高考数学大题精做专题05函数与不等式相结合(第六篇)(原卷版+解析)

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专题05 函数与不等式相结合
【典例1】【广东省2019年汕头市普通高考第一次模拟考试】已知．
（1）设是的极值点，求实数的值，并求的单调区间：
（2）时，求证：．
【典例2】【陕西省渭南市2019届高三二模】已知函数．
(Ⅰ)求函数的极值；
(Ⅱ)若,且,求证：．
【典例3】【湖南省益阳市桃江县第一中学2019届高三5月模拟考试】已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求函数的解析式，并证明：.
（2）已知，且函数与函数的图象交于，两点，且线段的中点为，证明：.
【典例4】【安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测】已知函数是减函数.
（1）试确定a的值；
（2）已知数列，求证：.
【针对训练】
1. 【安徽省定远中学2020届高三月考】已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）证明：当时，.
2. 【山东省栖霞二中2020届高三月考】已知函数.
（1）若函数在上为增函数，求的取值范围；
（2）若函数有两个不同的极值点，记作，，且，证明：（为自然对数）.
3. 【广西南宁市第三中学2020届月考】已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：.
4. 【湖南省怀化市2019届高三3月第一次模拟考试】已知函数（其中为自然对数的底数）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，证明：.
类型
对应典例
不等式证明
典例1
构造函数证明不等式
典例2
有关双变量的证明
典例3
函数与数列结合的证明
典例4
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第六篇 函数与导数
专题05 函数与不等式相结合
【典例1】【广东省2019年汕头市普通高考第一次模拟考试】已知．
（1）设是的极值点，求实数的值，并求的单调区间：
（2）时，求证：．
【思路引导】
（1）由题意，求得函数的导数，由是函数的极值点，解得，又由，进而得到函数的单调区间；
（2）由（1），进而得到函数的单调性和最小值，令，利用导数求得在上的单调性，即可作出证明.
【详解】
（1）由题意，函数的定义域为，
又由，且是函数的极值点，
所以，解得，
又时，在上，是增函数，且，
所以，得，，得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由（1）知因为，在上，是增函数，
又（且当自变量逐渐趋向于时，趋向于），
所以，，使得，
所以，即，
在上，，函数是减函数，
在上，，函数是增函数，
所以，当时，取得极小值，也是最小值，
所以，
令，
则，
当时，，函数单调递减，所以，
即成立，
【典例2】【陕西省渭南市2019届高三二模】已知函数．
(Ⅰ)求函数的极值；
(Ⅱ)若,且,求证：．
【思路引导】
(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可求出函数的极值；(Ⅱ)得到,根据函数的单调性问题转化为证明，即证,令，根据函数的单调性证明即可．
【详解】
(Ⅰ) 的定义域为且
令，得；令，得
在上单调递增，在上单调递减
函数的极大值为，无极小值
(Ⅱ)，
，即
由(Ⅰ)知在上单调递增，在上单调递减
且，则
要证，即证，即证，即证
即证
由于，即，即证
令
则
恒成立 在递增
在恒成立
【典例3】【湖南省益阳市桃江县第一中学2019届高三5月模拟考试】已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求函数的解析式，并证明：.
（2）已知，且函数与函数的图象交于，两点，且线段的中点为，证明：.
【思路引导】
（1）利用切线方程可求得的解析式，令，利用导数可求得，从而证得结论；（2）通过分析法可知要证成立只需证；令，即证：；令，利用导数研究单调性，可知，得到成立；令，利用导数研究单调性，可知，得到成立，可知需证的不等式成立，则原不等式成立.
【详解】
（1）由题意得：，即
又，即，则，解得：
则.
令，
令，解得：
则函数在上单调递减，在上单调递增
，则：
（2）要证成立，只需证：
即证，即：
只需证：
设，即证：
要证，只需证：
令，则
在上为增函数
，即成立；
要证，只需证明：
令，则
在上为减函数 ，即成立
，成立
成立
【典例4】【安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测】已知函数是减函数.
（1）试确定a的值；
（2）已知数列，求证：.
