高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题40椭圆及直线与椭圆位置关系(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题40椭圆及直线与椭圆位置关系(原卷版+解析)，共44页。试卷主要包含了(2023·全国甲，故选C等内容，欢迎下载使用。
专题40 椭圆及其几何性质
椭圆及其几何性质
椭圆定义
离心率
焦点三角形
椭圆方程
面积
周长
练高考 明方向
1.(2023·全国甲（文）T11） 已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A. B. C. D.
2.(2023·全国甲（理）T10） 椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
3.(2023·新高考Ⅰ卷T16） 已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
4．(2023年高考全国乙卷理科)设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
5．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知椭圆C1：(a>b>0)右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|．
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．
6．(2023年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则( )
A．B．C．D．
7．(2023年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为( )
8．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为( )
A．B．C．D．
9．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知椭圆，的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为( )
A．B．C．D．
10．(2023高考数学课标Ⅲ卷理科)已知为坐标原点,是椭圆C:的左焦点,分别为的左、右顶点.为上一点,且轴.过点的直线与线段交于点,与轴交于点.若直线经过OE的中点,则的离心率为( )
A．B．C．D．
11．(2023高考数学新课标1理科)已知椭圆的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A．B两点。若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A．B． QUOTE C．D
12．(2023高考数学新课标理科)设F1，F2是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为( )
A．B．C．D．
13．(2023年高考全国甲卷理科)已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
14．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限．若为等腰三角形，则的坐标为___________．
15．(2023高考数学新课标1理科)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 。
16．(2023高考数学课标2理科)设,分别是椭圆C：的左，右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N．
(Ⅰ)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(Ⅱ)若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b．
讲典例 备高考
类型一、椭圆定义的应用
基础知识：
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
2、集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a>c，则集合P为椭圆．(2)若a＝c，则集合P为线段．(3)若ab>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若eq \f(1,3)0)的左，右两焦点分别是F1，F2，其中F1F2=2c.直线l∶y=k(x+c)(k∈R)与椭圆交于A，B两点则下列说法中正确的有（ ）
A．△ABF2的周长为4a
B．若AB的中点为M，则
C．若，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若AB的最小值为3c，则椭圆的离心率
11、如图，过椭圆的左、右焦点F1，F2分别作斜率为的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为_____．
12、我国自主研制的第一个月球探测器——“嫦娥一号”卫星在西昌卫星发射中心成功发射后，在地球轨道上经历3次调相轨道变轨，奔向月球，进入月球轨道．“嫦娥一号”轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R，卫星近地点、远地点离地面的距离分别是eq \f(R,2)，eq \f(5R,2)(如图所示)，则“嫦娥一号”卫星轨道的离心率为________．
13．设，分别为椭圆（）的左，右焦点，为内一点，为上任意一点，若的最小值为，则的方程为__________.
14、已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是椭圆上位于轴上方的一点，若直线的斜率为，且，则椭圆的离心率为________．
15、若的两个顶点，，周长为，则第三个顶点的轨迹方程是____________．
16．设椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一动点，则下列说法中正确的是_______.
①当点不在轴上时，的周长是6； ②当点不在轴上时，面积的最大值为
③存在点，使； ④的取值范围是
17、如果椭圆的一个焦点坐标为,过此焦点且垂直于轴的弦的长等于,则这个椭圆的标准方程为_______.
18．已知椭圆的焦点分别为、，，若椭圆上存在点，使得，则椭圆短轴长的取值范围是____________．
19．已知椭圆的短轴长为8，上顶点为A，左顶点为，分别是椭圆的左､右焦点，且的面积为4，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为___________.
A．
B．
C．
D．
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
图形
性质
范围
x∈[－a，a]，y∈[－b，b]
x∈[－b，b]，y∈[－a，a]
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)，且e∈(0,1)
c2＝a2－b2
2023高考一轮复习讲与练
专题40 椭圆及其几何性质
椭圆及其几何性质
椭圆定义
离心率
焦点三角形
椭圆方程
面积
周长
练高考 明方向
1.(2023·全国甲（文）T11） 已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
分析：根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.
【详解】因为离心率，解得，，分别为C左右顶点，则，B为上顶点，所以.所以，因为
所以，将代入，解得，故椭圆的方程为.
2.(2023·全国甲（理）T10） 椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
分析：设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】，设，则，则，
故，又，则，
所以，即，所以椭圆的离心率.
