高考数学微专题集专题2蒙日圆微点3蒙日圆综合训练(原卷版+解析)

这是一份高考数学微专题集专题2蒙日圆微点3蒙日圆综合训练(原卷版+解析)，共45页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

微点3 蒙日圆综合训练
一、单选题
1．蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆的蒙日圆为，则（ ）
A．B．C．D．
(2023·江苏·仪征二中高二期中）
2．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆.若椭圆：的离心率为，则椭圆的蒙日圆方程为（ ）
A．B．C．D．
3．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点轨迹为，这个圆亦被称为蒙日圆，现将质点随机投入椭圆所对应的蒙日圆内，则质点落在椭圆外部的概率为？（附：椭圆的面积公式为）（ ）
A．B．C．D．
(2023·海南·高二期末）
4．加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 的蒙日圆的半径为（ ）
A．3B．4C．5D．6
(2023·重庆八中高二月考）
5．19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则b的值为（ ）
A．B．C．D．
(2023安徽卓越县中联盟高二期中）
6．19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根.若圆上有且只有一个点在椭圆的蒙日圆上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
(2023·河南南阳高二月考）
7．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，椭圆的离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
(2023·河南·鹤壁高中模拟）
8．在圆上总存在点，使得过点能作椭圆的两条相互垂直的切线，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
(2023·江苏·模拟）
9．在平面直角坐标系中，若直线上存在动点，使得过点的椭圆的两条切线相互垂直，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
10．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，直线，则（ ）
A．直线与蒙日圆相切
B．的蒙日圆的方程为
C．记点到直线的距离为，则的最小值为
D．若矩形的四条边均与相切，则矩形的面积的最大值为
(2023·江苏扬州·高三期末）
11．在椭圆C：（a＞b＞0）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：x2＋y2＝a2＋b2上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．该圆由法国数学家G．Mnge（1745－1818）最新发现．若椭圆C：＋y2＝1，则下列说法中正确的有（ ）
A．椭圆C外切矩形面积的最大值为4
B．点P（x，y）为蒙日圆Γ上任意一点，点，当∠PMN最大值时，tan∠PMN＝2＋
C．过椭圆C的蒙日圆上一点P，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于点Q，若kOP，kOQ存在，则kOPkOQ为定值
D．若椭圆C的左右焦点分别为F1，F2，过椭圆C上一点P和原点作直线l与蒙日圆相交于M，N，且，则
12．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则（ ）
A．椭圆的离心率为
B．面积的最大值为
C．到的左焦点的距离的最小值为
D．若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则
(2023·湖南·长沙一中模拟预测）
13．“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C，其方程为．则下列说法正确的是（ ）
A．曲线C包含的封闭图形内部(不含边界)有11个整数点(横、纵坐标均为整数)
B．曲线C上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为5
C．若A(0，－)、B(0，)，P是曲线C下半部分中半椭圆上的一个动点，则cs∠APB的最小值为－
D．画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上，称该圆为椭圆的蒙日圆；那么曲线C中下半部分半椭圆扩充为整个椭圆C'：后，椭圆C'的蒙日圆方程为：
三、填空题
14．已知点P为直线上一点，PA，PB是椭圆C：的两条切线，若恰好存在一点便得，则椭圆C的离心率为________________．
(2023·浙江绍兴诸暨高二期末）
15．画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴､短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则___________.
(2023·浙江江山中学模拟）
16．法国数学家蒙日（Mnge，）发现：椭圆的两条互相垂直切线的交点的轨迹方程为：，这个圆被称为蒙日圆．若某椭圆对应的蒙日圆方程为，则_________．
(2023安徽舒城中学三模）
17．若椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆中心，则称这个圆为蒙日圆.若椭圆的蒙日圆的半径为，则椭圆的离心率为___________.
(2023江苏·滨海八滩中学高二期中）
18．画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴､短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则该椭圆的离心率为___________.
19．已知两动点在椭圆上，动点在直线上，若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为__________．
20．已知：若直线上总存在点P，使得过点P的的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是______．
21．过椭圆上一点M作圆的两条切线，点A､B为切点过A､B的直线l与x轴､y轴分别交于点P､Q两点，则面积的最小值为___________.
22．过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，过的直线与轴和轴分别交于，则面积的最小值为__________.
