高考数学大题精做专题07数列与不等式相结合问题(第二篇)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大题精做专题07数列与不等式相结合问题(第二篇)(原卷版+解析)，共23页。

专题07 数列与不等式相结合问题
【典例1】【2020届安徽省亳州市高三上学期期末教学质量检测】
记为数列的前项和.已知.
（1）求的通项公式；
（2）求使得的的取值范围.
【思路引导】
（1）根据计算可得；
（2）由（1）可得，，从而得到不等式解得.
【典例2】【2020届重庆西南大学附属中学校高三第五次月考】
已知等比数列的前n项和为，且当时，是与2m的等差中项为实数.
（1）求m的值及数列的通项公式；
（2）令，是否存在正整数k，使得对任意正整数n均成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由.
【思路引导】
（1）根据等差中项的性质列方程，求得的表达式.利用，结合是等比数列，求得的值及数列的通项公式.
（2）由（1）求得的表达式，将不等式左边看成，利用差比较法判断出的单调性，由此求得的最小值，进而求得的最大值.
【典例3】【2020湖北省武汉华中师大附中高三5月考试】
已知等差数列中，公差，，且，，成等比数列．
求数列的通项公式；
若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围．
【思路引导】（1）由题意可得解得即可求得通项公式；(2),裂项相消求和 ，因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立.求出的最大值即可解得的取值范围.
【典例4】【2020届江西省南昌市上学期期末考试】
已知是递增的等比数列，若，且成等差数列.
（1）求的前项和；
（2）设，且数列的前项和为，求证：.
【思路引导】
（1）利用等差中项可得,再利用等比数列的通项公式代入求得,可代回中求得,进而由公式求解即可；
（2）由（1）可得,则,从而求和即可证明
【典例5】【陕西省安康市2019-2020学年高三上学期12月阶段性】
已知数列为等差数列.
（1）求证：；
（2）设，且其前项和，的前项和为，求证：.
【思路引导】
(1)利用等差数列的性质,再根据基本不等式即可证明.
(2)由等差数列的求和公式求解,再由裂项相消的缩放法求证即可.
【典例6】【2020届天津市第一中学高三上学期第二次月考】
已知等比数列的各项均为正数，成等差数列，且满足，数列的前项和，，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
（3）设，，的前项和，求证：.
【思路引导】
(1)根据题意列出方程组，求出、，从而得到的通项公式，当时，，化简可得是首项为1的常数列，即可求得的通项公式；
(2)分类讨论，当为偶数时，，分别利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和即可，当为奇数时，由可求得结果；(3)裂项法可得
【典例7】【河北省石家庄二中2019-2020学年高三年级上学期12月月考】
已知数列满足，且，数列为正项等比数列，且，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，，求证：.
【思路引导】
（1）变形已知等式得数列为等差数列，从而可求通项公式，数列是等比数列，用基本量法可求得通项公式；
（2）用错位相减法求得和，即可证结论成立．
【针对训练】
1. 【2020届北京市昌平区高三上学期期末数学试题】
已知等差数列满足.
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）记数列的前项和为，若，求的最小值.
2. 【天津市红桥区2019届高三二模数学】
已知数列是公比大于1的等比数列，，且是与的等差中项．
I.求数列的通项公式；
II.设，为数列的前n项和，记，证明：．
3. 【2020届浙江省嘉兴市高三上学期期末考试】
已知数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，为数列的前项和.求证：.
4. 【重庆市巴蜀中学2019-2020学年高考适应性月考卷】
已知数列,是一个等差数列,且,,数列是各项均为正数的等比数列,且满足:,.
（1）求数列与的通项公式;
（2）求证:.
5. 【湖北省荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校2019-2020学年高三联考数学】
已知数列中，，其前项的和为，且当时，满足．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）证明：．
6. 【2020届重庆市云阳江口中学高三上学期第三次月考】
设数列的前项和，数列的前项和为，满足.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求证：.
