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高考数学微专题集专题11圆锥曲线第三定义与点差法微点2(原卷版+解析)
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这是一份高考数学微专题集专题11圆锥曲线第三定义与点差法微点2(原卷版+解析)，共52页。
微点2 圆锥曲线中点弦问题与点差法
【微点综述】
以圆锥曲线中点弦为背景的高考题、模拟题层出不穷，常用方法是点差法．点差法在圆锥曲线中应用广泛，可以用于求弦长、中点弦直线方程、轨迹问题、定点（定值）问题、面积问题、最值及取值范围问题、存在性问题等，常与向量、圆等知识结合．
三个微点我们讨论了圆锥曲线第三定义及其推广、应用．下面我们来看第三次推广——中点弦问题与点差法．
一、圆锥曲线第三定义第三次推广
【中点弦·思维引导1】已知AB是圆的一条弦，点P是AB中点，当AB和OP斜率存在时．思考：是否为定值？
【解析】点P是AB中点，∴（垂径定理），∴．
【中点弦·思维引导2】已知AB是椭圆的一条弦，点P是AB中点，当AB和OP斜率存在时．思考：是否为定值？
【解析】设，，则．
点A和点B在椭圆上，则有
作差得：
∴，即．（此方法名为“点差法”，即设点十作差）
【中点弦·思维引导3】已知在椭圆上，点P是AB的中点，当AB和OP斜率存在时．求证：为定值．
【解析】设，，则．
点A和点B在椭圆上，则有
作差得，
∴，即．
【中点弦·思维引导4】已知在双曲线上，点P是AB的中点，当AB和OP斜率存在时．求证：为定值．
【解析】设，，则．
点A和点B在双曲线上，则有
作差得，
∴，即．
【中点弦·思维引导5】已知在双曲线上，点P是AB的中点，当AB和OP斜率存在时．求证：为定值．
【解析】设，，则，
点A和点B在双曲线上，则有
作差得，
∴，即．
【中点弦·思维引导6】已知在抛物线上，点P是AB的中点，当AB斜率存在时，求证：为定值．
【解析】设，，则．
点A和点B在抛物线上，则有
作差得，∴，即．
【中点弦·思维引导7】已知在抛物线上，点P是AB的中点，当AB不与y轴垂直时，求证：为定值．
【解析】设，，则．
点A和点B在抛物线上，则有
作差得，∴，即．
同理可证焦点在轴负半轴和轴负半轴的情形．
总结上面的思考我们可得如下结论：
【结论1】为椭圆的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则，即．
证明：设，则①，②，
由点差法，两式相减得，由线段中点坐标公式，得
．
【评注】此方法称之为点差法，设点作差，设而不求．
同理可证如下结论：
【结论2】为椭圆的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则，即．
【结论3】为双曲线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则，即．
【结论4】为双曲线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则，即．
【结论5】已知直线与抛物线相交于两点，点为线段的中点，为原点，则．
【结论6】已知直线与抛物线相交于两点，点为线段的中点，为原点，则．
【结论7】已知直线与抛物线相交于两点，点为线段的中点，为原点，则．
【结论8】已知直线与抛物线相交于两点，点为线段的中点，为原点，则．
总结可得如下表格——
二、圆锥曲线第三定义及其推广总结表
三、应用举例
（一）求离心率（或取值范围）
1．直线y＝x＋1与椭圆mx2＋ny2＝1(m>n>0)相交于A，B两点，若弦AB的中点的横坐标等于，则椭圆的离心率等于_________.
2．过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为_____．
（二）求斜率、弦长
例3．(2023贵州贵阳市·高三期末）
3．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若的中点的纵坐标为2，则等于（ ）
A．4B．6C．8D．10
4．过椭圆上一点作圆的切线，且切线的斜率小于，切点为，交椭圆另一点，若是线段的中点，则直线的斜率（ ）
A．为定值B．为定值C．为定值D．随变化而变化
(2023年高考全国卷）
5．斜率为k的直线l交椭圆于A、B两点，线段AB的中点为，F是椭圆右焦点．
(1)证明：．
(2)点P是椭圆上一点且，证明：，，成等差，并求出公差．
（三）求轨迹方程
6．已知椭圆E：，的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为，则E的方程为__________.
7．直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是___________.
（2023年高考天津卷）
8．已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．
（四）对称性问题
(2023陕西咸阳市·高三一模）
9．已知双曲线上存在两点，关于直线对称，且线段的中点坐标为，则双曲线的离心率为（ ）．
A．B．C．2D．
10．已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称.
（五）定点（定值）问题
11．如图，P为椭圆上的一动点，过点P作椭圆的两条切线PA，PB，斜率分别为，.若为定值，则（ ）
A．B．C．D．
12．在平面直角坐标系中，为坐标原点，、是双曲线上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为2，已知平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为________
（六）综合应用
13．已知椭圆，过右焦点的直线交椭圆于、，且是线段的中点，是椭圆左焦点，求的面积．
14．如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于，两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率为．
(1)若直线平分线段，求的值；
(2)求面积的最大值，并指出对应的点的坐标；
(3)对任意的，过点作的垂线交椭圆于，求证：，，三点共线．
【针对训练】
(2023西藏昌都一中高三期末）
15．已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，求椭圆的离心率（ ）
A．B．C．D．
(2023河南驻马店高三期末）
16．已知双曲线的离心率为，直线与交于，两点，若线段的中点为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
(2023湖北武汉高考模拟）
17．过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|＝（ ）
A．2B．2
C．3D．4
(2023河南高三月考）
18．已知双曲线，斜率为的直线交双曲线于、，为坐标原点，为的中点，若的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
(2023上海杨浦区·复旦附中高二期末）
19．已知三角形的三个顶点都在椭圆：上，设它的三条边，，的中点分别为，，，且三条边所在线的斜率分别为，，，且，，均不为0.为坐标原点，若直线，，的斜率之和为1.则（ ）
A．B．C．D．
20．过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为_____．
(2023福建龙岩市·高二期末）
21．过点的直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程为___________.
