高考数学大题精做专题03几何体的体积求解(第三篇)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大题精做专题03几何体的体积求解(第三篇)(原卷版+解析)，共19页。

专题03 几何体的体积求解
【典例1】【陕西省渭南市2020届高三上学期期末】
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为正方形，△PAD为等边三角形，平面PAD丄平面PCD.
(1)证明：平面PAD丄平面ABCD:
(2)若AB=2，Q为线段的中点，求三棱锥Q-PCD的体积.
【典例2】【2020届河北九校高三上学期第二次联考】
如图，在三棱锥中，正三角形所在平面与等腰三角形所在平面互相垂直，，是中点，于.
（1）证明：平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
【典例3】【2020届宁夏银川一中月考】
在矩形所在平面的同一侧取两点、，使且，若，，.
（1）求证：
（2）取的中点，求证
（3）求多面体的体积.
【典例4】【山东省临沂市2019年普通高考模拟考试（三模)】
如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，是的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若，三棱锥的体积为，求四棱锥的侧面积．
【典例5】【北京市丰台区2019届高三模拟】
在菱形中，，为线段的中点（如图1）．将沿折起到的位置，使得平面平面，为线段的中点（如图2）．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）当四棱锥的体积为时，求的值．
【针对训练】
1.【湖南省郴州市2019届高三第三次质量检测】
如图，在多面体中，底面是边长为2的菱形，且，四边形是等腰梯形，且，.
（1）证明：平面平面.
（2）求该多面体的体积.
2.【辽宁省抚顺市2020届高三模拟考试】
如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．
3.【江西省临川第一中学等九校2019届高三3月联考】
已知斜三棱柱的侧面与底面垂直，侧棱与底面所成的角为，，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若为的中点，求三棱锥的体积.
4.【2020届安徽蚌埠二中期中考试】
如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE⊥平面ABCD，
（I）证明：平面AEC⊥平面BED；
（II）若∠ABC=120∘，AE⊥EC, 三棱锥E−ACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积.
5.【2020届上海市普陀区高考一模】
如图所示的三棱锥的三条棱，，两两互相垂直，,点在棱上，且().
（1）当时，求异面直线与所成角的大小；
（2）当三棱锥的体积为时，求的值.
类型
对应典例
公式法求体积
典例1
等体积法求体积
典例2
切割法求体积
典例3
由体积求侧面积
典例4
由体积求参数的值
典例5
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第三篇 立体几何
专题03 几何体的体积求解
【典例1】【陕西省渭南市2020届高三上学期期末】
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为正方形，△PAD为等边三角形，平面PAD丄平面PCD.
(1)证明：平面PAD丄平面ABCD:
(2)若AB=2，Q为线段的中点，求三棱锥Q-PCD的体积.
【思路引导】
（1）取的中点，连结，利用面面垂直的性质，证得平面，再由正方形的性质，证得，利用线面垂直的判定定理，得到平面，进而得到平面平面；
（2）由（1）得到平面的距离，进而求得到平面的距离，利用体积公式，即可求解．
【详解】
（1）证明：取的中点，连结，
因为为等边三角形，所以，
又因为平面，平面平面，
平面平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为底面为正方形，所以，
因为，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）由（1）得平面，所以到平面的距离，
因为底面为正方形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
所以两点到平面的距离相等，均为，
又为线段的中点，所以到平面的距离，
由（1）知，平面，因为平面，所以，
所以．
【典例2】【2020届河北九校高三上学期第二次联考】
如图，在三棱锥中，正三角形所在平面与等腰三角形所在平面互相垂直，，是中点，于.
（1）证明：平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
【思路引导】
（1）先证明平面，得到，结合已知，证得平面.（2）将所求转化为，利用（1）的结论得到三棱锥的高为，由此计算得三棱锥的体积.
解：（1）∵AB＝BC，O是AC中点，
∴BO⊥AC，
又平面PAC⊥平面ABC，
且平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，
∴BO⊥平面PAC，
∴BO⊥PC，
又OH⊥PC，BO∩OH＝O，
∴PC⊥平面BOH；
（2）∵△HAO与△HOC面积相等，
∴,
∵BO⊥平面PAC,∴,
∵,∠HOC=30°∴,
∴,
∴,即.
【典例3】【2020届宁夏银川一中月考】
在矩形所在平面的同一侧取两点、，使且，若，，.
（1）求证：
（2）取的中点，求证
（3）求多面体的体积.
【思路引导】
分析：(1)要证 ，即证 ，只需证明 ，；
(2) 连结交于点，则是的中位线， ，从而得证；
(3)即可求得多面体的体积.
详解：(Ⅰ)四边形是矩形， ，又，，，在平面内，.
(Ⅱ)连结交于点，则是的中位线，，在平面内，所以.
（Ⅲ）
.
【典例4】【山东省临沂市2019年普通高考模拟考试（三模)】
如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，是的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若，三棱锥的体积为，求四棱锥的侧面积．
【思路引导】
（1）由平面可得， 由底面是菱形可得，从而得平面，进而可得结论；（2）设菱形的边长为，在中，利用余弦定理求得，利用勾股定理求得，由棱锥的体积公式可得，求出各侧面的面积即可得结果.
【详解】
（1）∵平面，平面，
∴，
又∵底面是菱形，∴，
又∵，平面，平面，
∴平面，
又∵平面，∴平面平面.
（2）设菱形的边长为，
∵，∴，
在中，，
∴，
又∵平面，，，∴，
∴，
又，
∴，∴ ，
∴，，
∵，∴.
