高考数学微专题集专题1阿波罗尼斯圆及其应用微点5阿波罗尼斯球(原卷版+解析)

这是一份高考数学微专题集专题1阿波罗尼斯圆及其应用微点5阿波罗尼斯球(原卷版+解析)，共25页。

微点5 阿波罗尼斯球
【微点综述】
对于立体几何某些涉及距离比值的动点轨迹问题，可转化为在某个平面内的距离关系，从而借助阿波罗尼斯球和阿波罗尼斯圆的定义及相关知识解决问题．对于这类问题也可以利用空间坐标计算求解轨迹问题．
【典例刨析】
例1．(2023贵州贵阳·模拟）
1．在平面内，已知动点P与两定点A，B的距离之比为，那么点P的轨迹是圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.在空间中，也可得到类似结论.如图，三棱柱中，平面ABC，，，，点M为AB的中点，点P在三棱柱内部或表面上运动，且，动点P形成的曲面将三棱柱分成两个部分，体积分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在长方体中，，点在棱上，，动点满足．若点在平面内运动，则点所形成的阿氏圆的半径为________；若点在长方体内部运动，为棱的中点，为的中点，则三棱锥的体积的最小值为___________．
3．已知正方体的棱长为4，点P在平面内，且，则点P的轨迹的长度为___________.
4．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点、距离之比是常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体中，点是正方体的表面(包括边界)上的动点，若动点满足，则点所形成的阿氏圆的半径为______；若是的中点，且满足，则三棱锥体积的最大值是______.
阿波罗尼奥斯
例5．(2023·湖南怀化·高二期末）
5．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A，B的距离之比为常数的点的轨迹是—个圆心在直线上的圆.该圆被称为阿氏圆，如图，在长方体中，，点E在棱上，，动点P满足，若点P在平面内运动，则点P对应的轨迹的面积是___________；F为的中点，则三棱锥体积的最小值为___________.
6．棱长为的正四面体的外接球与内切球的半径之和为______，内切球球面上有一动点，则的最小值为______.
【针对训练】
7．如图，是平面的斜线段，为斜足，点满足，且在平面内运动，则
A．当时，点的轨迹是抛物线
B．当时，点的轨迹是一条直线
C．当时，点的轨迹是椭圆
D．当时，点的轨迹是双曲线抛物线
8．如图，已知平面，，A、B是直线l上的两点，C、D是平面内的两点，且，，，，．P是平面上的一动点，且直线PD，PC与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是（ ）
A．B．C．D．1
(2023·山西太原·二模（理））
9．已知点M是棱长为3的正方体的内切球O球面上的动点，点N为线段上一点，，，则动点M运动路线的长度为（ ）
A．B．C．D．
(2023天津西青区杨柳青一中高二期中）
10．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点，距离之比是常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体中，点是正方体的表面（包括边界）上的动点，若动点满足，则点所形成的阿氏圆的半径为___________；若是的中点，且正方体的表面（包括边界）上的动点满足条件，则三棱锥体积的最大值是__________．
11．已知正方体的棱长为，点为侧面内的动点，且，则点所形成的轨迹图形长度为_______________．
(2023江西上饶·二模（理））
12．点为正方体的内切球球面上的动点，点为上一点，，，若球的体积为，则动点的轨迹长度为___________.
13．已知在棱长为12的正四面体的内切球球面上有一动点，则的最小值为______，的最小值为______．
专题1 阿波罗尼斯圆及其应用 微点5 阿波罗尼斯球
专题1 阿波罗尼斯圆及其应用
微点5 阿波罗尼斯球
【微点综述】
对于立体几何某些涉及距离比值的动点轨迹问题，可转化为在某个平面内的距离关系，从而借助阿波罗尼斯球和阿波罗尼斯圆的定义及相关知识解决问题．对于这类问题也可以利用空间坐标计算求解轨迹问题．
【典例刨析】
例1．(2023贵州贵阳·模拟）
1．在平面内，已知动点P与两定点A，B的距离之比为，那么点P的轨迹是圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.在空间中，也可得到类似结论.如图，三棱柱中，平面ABC，，，，点M为AB的中点，点P在三棱柱内部或表面上运动，且，动点P形成的曲面将三棱柱分成两个部分，体积分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在长方体中，，点在棱上，，动点满足．若点在平面内运动，则点所形成的阿氏圆的半径为________；若点在长方体内部运动，为棱的中点，为的中点，则三棱锥的体积的最小值为___________．
3．已知正方体的棱长为4，点P在平面内，且，则点P的轨迹的长度为___________.
