1)，若在圆O: 上存在点N，使得∠OMN=45°，则的取值范围是________．
17．(2023高考数学新课标1理科)已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆 内切，圆心的轨迹为曲线 C．
(Ⅰ)求C的方程；
(Ⅱ)是与圆,圆都相切的一条直线，与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．
讲典例 备高考
类型一、直线的方程
基础知识：
直线方程的5种形式
基本题型：
1．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
2．已知的顶点，、边中线方程分别为、，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知的顶点，高所在的直线方程分别为和，则所在直线的方程是_______．
4．在平面直角坐标系中，已知点和．
（）若，是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点的两条边所在直线的方程；
（）若，是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程及其端点的坐标．
基本方法：
求直线方程的方法
（1）直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，求出方程中的系数，写出直线方程
（2）待定系数法：先根据已知条件恰当设出直线的方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)解得系数，最后代入设出的直线方程
注：(1)选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用，选用点斜式或斜截式时，先分类讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，先分类讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是否为0.
(2)求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax＋By＋C＝0，且A≥0.
类型二、两直线位置关系
基础知识：
两条直线的位置关系：
基本题型：
1．(两直线垂直）过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为( )
A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0
2．（两直线平行）已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )
A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2
3．（两直线相交）直线，和直线不能构成三角形，则的个数是（ ）．
A．B．C．D．
4．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x＋2y＋1＝0和x＋2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x－4y＋c1＝0和3x－4y＋c2＝0，则|c1－c2|＝( )
A．2eq \r(3) B．2eq \r(5) C．2 D．4
5、（线点对称）直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为( )
A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0
C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0
基本方法：
1、两平行线间的距离的求法
(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；
(2)利用两平行线间的距离公式求解，利用公式前需把两平行线方程化为一般式，且x，y的系数对应相等，即一定要化成l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0的形式．
2、点关于直线的对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A×\f(x1＋x2,2)＋B×\f(y1＋y2,2)＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
类型三、直线与圆位置关系
基础知识：
1、直线与圆的位置关系
设圆O的半径为r(r＞0)，圆心到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系可用下表表示：
2、切线方程
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
3．切线长公式
(1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则点P到切点的切线长d＝eq \r(x0－a2＋y0－b2－r2).
(2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)的切线，则点P到切点的切线长d＝eq \r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).
基本题型：
1．（线圆位置关系的判断）已知定点在单位圆内部，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
2．（线圆相交）圆C的半径为5，圆心在x轴的负半轴上，且被直线截得的弦长为6，则圆C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（线圆相切）已知P（x，y）是直线kx+y+3=0（k>0）上一动点，PA，PB 是圆C：+2y=0的两条切线，.A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（多选题）已知直线过点且与圆相切，直线与轴交于点，点是圆上的动点，则下列结论中正确的有（ ）
A．点的坐标为 B．面积的最大值为
C．当直线与直线垂直时， D．的最大值为
5、（切线方程及切线长）已知点P(eq \r(2)＋1,2－eq \r(2))，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
6．在平面直角坐标系中，直线x+y+3＝0与圆C相切，圆心C的坐标为(1,1)．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线y＝kx+2与圆C没有公共点，求k的取值范围；
（3）设直线y＝x+m与圆C交于M，N两点，且OM⊥ON，求m的值．
基本方法：
1、判断直线与圆的位置关系常见的两种方法
(1)代数法：eq \(――→,\s\up7(判别式),\s\d5(Δ＝b2－4ac))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(>0⇔相交，,＝0⇔相切，,<0⇔相离.))
(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d
2、求直线被圆截得的弦长的常用方法
（1）几何法：直线被圆截得的半弦长、弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，且r2＝2＋d2
（2）代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)或
|AB|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(y1＋y22－4y1y2)(k≠0)
3、圆的切线方程的求法
（1）几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k。
（2）代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0，进而求出k。
类型四、圆与圆位置关系
基础知识：
1、圆与圆的位置关系
设圆O1，O2的半径分别为R，r(R＞r)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表表示：
2．两圆相交时公共弦的性质
圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时：
(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；
(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2)．
基本题型：
1．（两圆位置关系的判断）已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
2．（两圆的公共弦长）若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是( )
A．3 B．4 C．2eq \r(3) D．8
3．（有关圆圆的最值）已知圆，圆，分别为圆上的点，为轴上的动点，则的最小值为( )
A．B．C．D．
4．已知圆：和圆：相交于、两点，下列说法不正确的是（ ）
A．两圆有两条公切线
B．直线的方程为
C．线段的长为
D．所有过点、的圆系的方程可以记为
5．（圆线对称问题）若圆：与圆：关于直线对称，则______.