23．已知椭圆：，点为椭圆外一点，过点向椭圆作两条切线，当两条切线相互垂直时，点在一个定圆上运动，则该定圆的方程为__________．
四、双空题
24．加斯帕尔·紫日是19世纪著名的几何学家，创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展．他给出了紫日圆的定义，即：“在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，半径等于长半轴与短半轴平方和的算术平方根”．已知椭圆方程为：，写出该椭圆任意两条互相垂直的切线的交点形成的圆的方程_________，过点且与该圆相切的直线的一般方程为______．
五、解答题
25．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点轨迹为一个圆，该圆的方程为，这个圆被称为蒙日圆，已知抛物线的焦点是椭圆的一个短轴端点，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的标准方程和它的“蒙日圆”的方程；
（2）若斜率为1的直线与“蒙日圆”相交于，两点，且与椭圆相切，为坐标原点，求的面积．
26．给定椭圆，称圆心在坐标原点 ，半径为的圆是椭圆 的“伴随圆”． 若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到距离为 ．
（1）求椭圆及其“伴随圆”的方程；
（2）若过点的直线 与椭圆C只有一个公共点，且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为 ，求的值；
（3）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线，使得与椭圆C都只有一个公共点，试判断直线的斜率之积是否为定值,并说明理由.
27．给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“伴椭圆”，若椭圆的一个焦点为，其短轴上一个端点到的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作椭圆的“伴随圆”的动弦，过点、分别作“伴随圆”的切线，设两切线交于点，证明：点的轨迹是直线，并写出该直线的方程；
（3）设点是椭圆的“伴随圆”上的一个动点，过点作椭圆的切线、，试判断直线、是否垂直？并说明理由.
28．已知椭圆的一个顶点是，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知矩形的四条边都与椭圆相切，设直线AB方程为，求矩形面积的最小值与最大值.
(2023江西南昌莲塘一中高二期末）
29．定义椭圆()的“蒙日圆”方程为.已知抛物线的焦点是椭圆的一个短轴端点，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程和它的“蒙日圆”的方程；
（2）若斜率为的直线与“蒙日圆”相交于两点，且与椭圆C相切，为坐标原点，求的面积.
30．已知椭圆的一个焦点为，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.
31．已知椭圆C：的一个焦点为，离心率为．点P为圆M：上任意一点，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)记线段OP与椭圆C交点为Q，求的取值范围；
(3)设直线l经过点P且与椭圆C相切，l与圆M相交于另一点A，点A关于原点O的对称点为B，试判断直线PB与椭圆C的位置关系，并证明你的结论．
32．已知圆，椭圆的左右焦点为，过且垂直于x轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图P为圆上任意一点，过P分别作椭圆两条切线切椭圆于A，B两点．
（ⅰ）若直线的斜率为2，求直线的斜率；
（ⅱ）作于点Q，求证：是定值．
专题2 蒙日圆 微点3蒙日圆综合训练
专题2 蒙日圆
微点3 蒙日圆综合训练
一、单选题
1．蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆的蒙日圆为，则（ ）
A．B．C．D．
(2023·江苏·仪征二中高二期中）
2．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆.若椭圆：的离心率为，则椭圆的蒙日圆方程为（ ）
A．B．C．D．
3．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点轨迹为，这个圆亦被称为蒙日圆，现将质点随机投入椭圆所对应的蒙日圆内，则质点落在椭圆外部的概率为？（附：椭圆的面积公式为）（ ）
A．B．C．D．
(2023·海南·高二期末）
4．加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 的蒙日圆的半径为（ ）
A．3B．4C．5D．6
(2023·重庆八中高二月考）
5．19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则b的值为（ ）
A．B．C．D．
(2023安徽卓越县中联盟高二期中）
6．19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根.若圆上有且只有一个点在椭圆的蒙日圆上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
(2023·河南南阳高二月考）
7．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，椭圆的离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
(2023·河南·鹤壁高中模拟）
8．在圆上总存在点，使得过点能作椭圆的两条相互垂直的切线，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
(2023·江苏·模拟）
9．在平面直角坐标系中，若直线上存在动点，使得过点的椭圆的两条切线相互垂直，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
10．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，直线，则（ ）
A．直线与蒙日圆相切
B．的蒙日圆的方程为
C．记点到直线的距离为，则的最小值为
D．若矩形的四条边均与相切，则矩形的面积的最大值为
(2023·江苏扬州·高三期末）
11．在椭圆C：（a＞b＞0）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：x2＋y2＝a2＋b2上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．该圆由法国数学家G．Mnge（1745－1818）最新发现．若椭圆C：＋y2＝1，则下列说法中正确的有（ ）
A．椭圆C外切矩形面积的最大值为4
B．点P（x，y）为蒙日圆Γ上任意一点，点，当∠PMN最大值时，tan∠PMN＝2＋
C．过椭圆C的蒙日圆上一点P，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于点Q，若kOP，kOQ存在，则kOPkOQ为定值
D．若椭圆C的左右焦点分别为F1，F2，过椭圆C上一点P和原点作直线l与蒙日圆相交于M，N，且，则
12．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则（ ）
A．椭圆的离心率为
B．面积的最大值为
C．到的左焦点的距离的最小值为
D．若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则
(2023·湖南·长沙一中模拟预测）
13．“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C，其方程为．则下列说法正确的是（ ）
A．曲线C包含的封闭图形内部(不含边界)有11个整数点(横、纵坐标均为整数)
B．曲线C上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为5
C．若A(0，－)、B(0，)，P是曲线C下半部分中半椭圆上的一个动点，则cs∠APB的最小值为－
D．画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上，称该圆为椭圆的蒙日圆；那么曲线C中下半部分半椭圆扩充为整个椭圆C'：后，椭圆C'的蒙日圆方程为：
三、填空题
14．已知点P为直线上一点，PA，PB是椭圆C：的两条切线，若恰好存在一点便得，则椭圆C的离心率为________________．
(2023·浙江绍兴诸暨高二期末）
15．画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴､短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则___________.