4．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点、距离之比是常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体中，点是正方体的表面(包括边界)上的动点，若动点满足，则点所形成的阿氏圆的半径为______；若是的中点，且满足，则三棱锥体积的最大值是______.
阿波罗尼奥斯
例5．(2023·湖南怀化·高二期末）
5．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A，B的距离之比为常数的点的轨迹是—个圆心在直线上的圆.该圆被称为阿氏圆，如图，在长方体中，，点E在棱上，，动点P满足，若点P在平面内运动，则点P对应的轨迹的面积是___________；F为的中点，则三棱锥体积的最小值为___________.
6．棱长为的正四面体的外接球与内切球的半径之和为______，内切球球面上有一动点，则的最小值为______.
【针对训练】
7．如图，是平面的斜线段，为斜足，点满足，且在平面内运动，则
A．当时，点的轨迹是抛物线
B．当时，点的轨迹是一条直线
C．当时，点的轨迹是椭圆
D．当时，点的轨迹是双曲线抛物线
8．如图，已知平面，，A、B是直线l上的两点，C、D是平面内的两点，且，，，，．P是平面上的一动点，且直线PD，PC与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是（ ）
A．B．C．D．1
(2023·山西太原·二模（理））
9．已知点M是棱长为3的正方体的内切球O球面上的动点，点N为线段上一点，，，则动点M运动路线的长度为（ ）
A．B．C．D．
(2023天津西青区杨柳青一中高二期中）
10．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点，距离之比是常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体中，点是正方体的表面（包括边界）上的动点，若动点满足，则点所形成的阿氏圆的半径为___________；若是的中点，且正方体的表面（包括边界）上的动点满足条件，则三棱锥体积的最大值是__________．
11．已知正方体的棱长为，点为侧面内的动点，且，则点所形成的轨迹图形长度为_______________．
(2023江西上饶·二模（理））
12．点为正方体的内切球球面上的动点，点为上一点，，，若球的体积为，则动点的轨迹长度为___________.
13．已知在棱长为12的正四面体的内切球球面上有一动点，则的最小值为______，的最小值为______．
参考答案：
1．D
分析：在平面PAB中，作,交AB于点N，从而得到，判断出B、N重合，得到点P落在以B为球心，为半径的球面上，求出，即可求出.
【详解】
如图，在平面PAB中，作,交AB于点N，则,
又因，所以，
所以，所以,
所以.
因为，所以,
所以B、N重合且，
所以点P落在以B为球心，为半径的球面上.
作于H，则，
因为面ABC，所以BH，
又因为，所以面，
所以B到面的距离为，
所以球面与面相切，而，
所以球面不会与面相交，
则，
,
所以，
所以.
故选：D.
【点睛】立体几何中的动点轨迹问题一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型，有两种处理方法：
(1)很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义法)；
(2)要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式．
2． ##2.25
分析：建立空间直角坐标系，由两点间距离公式化简后得轨迹方程，再由空间向量表示点到平面的距离公式求解最值
【详解】以AB为轴，AD为轴，为轴，建立如图所示的坐标系，
在平面直角坐标系中，设，由得，所以，
所以若点在平面内运动，则点所形成的阿氏圆的半径为．
若点在长方体内部运动，
设点，由得，所以，
由题得
所以设平面的法向量为，
所以，由题得，
所以点P到平面的距离为，
因为，
所以，又为的中点，所以点M到平面的最小距离为，
由题得为等边三角形，且边长为，
所以三棱锥的体积的最小值为．
故答案为：；
3．
分析：若E为与的交点，由正方体的性质可证面，在Rt△中有可得，再在面上构建平面直角坐标系，并写出各点坐标且令，结合已知条件列方程，即可得P的轨迹，进而求轨迹长度.
【详解】
若E为与的交点，则，
∵面，面，
∴，又，
∴面，
∴连接PE，即在Rt△中有，又正方体的棱长为4，
∴
在面上构建如下平面直角坐标系，若，，
∴，，
∴，又，
∴，整理得，
∴，故轨迹为半径的圆，
∴轨迹长度为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：应用正方体的性质及勾股定理得，再在面上构建平面直角坐标系，设结合已知条件可得方程，整理即有P的轨迹方程.
