高考数学微专题集专题4：恒成立与存在性问题(原卷版+解析)

这是一份高考数学微专题集专题4：恒成立与存在性问题(原卷版+解析)，共32页。

例1．已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是_________
答案：
【解析】恒成立的不等式为，便于参数分离，所以考虑尝试参变分离法
，其中
只需要，令
（导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将变为，所以二阶导函数的单调性可分析，为了便于确定的符号，不妨先验边界值）
，，（判断单调性时一定要先看定义域，有可能会简化判断的过程）
在单调递减，在单调递减

【点睛】求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性，当导函数无法直接判断符号时，可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数，进而通过单调性和关键点（边界点，零点）等确定符号.
例2．已知函数，若存在，且，，使得恒成立，则实数的取值范围是____.
答案：
【解析】
作出图象，如图所示，设，则，，.
令，则，所以，
所以当时，，所以在上单调递增，所以当时，，
所以，所以由函数图象可知，所以.
例3．已知函数f（x）=2sinx－xcsx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
【解析】（1）
令，则
当时，令，解得：
当时，；当时，
在上单调递增；在上单调递减
又，，
即当时，，此时无零点，即无零点
，使得
又在上单调递减
为，即在上的唯一零点
综上所述：在区间存在唯一零点
（2）若时，，即恒成立
令
则，
由（1）可知，在上单调递增；在上单调递减
且，，
，
①当时，，即在上恒成立
在上单调递增
，即，此时恒成立
②当时，，，
，使得
在上单调递增，在上单调递减
又，
在上恒成立，即恒成立
③当时，，
，使得
在上单调递减，在上单调递增
时，，可知不恒成立
④当时，
在上单调递减
可知不恒成立
综上所述：
【针对训练】
1．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
2．已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围为
A．B．
C．D．
3．已知函数f（x）=ex+1-alnax+a（a＞0）．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若关于x的不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．
考法二：不等式（方程）有解（能成立）问题
[规律方法] 根据导数的方法研究不等式能成立问题，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构造函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.
例4．已知函数，若存在实数m使得不等式成立，求实数n的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
答案：A
【解析】由，求导，，
当时，，则，
当时，，则，
，则，
令，则，
函数，即单调递增，
令，解得：，
当时，解得：，单调递增；当时，解得：，单调递减，
当时，取得极小值，极小值为，
的最小值为1，
若存在实数m使得不等式，则，
则，解得：或，
即实数n的取值范围是，
故选：A．
例5．已知函数的导函数为，且对任意的实数都有(是自然对数的底数)，且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】即，
所以，则，所以，
因为，所以，
所以，
，
由得，此时单调递增，
由得或，此时单调递减，
所以时，取得极大值为，
当时，取得极小值，
又因为，，，且时，，
的解集中恰有两个整数等价于在下方的图象只有2个横坐标为整数的点，结合函数图象可得：
则，解得，
所以时，的解集中恰有两个整数，
故实数的取值范围是
故选：C
【点睛】的解集中恰有两个整数，需求出解析式，所以对已知条件变形可得即结合可求出，的解集中恰有两个整数等价于在下方的图象只有2个横坐标为整数的点，对求导数形结合即可求出实数的取值范围.
例6．已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）设，若关于的不等式在上有解，求的取值范围.
【解析】(1)由题意知，，
令，当时，恒成立，
∴当时，，即；当时，，即；
∴函数在上单调递增，在上单调递减.
(2)因为，
由题意知，存在，使得成立.
即存在，使得成立；
令，
，
①当时，对任意，都有，
∴函数在上单调递减，
成立，解得，；
②当时，令，解得；令，解得，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
又，，解得无解；
③当时，对任意的，都有，
∴函数在上单调递增，
，不符合题意，舍去；
综上所述，的取值范围为.
【针对训练】
4．已知为奇函数，当时，，当，，若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函数，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数
（1）若函数图像上各点切线斜率的最大值为2，求函数的极值点；
（2）若不等式有解，求a的取值范围．
【强化训练】
7．已知，若对任意两个不等的正实数都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若对，且，有恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
9．设函数，若不等式有解，则实数的最小值为
A．B．C．D．
10．已知函数，若不等式在上有解，则实数的最小值为
A．B．
C．D．
11．已知函数，若存在，使得，则实数b的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
13．已知函数，当时，的极小值为，当时，有极大值．
（1）求函数；
（2）存在，使得成立，求实数的取值范围．
14．已知函数，，，其中
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的极值；
（3）若，使不等式成立，求的取值范围
专题4：恒成立与存在性问题
专题4：恒成立与存在性问题
专题阐述：无论是不等式的证明、解不等式,还是不等式的恒成立问题、有解问题、无解问题,构造函数,运用函数的思想,利用导数研究函数的性质(单调性和最值),达到解题的目的,是一成不变的思路,合理构思,善于从不同角度分析问题是解题的法宝.
