高考数学大题精做专题06函数建模问题(第六篇)(原卷版+解析)

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专题06 函数建模问题
【典例1】【江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2020届月考】十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划．2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆），需另投入成本万元，且．由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．
（1）求出2018年的利润L（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）
（2）2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润．
【典例2】【2020届上海市闸北区高三模拟】有一块铁皮零件，其形状是由边长为的正方形截去一个三角形所得的五边形，其中，如图所示.现在需要用这块材料截取矩形铁皮，使得矩形相邻两边分别落在上，另一顶点落在边或边上.设，矩形的面积为.
（1）试求出矩形铁皮的面积关于的函数解析式，并写出定义域；
（2）试问如何截取（即取何值时），可使得到的矩形的面积最大？
【典例3】【上海市上海外国语大学附属上外高中2020届月考】某林场现有木材存量为，每年以25%的增长率逐年递增，但每年年底要砍伐的木材量为，经过年后林场木材存有量为
（1）求的解析式
（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不应少于，如果，那么该地区会发生水土流失吗？若会，要经过几年？（取）
【典例4】【四川省树德中学2020届入学考试】如图，、是一矩形边界上不同的两点，且，，，设．
（1）写出的面积关于的函数关系式；
（2）写出函数的取值范围．
【针对训练】
1. 【江苏省苏州市苏州中学、新草桥中学2020届模拟】我校高一年级某研究小组经过调查发现：提高北环隧道的车辆通行能力可有效改善交通状况，在一般情况下，隧道内的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米，车流密度指每千米道路上车辆的数量）的函数.当隧道内的车流密度达到210辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数.
（1）求函数的表达式；
（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过某观测点的车辆数，单位：辆/小时） 可以达到最大，并求出最大值.
2. 【河南省焦作市2020届模拟】某公司为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t百万元，可增加销售额约为百万元.
（Ⅰ）若该公司将一年的广告费控制在4百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此增加的收益最大？
（Ⅱ）现该公司准备共投入5百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费百万元，可增加的销售额约为百万元，请设计一个资金分配方案，使该公司由此增加的收益最大.
（注：收益=销售额-投入，这里除了广告费和技术改造费，不考虑其他的投入）
3. 【2020届贵州省黔东南州模拟】某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测：服药后每毫升血液中的含药量（单位：微克）与时间（单位：小时）之间近似满足如图所示的曲线.
（1）写出第一次服药后与之间的函数关系式；
（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于微克时，治疗有效．问：服药多少小时开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到,参考数据：）
4. 【湖南省怀化市2019届模拟】如图，是南北方向的一条公路，是北偏东方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线．为方便游客光，拟过曲线上的某点分别修建与公路，垂直的两条道路，，且，的造价分别为5万元百米，40万元百米，建立如图所示的直角坐标系，则曲线符合函数模型，设，修建两条道路，的总造价为万元，题中所涉及的长度单位均为百米．
（1）求解析式；
（2）当为多少时，总造价最低？并求出最低造价．
类型
对应典例
分段函数模型
典例1
二次函数模型
典例2
指对数模型
典例3
函数与其他知识综合模型
典例4
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第六篇 函数与导数
专题06 函数建模问题
【典例1】【江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2020届月考】十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划．2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆），需另投入成本万元，且．由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．
（1）求出2018年的利润L（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）
（2）2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润．
【思路引导】
（1）根据利润的定义，结合投入成本是分段函数，分类讨论求得利润函数.
（2）根据第一问利润函数，分和两种情况进行分类讨论，当时，用二次函数法求最值，当时，用基本不等式法求最值，然后这两段中取最大的为函数的最大值即最大利润，此时x的取值为最大利润时的产量.
【详解】
（1）当时，；
当时，；
∴．
（2）当时，，
∴当时，；
当时，，
当且仅当，即时，；
∴当时，即2018年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元．
【典例2】【2020届上海市闸北区高三模拟】有一块铁皮零件，其形状是由边长为的正方形截去一个三角形所得的五边形，其中，如图所示.现在需要用这块材料截取矩形铁皮，使得矩形相邻两边分别落在上，另一顶点落在边或边上.设，矩形的面积为.
（1）试求出矩形铁皮的面积关于的函数解析式，并写出定义域；
（2）试问如何截取（即取何值时），可使得到的矩形的面积最大？
【思路引导】
（1）分类讨论,当点分别落在线段或线段上.根据矩形面积即可求得关于的函数解析式及其定义域.
（2）根据（1）由分段函数,结合二次函数的性质可求得面积的最大值.求得取最大值时的值,即可知截取矩形的方式.
【详解】
（1）依据题意并结合图形,可知：
①当点落在线段上
即时,；
②当点在线段上,
即时,由,
得.
于是.
所以,
定义域.
（2）由（1）知,当时,；
当时,
当且仅当时,等号成立.
因此,y的最大值为.
答：先在DE上截取线段,然后过点M作DE的垂线交BA于点P,再过点P作DE的平行线交DC于点N,最后沿MP与PN截铁皮,所得矩形面积最大,最大面积为.
【典例3】【上海市上海外国语大学附属上外高中2020届月考】某林场现有木材存量为，每年以25%的增长率逐年递增，但每年年底要砍伐的木材量为，经过年后林场木材存有量为
（1）求的解析式
（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不应少于，如果，那么该地区会发生水土流失吗？若会，要经过几年？（取）
【思路引导】
（1）根据前三年木材存量，归纳出解析式，再用数学归纳法进行证明即可；
（2）根据（1）中所求函数关系式，结合参考数据，解不等式即可.
