高考数学大题精做专题05等差数列和等比数列的证明问题(第二篇)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大题精做专题05等差数列和等比数列的证明问题(第二篇)(原卷版+解析)，共27页。

专题05 等差数列和等比数列的证明问题
【典例1】【2020届广东省中山市高三上学期期末】
设为数列的前项和，已知，.
（1）证明为等比数列；
（2）判断，，是否成等差数列？并说明理由.
【思路引导】
（1）由递推关系求得，通过计算，证得数列为等比数列.
（2）由（1）求得数列的通项公式，由分组求和法求得，证得，所以，，成等差数列.
【典例2】【江西省名校（临川一中、南昌二中)2019届高三5月联合】
已知数列有，是它的前项和，且．
（1）求证：数列为等差数列.
（2）求的前项和.
【思路引导】
（1）先化简已知得，，再求出，再证明数列为等差数列；（2）对n分奇数和偶数两种情况讨论得解.
【典例3】【2019年全国统一高考数学试卷（理科)（新课标Ⅱ)】
已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
【思路引导】
(1)可通过题意中的以及对两式进行相加和相减即可推导出数列是等比数列以及数列是等差数列；
(2)可通过(1)中的结果推导出数列以及数列的通项公式，然后利用数列以及数列的通项公式即可得出结果．
【典例4】【安徽省阜阳市2019-2020学年高三教学质量统测】
已知数列满足，且.
（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【思路引导】
(1)由 ，利用定义能证明是以为公差的等差数列，从而求出； (2)由 ，利用错位相减法即可求得数列的前项和.
【典例5】【2020届福建省莆田市（第一联盟体)上学期高三联考】
在正项数列中，已知且.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设的前项和为，证明：.
【思路引导】
(1)由题设条件证明数列是等差数列，并得出数列的通项公式，进而得出，再由等差数列的定义证明即可；
(2)由等差数列的前项和公式得出，再由裂项求和法证明不等式.
【典例6】【2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷)】
已知数列满足，，设．
（1）求；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式．
【思路引导】
（1）根据题中条件所给的数列的递推公式，将其化为，分别令和，代入上式求得和，再利用，从而求得，，；
（2）利用条件可以得到，从而 可以得出，这样就可以得到数列是首项为，公比为的等比数列；
（3）借助等比数列的通项公式求得，从而求得.
【典例7】【河南省名校联盟2019-2020学年高三11月教学质量检测】
一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n站的概率为，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)．
(1)求，，，并根据棋子跳到第n站的情况，试用和表示；
(2)求证：为等比数列；
(3)求玩该游戏获胜的概率．
【思路引导】
(1) 在第0站是必然事件，所以．棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点,可求出，棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子岀现偶数点，②前两次掷骰子出现奇数点，可求出.棋子跳到第站，包括两种情形，①棋子先跳到第站，又掷骰子出现偶数点, ②棋子先跳到第站，又掷骰子出现奇数点,进行求解.
(2) 由(1)知，，所以可证.
(3) 该游戏获胜的概率,即求，由（2）用累加法可求解.
【针对训练】
1. 【2020届湖南省益阳市高三上学期期末】
在数列中，有.
（1）证明：数列为等差数列，并求其通项公式；
（2）记，求数列的前n项和.
2. 【2020届广东省东莞市高三期末调研测试】
已知数列中，且
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和．
3. 【2020届安徽省皖东县中联盟上学期高三期末】
已知数列的前项和，满足，.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，求数列的前项和.
4. 【湖南省衡阳市2019届高三第二次联考（二模)】
已知数列，满足，，，.
（1）证明：数列，为等比数列；
（2）记为数列的前项和，证明：.
5. 【2020届重庆市高三上学期期末测试卷】
已知数列的前n项和为，且.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，证明：.
6. 【湖南省衡阳市衡阳县、长宁、金山区2019-2020学年高三上学期12月联考】
设，向量，，.
（1）试问数列是否为等差数列？为什么？
（2）求数列的前项和.
7. 【2020届福建省漳州市高三第一次教学质量检测卷】
已知数列满足，.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）设，求数列的前项和.
