高考数学大题精做专题09解析几何中的探索性问题(第五篇)(原卷版+解析)

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专题09 解析几何中的探索性问题
【典例1】【河北省“五个一”名校联盟2020届模拟】已知平面内一个动点M到定点F(3，0)的距离和它到定直线l：x=6的距离之比是常数．
(1)求动点M的轨迹T的方程；
(2)若直线l：x+y-3=0与轨迹T交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线与T交于C，D两点，试问A，B，C，D是否在同一个圆上?若是，求出该圆的方程；若不是，说明理由．
【典例2】【山东省日照市2019-2020学年高三下学期1月校际联考】在平面直角坐标系中，已知椭圆：的焦距为2，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于，两点，问是否存在直线，使得为的垂心，若存在，求出直线的方程：若不存在，说明理由.
【典例3】【2019届内蒙古鄂尔多斯西部四旗高三上学期期末联考】已知椭圆的离心率为，焦距为，直线过椭圆的左焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与轴交于点是椭圆上的两个动点,的平分线在轴上,.试判断直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标;若不过定点，请说明理由.
【典例4】【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且
求抛物线的方程；
动直线与抛物线相交于两点，问：在轴上是否存在定点其中，使得向量与向量共线其中为坐标原点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【针对训练】
1. 【2020届河南省高三上学年期末】已知椭圆：过点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点.
（1）证明：当取得最小值时，椭圆的离心率为.
（2）若椭圆的焦距为2，是否存在定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.
2. 【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟考试】已知O为坐标原点，椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，直线与椭圆C相切．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）是否存在直线l：与椭圆C相交于E，D两点，使得？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由！
3. 【2020届高三湖南长沙1月模拟考试】已如椭圆E：（）的离心率为，点在E上.
（1）求E的方程：
（2）斜率不为0的直线l经过点，且与E交于P，Q两点，试问：是否存在定点C，使得？若存在，求C的坐标：若不存在，请说明理由
4. 【广东省广州市天河区2020届高三模拟】设椭圆的一个焦点为，且椭圆过点，为坐标原点，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点、，且？若存在，写出该圆的方程，并求的最大值，若不存在说明理由.
类型
对应典例
探索是否存在圆的问题
典例1
探索是否存在直线的问题
典例2
探索是否直线过定点
典例3
探索条件求点
典例4
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第五篇 解析几何
专题09 解析几何中的探索性问题
【典例1】【河北省“五个一”名校联盟2020届模拟】已知平面内一个动点M到定点F(3，0)的距离和它到定直线l：x=6的距离之比是常数．
(1)求动点M的轨迹T的方程；
(2)若直线l：x+y-3=0与轨迹T交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线与T交于C，D两点，试问A，B，C，D是否在同一个圆上?若是，求出该圆的方程；若不是，说明理由．
【思路引导】
（1）按求轨迹方法，把条件用数学关系式表示，化简，即可求解；
（2）先求出直线与椭圆交点坐标，再求出直线垂直平分线方程，若四点共圆，此圆以为直径，故只需证明中点与的距离是否等于.
【详解】
（1）设是点到直线的距离，的坐标为，
由题意，所求的轨迹集合是，
由此得，化简得T：；
（2）将直线方程与椭圆方程联立，由，
得，中点，
的垂直平分线方程为，
由消去得，
设，则，
，
设线段的中点为，则，
，所以，
，
所以四点在以为圆心，以为半径的圆上，
此圆方程为.
【典例2】【山东省日照市2019-2020学年高三下学期1月校际联考】在平面直角坐标系中，已知椭圆：的焦距为2，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于，两点，问是否存在直线，使得为的垂心，若存在，求出直线的方程：若不存在，说明理由.
【思路引导】
（1）把点的坐标代入椭圆方程，利用椭圆中的关系和已知，可以求出椭圆方程；
（2）设直线的方程，与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合已知和斜率公式，可以求出直线的方程.
【详解】
解：（1）由已知可得：解得，，，
所以椭圆：.
（2）由已知可得，，，∴，∵，
设直线的方程为：，代入椭圆方程整理得
，设，，
则，，
∵，∴.
即，
因为，，
即.
.
所以，或.
又时，直线过点，不合要求，所以.
故存在直线：满足题设条件.
【典例3】【2019届内蒙古鄂尔多斯西部四旗高三上学期期末联考】已知椭圆的离心率为，焦距为，直线过椭圆的左焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与轴交于点是椭圆上的两个动点,的平分线在轴上,.试判断直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标;若不过定点，请说明理由.
【思路引导】
(1)因为直线过椭圆的左焦点,故令,得,又因为离心率为,从而求出,又因为,求出的值,从而求出椭圆的标准方程;
(2)先求出点的坐标,设直线的方程为,联立方程组,利用根与系数的关系,设,,得到,又因为的平分线在轴上,所以,从而求出的值,得到直线的方程为过定点坐标.
【详解】
解:(1)因为直线过椭圆的左焦点,故令,得，
,解得.又,解得.
∴椭圆的标准方程为:.