4．
【解析】在上取点，在延长线上取点，使得，，则是题中阿氏圆上的点，则是阿氏圆的直径，由此可求得半径，由可得，，即在上述阿氏圆上，这样当是阿氏圆与交点时，到平面距离最大，三棱锥体积的最大，由体积公式计算可得．
【详解】在上取点，在延长线上取点，使得，，则是题中阿氏圆上的点，由题意是阿氏圆的直径，
，则，，所以，∴阿氏圆半径为；
正方体中，都与侧面垂直，从而与侧面内的直线垂直，
如图，则，∴，即在上述阿氏圆上，
∵的面积是2为定值，因此只要到平面距离最大，则三棱锥体积的最大，
由于点在阿氏圆上，当是阿氏圆与交点时，到平面距离最大，
此时，因此，，
三棱锥体积的最大值为．
故答案为：；．
【点睛】关键点点睛：本题考查棱锥的体积，考查新定义的理解与应用．解题关键是正确理解新定义得出圆半径，由已知角相等得出点就在新定义“阿氏圆”上，从而易得它到底面距离最大时的位置，从而得出最大体积．
5．
分析：建立空间直角坐标系，根据，可得对应的轨迹方程；先求的面积，其是固定值，要使体积最小，只需求点到平面的距离的最小值即可.
【详解】分别以为轴建系，设，而,,，
,.
由,有，化简得对应的轨迹方程为.所以点P对应的轨迹的面积是.
易得的三个边
即是边长为为的等边三角形，其面积为，
，设平面的一个法向量为，
则有，可取平面的一个法向量为，
根据点的轨迹，可设，
，
所以点到平面的距离，
所以
故答案为：；
6．
分析：(1)将正四面体放入正方体可求得外接球半径,利用等体积法可求得内切球的半径.
(2)根据阿波罗尼斯球的性质找到阿波罗尼斯球中的两个定点,再将转换,从而得出取最小值时的线段,再根据余弦定理求解即可.
【详解】(1) 将正四面体放入如图正方体,则正四面体的外接球与该正方体的外接球为同一球.半径为.
设正四面体的内切球半径为,根据等体积法有,解得.
故外接球与内切球的半径之和为.

(2)由阿波罗尼斯球得内切球球心是线段上以为定点,空间中满足的点的集合,连接并延长交平面于,交内切球上方的点设为,过作,交于,连接,设.
由(1)空得.
所以,解得,,
所以,所以.
所以,
在中,,,,
所以.
所以的最小值为
故答案为：(1)；(2)
【点睛】本题主要考查了正四面体外接球与内切球的半径计算,同时也考查了利用阿波罗尼斯球中的比例关系求解线段最值的问题,需要根据题意找到球中的定点,根据阿波罗尼斯球的性质转换所求的线段之和求解.属于难题.
7．B
【解析】当时，，故的轨迹为线段的中垂面与的交线，当时，，在平面内建立坐标系，设，求出的轨迹方程得出结论．
【详解】在中，∵，由正弦定理可得：，
当时，，过的中点作线段的垂面，
则点在与的交线上，即点的轨迹是一条直线，
当时，，
设在平面内的射影为，连接，，设，，则，
在平面内，以所在直线为轴，以的中点为轴建立平面直角坐标系，
设，则，，，
∴，化简可得.
∴的轨迹是圆．
故选B．
【点睛】本题考查轨迹方程的求解与判断，分类讨论思想，属于中档题．
8．B
分析：根据题目条件得到，进而建立平面直角坐标系，求出P点轨迹方程，点P在内的轨迹为以为圆心，以4为半径的上半圆，从而求出当PB与圆相切时，二面角的平面角最大，求出相应的余弦值最小值.
【详解】由题意易得PD与平面所成角为，PC与平面所成角为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴P点轨迹为阿氏圆．
在平面内，以为轴，以的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，
则，设，
所以，
整理得：，
所以点P在内的轨迹为以为圆心，以4为半径的上半圆，
因为平面，，，，
所以，
因为，
所以，
因为平面平面，，
所以二面角的平面角为，
由图可知，当PB与圆相切时，最大，余弦值最小，
此时，故.
故选：B．
9．B
分析：根据给定条件探求出过点D垂直于直线BN的平面，可得此平面截球O的截面小圆即为M的运动路线，求出点O到此截面距离即可计算作答.