又∵平面，∴，
∴四棱维的侧面积等于
【典例5】【北京市丰台区2019届高三模拟】
在菱形中，，为线段的中点（如图1）．将沿折起到的位置，使得平面平面，为线段的中点（如图2）．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）当四棱锥的体积为时，求的值．
【思路引导】
（Ⅰ）证明OD'⊥AO． 推出OD'⊥平面ABCO． 然后证明OD'⊥BC．（Ⅱ）取P为线段AD'的中点，连接OP，PM；证明四边形OCMP为平行四边形，然后证明CM∥平面AOD'；（Ⅲ）说明OD'是四棱锥D'﹣ABCO的高．通过体积公式求解即可．
【详解】
（Ⅰ）证明：因为在菱形中，，为线段的中点，
所以．
因为平面平面
平面平面，
平面，
所以平面．
因为平面，
所以．
（Ⅱ）证明：如图，取为线段的中点，连接OP,PM；
因为在中，，分别是线段，的中点，
所以，．
因为是线段的中点，菱形中，，，
所以．
所以，．
所以，．
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面．
所以 是四棱锥的高，又S= ,
因为，
所以．
【针对训练】
1.【湖南省郴州市2019届高三第三次质量检测】
如图，在多面体中，底面是边长为2的菱形，且，四边形是等腰梯形，且，.
（1）证明：平面平面.
（2）求该多面体的体积.
【思路引导】
（1）先证平面，从而可得结论；（2）把几何体分割为两个锥体求解.
【详解】
（1）证明：因为底面是菱形，所以.
又因为，且，
所以平面.
又平面，故平面平面.
（2）解：梯形的高为，.
多面体体积，
所以.
2.【辽宁省抚顺市2020届高三模拟考试】
如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．
【思路引导】
（Ⅰ）取的中点，连结，，由三角形性质得且，结合已知得到且，则四边形为平行四边形，可得，再由线面平行的判定可得平面；
（Ⅱ）设为的中点，由已知得到平面，然后利用等积法求三棱锥的体积．
【详解】
（Ⅰ）证明：取的中点，连结，，
在中，∵、分别为，的中点，∴且，
又为的中点，，∴且，
即且，
故四边形为平行四边形，∴，
又平面，平面，
∴平面；
（Ⅱ）解：设为的中点，
∵棱柱底面是正三角形，，∴有，
又因为为正三角形，且为的中点，所以,
又由正三棱柱，所以平面平面，
由面面垂直的性质定理可得平面，即三棱锥的高为，
所以．
3.【江西省临川第一中学等九校2019届高三3月联考】
已知斜三棱柱的侧面与底面垂直，侧棱与底面所成的角为，，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若为的中点，求三棱锥的体积.
【思路引导】
（1）由面面垂直的性质可得，平面，由此得，结合利用线面垂直的性质定理可得平面，从而可得结果；（2）结合（1），侧棱与底面所成的角为，，利用直角三角形的性质可得，，点到平面的距离等于点到平面的距离的一半为1，结合“等积变换”，利用锥体的体积公式可得结果.
【详解】
（1）平面平面 平面平面，
平面，，又，
平面，又平面，平面平面.
（2）由（1）可知，平面平面，
则平面，
又侧棱与底面所成的角为，
， ，，
点到平面的距离等于点到平面的距离的一半为1，
则，
.
4.【2020届安徽蚌埠二中期中考试】
如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE⊥平面ABCD，
（I）证明：平面AEC⊥平面BED；
（II）若∠ABC=120∘，AE⊥EC, 三棱锥E−ACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积.
【思路引导】
（Ⅰ）由四边形ABCD为菱形知AC⊥BD，由BE⊥平面ABCD知AC⊥BE，由线面垂直判定定理知AC⊥平面BED，由面面垂直的判定定理知平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）设AB=x，通过解直角三角形将AG、GC、GB、GD用x表示出来，在RtΔAEC中，用x表示EG，在RtΔEBG中，用x表示EB，根据条件三棱锥E−ACD的体积为63求出x，即可求出三棱锥E−ACD的侧面积.
解：（Ⅰ）因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，
因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE，故AC⊥平面BED.
又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED
（Ⅱ）设AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°，可得AG=GC=32 x,GB=GD=x2.
因为AE⊥EC，所以在RtΔAEC中，可得EG=32 x.
由BE⊥平面ABCD，知ΔEBG为直角三角形，可得BE=22x.
由已知得，三棱锥E-ACD的体积VE−ACD=13×12AC⋅GD⋅BE=624x3=63.故x=2
从而可得AE=EC=ED=6.
所以ΔEAC的面积为3，ΔEAD的面积与ΔECD的面积均为5.
故三棱锥E-ACD的侧面积为3+25.
5.【2020届上海市普陀区高考一模】
如图所示的三棱锥的三条棱，，两两互相垂直，,点在棱上，且().
（1）当时，求异面直线与所成角的大小；
（2）当三棱锥的体积为时，求的值.
【思路引导】
（1）作，交于，连结，则异面直线与所成角为，由此能求出当时，异面直线与所成角的大小．
（2）由，能求出结果．
解：（1）当时，，取棱的中点，连接、，
则，即是异面直线与所成角或其补角，
又，，两两互相垂直，则,即是正三角形，
则.则异面直线与所成角的大小为.
（2）因为，，两两互相垂直，平面,平面,
所以平面,
则，
即, 又（），，则.
类型
对应典例
公式法求体积
典例1
等体积法求体积
典例2
切割法求体积
典例3
由体积求侧面积
典例4
由体积求参数的值
典例5