(2)由(1)得,直线的方程为
令得,,即.设直线的方程为
联立方程组,消去得,
设,,,
则直线、的斜率,
所以
的平分线在轴上,,即
又,,.
即直线的方程为,过定点.
【典例4】【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且
求抛物线的方程；
动直线与抛物线相交于两点，问：在轴上是否存在定点其中，使得向量与向量共线其中为坐标原点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路引导】
求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得的坐标，代入抛物线方程，解得，进而得到抛物线的方程；在轴上假设存在定点其中，使得与向量共线，可得轴平分，设，，联立和，根据恒成立，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理可得的方程，求得，可得结论．
【详解】
抛物线C：的焦点为，
准线方程为，
即有，即，
则，解得，
则抛物线的方程为；
在x轴上假设存在定点其中，
使得与向量共线，
由，均为单位向量，且它们的和向量与共线，
可得x轴平分，
设，，
联立和，
得，
恒成立．
，
设直线DA、DB的斜率分别为，，
则由得，
，
，
联立，得，
故存在满足题意，
综上，在x轴上存在一点，使得x轴平分，
即与向量共线．
【针对训练】
1. 【2020届河南省高三上学年期末】已知椭圆：过点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点.
（1）证明：当取得最小值时，椭圆的离心率为.
（2）若椭圆的焦距为2，是否存在定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.
【思路引导】
（1）将点代入椭圆方程得到，结合基本不等式，求得取得最小值时，进而证得椭圆的离心率为.
（2）当直线的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，求得到直线的距离.当直线的斜率存在时，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用，则列方程，求得的关系式，进而求得到直线的距离.根据上述分析判断出所求的圆存在，进而求得定圆的方程.
【详解】
（1）证明：∵椭圆经过点，∴，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
此时椭圆的离心率.
（2）解：∵椭圆的焦距为2，∴，又，∴，.
当直线的斜率不存在时，由对称性，设，.
∵，在椭圆上，∴，∴，∴到直线的距离.
当直线的斜率存在时，设的方程为.
由，得，
.
设，，则，.
∵，∴，
∴，
∴，即，
∴到直线的距离.
综上，到直线的距离为定值，且定值为，故存在定圆：，使得圆与直线总相切.
2. 【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟考试】已知O为坐标原点，椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，直线与椭圆C相切．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）是否存在直线l：与椭圆C相交于E，D两点，使得？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由！
【思路引导】
（1）由题意列出关于a,b的关系式，解得a，b即可.
（2）将直线与椭圆联立，将向量数量积的运算用坐标形式表示，利用根与系数之间的关系确定k的取值范围．
【详解】
（1）在中，令，得，解得.
由垂径长（即过焦点且垂直于实轴的直线与椭圆相交所得的弦长）为3，
得，
所以.①
因为直线：与椭圆相切，则.②
将②代入①，得.
故椭圆的标准方程为.
（2）设点，.
由（1）知，则直线的方程为.
联立得，
则恒成立.
所以，，
.
因为，
所以.即.
即 ，
得，得，
即，
解得；
∴直线存在，且的取值范围是.
3. 【2020届高三湖南长沙1月模拟考试】已如椭圆E：（）的离心率为，点在E上.
（1）求E的方程：
（2）斜率不为0的直线l经过点，且与E交于P，Q两点，试问：是否存在定点C，使得？若存在，求C的坐标：若不存在，请说明理由
【思路引导】
（1）根据椭圆离心率和过的点，得到关于，的方程组，解得，的值，从而得到椭圆的方程；（2）设存在定点，对称性可知设，根据，得到，即得，直线的方程为：与椭圆联立，得到，，从而得到和的关系式，根据对恒成立，从而得到的值.
【详解】
（1）因为椭圆E的离心率，所以①，
点在椭圆上，所以②，
由①②解得，.
故E的方程为.
（2）假设存在定点，使得.
由对称性可知，点必在轴上，故可设.
因为，所以直线与直线的倾斜角互补，因此.
设直线的方程为：，，
由消去，得，
，所以，
所以，，
因为，所以，
所以，即.
整理得，
所以，即.
所以，即，对恒成立，
即对恒成立，所以.
所以存在定点，使得.
4. 【广东省广州市天河区2020届高三模拟】设椭圆的一个焦点为，且椭圆过点，为坐标原点，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点、，且？若存在，写出该圆的方程，并求的最大值，若不存在说明理由.
【思路引导】
（1）根据，且，解得答案.
（2）设切线方程为，根据垂直得到，故，得到，，考虑和和斜率不存在三种情况，分别计算得到答案.
【详解】
（1）根据题意：，且，解得，故标准方程为：.
（2）假设存在圆满足，当斜率存在时，设切线方程为.
，故.
，即.
，
.
，即，故，即.
，故，故.
当直线斜率不存在时，根据对称性不妨取，，
满足.
综上所述：存在使题目条件成立.
.
当时，；
当时，，当，即时等号成立；
当斜率不存在时，易知；
综上所述：的最大值为.
类型
对应典例
探索是否存在圆的问题
典例1
探索是否存在直线的问题
典例2
探索是否直线过定点
典例3
探索条件求点
典例4