8. 【2020届黑龙江省第一高级中学高三上学期期末数学】
已知数列的前项和为，，，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）已知曲线若为椭圆，求的值；
（3）若，求数列的前项和．
9. 【江苏省泰州市2019届高三上学期期末考试数学试题】
已知数列｛｝的前n项和为Sn，，且对任意的n∈N*，n≥2都有．
（1）若0，，求r的值；
（2）数列｛｝能否是等比数列？说明理由；
（3）当r＝1时，求证：数列｛｝是等差数列．
10.【天津市新华中学2019届高三高考模拟】
已知等比数列的前项和为，公比.数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明数列为等差数列；
（3）设数列的通项公式为：，其前项和为，求.
11. 【2019年全国统一高考数学试卷（理科)（新课标Ⅰ)】
为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．
(i)证明：为等比数列；
(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．类型
对应典例
由递推式证明一个数列为等比数列
典例1
由数列内部构造新数列证明为等差数列
典例2
由两个数列结合构造数列证明等差、等比数列
典例3
由复杂递推式转化构造证明等差数列
典例4
由两个数列的相关性证明数列为等差等比数列
典例5
探究数列是否为等差等比数列，说明理由
典例6
与概率统计相结合的数列问题的证明
典例7
备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品
第二篇 数列与不等式
专题05 等差数列和等比数列的证明问题
【典例1】【2020届广东省中山市高三上学期期末】
设为数列的前项和，已知，.
（1）证明为等比数列；
（2）判断，，是否成等差数列？并说明理由.
【思路引导】
（1）由递推关系求得，通过计算，证得数列为等比数列.
（2）由（1）求得数列的通项公式，由分组求和法求得，证得，所以，，成等差数列.
解：（1）证明：∵，，∴，
由题意得，，
∴是首项为2，公比为2的等比数列.
（2）由（1），∴.
∴，
∴，
∴，即，，成等差数列.
【典例2】【江西省名校（临川一中、南昌二中)2019届高三5月联合】
已知数列有，是它的前项和，且．
（1）求证：数列为等差数列.
（2）求的前项和.
【思路引导】
（1）先化简已知得，，再求出，再证明数列为等差数列；（2）对n分奇数和偶数两种情况讨论得解.
解：（1）当时，
所以，，
两式对应相减得，
所以
又n=2时，
所以，
所以，
所以数列为等差数列.
（2）当为偶数时，
当为奇数时，
综上：
【典例3】【2019年全国统一高考数学试卷（理科)（新课标Ⅱ)】
已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
【思路引导】
(1)可通过题意中的以及对两式进行相加和相减即可推导出数列是等比数列以及数列是等差数列；
(2)可通过(1)中的结果推导出数列以及数列的通项公式，然后利用数列以及数列的通项公式即可得出结果．
解：
(1)由题意可知，，，，
所以，即，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，，
因为，
所以，数列是首项、公差为的等差数列，．
(2)由(1)可知，，，
所以，．
【典例4】【安徽省阜阳市2019-2020学年高三教学质量统测】
已知数列满足，且.
（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【思路引导】
(1)由 ，利用定义能证明是以为公差的等差数列，从而求出； (2)由 ，利用错位相减法即可求得数列的前项和.
解：（1）因为，所以，
两边都加上1，得，
所以，即，
所以数列是以为公差的等差数列，且首项是，
所以，即.
（2）因为，所以数列的前项和，①
则，②
由①－②，得，
所以.
【典例5】【2020届福建省莆田市（第一联盟体)上学期高三联考】
在正项数列中，已知且.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设的前项和为，证明：.
【思路引导】
(1)由题设条件证明数列是等差数列，并得出数列的通项公式，进而得出，再由等差数列的定义证明即可；
(2)由等差数列的前项和公式得出，再由裂项求和法证明不等式.
解：（1）∵∴，
∴数列是公差为2的等差数列.
∵∴，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴数列是等差数列.
（2）由（1）可得∴，
∴，∴，
.
【典例6】【2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷)】
已知数列满足，，设．
（1）求；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式．
【思路引导】
（1）根据题中条件所给的数列的递推公式，将其化为，分别令和，代入上式求得和，再利用，从而求得，，；
（2）利用条件可以得到，从而 可以得出，这样就可以得到数列是首项为，公比为的等比数列；
（3）借助等比数列的通项公式求得，从而求得.