7. 【湖南省邵阳市2019-2020学年高三第一次联考】
已知数列的前项和，且满足，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求使成立的最小值.
8. 若数列{an}是的递增等差数列，其中的a3=5，且a1，a2，a5成等比数列，
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn= ，求数列{bn}的前项的和Tn．
（3）是否存在自然数m，使得 ＜Tn＜对一切n∈N*恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
9. 【内蒙古呼和浩特市2019-2020学年高三上学期质量普查调研】
已知为数列的前项和，已知，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求满足的的最大值.
10. 设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为．
（1）求证：点的纵坐标为定值；
（2）若求；
（3）已知=，其中，为数列的前项和，若对一切都成立，试求的取值范围．
类型
对应典例
利用单调性解数列不等式
典例1
不等式恒成立与数列相结合
典例2
不等式能成立与数列相结合
典例3
利用不等式的放缩法证明数列不等式
典例4
不等式证明与数列相结合
典例5
采用裂项相消法求和证明不等式
典例6
采用错位相减法求和证明不等式
典例7
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第二篇 数列与不等式
专题07 数列与不等式相结合问题
【典例1】【2020届安徽省亳州市高三上学期期末教学质量检测】
记为数列的前项和.已知.
（1）求的通项公式；
（2）求使得的的取值范围.
【思路引导】
（1）根据计算可得；
（2）由（1）可得，，从而得到不等式解得.
解：（1）由题知，①，当时，当时，②
①减②得，，故是以为首项，为公比的等比数列，所以
（2）由（1）知，，
即等价于易得随的增大而增大
而，，，故，
【典例2】【2020届重庆西南大学附属中学校高三第五次月考】
已知等比数列的前n项和为，且当时，是与2m的等差中项为实数.
（1）求m的值及数列的通项公式；
（2）令，是否存在正整数k，使得对任意正整数n均成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由.
【思路引导】
（1）根据等差中项的性质列方程，求得的表达式.利用，结合是等比数列，求得的值及数列的通项公式.
（2）由（1）求得的表达式，将不等式左边看成，利用差比较法判断出的单调性，由此求得的最小值，进而求得的最大值.
解：1 是与2m的等差中项， ，即 ，
当时， ，当时， ， 是等比数列， ，则 ， ，且数列的通项公式为.
2存在正整数k，使不等式恒成立，k的最大值为4.
，
数列单调递增，，
由不等式恒成立得：， .
故存在正整数k，使不等式恒成立，k的最大值为4.
【典例3】【2020湖北省武汉华中师大附中高三5月考试】
已知等差数列中，公差，，且，，成等比数列．
求数列的通项公式；
若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围．
【思路引导】（1）由题意可得解得即可求得通项公式；(2),裂项相消求和 ，因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立.求出的最大值即可解得的取值范围.
解：（1）由题意可得即
又因为，所以所以.
（2）因为，所以
.
因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立.
又（当且仅当时取等号）.
所以，即实数的取值范围是.
【典例4】【2020届江西省南昌市上学期期末考试】
已知是递增的等比数列，若，且成等差数列.
（1）求的前项和；
（2）设，且数列的前项和为，求证：.
【思路引导】
（1）利用等差中项可得,再利用等比数列的通项公式代入求得,可代回中求得,进而由公式求解即可；
（2）由（1）可得,则,从而求和即可证明
解：（1）设递增数列的公比为,
由,,成等差数列,可得,即,
则,解得（舍）或,
又因为,可得,所以,
所以
（2）证明：由（1）可得,所以数列是递增数列,所以,
又因为,
,
综上所述：
【典例5】【陕西省安康市2019-2020学年高三上学期12月阶段性】
已知数列为等差数列.
（1）求证：；
（2）设，且其前项和，的前项和为，求证：.
【思路引导】
(1)利用等差数列的性质,再根据基本不等式即可证明.
(2)由等差数列的求和公式求解,再由裂项相消的缩放法求证即可.