【思路引导】
（Ⅰ）求导得，由是减函数得，对任意的，都有恒成立，构造函数，通过求导判断它的单调性，令其最大值小于等于0，即可求出；
（Ⅱ）由是减函数，且可得，当时，，则，即，两边同除以得，，即，从而 ，两边取对数 ，然后再证明恒成立即可，构造函数，，通过求导证明即可．
【详解】
解：（Ⅰ）的定义域为，.
由是减函数得，对任意的，都有恒成立.
设.
∵，由知，
∴当时，；当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴在时取得最大值.
又∵，∴对任意的，恒成立，即的最大值为.
∴，解得.
（Ⅱ）由是减函数，且可得，当时，，
∴，即.
两边同除以得，，即.
从而 ，
所以 ①.
下面证；
记，.
∴ ，
∵在上单调递增，
∴在上单调递减，
而，
∴当时，恒成立，
∴在上单调递减，
即时，，
∴当时，.
∵，
∴当时，，即②.
综上①②可得，.
【针对训练】
1. 【安徽省定远中学2020届高三月考】已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）证明：当时，.
【思路引导】
（1）先求导数，可得减区间，可得增区间；
（2）不等式的证明转化为最值的求解即可.
解：（1）当时，，
所以，
讨论：①当时，，有；
②当时，由函数为增函数，有，有；
③当时，由函数为增函数，有，有.
综上，函数的增区间为，，减区间为.
证明：（2）当时，有，所以，
所以.
令，则.
令，有.
令，得.
分析知，函数的增区间为，减区间为.
所以.
所以分析知，函数的增区间为，减区间为,
所以,
故当时，.
2. 【山东省栖霞二中2020届高三月考】已知函数.
（1）若函数在上为增函数，求的取值范围；
（2）若函数有两个不同的极值点，记作，，且，证明：（为自然对数）.
【思路引导】
（1）由题意可知，函数的定义域为，，因为函数在为增函数，所以在上恒成立，等价于，
由此可求的取值范围；
（2）求出，因为有两极值点，所以，
设令，则，上式等价于要证，令，根据函数的单调性证出即可．
详解：
（1）由题意可知，函数的定义域为，
，
因为函数在为增函数，所以在上恒成立，
等价于在上恒成立，即，
因为，所以，
故的取值范围为.
（2）可知，
所以，
因为有两极值点，所以，
欲证，等价于要证：，即，
所以，因为，所以原式等价于要证明：，①
由，可得，则有，②
由①②原式等价于要证明：，即证，
令，则，上式等价于要证，
令，则
因为，所以，所以在上单调递增，
因此当时，，即.
所以原不等式成立，即.
3. 【广西南宁市第三中学2020届月考】已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：.
【思路引导】
（1）由题意可得，利用导函数与原函数单调性的关系可得的单调递增区间为，的单调递减区间为.
（2）原问题等价于成立.令，则，结合导函数研究函数的最值可得，又由（1）可得在，据此可得题中的不等式成立.
试题解析：
（1）由题意可得，令，得.
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
所以的单调递增区间为，的单调递减区间为.
（2）要证成立，只需证成立.
令，则，令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
又由（1）可得在上，
所以，所以不等式得证.
4. 【湖南省怀化市2019届高三3月第一次模拟考试】已知函数（其中为自然对数的底数）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，证明：.
【思路引导】
（1）对函数求导，分类讨论和两种情况，即可得出结果；
（2）分类参数的方法，将化为，再由导数的方法求在的最小值即可；
（3）先由（1）令可知对任意实数都有，即，再令，即可证明结论成立.
【详解】
解：（1）因为，所以，
①当时，，函数在区间上单调递增；
②当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）因为对任意的，不等式恒成立，即不等式恒成立.
即当时，恒成立.
令，则.
显然当时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
∴时取最小值.
所以实数的取值范围是
（3）在（1）中，令可知对任意实数都有，
即（等号当且仅当时成立）
令，则，即
故
类型
对应典例
不等式证明
典例1
构造函数证明不等式
典例2
有关双变量的证明
典例3
函数与数列结合的证明
典例4