6．（圆圆位置关系的应用）若圆与圆相交，则的取值范围是________.
7．在平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆：交于点，，与圆：交于点，．
（1）若，求的长；
（2）若中点为，求面积的取值范围．
基本方法：
1．判断两圆位置关系的方法
常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．
2．两圆公共弦长的求法
先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长eq \f(l,2)，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解．
新预测 破高考
1．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数
A．1B．C．或1D．2或1
2．已知圆的标准方程是，直线，若直线被圆所截得的弦长为，则直线与直线的关系为（ ）
A．平行B．垂直C．平行或相交D．相交
3．过点P（1，3）且在x轴上的截距和在y轴上的截距相等的直线方程为( )
A．x+y–4=0B．3x-y=0
C．x+y–4=0或3x+y=0D．x+y–4=0或3x-y=0
4．点到直线：的距离最大时，与的值依次为( )
A．3，－3B．5，2
C．5，1D．7，1
5．已知圆的圆心到直线的距离为，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．内切C．外切D．相离
6．已知直线l过点，且与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点.若的面积为12（O为坐标原点），则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．若圆与直线相切，则（ ）
A．B．C．D．
8．中，，高，所在的直线方程分别为，，则所在直线的方程是（ ）．
A．B．
C．D．
9．在平面直角坐标系xOy中，若圆上存在点M，且点M关于直线的对称点N在圆上，则r的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆作切线，，，为切点，则直线经过定点（ ）
A．B．C．D．
11．(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝4与直线x＋my－m－2＝0，下列选项正确的是( )
A．直线与圆必相交 B．直线与圆不一定相交
C．直线与圆相交且所截最短弦长为2eq \r(3) D．直线与圆可以相切
12．(多选)已知△ABC的三个顶点为A(－1,2)，B(2,1)，C(3,4)，则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是( )
A．圆M的圆心坐标为(1,3) B．圆M的半径为eq \r(5)
C．圆M关于直线x＋y＝0对称 D．点(2,3)在圆M内
13．(多选)已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0相交于A，B两点，下列说法正确的为( )
A．两圆有两条公切线
B．直线AB的方程为y＝2x＋2
C．线段AB的长为eq \f(6,5)
D．若动点E在圆O上，动点F在圆M上，则|EF|的最大值为eq \r(5)＋3
14．若圆C：x2＋(y－4)2＝18与圆D：(x－1)2＋(y－1)2＝R2的公共弦长为6eq \r(2)，则圆D的半径为________．
15．过直线与直线的交点，且到点距离为的直线方程为____.
16．过点的直线与圆相交于、两点，且圆上一点到直线的距离的最大值为，则直线的方程是_____________．
17．已知直线与圆交于、两点，直线垂直平分弦，则的值为____________，弦的长为____________.
18．一束光沿直线射入，遇到直线发生反射，则反射光线所在直线方程为________.
19．已知圆，直线，点在直线上，过点作圆的切线、，切点为、．
（1）若，求点坐标；
（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于、两点，当时，求直线的方程；
（3）求证：经过、、三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出定点的坐标．
20．已知圆，点为圆上任意一点，点，线段的中点为，点的轨迹为曲线．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）求曲线与的公共弦长．
（3）求过点并与相切的直线方程．
名称
方程
适用条件
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
与x轴不垂直的直线
斜截式
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
两点式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0
平面内所有直线
斜截式
一般式
方程
y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2
A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq \\al(2,1)＋Beq \\al(2,1)≠0)，A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq \\al(2,2)＋Beq \\al(2,2)≠0)
相交
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
垂直
k1k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
平行
k1＝k2且b1≠b2
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1B2－A2B1＝0，,A1C2－A2C1≠0))
重合
k1＝k2且b1＝b2
A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0
位置关系
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ＜0
Δ＝0
Δ＞0
几何观点
d＞r
d＝r
d＜r
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图形
数量的关系
d＞R＋r
d＝R＋r
R－r＜d＜R＋r
d＝R－r
d＜R－r
公切线条数
4
3
2
1
0
2023高考一轮复习讲与练
专题39 直线、直线与圆及圆与圆位置关系
直线、直线与圆及圆与圆位置关系
直线与直线位置关系
两直线平行
两直线垂直
点线距离
直线与圆位置关系
圆与圆位置关系
圆与圆相切
圆与圆相离
圆与圆相交
直线与圆相切
直线与圆相离
直线与圆相交
练高考 明方向
1. (2023·北京卷T3）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A. B. C. 1D.