考法一： 不等式恒成立问题
[规律方法] 不等式恒成立问题常见处理方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在 上方即可)；③ 最值法：讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.
例1．已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是_________
答案：
【解析】恒成立的不等式为，便于参数分离，所以考虑尝试参变分离法
，其中
只需要，令
（导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将变为，所以二阶导函数的单调性可分析，为了便于确定的符号，不妨先验边界值）
，，（判断单调性时一定要先看定义域，有可能会简化判断的过程）
在单调递减，在单调递减

【点睛】求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性，当导函数无法直接判断符号时，可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数，进而通过单调性和关键点（边界点，零点）等确定符号.
例2．已知函数，若存在，且，，使得恒成立，则实数的取值范围是____.
答案：
【解析】
作出图象，如图所示，设，则，，.
令，则，所以，
所以当时，，所以在上单调递增，所以当时，，
所以，所以由函数图象可知，所以.
例3．已知函数f（x）=2sinx－xcsx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
【解析】（1）
令，则
当时，令，解得：
当时，；当时，
在上单调递增；在上单调递减
又，，
即当时，，此时无零点，即无零点
，使得
又在上单调递减
为，即在上的唯一零点
综上所述：在区间存在唯一零点
（2）若时，，即恒成立
令
则，
由（1）可知，在上单调递增；在上单调递减
且，，
，
①当时，，即在上恒成立
在上单调递增
，即，此时恒成立
②当时，，，
，使得
在上单调递增，在上单调递减
又，
在上恒成立，即恒成立
③当时，，
，使得
在上单调递减，在上单调递增
时，，可知不恒成立
④当时，
在上单调递减
可知不恒成立
综上所述：
【针对训练】
1．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
2．已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围为
A．B．
C．D．
3．已知函数f（x）=ex+1-alnax+a（a＞0）．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若关于x的不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．
考法二：不等式（方程）有解（能成立）问题
[规律方法] 根据导数的方法研究不等式能成立问题，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构造函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.
例4．已知函数，若存在实数m使得不等式成立，求实数n的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
答案：A
【解析】由，求导，，
当时，，则，
当时，，则，
，则，
令，则，
函数，即单调递增，
令，解得：，
当时，解得：，单调递增；当时，解得：，单调递减，
当时，取得极小值，极小值为，
的最小值为1，
若存在实数m使得不等式，则，
则，解得：或，
即实数n的取值范围是，
故选：A．
例5．已知函数的导函数为，且对任意的实数都有(是自然对数的底数)，且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】即，
所以，则，所以，
因为，所以，
所以，
，
由得，此时单调递增，
由得或，此时单调递减，
所以时，取得极大值为，
当时，取得极小值，
又因为，，，且时，，
的解集中恰有两个整数等价于在下方的图象只有2个横坐标为整数的点，结合函数图象可得：
则，解得，
所以时，的解集中恰有两个整数，
故实数的取值范围是
故选：C
【点睛】的解集中恰有两个整数，需求出解析式，所以对已知条件变形可得即结合可求出，的解集中恰有两个整数等价于在下方的图象只有2个横坐标为整数的点，对求导数形结合即可求出实数的取值范围.
例6．已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）设，若关于的不等式在上有解，求的取值范围.
【解析】(1)由题意知，，
令，当时，恒成立，
∴当时，，即；当时，，即；
∴函数在上单调递增，在上单调递减.
(2)因为，
由题意知，存在，使得成立.
即存在，使得成立；
令，
，
①当时，对任意，都有，
∴函数在上单调递减，
成立，解得，；
②当时，令，解得；令，解得，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
又，，解得无解；
③当时，对任意的，都有，
∴函数在上单调递增，
，不符合题意，舍去；
综上所述，的取值范围为.