证明：（1）因为数列为等差数列,所以
∴
即,故结论成立.
或：设数列的公差为,则
即,故结论成立.
（2）∵ ∴
时：时：
时：
，∴.
【典例6】【2020届天津市第一中学高三上学期第二次月考】
已知等比数列的各项均为正数，成等差数列，且满足，数列的前项和，，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
（3）设，，的前项和，求证：.
【思路引导】
(1)根据题意列出方程组，求出、，从而得到的通项公式，当时，，化简可得是首项为1的常数列，即可求得的通项公式；(2)分类讨论，当为偶数时，，分别利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和即可，当为奇数时，由可求得结果；(3)裂项法可得，从而求得.
解：（1）因为，所以，
，解得所以，
当时，，即，
∴是首项为1的常数列，，∴；
（2）
当为偶数时，
当为奇数时，
（3）
【典例7】【河北省石家庄二中2019-2020学年高三年级上学期12月月考】
已知数列满足，且，数列为正项等比数列，且，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，，求证：.
【思路引导】
（1）变形已知等式得数列为等差数列，从而可求通项公式，数列是等比数列，用基本量法可求得通项公式；
（2）用错位相减法求得和，即可证结论成立．
解：（1）∵，∴
∴为等差数列，首项为，公差为3
∴，
∵为正项等比数列，设公比为，则，
整理得，解得，，∴
（2）
①
②
①-②得,
∴ ∵，∴，∴，得证.
【针对训练】
1. 【2020届北京市昌平区高三上学期期末数学试题】
已知等差数列满足.
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）记数列的前项和为，若，求的最小值.
【思路引导】
(1)根据等差数列的通项公式列出方程组结合前项和公式求解即可得到数列的通项公式及前项和；
(2)利用裂项求和得到，解不等式即可得到最小值.
解：（1）设等差数列的公差为.依题意有
解得 所以.
（2）因为，
所以.
因为，即，
所以.所以的最小值为
2. 【天津市红桥区2019届高三二模数学】
已知数列是公比大于1的等比数列，，且是与的等差中项．
I.求数列的通项公式；
II.设，为数列的前n项和，记，证明：．
【思路引导】
I.根据等差中项性质得到，再根据等比数列通项公式构造方程求得，从而可求得通项公式；
II.根据求得，利用等差数列求和公式得到；再根据裂项相消法求得，根据证得结论.
解：I.由题意得：
设数列公比为，则，即
解得：（舍去）或则
II.由I.得：，可知为首项为，公差为的等差数列
则
， ，即
3. 【2020届浙江省嘉兴市高三上学期期末考试】
已知数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，为数列的前项和.求证：.
【思路引导】
（1）利用求得数列的通项公式.
（2）先将缩小即，由此结合裂项求和法、放缩法，证得不等式成立.
解：（1）∵，令，得.
又，两式相减，得.∴.
（2）∵
.
又∵，，∴.
∴
.∴.
4. 【重庆市巴蜀中学2019-2020学年高考适应性月考卷】
已知数列,是一个等差数列,且,,数列是各项均为正数的等比数列,且满足:,.
（1）求数列与的通项公式;
（2）求证:.
【思路引导】
（1）因为为等差数列,设公差为,则即可求得首项和公差,即可求得.因为为等比数列,,,即可求得公比,进而求得.
（2）因为,,所以,根据数列求和错位相减法,即可求得,进而求得答案.
解：（1） 为等差数列,设公差为,
.为等比数列,,设公比为,则,
,,,.
（2）令,
——①
可得: ——②
由①-②得:,
.故.
5. 【湖北省荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校2019-2020学年高三联考数学】
已知数列中，，其前项的和为，且当时，满足．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）证明：．
【思路引导】
（1）当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1⇒Sn﹣Sn﹣1＝Sn•Sn﹣1（n≥2），取倒数，可得1，利用等差数列的定义即可证得：数列{}是等差数列；
（2）利用进行放缩并裂项求和即可证明
解：（1）当时，，，即
从而构成以1为首项，1为公差的等差数列．
（2）由（1）可知，，．
则当时．
故当时

又当时，满足题意，故．
法二：则当时，
那么
又当时，，当时，满足题意.