答案：A
分析：若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．
2.(2023·全国甲（文）T14） 设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
答案：
分析：设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】解：∵点M在直线上，∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴，
，解得，∴，，的方程为.
3.(2023·全国乙（文、理）T15） 过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
答案：或或或；
分析：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】解：依题意设圆的方程为，
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
故答案为：或或或；
4.(2023·新高考Ⅰ卷T14） 写出与圆和都相切的一条直线的方程_______．
答案：或或
分析：先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为，所以，设方程为，O到l的距离，解得，所以l的方程为，当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，当切线为n时，易知切线方程为，
5.(2023·新高考Ⅱ卷T15） 已知点，若直线关于的对称直线与圆存在公共点，则实数a的取值范围为________．
答案：
分析：首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；
【详解】关于对称的点的坐标为，在直线上，所以所在直线即为直线，所以直线为，即；圆，圆心，半径，依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
6.(2023·浙江卷T17） 设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．
答案：
分析：根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到，然后利用即可解出．
【详解】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则,，
设,于是，因为，所以，故的取值范围是.
7．(2023·新高考Ⅰ卷)(多选)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则( )
A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3eq \r(2) D．当∠PBA最大时，|PB|＝3eq \r(2)
解析：选ACD 由题意知直线AB：eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0，圆心(5,5)到直线x＋2y－4＝0的距离d＝eq \f(|5＋10－4|,\r(5))＝eq \f(11,\r(5)).因为eq \f(11,\r(5))＋4＜10，所以A项正确．因为eq \f(11,\r(5))－4＜2，所以B项错误．当直线PB与圆相切时，∠PBA取得最值．如图，当切点在点P的位置时，∠PBA最小，此时圆心(5,5)到点B的距离为eq \r(25＋9)＝eq \r(34)，则|PB|＝eq \r(34－16)＝3eq \r(2)；当切点在点P′的位置时，
∠PBA最大，同理可得|PB|＝3eq \r(2).所以C、D项正确．故选A、C、D.
8．(2023·新高考Ⅱ卷)(多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
解析：选ABD 选项A，∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0,0)到直线l的距离d＝eq \f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，
∴直线l与圆C相切，A正确；选项B，∵点A在圆C内，∴a2＋b2
9．(2023年高考全国甲卷理科)抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
(1)求C，的方程；
(2)设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
答案：（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析
解析：（1）依题意设抛物线，
，所以抛物线的方程为，
与相切，所以半径为，所以的方程为；
（2）设
若斜率不存在，则方程为或，
若方程为，根据对称性不妨设，则过与圆相切的另一条直线方程为，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；
若方程为，根据对称性不妨设则过与圆相切的直线为，又，
，此时直线关于轴对称，所以直线与圆相切；
若直线斜率均存在，则，
所以直线方程为，整理得，
同理直线的方程为，
直线的方程为，与圆相切，
整理得，与圆相切，同理
所以为方程的两根，，
到直线的距离为：，
所以直线与圆相切；综上若直线与圆相切，则直线与圆相切．
【点睛】（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要充分利用的对称性，抽象出与关系，把的关系转化为用表示．
10．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为
A．B．C．D．
答案：D
【解析】圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而，当直线时，
，，此时最小．∴即，
由解得，．所以以为直径的圆的方程为，
即，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
11．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为( )
A．B．C．D．
答案：B
解析：由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为．
由题意可得，可得，解得或，所以圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为；圆心到直线的距离均为圆心到直线的距离均为；所以，圆心到直线的距离为．
【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题．
12．(2023年高考数学课标Ⅲ卷（理）)直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是( )
A．B．C．D．
答案：A
解法一：由直线易知，，故
圆的圆心到直线的距离为，
所以点到直线的距离的取值范围为即
所以，故选A．
解法二：设，则点到直线的距离，令，则代入圆的方程整理得：利用方程有解条件，则有
解法三：利用三角换元
设，则
解法四：利用面积公式的坐标形式
设则
下同解法二
注：①当然也可把点设为三角形式，并且更加简单！
②利用面积的向量表达形式,在实际运算中还是要转化为坐标形式才利于操作。
13．(2023高考数学课标Ⅱ卷理科)圆的圆心到直线的距离为1，则( )
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由得：，所以圆心坐标为，所以圆心到直线的距离为：，所以，故选A．
14．(2023高考数学新课标2理科)过三点，，的圆交轴于两点，则( )
A．B．8C．D．10
答案：C
解析：由已知得，，所以，所以，即为直角三角形，其外接圆圆心为，半径为，所以外接圆方程为，令，得，所以，故选C．
15．(2023高考数学课标Ⅲ卷理科)已知直线:与圆交于两点,过分别作的垂线与轴交于两点,若,则________________.