3.(2023·新高考Ⅰ卷T16） 已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
答案：13
分析：利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，∴，
∴ ， 得， ∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
4．(2023年高考全国乙卷理科)设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
答案：C
解析：设，由，因为，，所以
，
因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．
5．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知椭圆C1：(a>b>0)右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|．
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．
答案：（1）；（2），．
解析：（1），轴且与椭圆相交于、两点，则直线的方程为，
联立，解得，则，
抛物线的方程为，联立，解得，，
，即，，即，即，
，解得，因此，椭圆的离心率为；
（2）由（1）知，，椭圆的方程为，
联立，消去并整理得，解得或（舍去），
由抛物线的定义可得，解得．
因此，曲线的标准方程为，曲线的标准方程为．
6．(2023年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则( )
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
7．(2023年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为( )
答案：B
解析：如图，设，则，由，可得，
，所以点为椭圆的上顶点或下顶点．在中，由余弦定理可得
，所以，即，即，又，所以椭圆方程为．
8．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为( )
A．B．C．D．
答案：D
解析：因为为等腰三角形，，所以，由余弦定理得，
所以，而，由已知，得，即，故选D．
9．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知椭圆，的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为( )
A．B．C．D．
答案：A
【解析】以线段为直径的圆的圆心为原点，半径为，该圆与直线相切
所以圆心到直线的距离，整理可得
所以，故选A．
【点评】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见的有两种方法：
①求出，代入公式e＝；
②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围)．
10．(2023高考数学课标Ⅲ卷理科)已知为坐标原点,是椭圆C:的左焦点,分别为的左、右顶点.为上一点,且轴.过点的直线与线段交于点,与轴交于点.若直线经过OE的中点,则的离心率为( )
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题意,设直线的方程为,分别令与,得点,
,由△OBE∽△CBM,得,即,整理得,所以椭圆的离心率,故选A.
11．(2023高考数学新课标1理科)已知椭圆的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A．B两点。若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A．B． QUOTE C．D
答案：Ｄ
解析：设，则=2，=－2，
① ； ②，由①-②得，
∴===，又==，∴=，又9==，解得=9，=18，∴椭圆方程为，故选D．
12．(2023高考数学新课标理科)设F1，F2是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为( )
A．B．C．D．
答案：C
解析：如上图，是底角为的等腰三角形可得=2c
在中，
即，又∵，所以
将等式两边同时除以a，得．
13．(2023年高考全国甲卷理科)已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
答案：
解析：因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，
设，则，
所以， ，即四边形面积等于．
14．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限．若为等腰三角形，则的坐标为___________．
答案：
【解析】由已知可得，．
．设点的坐标为，则，又，解得，
，解得（舍去），的坐标为．
法二、在得出．．
，∴．
∴，
的坐标为．
法三、由题知，又由焦半径公式，得，从而得到，的坐标为．
15．(2023高考数学新课标1理科)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 。
答案：
解析：设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为．
16．(2023高考数学课标2理科)设,分别是椭圆C：的左，右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N．
(Ⅰ)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(Ⅱ)若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b．
答案：解析：（Ⅰ），解得
（Ⅱ）依据题意，原点为的中点，与轴垂直，所以直线
与轴的交点是线段的中点，故，即
由，得，设，且，易知，则
，代入椭圆方程得
又代入上式，解得．
讲典例 备高考
类型一、椭圆定义的应用
基础知识：
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
2、集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a>c，则集合P为椭圆．(2)若a＝c，则集合P为线段．(3)若a|MN|.由椭圆的定义知，P的轨迹是椭圆．
2．若动点始终满足关系式，则动点M的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：由等式表示的几何意义，结合相应圆锥曲线定义即可得解.
【详解】因动点满足关系式，则该等式表示点到两个定点的距离的和为8，而，即动点M的轨迹是以为焦点，长轴长的椭圆，于是短半轴长b有，所以动点M的轨迹方程为.