(2023·浙江江山中学模拟）
16．法国数学家蒙日（Mnge，）发现：椭圆的两条互相垂直切线的交点的轨迹方程为：，这个圆被称为蒙日圆．若某椭圆对应的蒙日圆方程为，则_________．
(2023安徽舒城中学三模）
17．若椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆中心，则称这个圆为蒙日圆.若椭圆的蒙日圆的半径为，则椭圆的离心率为___________.
(2023江苏·滨海八滩中学高二期中）
18．画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴､短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则该椭圆的离心率为___________.
19．已知两动点在椭圆上，动点在直线上，若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为__________．
20．已知：若直线上总存在点P，使得过点P的的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是______．
21．过椭圆上一点M作圆的两条切线，点A､B为切点过A､B的直线l与x轴､y轴分别交于点P､Q两点，则面积的最小值为___________.
22．过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，过的直线与轴和轴分别交于，则面积的最小值为__________.
23．已知椭圆：，点为椭圆外一点，过点向椭圆作两条切线，当两条切线相互垂直时，点在一个定圆上运动，则该定圆的方程为__________．
四、双空题
24．加斯帕尔·紫日是19世纪著名的几何学家，创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展．他给出了紫日圆的定义，即：“在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，半径等于长半轴与短半轴平方和的算术平方根”．已知椭圆方程为：，写出该椭圆任意两条互相垂直的切线的交点形成的圆的方程_________，过点且与该圆相切的直线的一般方程为______．
五、解答题
25．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点轨迹为一个圆，该圆的方程为，这个圆被称为蒙日圆，已知抛物线的焦点是椭圆的一个短轴端点，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的标准方程和它的“蒙日圆”的方程；
（2）若斜率为1的直线与“蒙日圆”相交于，两点，且与椭圆相切，为坐标原点，求的面积．
26．给定椭圆，称圆心在坐标原点 ，半径为的圆是椭圆 的“伴随圆”． 若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到距离为 ．
（1）求椭圆及其“伴随圆”的方程；
（2）若过点的直线 与椭圆C只有一个公共点，且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为 ，求的值；
（3）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线，使得与椭圆C都只有一个公共点，试判断直线的斜率之积是否为定值,并说明理由.
27．给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“伴椭圆”，若椭圆的一个焦点为，其短轴上一个端点到的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作椭圆的“伴随圆”的动弦，过点、分别作“伴随圆”的切线，设两切线交于点，证明：点的轨迹是直线，并写出该直线的方程；
（3）设点是椭圆的“伴随圆”上的一个动点，过点作椭圆的切线、，试判断直线、是否垂直？并说明理由.
28．已知椭圆的一个顶点是，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知矩形的四条边都与椭圆相切，设直线AB方程为，求矩形面积的最小值与最大值.
(2023江西南昌莲塘一中高二期末）
29．定义椭圆()的“蒙日圆”方程为.已知抛物线的焦点是椭圆的一个短轴端点，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程和它的“蒙日圆”的方程；
（2）若斜率为的直线与“蒙日圆”相交于两点，且与椭圆C相切，为坐标原点，求的面积.
30．已知椭圆的一个焦点为，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.
31．已知椭圆C：的一个焦点为，离心率为．点P为圆M：上任意一点，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)记线段OP与椭圆C交点为Q，求的取值范围；
(3)设直线l经过点P且与椭圆C相切，l与圆M相交于另一点A，点A关于原点O的对称点为B，试判断直线PB与椭圆C的位置关系，并证明你的结论．
32．已知圆，椭圆的左右焦点为，过且垂直于x轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图P为圆上任意一点，过P分别作椭圆两条切线切椭圆于A，B两点．
（ⅰ）若直线的斜率为2，求直线的斜率；
（ⅱ）作于点Q，求证：是定值．
参考答案：
1．B
【解析】分两条切线的斜率是否同时存在进行分类讨论，在两条切线的斜率同时存在时，可在圆上任取一点，并设过该点的直线方程为，与椭圆方程联立，利用可得出关于的二次方程，利用韦达定理可求得实数的值.