答案：4
【解析】因为,且圆的半径为,所以圆心到直线的距离为,则由,解得,代入直线的方程,得,所以直线的倾斜角为,由平面几何知识知,在梯形中,.
16．(2023高考数学课标2理科)设点M(,1)，若在圆O: 上存在点N，使得∠OMN=45°，则的取值范围是________．
答案：
解析：在坐标系中画出圆O和直线y=1，其中在直线上，由圆的切线相等及三角形外角知识，可得。
17．(2023高考数学新课标1理科)已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆 内切，圆心的轨迹为曲线 C．
(Ⅰ)求C的方程；
(Ⅱ)是与圆,圆都相切的一条直线，与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．
答案：（1） （2）
解析：由已知得圆的圆心为（-1，0）,半径=1，圆的圆心为(1,0),半径=3．
设动圆的圆心为（，），半径为R．
（Ⅰ）∵圆与圆外切且与圆内切，∴|PM|+|PN|===4，由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为．
（Ⅱ）对于曲线C上任意一点（，），由于|PM|-|PN|=≤2，∴R≤2,
当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2．∴当圆P的半径最长时，其方程为，
当的倾斜角为时，则与轴重合，可得|AB|=．
当的倾斜角不为时，由≠R知不平行轴，设与轴的交点为Q，则=，可求得
Q（-4，0），∴设：，由于圆M相切得，解得．
当=时，将代入并整理得，
解得=，∴|AB|==．
当=－时，由图形的对称性可知|AB|=，
综上，|AB|=或|AB|=．
讲典例 备高考
类型一、直线的方程
基础知识：
直线方程的5种形式
基本题型：
1．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
答案：D
【解析】易知斜率不存在时不满足；设直线方程为，则截距和为：解得或 故直线方程为：和
2．已知的顶点，、边中线方程分别为、，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】由题意可知，点在直线上，设点，则线段的中点为，
易知点在直线上，则，解得，所以，点的坐标为.点在直线上，可设点，则线段的中点为点，
易知点在直线上，则，解得，所以，点的坐标为.
直线的斜率为，因此，直线的方程为，即.
3．已知的顶点，高所在的直线方程分别为和，则所在直线的方程是_______．
答案：
【解析】，解得，则高交点为，，
故，设，则，解得，故，
故所在直线的方程是，即.
4．在平面直角坐标系中，已知点和．
（）若，是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点的两条边所在直线的方程；
（）若，是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程及其端点的坐标．
答案：（）和；（）另外一条对角线为，端点为和．
【解析】（）∵，，，，
与直线垂直的直线斜率，，
整理得所求两条直线为和．
（）∵直线方程为：，另外一条对角线斜率，
设中点为，则另一条对角线过点，∴，整理得，
设另外两个端点坐标分别为，，∵在直线上，
∴，①，且，∴，②
联立①②解出或，即另外两个端点为与．
基本方法：
求直线方程的方法
（1）直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，求出方程中的系数，写出直线方程
（2）待定系数法：先根据已知条件恰当设出直线的方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)解得系数，最后代入设出的直线方程
注：(1)选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用，选用点斜式或斜截式时，先分类讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，先分类讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是否为0.
(2)求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax＋By＋C＝0，且A≥0.
类型二、两直线位置关系
基础知识：
两条直线的位置关系：
基本题型：
1．(两直线垂直）过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为( )
A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0
答案：A
【解析】由题意可设所求直线方程为x－2y＋m＝0，将A(2,3)代入上式得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0.故选A.
2．（两直线平行）已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )
A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2
答案：C
【解析】由两直线平行，得当k－3＝0，即k＝3时，两直线的方程分别为y＝－1和y＝eq \f(3,2)，显然两直线平行．
当k－3≠0时，由eq \f(k－3,2k－3)＝eq \f(4－k,－2)≠eq \f(1,3)，可得k＝5.综上，k的值是3或5.
3．（两直线相交）直线，和直线不能构成三角形，则的个数是（ ）．
A．B．C．D．
答案：C
【解析】当直线平行于时，，当直线平行于时，，当直线平行于时，，无解，当三条直线经过同一个点时，把直线和的交点代入，解得或.综上，满足条件的的值为或或或，共个.