22．在在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是椭圆上的两个动点，动点P满足，直线与直线斜率之积为-2，已知平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为_______________.
23．已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程.
24．若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围.
25．抛物线，过点（2，0）的直线AC和BD相互垂直（斜率均存在），M、N分别是AC和BD的中点．求证：直线MN过定点．
26．双曲线，过点P（5，0）的直线AB和CD相互垂直（斜率存在），M、N分别是线段AB和线段CD的中点．求证：直线MN过定点．
27．已知椭圆的右顶点坐标为，左、右焦点分别为、，且，直线交椭圆于不同的两点和．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线的斜率为，且以为直径的圆经过点，求直线的方程；
(3)若直线与椭圆相切，求证：点、到直线的距离之积为定值．
(2023福建·厦门大学附属科技中学高三阶段练习）
28．已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点作直线交曲线于两点，试问在轴上是否存在点，使为定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，试说明理由.圆周角定理的推广 （第三定义）
圆的垂径定理推广
椭
圆
为椭圆的长轴（或短轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在椭圆中，是关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若存在，则．
为椭圆的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．
为椭圆的长轴（或短轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在椭圆中，是关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若存在，则．
为椭圆的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．
双曲线
为双曲线的实轴（或虚轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在双曲线中，是关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若存在，则．
为双曲线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．
为双曲线的实轴（或虚轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在双曲线中，是关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若存在，则．
为双曲线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．
抛物线
无
为抛物线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．
为抛物线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．
为抛物线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．
为抛物线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．
专题11 圆锥曲线第三定义与点差法 微点2 圆锥曲线中点弦问题与点差法
专题11 圆锥曲线第三定义与点差法
微点2 圆锥曲线中点弦问题与点差法
【微点综述】
以圆锥曲线中点弦为背景的高考题、模拟题层出不穷，常用方法是点差法．点差法在圆锥曲线中应用广泛，可以用于求弦长、中点弦直线方程、轨迹问题、定点（定值）问题、面积问题、最值及取值范围问题、存在性问题等，常与向量、圆等知识结合．
三个微点我们讨论了圆锥曲线第三定义及其推广、应用．下面我们来看第三次推广——中点弦问题与点差法．
一、圆锥曲线第三定义第三次推广
【中点弦·思维引导1】已知AB是圆的一条弦，点P是AB中点，当AB和OP斜率存在时．思考：是否为定值？
【解析】点P是AB中点，∴（垂径定理），∴．
【中点弦·思维引导2】已知AB是椭圆的一条弦，点P是AB中点，当AB和OP斜率存在时．思考：是否为定值？
【解析】设，，则．
点A和点B在椭圆上，则有
作差得：
∴，即．（此方法名为“点差法”，即设点十作差）
【中点弦·思维引导3】已知在椭圆上，点P是AB的中点，当AB和OP斜率存在时．求证：为定值．
【解析】设，，则．
点A和点B在椭圆上，则有
作差得，
∴，即．
【中点弦·思维引导4】已知在双曲线上，点P是AB的中点，当AB和OP斜率存在时．求证：为定值．
【解析】设，，则．
点A和点B在双曲线上，则有
作差得，
∴，即．
【中点弦·思维引导5】已知在双曲线上，点P是AB的中点，当AB和OP斜率存在时．求证：为定值．
【解析】设，，则，
点A和点B在双曲线上，则有
作差得，
∴，即．
【中点弦·思维引导6】已知在抛物线上，点P是AB的中点，当AB斜率存在时，求证：为定值．
【解析】设，，则．
点A和点B在抛物线上，则有
作差得，∴，即．
【中点弦·思维引导7】已知在抛物线上，点P是AB的中点，当AB不与y轴垂直时，求证：为定值．
【解析】设，，则．
点A和点B在抛物线上，则有
作差得，∴，即．
同理可证焦点在轴负半轴和轴负半轴的情形．
总结上面的思考我们可得如下结论：
【结论1】为椭圆的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则，即．
证明：设，则①，②，
由点差法，两式相减得，由线段中点坐标公式，得
．
【评注】此方法称之为点差法，设点作差，设而不求．
同理可证如下结论：
【结论2】为椭圆的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则，即．
【结论3】为双曲线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则，即．
【结论4】为双曲线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则，即．
【结论5】已知直线与抛物线相交于两点，点为线段的中点，为原点，则．
【结论6】已知直线与抛物线相交于两点，点为线段的中点，为原点，则．
【结论7】已知直线与抛物线相交于两点，点为线段的中点，为原点，则．
【结论8】已知直线与抛物线相交于两点，点为线段的中点，为原点，则．
总结可得如下表格——
二、圆锥曲线第三定义及其推广总结表
三、应用举例
（一）求离心率（或取值范围）
1．直线y＝x＋1与椭圆mx2＋ny2＝1(m>n>0)相交于A，B两点，若弦AB的中点的横坐标等于，则椭圆的离心率等于_________.