解：
（1）由条件可得．
将代入得，，而，所以，．
将代入得，，所以，．
从而，，；
（2）是首项为，公比为的等比数列．
由条件可得，即，又，
所以是首项为，公比为的等比数列；
由（2）可得，所以．
【典例7】【河南省名校联盟2019-2020学年高三11月教学质量检测】
一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n站的概率为，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)．
(1)求，，，并根据棋子跳到第n站的情况，试用和表示；
(2)求证：为等比数列；
(3)求玩该游戏获胜的概率．
【思路引导】
(1) 在第0站是必然事件，所以．棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点,可求出，棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子岀现偶数点，②前两次掷骰子出现奇数点，可求出.棋子跳到第站，包括两种情形，①棋子先跳到第站，又掷骰子出现偶数点, ②棋子先跳到第站，又掷骰子出现奇数点,进行求解.
(2) 由(1)知，，所以可证.
(3) 该游戏获胜的概率,即求，由（2）用累加法可求解.
解：(1)棋子开始在第0站是必然事件，所以．
棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为，所以．
棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子岀现偶数点，其概率为；②前两次掷骰子出现奇数点，其概率为，所以．
棋子跳到第站，包括两种情形，①棋子先跳到第站，又掷骰子出现偶数点，其概率为；②棋子先跳到第站，又掷骰子出现奇数点，其概率为．
故．
(2)由(1)知，，所以．
又因为， 所以是首项为，公比为的等比数列．
(3)由(2)知，． 所以．
所以玩该游戏获胜的概率为．
【针对训练】
1. 【2020届湖南省益阳市高三上学期期末】
在数列中，有.
（1）证明：数列为等差数列，并求其通项公式；
（2）记，求数列的前n项和.
【思路引导】
（1）由前项和与通项关系，求出的通项公式，再利用等差数列的定义，即可证明；
（2）求出数列的通项公式，用裂项相消法，即可求解.
解：
（1）因为，
所以当时，，
上述两式相减并整理，得.
又因为时，，适合上式，
所以.从而得到，
所以，
所以数列为等差数列，且其通项公式为.
（2）由（1）可知，.
所以
.
2. 【2020届广东省东莞市高三期末调研测试】
已知数列中，且
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和．
【思路引导】
（1）根据递推公式可得,即可证明；
（2）由（1）,进而利用分组法求得数列的和即可
解：
（1）证明：∵,∴,
∴,
,
∴为等比数列,首项为,公比为3
（2）解：由（1）得,,∴,
3. 【2020届安徽省皖东县中联盟上学期高三期末】
已知数列的前项和，满足，.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，求数列的前项和.
【思路引导】
（1）利用可得，再证明是定值即可；
（2）将代入，然后利用裂项相消法求和.
解：（1）由题可知，①
当时，，得；
当时，，②
①－②并整理，得，
所以，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列；
（2）由（1）知，
则，
所以
.
4. 【湖南省衡阳市2019届高三第二次联考（二模)】
已知数列，满足，，，.
（1）证明：数列，为等比数列；
（2）记为数列的前项和，证明：.
【思路引导】
（1）将题中条件分别相加和相减，结合等比数列的定义，即可得证．
（2）根据（1）结论可求出，则前n项和为两个等比数列的前n项和之和，代入公式，即可求解．
解：
（1）依题：，两式相加得：，
∴为等比数列，两式相减得：，
∴为等比数列.
（2）由上可得：①，②，
两式相加得：，
.
5. 【2020届重庆市高三上学期期末测试卷】
已知数列的前n项和为，且.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，证明：.
【思路引导】
（1）由已知当时，可得，整理为
，根据等比数列的定义，即可证明结论；
（2）由（1）求出，进而求出，根据取等号），要证成立，转化为证等比数列前项和小于或等于，即可证明结论.
解：（1）当时，
由
，
令，
则，
故为等比数列；
（2）由（1）得，
，，
时，取等号），
所以原式，
所以成立.
6. 【湖南省衡阳市衡阳县、长宁、金山区2019-2020学年高三上学期12月联考】
设，向量，，.
（1）试问数列是否为等差数列？为什么？
（2）求数列的前项和.