【详解】
（1）1年后，木材存量，
2年后，木材存量
3年后，木材存量
根据以上数据归纳推理得：
用数学归纳法证明如下：
①当时，，显然成立；
②假设当时，成立，
则当时，


即证，当时，
（2）当时，若该地区今后发生水土流失，则木材存量必须小于
则，解得
两边取对数得
即
故：经过8年后，该地区就会发生水土流失.
【典例4】【四川省树德中学2020届入学考试】如图，、是一矩形边界上不同的两点，且，，，设．
（1）写出的面积关于的函数关系式；
（2）写出函数的取值范围．
【思路引导】
（1）分为：当B在EF上运动，即和当B在GF上运动，即两段进行分别讨论即可；（2）在不同段的函数表达式根据三角函数有界性即可较易求解。
【详解】
解：（1），．．
当时，的两顶点、在、上，且，．
当时，点在上，点在上，且，．
综上
（2）由（1）得：
当时，．
且当时，；时，；
当时，，．
且当时，；当时，．所以．
【针对训练】
1. 【江苏省苏州市苏州中学、新草桥中学2020届模拟】我校高一年级某研究小组经过调查发现：提高北环隧道的车辆通行能力可有效改善交通状况，在一般情况下，隧道内的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米，车流密度指每千米道路上车辆的数量）的函数.当隧道内的车流密度达到210辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数.
（1）求函数的表达式；
（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过某观测点的车辆数，单位：辆/小时） 可以达到最大，并求出最大值.
【思路引导】
(1)根据题意可知, 为分段函数,且当时,再根据当与时的值,设代入求解即可.
(2)根据(1)中的分段函数解析式,求出的解析式,再分段求解函数的最大值分析即可.
【详解】
(1)由题意可知, 当时,当时, ,又当时,车流速度是车流密度的一次函数,故设,所以,解得 ,故当时,.
故.
(2)由题, ,故
当时,最大值为.
当时, 开口向下且对称轴为 ,故此时最大值为.
综上,当车流密度为105辆/小时车流量达到最大值3675
2. 【河南省焦作市2020届模拟】某公司为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t百万元，可增加销售额约为百万元.
（Ⅰ）若该公司将一年的广告费控制在4百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此增加的收益最大？
（Ⅱ）现该公司准备共投入5百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费百万元，可增加的销售额约为百万元，请设计一个资金分配方案，使该公司由此增加的收益最大.
（注：收益=销售额-投入，这里除了广告费和技术改造费，不考虑其他的投入）
【思路引导】
（Ⅰ）先写出收益f(t)的解析式，再利用二次函数的图像和性质求最大值和此时t 的值. （Ⅱ）设由此增加的收益是g(x)百万元,再写出g(x)的解析式，再利用导数求函数的最值，即得资金分配方案.
详解：（Ⅰ）设投入t百万元的广告费后增加的收益为f(t)百万元，
则由，
∴当t=3时，f(t)取得最大值9，即投入3百万元的广告费时，该公司由此增加的收益最大.
（Ⅱ）用于技术改造的资金为x百万元，则用于广告促销的资金为(5-x)百万元，设由此增加的收益是g(x)百万元.
则.
.
则当时，；当时，.
∴当x=4时，g(x)取得最大值.
即4百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此增加的收益最大.
3. 【2020届贵州省黔东南州模拟】某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测：服药后每毫升血液中的含药量（单位：微克）与时间（单位：小时）之间近似满足如图所示的曲线.
（1）写出第一次服药后与之间的函数关系式；
（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于微克时，治疗有效．问：服药多少小时开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到,参考数据：）
【思路引导】
（Ⅰ）根据图象知：当时，；
当时，，由时，得
所以，即
因此
（Ⅱ）根据题意知：
当时，；
当时，
所以
所以，
因此服药小时（即分钟）开始有治疗效果，治疗效果能持续小时.
4. 【湖南省怀化市2019届模拟】如图，是南北方向的一条公路，是北偏东方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线．为方便游客光，拟过曲线上的某点分别修建与公路，垂直的两条道路，，且，的造价分别为5万元百米，40万元百米，建立如图所示的直角坐标系，则曲线符合函数模型，设，修建两条道路，的总造价为万元，题中所涉及的长度单位均为百米．
（1）求解析式；
（2）当为多少时，总造价最低？并求出最低造价．
【思路引导】
（1）求出的坐标，直线的方程，点到直线的距离，即可求解析式；
（2）利用导数的方法最低造价．
【详解】
解：（1）在如图所示的直角坐标系中，因为曲线的方程为，
所以点坐标为，
直线的方程为，
则点到直线的距离为，
又的造价为5万元百米，的造价为40万元百米．
则两条道路总造价为．
（2）因为，
所以，
令，得，列表如下：
所以当时，函数有最小值，最小值为．
答：（1）两条道路，总造价为；
（2）当时，总造价最低，最低造价为30万元．
类型
对应典例
分段函数模型
典例1
二次函数模型
典例2
指对数模型
典例3
函数与其他知识综合模型
典例4
4
0
单调递减
极小值
单调递增