【详解】当椭圆两切线与坐标垂直时，则两切线的交点坐标为，
该点在圆上，所以，，解得；
当椭圆两切线的斜率同时存在时，不妨设两切线的斜率分别为、，
设两切线的交点坐标为，并设过该点的直线方程为，
联立，
消去得，
，
化简得，由韦达定理得，
整理得，解得.
综上所述，.
故选：B.
【点睛】本题考查利用椭圆两切线垂直求参数，考查分类讨论思想以及方程思想的应用，属于中等题.
2．B
分析：根据椭圆的离心率可求出，根据题意知椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，利用过上顶点和右顶点的切线可得蒙日圆上的一点，即可椭圆的蒙日圆方程.
【详解】因为椭圆：的离心率为，
所以，解得，所以椭圆的方程为，
所以椭圆的上顶点，右顶点，
所以经过两点的切线方程分别为，，
所以两条切线的交点坐标为，又过，的切线互相垂直，
由题意知交点必在一个与椭圆同心的圆上，可得圆的半径，
所以椭圆的蒙日圆方程为.
故选：B.
【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，同时考查圆的方程，属于基础题.
3．D
分析：算出蒙日圆和椭圆的面积后，根据几何概型的概率公式可得结果.
【详解】由题意知，蒙日圆的半径为，
所以，
，
根据几何概型的概率公式可得质点落在椭圆外部的概率为.
故选：D.
【点睛】本题考查了由椭圆方程求，考查了椭圆的面积公式，考查了圆的面积公式，考查了几何概型的概率公式，属于基础题.
4．A
分析：由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径.
【详解】由蒙日圆的定义，可知椭圆 的两条切线的交点
在圆上，
所以，
故选：A
5．B
分析：由题意求出蒙日圆方程，再由两圆只有一个交点可知两圆相切，从而列方程可求出b的值
【详解】由题意可得椭圆的蒙日圆的半径，
所以蒙日圆方程为，
因为圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，
所以两圆相切，
所以，解得，
故选：B
6．C
分析：根据题意得椭圆的蒙日圆方程为，进而得该圆与已知圆相切，再根据圆的位置关系求解即可.
【详解】解：根据题意，椭圆的蒙日圆方程为，
因为圆上有且只有一个点在椭圆的蒙日圆上，
所以该圆与已知圆相切，
又两圆圆心间距离为，
所以或（无解，舍去），解得
故选：C.
7．A
分析：利用椭圆的离心率可得，分析可知为圆的一条直径，利用勾股定理得出，再利用基本不等式可得出面积的最大值.
【详解】因为，所以，，所以，蒙日圆的方程为，
由已知条件可得，则为圆的一条直径，则，
所以，，当且仅当时，等号成立.
故选：A.
8．B
分析：设，过与椭圆相切的直线方程为，将其与椭圆方程联立，可得，进而得到，化简整理，设其方程的根为，由，可知点在圆上，再根据圆与圆的位置关系，即可求出结果.
【详解】设,且过与椭圆相切的直线方程为，即，将其代入椭圆方程，化简得
所以，
即
所以，即
设是方程的两根，
因为两切线互相垂直，所以,
即，所以，即点在圆上，其圆心为，半径为2；
又在圆上，且其圆心为，
所以 ，即
所以.
故选：B.
9．B
分析：先计算出点的轨迹方程为圆，然后圆与直线有交点，即圆心到直线的距离小于等于半径.
【详解】设，则过得切线方程为
联立，得，
所以有，
化简得，两个切线得斜率为该方程的两个根，
所以有，由韦达定理可得，化简得，
所以点的轨迹方程为圆，
要使直线上存在动点，使得过点P的椭圆的两条切线相互垂直，
只需直线与有交点即可，得，
解得.
故选：B
10．AC
分析：分析可得出，求出蒙日圆的方程，可判断B选项的正误；利用直线与圆的位置关系可判断A选项；利用椭圆的定义和点到直线的距离公式可判断C选项的正误；分析可知矩形的四个顶点都在蒙日圆上，利用基本不等式可判断D选项的正误.
【详解】当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为、，
所以，点在蒙日圆上，故蒙日圆的方程为，
因为，可得.
对于A选项，蒙日圆圆心到直线的距离为，
所以，直线与蒙日圆相切，A对；
对于B选项，的蒙日圆的方程为，B错；
对于C选项，由椭圆的定义可得，则，
所以，，
因为，直线的方程为，
点到直线的距离为，
所以，，
当且仅当时，等号成立，C对；
对于D选项，若矩形的四条边均与相切，则矩形的四个顶点都在蒙日圆上，
所以，，
所以，矩形的面积为，D错.