6. 【2020届重庆市云阳江口中学高三上学期第三次月考】
设数列的前项和，数列的前项和为，满足.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求证：.
【思路引导】
（Ⅰ）由得出，由得出，再由得出，由等比数列的定义，得出数列是等比数列，即可写出数列的通项公式；
（Ⅱ）求出等比数列的前项和，由函数为上的单调增函数，由函数的最值，即可证明不等式.
解：(Ⅰ)当 ，由已知有，
当 时，①
②①②得：③
故④③④得：，则
是以为首项，公比为的等比数列.，
（Ⅱ）
，函数为上的单调增函数
故成立.
7. 【湖南省邵阳市2019-2020学年高三第一次联考】
已知数列的前项和，且满足，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求使成立的最小值.
【思路引导】
(1)根据数列的通项公式与前项和公式的关系求解即可.
(2)由(1)有,再根据等比数列求和可得,再分析的情况即可.
解：（1）由已知有
即，从而，
又成等差数列.即，
，解得：，的通项公式.
（2）由（1）得：，所以，
由，即.，即，
的最小值为10.
8. 若数列{an}是的递增等差数列，其中的a3=5，且a1，a2，a5成等比数列，
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn= ，求数列{bn}的前项的和Tn．
（3）是否存在自然数m，使得 ＜Tn＜对一切n∈N*恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【思路引导】（1）由于{}为等差数列，,,,成等比数列，可设出数列{}的公差为，列方程组即可求出;（2）在求出{}的通项公式后，求出{}的通项公式，再应用裂项相消法即可求;(3)需先求Tn的值域，要使得恒成立，则需区间()包含Tn的值域即可.
解：（1）在等差数列中，设公差为d≠0，
由题意，∴，解得．
∴an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
（2）由（1）知，an=2n﹣1．
则bn=
所以Tn=
（3）Tn+1﹣Tn=,
∴{Tn}单调递增，∴Tn≥T1=．∵Tn=∴≤Tn＜, 使得恒成立,只需
解之得,又因为m是自然数，∴m=2．
9. 【内蒙古呼和浩特市2019-2020学年高三上学期质量普查调研】
已知为数列的前项和，已知，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求满足的的最大值.
【思路引导】
（1）根据与的关系可推出，写出等差数列的通项公式即可；
（2）利用裂项相消法求和，解不等式即可.
解：(1)当时，；当时，①
②①-②整理得
，所以.
(2)设，
所以
令，解得所以的最大值为9.
10. 设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为．
（1）求证：点的纵坐标为定值；
（2）若求；
（3）已知=，其中，为数列的前项和，若对一切都成立，试求的取值范围．
【思路引导】（1）利用中点坐标公式的表示，得到，然后代入求中点的纵坐标的过程，根据对数运算法则，可以得到常数；（2）利用上一问的结果，当时，，可以采用倒序相加法，求和；（3）根据上一问的结果，代入，求，然后跟形式，采用裂项相消法求和，并反解，转化为恒成立求最值的问题．
（1）证明：设
由知，
∴点的纵坐标为定值
（2）由（1）知
,
两式相加得：
……7分
∴
（2）当时,
=
=（
由得＜λ·∴λ＞
∵≥4,当且仅当时等号成立,∴
当时,因此λ＞，即λ的取值范围是（+∞）
类型
对应典例
利用单调性解数列不等式
典例1
不等式恒成立与数列相结合
典例2
不等式能成立与数列相结合
典例3
利用不等式的放缩法证明数列不等式
典例4
不等式证明与数列相结合
典例5
采用裂项相消法求和证明不等式
典例6
采用错位相减法求和证明不等式
典例7