【详解】在正方体中，在BB1上取点P，使B1P=2BP，连接CP，DP，如图，
因N在B1C上，有，即，则，，于是得，
而平面BCC1B1，平面BCC1B1，则，又，平面CDP，则有平面CDP，
因动点M满足，则有点M在平面CDP内，依题意，平面CDP截球O的截面小圆即为M的运动路线，
令正方形BCC1B1与正方形ADD1A1的中心分别为E，F，连接EF，则正方体内切球球心O必为线段EF中点，
显然，EF//CD，平面CDP，平面CDP，于是得EF//平面CDP，则点O到平面CDP距离等于点E到平面CDP的距离h，
取BC中点G，连接EG，CE，PE，而平面CDP⊥平面BCC1B1，平面CDP平面BCC1B1=CP，则的边CP上的高等于h，
EG⊥BC，，则，直角梯形BGEP中，，则，
中，，由余弦定理得，，
由得：，
设点M运动路线的小圆半径为r，而球O的半径，由得，，
所以动点M运动路线的长度为.
故选：B
10．
分析：根据题意以D为坐标原点，DA为x轴建立平面直角坐标系，设P（x，y），利用PA＝2PD，求出点P的轨迹方程，即可得到点P所形成的阿氏圆的半径，利用tan∠APB＝，tan∠DPE＝，结合已知条件∠APB＝∠EPD，从而得到AP＝2DP，结合图像利用1空中的结论求解DP3即为三棱锥P﹣ACD最大的高，然后利用三棱锥的体积公式求解即可．
【详解】
以D为坐标原点，DA为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A（2，0），D（0，0），设P（x，y），
因为PA＝2PD，所以 ，
整理得，故点P所形成的阿氏圆的半径为；
因为AB⊥平面ADD1A1，CD⊥平面ADD1A1，
所以∠PAB＝90°，∠PDE＝90°，
所以tan∠APB＝，tan∠DPE ，
又∠APB＝∠DPE，则，
因为E是CD的中点，所以AP＝2DP，
由1空的结论可知，点P的轨迹为的一部分，
则当P在DD1上时，三棱锥P﹣ACD的体积最大，
图2中的DP3即为三棱锥P﹣ACD最大的高，
所以，
则三棱锥P﹣ACD体积的最大值是.
故答案为：；．
11．
分析：由题意，建立空间直角坐标系，根据两点距离公式，结合线段等量关系，整理轨迹方程，可得答案.
【详解】解：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，为侧面内的动点，的纵坐标为，设，则，
，化简整理得，当时，该方程表示在平面内，以点为圆心，以为半径的圆，
点所形成的轨迹图形为图中，其长度为：．
故答案为：.
12．
分析：在取点，使，证明平面，从而得点的轨迹为平面与球的截面圆周，因此求出球半径和球心到截面的距离，然后利用截面圆性质可得球面圆半径后可得其周长．题中球心到截面的距离利用体积法求解．球半径利用球的体积公式计算可得．
【详解】解：如图，在取点，使，连接，，，
因为，可得，则，所以
所以，
又平面，平面，所以，同理，
因为，平面，
所以平面，
则点的轨迹为平面与球的截面圆周，
设正方体的棱长为，则，解得，连接，，，
如图，在对角面中，
，
到平面的距离即到平面的距离为，
，
又，，设到平面的距离为，则，，
得到平面的距离为，
所以截面圆的半径，
则点的轨迹长度为，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查空间的几何体中的轨迹问题，解题关系是确定平面，得点的轨迹为平面与球的截面圆周，为了求截面圆半径，需求得球半径和球心到截面的距离，这个距离我们利用体积法求解．
13．
【解析】求出正四面体的高，进一步得到内切球的半径，由高减去内切球的直径得的最小值；利用阿波罗尼斯球的定义，借助内切球的比例关系求得，转化后求最小值即可.
【详解】设正四面体的高为，每一个面的面积为，其内切球的半径为，
则由等积法可得，，即．
设内切球球心为，连结并延长交平面于，交内切球上方的点设为，过作，交于，连结，，如图，
则在正三角形中，
，
正四面体内切球的半径，直径为.
则的最小值为．同理可知的最小值为.
根据阿波罗尼斯球知,内切球是线段上以，为定点，空间中满足的点的集合，
设，因为，，，
，解得，
，
，，
，
在中，，，
，
．
的最小值为．
故答案为：；．
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点在于，根据阿波罗尼斯球定义利用比例关系求得,可将转化为，利用平面几何性质知最小值为，由余弦定理求解即可，属于难题.