2．过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为_____．
（二）求斜率、弦长
例3．(2023贵州贵阳市·高三期末）
3．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若的中点的纵坐标为2，则等于（ ）
A．4B．6C．8D．10
4．过椭圆上一点作圆的切线，且切线的斜率小于，切点为，交椭圆另一点，若是线段的中点，则直线的斜率（ ）
A．为定值B．为定值C．为定值D．随变化而变化
(2023年高考全国卷）
5．斜率为k的直线l交椭圆于A、B两点，线段AB的中点为，F是椭圆右焦点．
(1)证明：．
(2)点P是椭圆上一点且，证明：，，成等差，并求出公差．
（三）求轨迹方程
6．已知椭圆E：，的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为，则E的方程为__________.
7．直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是___________.
（2023年高考天津卷）
8．已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．
（四）对称性问题
(2023陕西咸阳市·高三一模）
9．已知双曲线上存在两点，关于直线对称，且线段的中点坐标为，则双曲线的离心率为（ ）．
A．B．C．2D．
10．已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称.
（五）定点（定值）问题
11．如图，P为椭圆上的一动点，过点P作椭圆的两条切线PA，PB，斜率分别为，.若为定值，则（ ）
A．B．C．D．
12．在平面直角坐标系中，为坐标原点，、是双曲线上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为2，已知平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为________
（六）综合应用
13．已知椭圆，过右焦点的直线交椭圆于、，且是线段的中点，是椭圆左焦点，求的面积．
14．如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于，两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率为．
(1)若直线平分线段，求的值；
(2)求面积的最大值，并指出对应的点的坐标；
(3)对任意的，过点作的垂线交椭圆于，求证：，，三点共线．
【针对训练】
(2023西藏昌都一中高三期末）
15．已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，求椭圆的离心率（ ）
A．B．C．D．
(2023河南驻马店高三期末）
16．已知双曲线的离心率为，直线与交于，两点，若线段的中点为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
(2023湖北武汉高考模拟）
17．过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|＝（ ）
A．2B．2
C．3D．4
(2023河南高三月考）
18．已知双曲线，斜率为的直线交双曲线于、，为坐标原点，为的中点，若的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
(2023上海杨浦区·复旦附中高二期末）
19．已知三角形的三个顶点都在椭圆：上，设它的三条边，，的中点分别为，，，且三条边所在线的斜率分别为，，，且，，均不为0.为坐标原点，若直线，，的斜率之和为1.则（ ）
A．B．C．D．
20．过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为_____．
(2023福建龙岩市·高二期末）
21．过点的直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程为___________.
22．在在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是椭圆上的两个动点，动点P满足，直线与直线斜率之积为-2，已知平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为_______________.
23．已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程.
24．若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围.
25．抛物线，过点（2，0）的直线AC和BD相互垂直（斜率均存在），M、N分别是AC和BD的中点．求证：直线MN过定点．
26．双曲线，过点P（5，0）的直线AB和CD相互垂直（斜率存在），M、N分别是线段AB和线段CD的中点．求证：直线MN过定点．
27．已知椭圆的右顶点坐标为，左、右焦点分别为、，且，直线交椭圆于不同的两点和．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线的斜率为，且以为直径的圆经过点，求直线的方程；
(3)若直线与椭圆相切，求证：点、到直线的距离之积为定值．
(2023福建·厦门大学附属科技中学高三阶段练习）
28．已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点作直线交曲线于两点，试问在轴上是否存在点，使为定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，试说明理由.
圆周角定理的推广 （第三定义）
圆的垂径定理推广
椭
圆
为椭圆的长轴（或短轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在椭圆中，是关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若存在，则．
为椭圆的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．
为椭圆的长轴（或短轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在椭圆中，是关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若存在，则．
为椭圆的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．
双曲线
为双曲线的实轴（或虚轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在双曲线中，是关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若存在，则．
为双曲线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．
为双曲线的实轴（或虚轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在双曲线中，是关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若存在，则．
为双曲线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．
抛物线
无
为抛物线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．
为抛物线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．
为抛物线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．
为抛物线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．
参考答案：
1．
分析：】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由m x12＋n y12＝1和m x22＋n y22＝1，两式相减可得，从而可得离心率.
【详解】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，x0＝－，代入y＝x＋1得y0＝.
所以m x12＋n y12＝1，（1）
m x22＋n y22＝1，（2）
由（1）-（2）得：，
，
∴，
∴e2，∴e＝.
故答案为：.
【点睛】（1）本题主要考查点差法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 如果已知中涉及圆锥曲线的弦的中点，一般利用点差法，可以减少运算，提高解题效率.使用点差法，一般先“设点代点”，再作差，最后化简，最后可以得到中点的坐标和直线的斜率的关系.