【针对训练】
4．已知为奇函数，当时，，当，，若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函数，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数
（1）若函数图像上各点切线斜率的最大值为2，求函数的极值点；
（2）若不等式有解，求a的取值范围．
【强化训练】
7．已知，若对任意两个不等的正实数都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若对，且，有恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
9．设函数，若不等式有解，则实数的最小值为
A．B．C．D．
10．已知函数，若不等式在上有解，则实数的最小值为
A．B．
C．D．
11．已知函数，若存在，使得，则实数b的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
13．已知函数，当时，的极小值为，当时，有极大值．
（1）求函数；
（2）存在，使得成立，求实数的取值范围．
14．已知函数，，，其中
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的极值；
（3）若，使不等式成立，求的取值范围
参考答案：
1．C
【详解】最大值,因为当时
令
因此,由因为为偶函数,所以最大值为,,选C.
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
2．C
【详解】显然，当时，不等式不恒成立，设过原点的直线与函数相切于点，因为，所以该切线方程为，因为该切线过原点，所以，解得，即该切线的斜率，由图象，得.故选C.
3．(1) （e2-1）x-y-2=0．(2) （0，e2）
分析：（1）直接利用函数的导数求出直线的斜率，进一步求出直线的方程．
（2）利用构造函数的方法，利用函数的单调性和函数的恒成问题的应用，进一步求出参数的取值范围．
【详解】（1）当a=1时，函数f（x）=ex+1-alnax+a，
转换为：f（x）=ex+1-lnx+1，
故：．
故切线的斜率k=f′（1）=e2-1，
故切线的方程为：y-f（1）=f′（1）（x-1），
整理得：y-（e2-1）=（e2-1）（x-1），
即（e2-1）x-y-2=0．
（2）f（x）=ex+1-alnax+a，
所以：=，
显然：g（x）=xex+1-a在（0，+∞）上单调递增．
由于g（0）=-a＜0，
所以：g（a）=aea+1-a＞0，
则：存在x0∈（0，a），使得g（x0）=0，
即：，lna=lnx0+x0+1，
又0＜x＜x0，f′（x）＜0，
所以函数f（x）单调递减．
x＞x0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
f（x）在x=x0处取得最小值．
故：，
=
由f（x）＞0恒成立，
得到：f（x0）＞0，
即：，
所以：，
设h（x）=，
则：＜0，
所以：函数h（x）在（0，+∞）上单调递减．
由于h（1）=0，
则h（x）＞0，
解得：0＜x＜1，
所以：0＜x0＜1，
，在x0∈（0，1）单调递增，
所以：0＜a＜e2．
因此a=，
故：a的取值范围为（0，e2）．
【点睛】本题主要考查了导数的应用，曲线的切线的意义，利用构造函数的方法利用导数求出函参数的取值范围，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题型．
4．D
分析：利用为奇函数及已知区间解析式求出在上分段函数的表示形式，由有解，即使即可，结合函数图象分析即可得的取值范围；
【详解】若，即，则；
∵是奇函数，
∴，则，；
同理，若，即，则，有，；
综上，有
作出函数的图象如图：
1、当时，是的图象向左平移个单位，即如下图
此时有解，满足条件.
2、当时，是的图象向右平移个单位，即如下图

当的图象与在相切时，，此时对应直线斜率，由，得，此时，即切点坐标为；
设切线方程为，此时，得；
∴当时，满足题设条件，解之得：；
综上，有或，即的取值范围是；
故选：D.
【点睛】本题考查了利用函数奇偶性求函数解析式，并利用函数不等式能成立，结合函数图象分析边界情况，利用导数求边界值，进而得到参数范围；
5．B
分析：由已知，得到方程，可得在区间上有解，构造函数，利用导数求出函数在区间上的值域，即可求得实数的取值范围.
【详解】由题意可知方程在区间上有解，
再转化为方程在内有解，构造函数， ，得，
当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增.
函数在处有最小值，
又，，且，
∴，
所以，，
故选：B.
【点晴】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程在上有解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
6．（1）极小值点为，无极大值点；（2）且.
【解析】（1）求导后可知，当时取最大值，求得的值，再利用导数研究函数的单调性，进而得到极值点；
（2）利用导数研究函数的单调性，得到，将有解转化为，设函数，结合函数的单调性得到，则等价于且，由此求得的取值范围．
【详解】解：（1）由于图像上各点切线斜率的最大值为2，
即取得最大值为2，
由题可知的定义域为，
则，
即是关于的二次函数，
∵，∴当时，取得最大值为，
∴，
而，∴，
∴此时，
在上单调递减，
在上,单调递增，
∴的极小值点为，无极大值点.