【思路引导】
(1)先求解出的坐标表示，然后根据数量积的坐标表示求解出的通项公式，再根据定义判断是否为等差数列；
(2)根据(1)中结果求出的通项公式，然后根据裂项相消法求解出的表达式.
解：
（1），
.
，
为常数，
是等差数列.
（2），
.
7. 【2020届福建省漳州市高三第一次教学质量检测卷】
已知数列满足，.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）设，求数列的前项和.
【思路引导】
（1）在等式两边同时乘以，结合等差数列的定义可证明出数列为等差数列；
（2）结合（1）中的结论求出数列的通项公式，进而求出数列的通项公式，然后利用裂项求和法求出数列的前项和.
解：
（1）由得，
又，所以数列首项为，公差为的等差数列；
（2）由（1）得，，所以.
所以，所以，
所以，
所以.
8. 【2020届黑龙江省第一高级中学高三上学期期末数学】
已知数列的前项和为，，，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）已知曲线若为椭圆，求的值；
（3）若，求数列的前项和．
【思路引导】
（1）利用的递推公式证明出为非零常数，即可得出结论；
（2）利用（1）中的结论求出，由与之间的关系求出，结合题意得出，可求出的值；
（3）求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求出.
解：
（1）对任意的，，则且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列；
（2）由（1）可得，.
当时，，
也适合上式，所以，.
由于曲线是椭圆，则，即，
，解得或；
（3），
，①
，②
①②得，
因此，.
9. 【江苏省泰州市2019届高三上学期期末考试数学试题】
已知数列｛｝的前n项和为Sn，，且对任意的n∈N*，n≥2都有．
（1）若0，，求r的值；
（2）数列｛｝能否是等比数列？说明理由；
（3）当r＝1时，求证：数列｛｝是等差数列．
【思路引导】
（1）令，得到，再将和用项来表示，再结合条件，求得结果；
（2）假设其为等比数列，利用，结合，得到关于的方程，求解得出或，将其回代检验得出答案；
（3）将r＝1代入上式，类比着写出，两式相减得到，进一步凑成，结合，从而证得数列是以为首项，2为公差的等差数列.
解：
（1）令n＝2，得：，
即：，
化简，得：，因为，，，
所以，，解得：r＝1.
（2）假设是等比数列，公比为，则，且，
解得或，
由，
可得，
所以，
两式相减，整理得，
两边同除以，可得，
因为，所以，
所以上式不可能对任意恒成立，故不可能是等比数列.
（3）时，令，整理得，
又由可知，
令，可得，解得，
由（2）可知，
所以，
两式相减，整理得，
所以，
两式相减，可得，
因为，所以，
即，又因为，
所以数列是以为首项，2为公差的等差数列.
10.【天津市新华中学2019届高三高考模拟】
已知等比数列的前项和为，公比.数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明数列为等差数列；
（3）设数列的通项公式为：，其前项和为，求.
【思路引导】
(1)由题意分别求得数列的首项和公比即可确定数列的通项公式；
(2)由题意结合递推关系证明为定值即可证明数列为等差数列；
(3)首项求得的表达式，然后结合通项公式的特点错位相减即可确定数列的前项和.
解：（1）∵等比数列的前项和为，公比.
∴，可得，
∴，解得.
∴，即，解得.
∴.
（2）证明：∵，∴
∵，
∴，综上，是首项为，公差是1的等差数列.
∵，∴.
（3）令
,
.
11. 【2019年全国统一高考数学试卷（理科)（新课标Ⅰ)】
为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．
(i)证明：为等比数列；
(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
【思路引导】
（1）首先确定所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i）求解出的取值，可得，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合和的值可求得；再次利用累加法可求出.
解：
（1）由题意可知所有可能的取值为：，，
；；
则的分布列如下：
（2），
，，
（i）
即
整理可得：
是以为首项，为公比的等比数列
（ii）由（i）知：
，，……，
作和可得：
表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.类型
对应典例
由递推式证明一个数列为等比数列
典例1
由数列内部构造新数列证明为等差数列
典例2
由两个数列结合构造数列证明等差、等比数列
典例3
由复杂递推式转化构造证明等差数列
典例4
由两个数列的相关性证明数列为等差等比数列
典例5
探究数列是否为等差等比数列，说明理由
典例6
与概率统计相结合的数列问题的证明
典例7