2．
【详解】试题分析：设A ，B ，则①，②，
∵M是线段AB的中点，∴，∵直线AB的方程是，
∴，∵过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即．
考点：椭圆的简单性质
3．C
【解析】先根据抛物线的定义将焦点弦长问题转化为中点到准线距离的两倍，进而用中点横坐标表示，设直线AB的方程为：(m为常数),与抛物线方程联立消去,得到关于y的一元二次方程，利用中点公式和韦达定理求得m的值，进而得到中点的横坐标，从而求得线段AB的长度.
【详解】抛物线的焦点坐标F(1,0),准线方程,
设AB的中点为M,过A,B,M作准线l的垂线，垂足分别为C,D,N,则MN为梯形ABDC的中位线，,
∵直线AB过抛物线的焦点F,∴可设直线AB的方程为：(m为常数),
代入抛物线的方程消去x并整理得：,
设A,B的纵坐标分别为,线段AB中点,
则,,
∴直线AB的方程为,,
，
故选：C.
【点睛】本题考查抛物线的焦点弦长问题，涉及抛物线的定义，方程，线段中点坐标公式，直线与抛物线的交点问题，属中档题，关键是灵活使用抛物线的定义，将焦点弦长问题转化为中点坐标问题，注意直线方程的设法：过点(a,0)，斜率不为零的直线方程可以设为x=my+a的形式，不仅避免了讨论，而且方程组消元化简时更为简洁.
4．C
分析：因为是线段的中点,故可设,再用点差法根据直线与垂直斜率相乘等于求出切点的坐标,再求出直线的斜率即可.
【详解】设,,则,化简可得 .因为是线段的中点,故.
代入化简可得的斜率.
又直线与垂直,故,解得,代入圆可得.故直线的斜率为为定值.
故选：C
【点睛】本题主要考查了点差法在研究中点弦中的应用,需要根据题意利用点差法以及直线与圆相切,斜率之间的关系列式求解.属于中档题.
5．(1)证明见解析
(2)证明见解析，公差为或．
分析：（1）设点，点的坐标，利用点差法和中点坐标公式求解即可；
（2）利用已知可得点坐标，用坐标表示向量，确定的值，而可根据抛物线定义（或两点间距离公式）求得，从而可得成等差数列，设该数列的公差为，将直线方程代入椭圆方程，消元后利用韦达定理即可求解.
(1)
解：）设，，则，．
两式相减，并由，得．
由题设知，，于是．
由题设得，，
故．
(2)
解：由题意得F（1，0），设，则．
由（1）得，．
又点P在C上，∴，从而，．
于是．
同理，∴．
所以，即，，成等差数列．
设该数列的公差为d，则．②，
由得k=-1．
∴l的方程为，代入C的方程，并整理得．
故，，代入②解得，∴该数列的公差为或．
6．
分析：设，，采用“点差法”，得，再根据直线过点，和AB的中点坐标，得，结合椭圆中a，b，c的关系，可求得，，即可得E的方程.
【详解】已知，设，，则①，②，
已知AB的中点坐标为，，
①－②得，
∴，
∵，∴，即，
又，
∴，，即E的方程为.
【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了弦的中点有关问题；在中点弦或弦的中点问题中，常采用“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式求解.
7．
分析：设、中点，分析可得直线过定点，即，点差法可得，代入可得，与抛物线联立可得的范围
【详解】设，中点，
则.
，
过定点，
.
又，（1），（2）
得：，
. 于是，即.
又弦中点轨迹在已知抛物线内，
联立
故弦的中点轨迹方程是
8．（Ⅰ）；（Ⅱ），或．
分析：（Ⅰ）根据题意，并借助，即可求出椭圆的方程；
（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到，设出直线的方程，并与椭圆方程联立，求出点坐标，进而求出点坐标，再根据，求出直线的斜率，从而得解.
【详解】（Ⅰ）椭圆的一个顶点为，
，
由，得，
又由，得，
所以，椭圆的方程为；
（Ⅱ）直线与以为圆心的圆相切于点，所以，
根据题意可知，直线和直线的斜率均存在，
设直线的斜率为，则直线的方程为，即，
，消去，可得，解得或.
将代入，得，
所以，点的坐标为，
因为为线段的中点，点的坐标为，
所以点的坐标为，
由，得点的坐标为，
所以，直线的斜率为，
又因为，所以，
整理得，解得或.
所以，直线的方程为或.
【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.
9．B
【解析】设，，根据线段的中点坐标为，且，关于直线对称，，在双曲线上，整理可得，进而可得到离心率.
【详解】设，，
且线段的中点坐标为，
则，
又，关于直线对称，
所以，
且，在双曲线上，
，，
相减可得，即，
故，即，
离心率为，
故选：B.
【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
10．取值范围为
【解析】根据对称性可知线段被直线垂直平分，从而可得直线的斜率，直线与椭圆有两个交点，且的中点在直线，可设直线的方程为，联立方程组，整理可得可求中点，由可求的范围，由中点在直线可得， 的关系，从而可求的范围．
【详解】设椭圆上关于直线对称的点，，
则根据对称性可知线段被直线垂直平分，故直线的斜率，
直线与椭圆有两个交点，且的中点在直线，
故可设直线 的方程为，联立方程组，
整理可得
，，
，解得：，
，，代入，解得：，
，
的取值范围是．
【点睛】方法点睛：本题重点考查了椭圆的基本性质、直线与椭圆的位置关系等知识，解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题，涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．属于中档题．
11．C
分析：设出直线方程,根据直线与椭圆相切,联立化简后由判别式即可得关于的方程.利用韦达定理表示出.将点P带代入椭圆,联立两个式子化简即可求得的值.