（2）∵，其中且，
在上，，则单调递减，
在上，，则单调递增，
∴，
∵关于的不等式有解，
∴，
∵，∴，
设，则，
在上，，则单调递增，
在上，，则单调递减，
∴，即在内恒成立，
∴要求，即，
则只需即可，即，等价于，
解得：且，
∴的取值范围是：且.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值问题，以及构造新函数和根据不等式有解情况求参数的取值范围，考查转化思想和计算能力，是中档题．
7．A
分析：把题意转化为恒成立.利用分离参数法求出实数a的取值范围.
【详解】对任意两个不等的正实数，都有恒成立，即为时，恒成立.
所以在上恒成立，则
而，则．
故选：A．
8．C
【详解】因为，所以，所以.因为，且，所以恒成立恒成立恒成立，即恒成立，所以恒成立，又因为时，，所以.故选C.
点晴：本题考查构造新函数，函数的单调性以及函数单调性转化为的恒成立问题，利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，本题不等式给出的是分式，应先等价为整式，转化为函数的单调性问题进一步转化为另一个不等式恒成立问题，分离变量重新构造函数解决问题，注意单调性的转化中等号的取舍与验证.
9．D
分析：先换元，令，将函数化为，再由不等式分类参数得：，
令，只需求的最小值即可.
【详解】令，则由可得
，由可得，
即，所以，
因为不等式有解，所以只需成立即可，
令，只需求出的最小值；
因为,
令，则，故当，即时，有最小值，
故当时，，时，；
故有最小值，
所以，即的最小值为.
故选D
【点睛】本题主要考查利用导数研究不等式成立的问题，通常情况下需要分离参数，用导数的方法求函数的最值来解决，难度较大.
10．C
分析：原不等式等价于恒成立，构造函数，求导研究函数的单调性进而得到函数的最值.
【详解】由，可得，令，则，故当时，，当时，，故在上是减函数，在上是增函数，故，所以实数的最小值为．
故选C．
【点睛】（1）若对于恒成立，则应求的最小值；若对于恒成立，则应求的最大值．特别需要关注等号是否成立，以免细节出错．
（2）在恒成立问题中有时需要取交集，有时需要取并集，一般而言，在同一“问题”中，若是对自变量作分类讨论，其结果要取交集；若是对参数作分类讨论，其结果要取并集．
（3）若存在，使得成立，则应求的最大值；若存在，使得成立，则应求的最小值．特别需要关注等号是否成立，以免细节出错．
11．C
分析：先求出，则存在，使得即转化为，即，此题求即可求出实数b的取值范围.
【详解】∵，，
∴，∴，
∵存在，使得，
∴，∴，设，∴，∴，当时，解得：，当时，即时，函数单调递增，当时，即时，函数单调递减，
∴当x＝2时，函数取最大值，最大值为，∴.
故选：C．
12．B
分析：将题意转换为，再求导分析函数的最小值，根据二次函数的性质求得最大值即可
【详解】∃x1,x2∈R，使得成立，等价于，
，
当时，，递减，当时，，递增，
所以当x＝－1时，取得最小值；
当x＝－1时取得最大值为，
所以，即实数a的取值范围是
故选：B．
13．（1）；（2）．
分析：（1）求导后，根据和，解得即可得解；
（2）转化为，再利用导数求出函数在上的最大值，然后解不等式可得结果.
【详解】（1）∵，
由，得且，解得，，
又，∴，
∴；
（2）存在，使得，等价于，
∵，
当时，，当时，，
∴在上递减，在上递增，
又，，
∴在上的最大值为，
∴，解得，
所以的取值范围是．
【点睛】本题考查了由函数的极值求函数的解析式，考查了利用导数研究不等式能成立问题，属于基础题.
14．（1）；（2）答案见解析；（3）.
分析：（1）当时，，可得，根据导数求得.由此利用导数的几何意义能求出曲线在点处的切线方程.
（2）令，分别讨论和两种情况，结合导数性质即可求出函数在区间上的极值.
（3）令，要保证：，使不等式成立，只需，根据导数判断单调性，由此能求出的取值范围.
【详解】（1）当时，
，
又
故点为
根据直线方程点斜式：
曲线在点处的切线方程为
（2）令
①当，即
列表讨论与的变化情况：
∴当时，取得极大值，
当时，取得极小值
②当时，即时，
列表讨论与的变化情况：
当时，取得极大值，无极小值.
（3）令
则
要保证：，使不等式成立
只需
在区间上单调递增
，
即
即
解得(舍)或
的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了根据导数求函数的切线方程和函数的极值，及其根据不等式在指定区间上存在解求参数范围问题，解题关键是掌握构造函数求参数范围的方法，考查了分析能力和计算能力，属于难题.
极大值
极小值
极大值