3．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1(x≠0) B.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,36)＝1(x≠0)
C.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,20)＝1(x≠0) D.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,6)＝1(x≠0)
答案：B
【解析】∵△ABC的周长为20，顶点B(0，－4)，C(0,4)，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆的一部分，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，
∴椭圆的方程是eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,36)＝1(x≠0)．
基本方法：
1．椭圆定义的应用范围
(1)确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．
(2)解决与焦点有关的距离问题．
类型二、求椭圆标准方程
基础知识：
椭圆的标准方程：
焦点在x轴上：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0) 焦点在y轴上：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
基本题型：
1．已知点是椭圆上的一点，椭圆的长轴长是焦距的倍，则该椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：看问题：求椭圆的方程（属于轨迹方程问题）
想方法：求轨迹方程基本方法：
（1）待定系数法：已知曲线类型用此法； （2）定义法；
（3）代入法（相关点法）；（4）直译法（直接法）；（5）参数法。
看条件：是椭圆上的一点，想定义想坐标，
椭圆的长轴长是焦距的倍，则，注意
定措施：用待定系数法，即利用条件建立方程组去求a,b,c.，从而可得得椭圆方程．
【详解】由题意，解得，所以椭圆方程为．
2．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1(x≠0) B.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,36)＝1(x≠0)
C.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,20)＝1(x≠0) D.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,6)＝1(x≠0)
答案：B
分析：看问题：求顶点A的轨迹方程（属于轨迹方程问题）
想方法：求轨迹方程基本方法：
（1）待定系数法：已知曲线类型用此法； （2）定义法；
（3）代入法（相关点法）；（4）直译法（直接法）；（5）参数法。
看条件：△ABC的周长为20，即|AB|＋|AC|＋|BC|＝20，
顶点B(0，－4)，C(0,4)，则|BC|＝8，
定措施：由已知得|AB|＋|AC|＝12＞8，符合椭圆的定义，故用定义法，．
【解析】∵△ABC的周长为20，顶点B(0，－4)，C(0,4)，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆的一部分，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，
∴椭圆的方程是eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,36)＝1(x≠0)．
3、若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,5)＋y2＝1 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)＝1
C.eq \f(x2,5)＋y2＝1或eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)＝1 D．以上答案都不对
答案：C
【解析】直线x－2y＋2＝0与坐标轴的两个交点分别为(0,1)和(－2,0)．若椭圆的焦点在x轴上，则c＝2，
b＝1，a2＝5，故所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,5)＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上，则b＝2，c＝1，a2＝5，故所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,5)＋eq \f(x2,4)＝1.故选C.
4．过点A(3，－2)且与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )
A.eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1 B.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,20)＝1
C.eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,15)＝1 D.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,15)＝1
答案：A
【解析】由题意知c2＝5，可设椭圆方程为eq \f(x2,λ＋5)＋eq \f(y2,λ)＝1(λ>0)，则eq \f(9,λ＋5)＋eq \f(4,λ)＝1，
解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，∴所求椭圆的方程为eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1.
5．已知以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－4))和Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，3))，则此椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(y2,25)＋x2＝1 B.eq \f(x2,25)＋y2＝1
C.eq \f(x2,25)＋y2＝1或eq \f(y2,25)＋x2＝1 D．以上都不对
答案：A
【解析】设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(9,25)m＋16n＝1，,\f(16,25)m＋9n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝\f(1,25)，))
∴椭圆的标准方程为eq \f(y2,25)＋x2＝1.
6．（多选题）已知F为椭圆的左焦点，A，B为E的两个顶点.若，则E的方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：ACD
分析：
分别分析A，B为椭圆E的两个顶点的位置，从而求得参数a，b，写出标准方程.
【详解】
∵∴仅有4种情况符合条件，即A为右顶点时，B为左顶点或上、下顶点；A为上顶点时，B为左顶点；
∴①当A为右顶点时，B为左顶点，此时，解得，椭圆方程为，故D正确；
②当A为右顶点时，B为上或下顶点，此时，解得，椭圆方程为，故A正确；
③A为上顶点时，B为左顶点时，此时，解得，椭圆方程为，故C正确；
基本方法：
1．求椭圆标准方程的2种常用方法
（1）定义法：根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程
（2）待定系数法（先定位，在定量）：
若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；
若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，
2．设椭圆标准方程的技巧：
(1)如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为(A＞0，B＞0，A≠B)．
(32)与椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1共焦点的椭圆可设为eq \f(x2,m＋k)＋eq \f(y2,n＋k)＝1(k＞－m，k＞－n且m≠n)．
(3)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有相同离心率的椭圆，可设为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝k1(k1＞0，焦点在x轴上)
或eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝k2(k2＞0，焦点在y轴上)．
类型三、求椭圆离心率的值或范围
基础知识：
椭圆的几何性质：
基本题型：
1、如图，过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若eq \f(1,3)