【详解】设
则过的直线方程为
将直线方程与椭圆联立可得
化简可得
因为相切,所以判别式
展开得
同时除以可得
合并可得
同除以,得
展开化简成关于的方程可得
因为有两条直线,所以有两个不等的实数根.
因为为定值,可设
由韦达定理,
化简得
又因为在椭圆上,代入可得
化简可得
则,化简可得
解得
故选:C
【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系,根据直线与椭圆的位置关系研究定值问题,计算量较大,变形化简过程较为复杂,需要耐心计算,属于中档题.
12．
【详解】设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），
则由，得（x，y）=2（x1，y1）-（x2，y2），
即x=2x1-x2，y=2y1-y2，
∵点M，N在双曲线上，所以，，
故2x2-y2=（8x12+2x22-8x1x2）-（4y12+y22-4y1y2）=20-4（2x1x2-y1y2），
设k0M，kON分别为直线OM，ON的斜率，根据题意可知k0MkON=2，
∴y1y2-2 x1x2=0，
∴2x2-y2=20，
所以P在双曲线2x2-y2=20上；
设该双曲线的左，右焦点为F1，F2，
由双曲线的定义可推断出为定值，该定值为
点睛：本题主要考查了双曲线定义及简单的几何性质．充分考查了用代数的方法来处理平面几何问题的手段．
13．
分析：首先求出，即可得到直线的方程，设，，利用点差法得到，再根据及求出椭圆方程，再联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，求出，最后根据计算可得.
【详解】解：因为直线过点、，
所以，所以直线，
设，，则，，
所以、，
所以，即，
所以，即，又，
所以，
又，，所以，所以椭圆方程为，
联立直线AB与椭圆方程为，消去整理得，
所以，，
所以，
故．
14．(1)；
(2)最大值，；
(3)证明见解析.
分析：（1）根据椭圆的顶点坐标公式，结合线段垂直平分线的性质、中点坐标公式、斜率公式进行求解即可；
（2）设出与平行的直线方程与椭圆方程联立，利用一元二次方程根的判别式、三角形面积公式进行求解即可；
（3）利用点差法，结合直线斜率公式进行求解即可.
（1）
由题设知，，，故，，线段中点坐标为．
由于直线平分线段，故直线过线段的中点，又直线过原点，；
（2）
，，，
设与平行的直线方程为，联立，得．
由，解得：．
由题意可知，当时，直线与直线的距离最大，最大值．
即面积有最大值，等于．
由，解得，，点坐标为；
（3）
设，，，，中点，，
则，，
两式作差可得：，，即．
，，即，．
，，，即．
，，故，，三点共线．
【点睛】关键点睛：利用点差法是解题的关键.
15．D
【解析】中点弦问题，处理方法为点差法.得出，用替代，求出关系式，从而求得离心率.
【详解】设
则两式相减可得
故
①
是椭圆的一条弦的中点
故，代入①式中可得
故有
则，则
故选：D
【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
16．B
【解析】利用点差法求得，再利用双曲线的离心率求，求直线的斜率，最后表示直线方程.
【详解】设，，则，，两式相减可得．因为线段以点为中点，所以，，所以，因为的离心率为，所以，故直线的斜率为，所以直线的方程为，即,
经检验成立.
故选：B
【点睛】方法点睛：本题考查直线与双曲线相交的中点弦问题，点差法是直线与圆锥曲线相交，研究中点弦问题比较好的方法，一般设两点，代入圆锥曲线方程，两个式子再做差，表示中点和斜率的关系.
17．D
【解析】解法一，设直线方程与曲线方程联立，利用根与系数的关系表示中点坐标，求直线的斜率，并代入弦长公式求；解法二，利用点差法，求直线的斜率，再代入弦长公式.
【详解】解法一：由题意可知，直线AB的斜率存在．设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－4)＋2.由消去y并整理，得(1－2k2)x2＋8k(2k－1)x－32k2＋32k－10＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝－＝8，解得k＝1.
所以x1x2＝＝10.
所以|AB|＝·＝4.
故选:D.
解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ， ①
. ②
①－②得(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.
所以4(x1－x2)－4(y1－y2)＝0，即x1－x2＝y1－y2，所以直线AB的斜率k＝＝1.则直线AB的方程为y＝x－2.
由消去y并整理，得x2－8x＋10＝0，
所以x1＋x2＝8，x1x2＝10.所以|AB|＝·＝4.
故选：D
【点睛】思路点睛：1.一般涉及中点弦问题时，采用直线与曲线方程联立，利用根与系数的关系表示中点坐标，或用点差法求解；2.直线与圆锥曲线相交问题时，有时需要考查斜率不存在和存在两种情况，斜率存在的情况经常和曲线方程联立，利用根与系数的关系解决几何问题.
18．A
分析：设点、，利用点差法求得，进而可得出双曲线的离心率为，即可得解.
【详解】设点、，则，
由题意，得，，两式相减，得，整理得，
所以，
因此，双曲线的离心率为，
故选：A.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
19．A
【解析】设，，，，，，利用，在椭圆上，代入椭圆方程，两式相减得：，同理可得：，，再利用已知条件即可得出结果.