故选：AC.
11．BCD
分析：先求得椭圆的蒙日圆，然后根据外切矩形的面积、两角和的正切公式、根与系数关系、判别式、向量运算的指数对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】由题意可知，圆Γ：x2＋y2＝3，
对于选项A，椭圆C的一个外切矩形为可设为ABCD，
则其面积S＝4|OA||OB|sin∠AOB＝6sin∠AOB，
所以矩形ABCD的面积最大值为6≠，故选项A错误；
对于选项B，当PM与圆相切且切点在轴下方时∠PMN最大，
，
则tan∠PMO＝，且∠NMO＝45°，
所以tan∠PMN＝，故选项B正确；
对于选项C，当PQ的斜率存在时，可设直线PQ的方程为y＝kx＋m，P（x1，y1），Q（x2，y2），
由联立消去y可得，（k2＋1）x2＋2kmx＋m2－3＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
则y1y2＝（kx1＋m）（kx2＋m）＝，
当直线PQ与椭圆相切时，由联立消去y可得，（2k2＋1）x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
＝16k2m2－4（2k2＋1）（2m2－2）＝0，化简得2k2＋1＝m2，
所以kOPkOQ＝＝－，
当PQ的斜率不存在时，则或，
此时kOPkOQ＝－，故选项C正确；
对于选项D，，因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝，
则|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝8，所以PF12＋PF22＝5，
由，
所以①，②，
则①＋②，可得，解得，
所以|PM||PN|＝（r－|PO|）（r＋|PO|）＝r2－|PO|2＝3－＝，故选项D正确；
故选：BCD
【点睛】直线和圆锥曲线相切，可利判别式为零列方程，建立参数间的关系式来对问题进行求解.直线和圆锥曲线相交的问题，联立直线的方程和圆锥曲线的方程，写出根与系数关系，这个步骤需要较强的运算能力，需要不断的训练，提高运算能力.
12．ABD
分析：由条件可得，由此可求椭圆的离心率，由此判断A，由条件可得为圆的直径，确定面积的表达式求其最值，由此判断B，由条件确定的表达式求其范围，由此判断C，结合点差法判断D.
【详解】依题意，过椭圆的上顶点作轴的垂线，过椭圆的右顶点作轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆上，
所以，得，所以椭圆的离心率，故A正确；
因为点，，都在圆上，且，所以为圆的直径，所以，所以面积的最大值为，故B正确；
设，的左焦点为，连接，因为，所以，又，所以，
则到的左焦点的距离的最小值为，故C不正确；
由直线经过坐标原点，易得点，关于原点对称，设，，则，，，又，所以，所以，所以，
故D正确
故选：ABD．
【点睛】椭圆的蒙日圆及其几何性质
过椭圆上任意不同两点，作椭圆的切线，若两切线垂直且相交于，则动点的轨迹为圆，此圆即椭圆的蒙日圆．椭圆的蒙日圆有如下性质：
性质1：．
性质2：平分切点弦．
性质3：的最大值为，的最小值为．
13．BCD
分析：选项A需要对曲线C中x分5类讨论，由x判断对应y的范围，从而得到整数点个数；选项B借助参数方程求解椭圆中两点间距离问题；选项C由椭圆定义可得到|PA|、|PB|之和为定值，由基本不等式可以得到、|PB|乘积的最大值，结合余弦定理即可求出cs∠APB的最小值；选项D中分析蒙日圆的关键信息，圆心是原点，找两条特殊的切线，切线交点在圆上，求得圆半径得圆方程．
【详解】对于A：曲线中，，当时，
分5类讨论：，分别代入曲线方程，可得：
整数点为(－1，1)，(－1，0)，(－1，－1)．(－1，－2)，(0，0)，(1，1)，(1，0)、(1，－1)，(1，－2)，
所以：整数点有9个，选项A错误；
对于B：曲线C中，当时，此时与原点距离为2，
当，时，设半椭圆上动点P坐标为(2csθ，3sinθ)，
则，
最大值与最小值之和为5，选项B正确；
对于C：又A(0，－)、B(0，)恰为椭圆的两个焦点．
那么，
当且仅当，即P在x轴上时，等号成立，
在△PAB中，，由余弦定理知：
，选项C正确；
对于D：由题意知：蒙日圆的圆心O坐标为原点(0，0)，在椭圆：中取两条切线：和，它们交点为(2，3)，
该点在蒙日圆上，半径为
此时蒙日圆方程为：，选项D正确．
故选：BCD．
14．
分析：根据过点的直线与椭圆相切，联立方程，利用判别式为0，可得关于的方程，然后根据，得斜率相乘等于，进而得点的轨迹，结合点是椭圆上仅有一点，得到圆心到直线的距离等于半径即可求解，进而可求离心率.