4．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x＋2y＋1＝0和x＋2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x－4y＋c1＝0和3x－4y＋c2＝0，则|c1－c2|＝( )
A．2eq \r(3) B．2eq \r(5) C．2 D．4
答案：B
【解析】直线x＋2y＋1＝0与x＋2y＋3＝0间的距离d1＝eq \f(|3－1|,\r(12＋22))＝eq \f(2\r(5),5)，直线3x－4y＋c1＝0与
3x－4y＋c2＝0间的距离d2＝eq \f(|c1－c2|,\r(32＋－42))＝eq \f(|c1－c2|,5).由菱形的性质，知d1＝d2，
所以eq \f(|c1－c2|,5)＝eq \f(2\r(5),5)，所以|c1－c2|＝2eq \r(5)，故选B.
5、（线点对称）直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为( )
A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0
C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0
答案：D
【解析】由ax＋y＋3a－1＝0，可得a(x＋3)＋(y－1)＝0，令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3＝0，,y－1＝0，))可得x＝－3，y＝1，所以
M(－3，1)，M不在直线2x＋3y－6＝0上，设直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为
2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则eq \f(|－6＋3－6|,\r(4＋9))＝eq \f(|－6＋3＋c|,\r(4＋9))，解得c＝12或c＝－6(舍去)，
所以所求方程为2x＋3y＋12＝0.
基本方法：
1、两平行线间的距离的求法
(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；
(2)利用两平行线间的距离公式求解，利用公式前需把两平行线方程化为一般式，且x，y的系数对应相等，即一定要化成l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0的形式．
2、点关于直线的对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A×\f(x1＋x2,2)＋B×\f(y1＋y2,2)＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
类型三、直线与圆位置关系
基础知识：
1、直线与圆的位置关系
设圆O的半径为r(r＞0)，圆心到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系可用下表表示：
2、切线方程
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
3．切线长公式
(1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则点P到切点的切线长d＝eq \r(x0－a2＋y0－b2－r2).
(2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)的切线，则点P到切点的切线长d＝eq \r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).
基本题型：
1．（线圆位置关系的判断）已知定点在单位圆内部，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
答案：C
【解析】在圆的内部，，因为圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离，直线与圆相离。
2．（线圆相交）圆C的半径为5，圆心在x轴的负半轴上，且被直线截得的弦长为6，则圆C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】设圆心为()，圆C的半径为5，弦长为6，圆心到直线的距离为.又圆心到直线的距离为，，解得.
圆C的方程为，即.
3．（线圆相切）已知P（x，y）是直线kx+y+3=0（k>0）上一动点，PA，PB 是圆C：+2y=0的两条切线，.A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】圆的圆心，半径是，由圆的性质知：，四边形的最小面积是，的最小值是切线长）.所以|PC|的最小值为，所以。
4．（多选题）已知直线过点且与圆相切，直线与轴交于点，点是圆上的动点，则下列结论中正确的有（ ）
A．点的坐标为 B．面积的最大值为
C．当直线与直线垂直时， D．的最大值为
答案：A、B、D
解析：由题意知直线的斜率存在，故设直线的方程为，∵直线与圆相切，∴，∴，∴直线的方程为，∴点坐标为，A正确；
∵圆上动点到直线的最大距离为，又∵，
∴，B正确；由直线与直线垂直，则，∴，C错误；最大，即时，又∵，
∴，D正确．
5、（切线方程及切线长）已知点P(eq \r(2)＋1,2－eq \r(2))，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
解析：(1)由题意得圆心C(1,2)，半径长r＝2.因为(eq \r(2)＋1－1)2＋(2－eq \r(2)－2)2＝4，所以点P在圆C上．
又kPC＝eq \f(2－\r(2)－2,\r(2)＋1－1)＝－1，所以切线的斜率k＝－eq \f(1,kPC)＝1.所以过点P的圆C的切线方程是
y－(2－eq \r(2))＝1×[x－(eq \r(2)＋1)]，即x－y＋1－2eq \r(2)＝0.
（2）因为(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，所以点M在圆C外部．当过点M的直线斜率不存在时，
直线方程为x＝3，又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，
所以直线x＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝eq \f(|k－2＋1－3k|,\r(k2＋1))＝r＝2，
解得k＝eq \f(3,4).所以切线方程为y－1＝eq \f(3,4)(x－3)，即3x－4y－5＝0.
综上可得，过点M的圆C的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.
因为|MC|＝eq \r(3－12＋1－22)＝eq \r(5)，所以过点M的圆C的切线长为eq \r(|MC|2－r2)＝eq \r(5－4)＝1.