【详解】设，，，，，，
因为，在椭圆上，
所以，
，
两式相减得：
，
即，
同理可得，，
所以
因为直线､､的斜率之和为1，
所以，
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题主要考查椭圆的简单性质的应用.利用平方差法转化求解斜率是解决本题的关键.
20．
【详解】试题分析：设A ，B ，则①，②，
∵M是线段AB的中点，∴，∵直线AB的方程是，
∴，∵过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即．
考点：椭圆的简单性质
21．
【解析】设，，，，分别代入双曲线方程，两式相减，化简可得：，结合中点坐标公式求得直线的斜率，再利用点斜式即可求直线方程．
【详解】过点的直线与该双曲线交于，两点，
设，，，，
，
两式相减可得：，
因为为的中点，
，，
，
则，
所以直线的方程为，即为．
故答案为：．
【点睛】方法点睛：对于有关弦中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.
22．
分析：先设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），利用坐标表示求动点P轨迹方程，最后根据椭圆定义求结果.
【详解】设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），
则由，得（x，y）=2（x1，y1）-（x2，y2），
即x=2x1-x2，y=2y1-y2，
∵点M，N在椭圆上，所以，，
故2x2+y2=（8x12+2x22-8x1x2）+（4y12+y22-4y1y2）=20-4（2x1x2+y1y2），
设k0M，kON分别为直线OM，ON的斜率，根据题意可知k0MkON=-2，
∴y1y2+2 x1x2=0，
∴2x2+y2=20，
所以P在椭圆2x2+y2=20上；
设该椭圆的左，右焦点为F1，F2，
由椭圆的定义可推断出为定值，该定值为
故答案为：
【点睛】本题主要考查了椭圆定义及简单的几何性质．充分考查了用代数的方法来处理平面几何问题的手段．
23．
分析：设椭圆的方程为，弦端点、，弦的中点，由题意可得和的值，根据直线斜率和点差法得到，进而求出a、b的值.
【详解】解：设椭圆的方程为，则┅┅①
设弦端点、，弦的中点，则
，，，
又，，直线的斜率为，
两式相减得
即
，┅┅②
联立①②解得，所求椭圆的方程是
24．
【解析】根据题意，当时，显然满足题意；当时，可设抛物线上关于直线对称的两点分别为，的中点为，利用点差法得到中点的纵坐标，代入直线得到的横坐标，再结合在抛物线内，即得解.
【详解】解：当时，直线，存在点关于它对称，显然满足题意；
当时，设抛物线上关于直线对称的两点分别为
，且的中点为，则，
而，，
所以，则①-②得：，
，
，
中点在直线上，
，于是，
中点在抛物线区域内，
，即，解得：，
综上可知，所求实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线和抛物线的位置关系中的弦中点问题，以及点差法的应用，解题的关键在于利用点差法求直线的斜率，考查学生转化和分类讨论思想，以及数学运算的能力.
25．证明见解析
分析：设直线AC、BD方程，分别和抛物线联立化为y的一元二次方程，
用韦达定理写出两根之和并计算中点坐标，即M、N的坐标.
然后求出M、N的斜率，点斜式写出直线MN的方程，化简得定点坐标.
【详解】由题意可得，这两条直线的斜率均存在，且不为0，
设，
由
所以 ，所以 ，
所以
由
所以 ，
所以
故直线MN方程为，
故直线MN过定点（4，0）．
26．证明见解析
分析：设直线为，利用点差法，求得，联立方程组，求得点，求得直线的方程，结合直线方程的形式，即可求解.
【详解】设直线为， ，
可得且，
由，，两式相减得到，即，
又由，解得，即，
当时，将上式M点坐标中的换成，同理可得．
①当直线不垂直于x轴时，直线的斜率，
其方程，化简得，
此时直线过定点．
②当直线垂直于x轴时，，此时，直线MN也过定点．
综上所述，直线MN过定点．
27．(1)；
(2)或；
(3)证明见解析.
分析：（1）根据焦距及椭圆的顶点求出即可得出；
（2）设直线的方程为 ，联立方程，由根与系数的关系及求解即可；
（3）分直线斜率存在与不存在讨论，当斜率不存在时直接计算可得，当斜率存在时，设直线的方程为 ，根据相切求出关系，再由点到直线的距离直接计算即可得解.
(1)
∵ ∴，
∵，由 得，∴
所以椭圆的方程：；
(2)
∵直线的斜率为，故可设直线的方程为 ，
设，，，
由 可得，
则，，
∵以为直径的圆过右顶点，∴，∴
∴
，整理可得，
∴或，
∵，
当或时，均有
所以直线的方程为或．
(3)
椭圆左、右焦点分别为、
①当直线平行于轴时，∵直线与椭圆相切，∴直线的方程为，
此时点、到直线的到距离分别为，∴．
②直线不平行于轴时，设直线的方程为 ，
联立，整理得，
，
∵直线与椭圆相切，∴，∴
∵到直线的距离为，到直线的距离为，
∴，
∴点、到直线的距离之积为定值由．
28．(1)
(2)存在点，使得为定值.
分析：（1）表示出与的斜率，由斜率之积为，即可求得E的方程；
（2）分直线的斜率为零和不为零两种情况分别计算.
