高考数学微专题集专题10：凹凸反转问(原卷版+解析)

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例题
1．设函数，．
（1）判断函数零点的个数，并说明理由；
（2）记，讨论的单调性；
（3）若在恒成立，求实数a的取值范围．
答案：（1）1；（2）时，在递减，时，在递减，在递增；（3）．
【解析】
（1）由题意得：，∴，故在递增；又，，
故函数在内存在零点，∴的零点个数是1；
（2），，
当时，，在递减，
当时，由，解得：（舍取负值），
∴时，，递减，时，，递增，
综上，时，在递减，时，在递减，在递增；
（3）由题意得：，问题等价于在恒成立，
设，若记，则，
时，，在递增，，即，
若，由于，故，故，
即当在恒成立时，必有，当时，设，
①若，即时，由（2）得，递减，，递增，
故，而，即存在，使得，
故时，不恒成立；
②若，即时，设，，
由于，且，即，故，
因此，
故在递增，故，即时，在恒成立，
综上，时，在恒成立．
2．设函数，证明．
【解析】
证明：∵，从而等价于．
设函数，则，
所以当时，；当时，．
故在上单调递减，在上单调递增，
从而在上的最小值为．设函数，则．
所以当时，；当时，．
故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为；
因为，所以当时，，即．
3．设函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，证明：在上恒成立．
答案：（1）极大值为，无极小值；（2）见解析．
【解析】
（1）当时，，，
∴当时，；当时，．
∴在上单调递增，在上单调递减；
∴在处取得极大值，无极小值；
（2）当时，，
下面证，即证，设，则，
在上，，是减函数；在上，，是增函数．
所以，设，则，
在上，，是增函数；在上，，是减函数，
所以，所以，即，
所以，即，即在上恒成立．
针对训练
1．设函数，，其中，e是自然对数的底数.
（1）设，当时，求的最小值；
（2）证明：当时，总存在两条直线和曲线与都相切；
（3）当时，证明：.
2．设函数f（x）=lnx+0.5ax2+x+1．
（I）a=﹣2时，求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）当a=0时，证明xex≥f（x）在（0，+∞）上恒成立．
3．已知函数.
(1)当时，求的单调区间与极值；
(2)当时，证明：.
专题10：凹凸反转问
专题10：凹凸反转问题
专题阐述： 很多时候，我们需要证明函数，但不代表就要证明，因为大多数情况下，的零点是解不出来的.当然，导函数的零点如果解不出来，可以用设隐零点的方法，但是隐零点也不是万能的方法，如果隐零点不行可尝试用凹凸反转.
[规律方法]
，如果能够证明，则显然成立，很明显，是凹函数，是凸函数，因为这两个函数的凹凸性刚好相反，所以称为凹凸反转.凹凸反转与隐零点都是用来处理导函数零点不可求的问题的，两种方法互为补充.
例题
1．设函数，．
（1）判断函数零点的个数，并说明理由；
（2）记，讨论的单调性；
（3）若在恒成立，求实数a的取值范围．
答案：（1）1；（2）时，在递减，时，在递减，在递增；（3）．
【解析】
（1）由题意得：，∴，故在递增；又，，
故函数在内存在零点，∴的零点个数是1；
（2），，
当时，，在递减，
当时，由，解得：（舍取负值），
∴时，，递减，时，，递增，
综上，时，在递减，时，在递减，在递增；
（3）由题意得：，问题等价于在恒成立，
设，若记，则，
时，，在递增，，即，
若，由于，故，故，
即当在恒成立时，必有，当时，设，
①若，即时，由（2）得，递减，，递增，
故，而，即存在，使得，
故时，不恒成立；
②若，即时，设，，
由于，且，即，故，
因此，
故在递增，故，即时，在恒成立，
综上，时，在恒成立．
2．设函数，证明．
【解析】
证明：∵，从而等价于．
设函数，则，
所以当时，；当时，．
故在上单调递减，在上单调递增，
从而在上的最小值为．设函数，则．
所以当时，；当时，．
故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为；
因为，所以当时，，即．
3．设函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，证明：在上恒成立．
答案：（1）极大值为，无极小值；（2）见解析．
【解析】
（1）当时，，，
∴当时，；当时，．
∴在上单调递增，在上单调递减；
∴在处取得极大值，无极小值；
（2）当时，，
下面证，即证，设，则，
在上，，是减函数；在上，，是增函数．
所以，设，则，
在上，，是增函数；在上，，是减函数，
所以，所以，即，
所以，即，即在上恒成立．
针对训练
1．设函数，，其中，e是自然对数的底数.
（1）设，当时，求的最小值；
（2）证明：当时，总存在两条直线和曲线与都相切；
（3）当时，证明：.