【详解】解法1：设，过点的切线方程为，
联立，得，
∵直线与椭圆相切，，
整理得，
若切线、的斜率均存在，分别设为，，，∴，即，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，即到直线的距离为，
∴，解得，∵，∴．
若切线PA、PB分别与两坐标轴垂直，由于直线经过一,二,三象限,则或,将其代入直线中，解得．
综上所述，．又，∴，∴离心率．
解法2：在解法1中，实际上证明了一遍蒙日圆，如果知道结论，可得P的轨迹方程，且此圆与相切，其中到直线的距离，
∴，解得，∵，∴，又，∴，∴离心率．
故答案为：
15．2
【解析】根据给定结论求解即可.
【详解】由题可知，蒙日圆半径的平方为8，故有，故
故答案为：2
16．
分析：根据题意写出椭圆对应的蒙日圆方程，可得出关于的等式，即可求得正数的值.
【详解】由已知可得椭圆对应的蒙日圆方程为，
所以，，，.
故答案为：.
17．
分析：由蒙日圆定义可知在蒙日圆上，由此可根据半径构造方程求得，由此可求得椭圆离心率.
【详解】过可作椭圆的两条互相垂直的切线和，在蒙日圆上，
，解得：，
椭圆的离心率.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种：
（1）根据已知条件，求解得到的值或取值范围，由求得结果；
（2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率，从而得到结果.
18．
分析：根据蒙日圆半径的平方等于长半轴､短半轴的平方和，求出，进而可得答案.
【详解】因为蒙日圆半径的平方等于椭圆的长半轴､短半轴的平方和，
而的蒙日圆半径的平方为10，
故有，故，
故答案为：.
19．
【解析】根据题意可知圆上任意一点向椭圆所引的两条切线互相垂直，恒为锐角，只需直线 与圆相离，从而可得，解不等式，再利用离心率即可求解.
【详解】根据题意可得，圆上任意一点向椭圆所引的两条切线互相垂直，
因此当直线 与圆相离时， 恒为锐角，
故，解得
从而离心率.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，考查了逻辑分析能力，属于中档题.
20．
分析：设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，根据圆心O到直线的距离，进行求解即可得的范围.
【详解】圆心为，半径，
设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，
故有，
圆心O到直线的距离，
即，
即，解得或.
故答案为.
【点睛】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题.
21．
【详解】解析：设，则l的方程为，
，
，当且仅当时等号成立，
故答案为：.
22．
分析：设出点坐标，根据相切关系分析得到的直线方程，由此表示出的坐标并表示出的面积，再根据在椭圆上结合基本不等式求解出面积的最小值.
【详解】设，点坐标为，点坐标为，
因为，
所以化简可得，所以是方程的两个解，
所以直线的方程为，所以且，
所以的面积，且，
所以，所以，取等号时，即或，
综上可知：面积的最小值为，
故答案为：.
【点睛】结论点睛：和圆的切线有关的结论如下：
（1）过圆上一点作圆的切线，则切线方程为；
（2）过圆外一点作圆的切线，切点为，则直线的方程为.
23．
分析：设点，分两种情况讨论，一是直线的斜率存在且非零时，得出；二是当直线的斜率不存在或斜率等于零时，P也符合上述关系，从而求得结果.
【详解】设点，当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则有直线的方程为，
与椭圆方程联立得：，
整理得：，
因为直线与椭圆相切，所以，
即，
，
因椭圆外一点所引的两条切线互相垂直，则有，
而为方程的两根，
故，整理得：；
当直线的斜率不存在或斜率等于零时，易得点P的坐标为，显然也满足方程，
综合以上讨论得，对任意的两条互相垂直的切线，点P的坐标均满足方程，
故所求的定圆的方程为.
【点睛】该题考查的是有关直线与圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与椭圆的相切时对应的条件，两条直线垂直的条件，注意分类讨论思想的应用，属于较难题目.
24． 或
分析：直接根据题意得到圆心和半径得到圆方程，讨论斜率存在和不存在两种情况，分别计算得到答案.
【详解】根据题意，圆心为，半径为，故圆方程为：.
当斜率不存在时，直线方程为：满足条件；
当斜率存在时，设，，且，解得，，
故直线方程为：，即.
综上所述：直线方程为或.
故答案为：；或.
【点睛】本题考查了圆方程，直线方程，意在考查学生的计算能力和理解能力.