(1)
设，易得，直线的斜率为，直线的斜率为，
则，
整理得，则曲线E方程为；
(2)
当直线的斜率为不为0时，设直线的方程为，设定点
联立方程组，消可得，
设，，
可得，，
所以
.
要使上式为定值，则，解得，
此时
当直线的斜率为0时，，，此时，也符合.
所以，存在点，使得为定值.
微点2 圆锥曲线中点弦问题与点差法
【微点综述】
以圆锥曲线中点弦为背景的高考题、模拟题层出不穷，常用方法是点差法．点差法在圆锥曲线中应用广泛，可以用于求弦长、中点弦直线方程、轨迹问题、定点（定值）问题、面积问题、最值及取值范围问题、存在性问题等，常与向量、圆等知识结合．
三个微点我们讨论了圆锥曲线第三定义及其推广、应用．下面我们来看第三次推广——中点弦问题与点差法．
一、圆锥曲线第三定义第三次推广
【中点弦·思维引导1】已知AB是圆的一条弦，点P是AB中点，当AB和OP斜率存在时．思考：是否为定值？
【解析】点P是AB中点，∴（垂径定理），∴．
【中点弦·思维引导2】已知AB是椭圆的一条弦，点P是AB中点，当AB和OP斜率存在时．思考：是否为定值？
【解析】设，，则．
点A和点B在椭圆上，则有
作差得：
∴，即．（此方法名为“点差法”，即设点十作差）
【中点弦·思维引导3】已知在椭圆上，点P是AB的中点，当AB和OP斜率存在时．求证：为定值．
【解析】设，，则．
点A和点B在椭圆上，则有
作差得，
∴，即．
【中点弦·思维引导4】已知在双曲线上，点P是AB的中点，当AB和OP斜率存在时．求证：为定值．
【解析】设，，则．
点A和点B在双曲线上，则有
作差得，
∴，即．
【中点弦·思维引导5】已知在双曲线上，点P是AB的中点，当AB和OP斜率存在时．求证：为定值．
【解析】设，，则，
点A和点B在双曲线上，则有
作差得，
∴，即．
【中点弦·思维引导6】已知在抛物线上，点P是AB的中点，当AB斜率存在时，求证：为定值．
【解析】设，，则．
点A和点B在抛物线上，则有
作差得，∴，即．
【中点弦·思维引导7】已知在抛物线上，点P是AB的中点，当AB不与y轴垂直时，求证：为定值．
【解析】设，，则．
点A和点B在抛物线上，则有
作差得，∴，即．
同理可证焦点在轴负半轴和轴负半轴的情形．
总结上面的思考我们可得如下结论：
【结论1】为椭圆的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则，即．
证明：设，则①，②，
由点差法，两式相减得，由线段中点坐标公式，得
．
【评注】此方法称之为点差法，设点作差，设而不求．
同理可证如下结论：
【结论2】为椭圆的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则，即．
【结论3】为双曲线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则，即．
【结论4】为双曲线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则，即．
【结论5】已知直线与抛物线相交于两点，点为线段的中点，为原点，则．
【结论6】已知直线与抛物线相交于两点，点为线段的中点，为原点，则．
【结论7】已知直线与抛物线相交于两点，点为线段的中点，为原点，则．
【结论8】已知直线与抛物线相交于两点，点为线段的中点，为原点，则．
总结可得如下表格——
二、圆锥曲线第三定义及其推广总结表
三、应用举例
（一）求离心率（或取值范围）
1．直线y＝x＋1与椭圆mx2＋ny2＝1(m>n>0)相交于A，B两点，若弦AB的中点的横坐标等于，则椭圆的离心率等于_________.
2．过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为_____．
（二）求斜率、弦长
例3．(2023贵州贵阳市·高三期末）
3．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若的中点的纵坐标为2，则等于（ ）
A．4B．6C．8D．10
4．过椭圆上一点作圆的切线，且切线的斜率小于，切点为，交椭圆另一点，若是线段的中点，则直线的斜率（ ）
A．为定值B．为定值C．为定值D．随变化而变化
(2023年高考全国卷）
5．斜率为k的直线l交椭圆于A、B两点，线段AB的中点为，F是椭圆右焦点．
(1)证明：．
(2)点P是椭圆上一点且，证明：，，成等差，并求出公差．
（三）求轨迹方程
6．已知椭圆E：，的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为，则E的方程为__________.
7．直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是___________.
（2023年高考天津卷）
8．已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．
（四）对称性问题
(2023陕西咸阳市·高三一模）
9．已知双曲线上存在两点，关于直线对称，且线段的中点坐标为，则双曲线的离心率为（ ）．
A．B．C．2D．
10．已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称.