2．设函数f（x）=lnx+0.5ax2+x+1．
（I）a=﹣2时，求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）当a=0时，证明xex≥f（x）在（0，+∞）上恒成立．
3．已知函数.
(1)当时，求的单调区间与极值；
(2)当时，证明：.
参考答案：
1．（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】（1）将代入解析式，求出的导数，判断出其单调性，即可求出最小值；
（2）分别求出曲线在点处的切线方程，曲线在点处的切线，即可得到，再消元转化为，然后证明函数有两个零点即可；
（3）因为，即证当时，
的最小值大于0，求导，分类讨论函数在，上都大于零即可．
【详解】（1）由题可得，，则，
当时，单调递减；当时，单调递增，∴当时，取得极小值，也是最小值，且最小值为.
（2）证明：由题可得，，∴，
∴曲线在点处的切线方程为.
∵，∴，
∴曲线在点处的切线方程为.
令，则.
令，则，
由（1）得当时，单调递减，且，
又时，，
∴当时，单调递减；当时，单调递增.
易得，
又，
，∴函数在和内各有一个零点，
∴当时，总存在两条直线和曲线与都相切.
（3）证明：.
令，以下证明当时，的最小值大于0.
求导得.
①当时，；
②当时，，
令，，，取且使，即，
则，
∵，∴存在唯一零点，
即有唯一的极值点且为极小值点，又，
且，
即，
∴，
∵，
∴是上的减函数.
∴，∴.
综上，当时，.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数最值的求法，导数的几何意义的应用，以及利用导数研究函数的性质．第一问较简单；第二问通过导数的意义分别求出两曲线的切线，由两条共同的切线可知，对应的切线方程相同且有两组解，进而转化成求证函数存在两个零点；第三问，函数不等式恒成立问题，转化为求函数的最值，由于含参数，可以分别讨论构造的函数在，上都大于零即可，本题综合性强，难度较大．
2．(1) x=1是f（x）的极大值点，无极小值点(2)详见解析
【详解】试题分析：（1）求导数判断函数的单调性，通过单调性求极值点；（2）当a=0时构造函数F（x）=xex﹣f（x）=xex﹣lnx﹣x﹣1，（x＞0），只要证明F（x）≥=0即可．
试题解析：
（Ⅰ）由题意得函数的定义域为（0，+∞），
∵ f（x）=lnx+ax2+x+1，
∴f′（x）=﹣2x+1=，
令f′（x）＞0，解得0＜x＜1；令f′（x）＜0，解得x＞1，
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴x=1是函数f（x）的极大值点，无极小值点；
（Ⅱ）证明：当a=0时，f（x）=lnx+x+1
令F（x）=xex﹣f（x）=xex﹣lnx﹣x﹣1，（x＞0），
则F′（x）= •（xex﹣1），
令G（x）=xex﹣1，
则G′（x）=（x+1）ex＞0，（x＞0），
∴函数G（x）在（0，+∞）递增，
又G（0）=﹣1＜0，G（1）=e﹣1＞0，
∴存在唯一c∈（0，1）使得G（c）=0，
且F（x）在（0，c）上单调递减，在（c，+∞）上单调递增，
故F（x）≥F（c）=c•ec﹣lnc﹣c﹣1，
由G（c）=0，得c•ec﹣1=0，得lnc+c=0，
∴F（c）=0，
∴F（x）≥F（c）=0，
从而证得xex≥f（x）．
点睛：在本题（Ⅱ）的解答中，为了求F（x）的 最小值，通过求导得到F′（x）= •（xex﹣1），不容易判断F（x）的单调性，故构造G（x）=xex﹣1，采用二次求导的方法，在求G（x）零点的过程中遇到了零点不可求的问题，此类问题的解法是利用G（x）的单调性和零点存在定理，判断零点所在的范围，然后理通过整体代换的方法求函数F（x）的最值，这是解决函数综合问题中常用的一种方法．
3．(1)在上单调递减，在上单调递增；极小值1，无极大值
(2)证明见解析
分析：（1）利用导数得出其单调性，进而得出其极值；
（2）利用导数证明先证不等式与，进而得出，从而得出.
(1)
时，，，
注意到与都是增函数，于是在上递增，
又，故时，；故时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值1，无极大值
(2)
先证不等式与，
设，则，
可得在上单调递减，在上单调递增，
，即；
设，则，
可得在上单调递增，在上单调递减，
，即.
于是，当时，，
注意到以上三个不等号的取等条件分别为：、、，它们无法同时取等，所以，当时，，即.
【点睛】关键点睛：证明时，关键是用到两个不等式与，利用放缩法证明.