6．在平面直角坐标系中，直线x+y+3＝0与圆C相切，圆心C的坐标为(1,1)．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线y＝kx+2与圆C没有公共点，求k的取值范围；
（3）设直线y＝x+m与圆C交于M，N两点，且OM⊥ON，求m的值．
答案：（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）∵直线与圆C相切，且圆心C的坐标为，
∴圆C的半径，则圆C的方程为；
（2）∵直线y＝kx+2与圆C没有公共点，∴点到直线的距离，
解得，∴k的取值范围为；
（3）联立，得，由，
解得，设，则，
∵，∴，，即，
即，∴，
解得，符合题意，∴．
基本方法：
1、判断直线与圆的位置关系常见的两种方法
(1)代数法：eq \(――→,\s\up7(判别式),\s\d5(Δ＝b2－4ac))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(>0⇔相交，,＝0⇔相切，,<0⇔相离.))
(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d
2、求直线被圆截得的弦长的常用方法
（1）几何法：直线被圆截得的半弦长、弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，且r2＝2＋d2
（2）代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)或
|AB|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(y1＋y22－4y1y2)(k≠0)
3、圆的切线方程的求法
（1）几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k。
（2）代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0，进而求出k。
类型四、圆与圆位置关系
基础知识：
1、圆与圆的位置关系
设圆O1，O2的半径分别为R，r(R＞r)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表表示：
2．两圆相交时公共弦的性质
圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时：
(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；
(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2)．
基本题型：
1．（两圆位置关系的判断）已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
答案：B
【解析】化简圆到直线的距离 ，又 两圆相交. 选B
2．（两圆的公共弦长）若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是( )
A．3 B．4 C．2eq \r(3) D．8
答案：B
【解析】如图，连接O1A，O2A，由于⊙O1与⊙O2在点A处的切线互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以O1Oeq \\al(2,2)＝O1A2＋O2A2，即m2＝5＋20＝25，设AB交x轴于点C.在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝eq \f(\r(5),5)，所以在Rt△ACO2中，AC＝AO2·sin∠AO2O1＝2eq \r(5)×eq \f(\r(5),5)＝2，所以AB＝2AC＝4.故选B.
3．（有关圆圆的最值）已知圆，圆，分别为圆上的点，为轴上的动点，则的最小值为( )
A．B．C．D．
答案：D
【解析】如图所示，圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为,，半径为3，由图象可知，当三点共线时，取得最小值，且的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径之和，即，
4．已知圆：和圆：相交于、两点，下列说法不正确的是（ ）
A．两圆有两条公切线
B．直线的方程为
C．线段的长为
D．所有过点、的圆系的方程可以记为
答案：D
【解析】A. 因为圆：和圆：相交于、两点，所以两圆有两条公切线，故正确；B. 圆：和圆：的方程相减得：，所以直线的方程为，故正确；C. 圆心到直线的距离为，所以线段的长为，故正确；D. 因为，所以恒成立，即过AB两点，方程可化为，
而恒成立，所以方程表示圆，但此圆系不包括圆M，故不正确.
5．（圆线对称问题）若圆：与圆：关于直线对称，则______.
答案：
【解析】因为圆：，即，圆心，半径，由题意，得与关于直线对称，
则解得，，圆的半径，解得.
6．（圆圆位置关系的应用）若圆与圆相交，则的取值范围是________.
答案：或
【解析】整理圆的方程得：，整理圆的方程得，∴的圆心为，半径为2，圆：圆心为，半径为3，∵圆与圆相交，∴圆心之间的距离小于两圆半径之和，大于两圆半径之差，故有：，
即，解之得：或.
7．在平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆：交于点，，与圆：交于点，．
（1）若，求的长；
（2）若中点为，求面积的取值范围．
答案：（1）；（2）.
【解析】（1）因为AB＝，圆O半径为2，所以点O到直线AB的距离为
显然AB、CD都不平行于坐标轴，可设AB：，即
则点O到直线AB的距离，解得，因为AB⊥CD，所以
所以CD：，即，点M（2,1）到直线CD的距离
所以
（2）当AB⊥x轴，CD∥x轴时，此时AB=4，点E与点M重合，PM=2，所以△ABE的面积S=4
当AB∥x轴，CD⊥x轴时，显然不存在，舍
当AB与CD都不平行于坐标轴时，由（1）知
因为，所以，因为点E是CD中点，所以ME⊥CD，
所以
所以△ABE的面积记，则，
则，综上所述：。
基本方法：
1．判断两圆位置关系的方法
常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．
2．两圆公共弦长的求法
先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长eq \f(l,2)，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解．
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1．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数
A．1B．C．或1D．2或1
答案：D
【解析】由题意，当，即时，直线化为，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当，即时，直线化为，
由直线在两坐标轴上的截距相等，可得，解得；综上所述，实数或．
2．已知圆的标准方程是，直线，若直线被圆所截得的弦长为，则直线与直线的关系为（ ）
A．平行B．垂直C．平行或相交D．相交
答案：C
【解析】由题知直线被圆所截得的弦长为，解得或，
所以直线的方程为或，所以直线与要么平行，要么相交。
3．过点P（1，3）且在x轴上的截距和在y轴上的截距相等的直线方程为( )
A．x+y–4=0B．3x-y=0
C．x+y–4=0或3x+y=0D．x+y–4=0或3x-y=0
答案：D
【解析】若直线过原点，设直线方程为y=kx，把点P（1，3）代入得k=3，此时直线为y=3x，即3x–y=0．
若直线不经过原点，设直线方程为+=1，即x+y=a．把点P（1，3）代入得a=4，所以直线方程为x+y=4，即x+y–4=0，故选D．
4．点到直线：的距离最大时，与的值依次为( )
A．3，－3B．5，2
C．5，1D．7，1
答案：C
【解析】直线，即，直线是过直线和交点的直线系方程，由，得，可得直线经过定点，当直线与垂直时，点到直线的距离最大，的最大值为，此时轴，可得直线斜率不存在，即.