25．（1）；；（2）2．
分析：（1）由抛物线的方程求得，结合和，求得的值，即可求得椭圆和“蒙日圆”的方程；
（2）设直线，联立方程组，利用，求得，得到“蒙日圆”方程，再结合圆的弦长公式和面积公式，即可求解.
【详解】（1）由题意，抛物线的焦点为，可得，
又由，且，可得，，
于是椭圆的标准方程为：；“蒙日圆”方程为．
（2）设直线，，，
由，整理得，
令，可得，解得，
“蒙日圆”方程为，圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，
由弦长公式，可得．
所以的面积为．
26．（1），（2）（3）直线， 的斜率之积为定值
【详解】试题分析：（1）利用椭圆标准方程及其a,b,c的关系即可得出椭圆方程，进而得到“伴随圆”的方程；
（2）利用点到直线的距离公式、、及直线与椭圆相切的性质即可得出；
（3）利用（2）的结论及点Q的坐标满足“伴随圆”的方程即可证明.
试题解析：（1）由题意得：，半焦距，则，所以椭圆C的方程为：，
“伴随圆”方程为.
（2）设过点P且与椭圆有一个交点的直线为：，则
，整理得，所以，化简整理得 ①
又因为直线截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为，则有化简得
②
联立①②解得，，，所以.
（3）当直线都有斜率时，其中，设经过点且与椭圆只有一个公共点的直线为，由，消去y得到，即
，所以，化简整理得，因为，所以有，设当直线的斜率分别为，因为与椭圆都只有一个公共点，所以满足方程，因而，即直线的斜率之积为定值-1.
考点：直线与圆锥曲线的综合问题.
27．（1）；
（2）见解析；
（3）见解析.
分析：（1）由题意可得，，则，从而得到椭圆C的方程；
（2）根据题意，求得，分直线的斜率存在与不存在两种情况，将斜率存在时求得的直线，对斜率不存在时求得的点P的坐标进行检验，最后求得结果.
（3）讨论当P在直线上时，设出直线方程，联立椭圆方程，消去，得到关于的方程，运用判别式为0，化简整理，得到关于的方程，求出连根之积，判断是否为，即可判断垂直.
【详解】（1）依题意得：，所以，
所以椭圆方程为：；
（2）由题意可得伴随圆的方程为，
点为，所以，
当过点P的直线斜率不存在时，则，
可求得，此时，
当过点P的直线斜率存在时，设直线方程为：，
设，，
则经过各自的切线方程为：，
把代入，解得，
消，得到，
当不存在时，也满足方程，
所以点的轨迹是一条直线，且方程为；
（3）当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，
因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为：，此时经过点或，
则直线的方程为：，经检验，满足垂直关系；
当斜率都存在时，设点，
因为点P在伴随圆上，所以有，
设经过点，且与椭圆只有一个公共点的直线方程为：，
联立椭圆方程，
，消化简得，
因为相切，所以，即：，
又因为，
所以，所以，
所以直线，
从而得证.
【点睛】该题考查的是与解析几何相关的创新的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，新定义的问题，圆的方程，直线与圆的位置关系，两直线垂直的条件，属于难题.
28．（Ⅰ）；（Ⅱ）当时S有最大值10；当k=0时，S有最小值8.
【详解】试题分析：（Ⅰ）利用待定系数法即可，由题意，椭圆的一个顶点是，
所以，又，椭圆C的方程是；（Ⅱ）注意斜率的讨论，当时，
椭圆的外切矩形面积为8. 当时， AB所在直线方程为，所以，直线BC和AD的斜率均为.联立直线AB与椭圆方程可得，令得到，直线AB与直线DC之间的距离为，同理可求BC与AD距离为，所以矩形ABCD的面积为，再利用基本不等式即可解决.
试题解析：（Ⅰ）由题意，椭圆的一个顶点是，
所以
又，离心率为，即，
解得，
故椭圆C的方程是
（Ⅱ）当时，
椭圆的外切矩形面积为8.
当时，
椭圆的外切矩形的边AB所在直线方程为，
所以，直线BC和AD的斜率均为.
由，消去y得
，
化简得：
所以，直线AB方程为
直线DC方程为
直线AB与直线DC之间的距离为
同理，可求BC与AD距离为
则矩形ABCD的面积为
由均值定理
仅当，即时S有最大值10.
因此，当时S有最大值10；
当K=0时，S有最小值8.
考点：圆锥曲线及其在最值中的应用
29．（1）椭圆的标准方程为：；“蒙日圆”方程为；（2）.
【解析】（1）求得抛物线的焦点坐标，由此求得，结合椭圆离心率以及，求得，从而求得椭圆的标准方程和它的“蒙日圆”的方程.