5．已知圆的圆心到直线的距离为，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．内切C．外切D．相离
答案：B
【解析】圆的圆心为，半径为.圆心到直线的距离为，解得.∴圆的圆心为，半径为2，
圆的标准方程为：，圆心坐标为，半径，
圆心距，∴两圆相内切，
6．已知直线l过点，且与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点.若的面积为12（O为坐标原点），则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】设直线l的方程为，则的面积为①.因为直线l过点，所以②.联立①②，解得，，故直线l的方程为，即.
7．若圆与直线相切，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由，可得：，故圆心为，半径为，
又因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得，
8．中，，高，所在的直线方程分别为，，则所在直线的方程是（ ）．
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】∵两边AB，AC上的高线方程分别为与，∴它们的斜率分别为，，故AB和AC的斜率分别为，，∴AB和AC的方程分别为，，整理为一般式可得，，联立方程组，解得，即，同理联立，解得，即，∴BC所在直线的方程为，即.
9．在平面直角坐标系xOy中，若圆上存在点M，且点M关于直线的对称点N在圆上，则r的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】由题意知，圆圆心，半径，圆圆心，半径，关于的对称点设为，则 ，解得，所以圆关于的对称圆，由题意知，圆与圆有公共点，因为，所以，解得，
10．已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆作切线，，，为切点，则直线经过定点（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为是直线的任一点，所以设，因为圆的两条切线、，切点分别为、，所以，，则点、在以为直径的圆上，即是圆和圆的公共弦，则圆心的坐标是，，且半径的平方是，所以圆的方程是，①，又，②，②①得，，
即公共弦所在的直线方程是：，即，由得，，所以直线恒过定点，。
11．(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝4与直线x＋my－m－2＝0，下列选项正确的是( )
A．直线与圆必相交 B．直线与圆不一定相交
C．直线与圆相交且所截最短弦长为2eq \r(3) D．直线与圆可以相切
答案：AC
【解析】由题意，圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的圆心C(1,1)，半径r＝2，直线x＋my－m－2＝0变形得x－2＋m(y－1)＝0，得直线过定点A(2,1)，因为|CA|＝eq \r(2－12＋1－12)＝1<2，所以直线与圆必相交，故A正确，B、D错误；由平面几何知识可知，当直线与过定点A和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，此时弦长为2eq \r(r2－|CA|2)＝2eq \r(3)，故C正确．故选A、C.
12．(多选)已知△ABC的三个顶点为A(－1,2)，B(2,1)，C(3,4)，则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是( )
A．圆M的圆心坐标为(1,3) B．圆M的半径为eq \r(5)
C．圆M关于直线x＋y＝0对称 D．点(2,3)在圆M内
答案：ABD
【解析】设△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋4－D＋2E＋F＝0，,4＋1＋2D＋E＋F＝0，,9＋16＋3D＋4E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝－6，,F＝5.))所以圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.故圆M的圆心坐标为(1,3)，半径为eq \r(5).因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1,3)，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称．因为(2－1)2＋(3－3)2＝1<5，故点(2,3)在圆M内．故选A、B、D.
13．(多选)已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0相交于A，B两点，下列说法正确的为( )
A．两圆有两条公切线
B．直线AB的方程为y＝2x＋2
C．线段AB的长为eq \f(6,5)
D．若动点E在圆O上，动点F在圆M上，则|EF|的最大值为eq \r(5)＋3
答案：AD
【解析】因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故A正确；因为圆O：x2＋y2＝4，圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，两圆作差得4x－2y＋4＝－4，即y＝2x＋4，所以直线AB的方程为y＝2x＋4，故B错误；
圆O：x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，则圆心到直线AB的距离d＝eq \f(4,\r(4＋1))＝eq \f(4\r(5),5)，
所以|AB|＝2eq \r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(5),5)))2)＝eq \f(4\r(5),5)，故C错误；圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的圆心M(－2,1)，半径为1，
所以|EF|max＝|OM|＋2＋1＝eq \r(5)＋3，故D正确．
14．若圆C：x2＋(y－4)2＝18与圆D：(x－1)2＋(y－1)2＝R2的公共弦长为6eq \r(2)，则圆D的半径为________．
答案：2eq \r(7)
【解析】由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y－42＝18，,x－12＋y－12＝R2，))得2x－6y＝4－R2，因为公共弦长为6eq \r(2)，所以直线2x－6y＝4－R2经过圆C的圆心(0,4)，即2×0－6×4＝4－R2，则R2＝28，所以圆D的半径为2eq \r(7).
15．过直线与直线的交点，且到点距离为的直线方程为____.
答案：或
【解析】由，得，所以，直线与的交点为.当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为，点到该直线的距离为，不合乎题意；当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为，即，由于点到所求直线的距离为，可得，
整理得，解得或.综上所述，所求直线的方程为或.
16．过点的直线与圆相交于、两点，且圆上一点到直线的距离的最大值为，则直线的方程是_____________．
答案：或
【解析】圆的圆心为坐标原点，半径长为，由题意可知，圆心到直线的距离满足，.①当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，此时圆心在直线上，不合乎题意；②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，即，由点到直线的距离公式可得，解得.综上所述，直线的方程为或.
17．已知直线与圆交于、两点，直线垂直平分弦，则的值为____________，弦的长为____________.
答案：
【解析】由题意可知，直线与直线垂直，，可得，由于方程表示的曲线为圆，则，解得，且圆的圆心坐标为，圆心在直线上，所以，，解得，所以，圆的方程为，即，圆心坐标为，半径长为，
圆心到直线的距离为，因此，.
18．一束光沿直线射入，遇到直线发生反射，则反射光线所在直线方程为________.
答案：
【解析】联立，解得，则直线与直线的交点为.设直线上的点关于直线的对称点为，线段的中点在直线上，则，整理得.
直线的斜率为，直线与直线垂直，则，整理得.所以，解得，即点.所以，反射光线所在直线的斜率为，因此，反射光线所在直线的方程为，即.
19．已知圆，直线，点在直线上，过点作圆的切线、，切点为、．
（1）若，求点坐标；
（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于、两点，当时，求直线的方程；
（3）求证：经过、、三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出定点的坐标．
答案：（1）或；（2）或；（3）
【解析】（Ⅰ）由条件可知，设，则，
解得或，所以或
(Ⅱ)由条件可知圆心到直线的距离，设直线的方程为，
则，解得或，所以直线的方程为或
（III）设，过、、三点的圆即以为直径的圆，其方程为
整理得与相减得，
即，由得，所以两圆的公共弦过定点。
20．已知圆，点为圆上任意一点，点，线段的中点为，点的轨迹为曲线．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）求曲线与的公共弦长．
（3）求过点并与相切的直线方程．
答案：（1）；（2）；（3）或.
【解析】（1）：设点，，∵ 线段的中点为，，
∴ ，故，又∵ 为圆上任意一点，
∴ ，∴ 将代入得
∴点的轨迹的方程为
（2）， 两式做差得公共弦所在直线方程为：，点到之距离
所求与公共弦长为：
（3）当过点的切线斜率不存在时，即轴时，直线，显然与相切，满足条件；
当过点的切线斜率存在时，设直线斜率为，可知，即
由与相切得到直线的距离为，即：，解得，所以
综上，所求直线方程为：或.
名称
方程
适用条件
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
与x轴不垂直的直线
斜截式
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
两点式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0
平面内所有直线
斜截式
一般式
方程
y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2
A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq \\al(2,1)＋Beq \\al(2,1)≠0)，A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq \\al(2,2)＋Beq \\al(2,2)≠0)
相交
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
垂直
k1k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
平行
k1＝k2且b1≠b2
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1B2－A2B1＝0，,A1C2－A2C1≠0))
重合
k1＝k2且b1＝b2
A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0
位置关系
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ＜0
Δ＝0
Δ＞0
几何观点
d＞r
d＝r
d＜r
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图形
数量的关系
d＞R＋r
d＝R＋r
R－r＜d＜R＋r
d＝R－r
d＜R－r
公切线条数
4
3
2
1
0
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