（2）设，联立直线的方程和椭圆的方程，结合求得.求得圆心到直线的距离，求得，由此求得.
【详解】（1）抛物线的焦点为，则，
又，且，所以，
于是椭圆的标准方程为：；“蒙日圆”方程为.
（2）设直线：，，
由可得：，令可得：，.
“蒙日圆”方程为，圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，
.
于是，.
【点睛】本小题主要考查椭圆、抛物线，考查椭圆中的三角形面积问题，属于中档题.
30．（1）；（2）.
【详解】试题分析：（1）利用题中条件求出的值，然后根据离心率求出的值，最后根据、、三者的关系求出的值，从而确定椭圆的标准方程；（2）分两种情况进行计算：第一种是在从点所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为、，并由两条切线的垂直关系得到，并设从点所引的直线方程为，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于的一元二次方程，利用得到有关的一元二次方程，最后利用以及韦达定理得到点的轨迹方程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点的坐标，并验证点是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点的轨迹方程.
（1）由题意知，且有，即，解得，
因此椭圆的标准方程为；
（2）①设从点所引的直线的方程为，即，
当从点所引的椭圆的两条切线的斜率都存在时，分别设为、，则，
将直线的方程代入椭圆的方程并化简得，
，
化简得，即，
则、是关于的一元二次方程的两根，则，
化简得；
②当从点所引的两条切线均与坐标轴垂直，则的坐标为，此时点也在圆上.
综上所述，点的轨迹方程为.
考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用.
31．(1)
(2)
(3)直线PB与椭圆C相切，证明见解析
分析：（1）根据椭圆的离心率公式及，即可求得和的值，求得椭圆方程；
（2）根据两点之间的距离公式，根据，，即可求得的取值范围；
（3）根据题意，分析可得，进而分直线轴，直线轴和直线PA与x轴既不平行也不垂直3种情况讨论直线的位置，依次证明直线与椭圆相切，综合三种情况即可得结论．
（1）
解：由题意可知：，，则，，
∴椭圆的标准方程：；
（2）
解：由题意可知：，
设，则，
∴，
由，当时，，当时，，
∴的取值范围；
（3）
解：由题意，点B在圆M上，且线段AB为圆M的直径，∴，
分3种情况讨论：
①当直线轴时，易得直线PA的方程为，
由题意，得直线PB的方程为，
显然直线PB与椭圆C相切；
②同理当直线轴时，直线PB也与椭圆C相切；
③当直线PA与x轴既不平行也不垂直时，
设点，直线PA的斜率为k，则，直线PB的斜率，
∴直线PA：，直线PB：，
由，消去y，
得，
∵直线PA与椭圆C相切，
∴，
整理，得，（1）
同理，由直线PB与椭圆C的方程联立，
得，（2）
∵点P为圆M：上任意一点，
∴，即，
代入（1）式，得，
代入（2）式，
得
，
∴此时直线PB与椭圆C相切，
综上，直线PB与椭圆C相切．
【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，注意利用椭圆的几何性质求出椭圆的标准方程，考查转化思想及分类讨论思想，属于难题．
32．（1）；（2）（i）；（ii）证明见解析．
分析：（1）由两个弦长结合列方程组解得，得椭圆方程；
（2）（ⅰ）设，切线，则，切线方程与椭圆方程联立，消元后由得，从而得斜率；
（ii）当切线的斜率都存在时，设，求得切线方程为，利用切线都过得直线方程为，由垂直得直线方程，从而可得点坐标，再利用在圆上，可得Q点轨迹方程为，判断其为椭圆，焦点也是，得定值．当切线的斜率有一个不存在时，求出点坐标后点也在上述椭圆上，从而证得结论．
【详解】解：（1）由题意得：
，解得
得椭圆的标准方程为：
（2）（ⅰ）设，切线，则
由化简得
由得
设切线的斜率分别为
则
又直线的斜率为2，则直线的斜率为
（ii）当切线的斜率都存在时，设，
切线方程为并由（ⅰ）得
（*）
又A，B点在椭圆上，得代入（*）
得，即
切线的方程为
又过P点，则
所以直线方程为，
由得直线方程为
联立直线方程为，解得，
由得Q点轨迹方程为，且焦点恰为，
故，
当切线的斜率有一个不存在时，如斜率不存在，则，，，直线方程为，方程为，可解得，点也在椭圆上，
若，同理可得．
综上得．
【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系及定值问题．解题方法是求出动点的轨迹方程，确定其轨迹是椭圆且焦点与已知椭圆焦点相同，从而证得结论．关键是直线与椭圆相切的切线方程：椭圆上点，过点的椭圆的切线方程是．（可用点斜式设切线方程，由直线与椭圆相切，求出斜率，代入化简即得）．