（五）定点（定值）问题
11．如图，P为椭圆上的一动点，过点P作椭圆的两条切线PA，PB，斜率分别为，.若为定值，则（ ）
A．B．C．D．
12．在平面直角坐标系中，为坐标原点，、是双曲线上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为2，已知平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为________
（六）综合应用
13．已知椭圆，过右焦点的直线交椭圆于、，且是线段的中点，是椭圆左焦点，求的面积．
14．如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于，两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率为．
(1)若直线平分线段，求的值；
(2)求面积的最大值，并指出对应的点的坐标；
(3)对任意的，过点作的垂线交椭圆于，求证：，，三点共线．
【针对训练】
(2023西藏昌都一中高三期末）
15．已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，求椭圆的离心率（ ）
A．B．C．D．
(2023河南驻马店高三期末）
16．已知双曲线的离心率为，直线与交于，两点，若线段的中点为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
(2023湖北武汉高考模拟）
17．过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|＝（ ）
A．2B．2
C．3D．4
(2023河南高三月考）
18．已知双曲线，斜率为的直线交双曲线于、，为坐标原点，为的中点，若的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
(2023上海杨浦区·复旦附中高二期末）
19．已知三角形的三个顶点都在椭圆：上，设它的三条边，，的中点分别为，，，且三条边所在线的斜率分别为，，，且，，均不为0.为坐标原点，若直线，，的斜率之和为1.则（ ）
A．B．C．D．
20．过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为_____．
(2023福建龙岩市·高二期末）
21．过点的直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程为___________.
22．在在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是椭圆上的两个动点，动点P满足，直线与直线斜率之积为-2，已知平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为_______________.
23．已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程.
24．若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围.
25．抛物线，过点（2，0）的直线AC和BD相互垂直（斜率均存在），M、N分别是AC和BD的中点．求证：直线MN过定点．
26．双曲线，过点P（5，0）的直线AB和CD相互垂直（斜率存在），M、N分别是线段AB和线段CD的中点．求证：直线MN过定点．
27．已知椭圆的右顶点坐标为，左、右焦点分别为、，且，直线交椭圆于不同的两点和．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线的斜率为，且以为直径的圆经过点，求直线的方程；
(3)若直线与椭圆相切，求证：点、到直线的距离之积为定值．
(2023福建·厦门大学附属科技中学高三阶段练习）
28．已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点作直线交曲线于两点，试问在轴上是否存在点，使为定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，试说明理由.圆周角定理的推广 （第三定义）
圆的垂径定理推广
椭
圆
为椭圆的长轴（或短轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在椭圆中，是关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若存在，则．
为椭圆的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．
为椭圆的长轴（或短轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在椭圆中，是关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若存在，则．
为椭圆的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．
双曲线
为双曲线的实轴（或虚轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在双曲线中，是关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若存在，则．
为双曲线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．
为双曲线的实轴（或虚轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在双曲线中，是关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若存在，则．
为双曲线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．
抛物线
无
为抛物线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．
为抛物线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．
为抛物线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．
为抛物线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．
专题11 圆锥曲线第三定义与点差法 微点2 圆锥曲线中点弦问题与点差法
专题11 圆锥曲线第三定义与点差法
微点2 圆锥曲线中点弦问题与点差法
【微点综述】
以圆锥曲线中点弦为背景的高考题、模拟题层出不穷，常用方法是点差法．点差法在圆锥曲线中应用广泛，可以用于求弦长、中点弦直线方程、轨迹问题、定点（定值）问题、面积问题、最值及取值范围问题、存在性问题等，常与向量、圆等知识结合．
三个微点我们讨论了圆锥曲线第三定义及其推广、应用．下面我们来看第三次推广——中点弦问题与点差法．
一、圆锥曲线第三定义第三次推广
【中点弦·思维引导1】已知AB是圆的一条弦，点P是AB中点，当AB和OP斜率存在时．思考：是否为定值？
【解析】点P是AB中点，∴（垂径定理），∴．
【中点弦·思维引导2】已知AB是椭圆的一条弦，点P是AB中点，当AB和OP斜率存在时．思考：是否为定值？
【解析】设，，则．
点A和点B在椭圆上，则有
作差得：
∴，即．（此方法名为“点差法”，即设点十作差）
【中点弦·思维引导3】已知在椭圆上，点P是AB的中点，当AB和OP斜率存在时．求证：为定值．
【解析】设，，则．
点A和点B在椭圆上，则有
作差得，
∴，即．
【中点弦·思维引导4】已知在双曲线上，点P是AB的中点，当AB和OP斜率存在时．求证：为定值．
【解析】设，，则．
点A和点B在双曲线上，则有
作差得，
∴，即．
【中点弦·思维引导5】已知在双曲线上，点P是AB的中点，当AB和OP斜率存在时．求证：为定值．
【解析】设，，则，
点A和点B在双曲线上，则有
作差得，
∴，即．
【中点弦·思维引导6】已知在抛物线上，点P是AB的中点，当AB斜率存在时，求证：为定值．
【解析】设，，则．
点A和点B在抛物线上，则有
作差得，∴，即．
【中点弦·思维引导7】已知在抛物线上，点P是AB的中点，当AB不与y轴垂直时，求证：为定值．
【解析】设，，则．
点A和点B在抛物线上，则有
作差得，∴，即．
同理可证焦点在轴负半轴和轴负半轴的情形．
总结上面的思考我们可得如下结论：
【结论1】为椭圆的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则，即．
证明：设，则①，②，
由点差法，两式相减得，由线段中点坐标公式，得
．
【评注】此方法称之为点差法，设点作差，设而不求．
同理可证如下结论：
【结论2】为椭圆的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则，即．
【结论3】为双曲线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则，即．
【结论4】为双曲线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则，即．
【结论5】已知直线与抛物线相交于两点，点为线段的中点，为原点，则．
【结论6】已知直线与抛物线相交于两点，点为线段的中点，为原点，则．
【结论7】已知直线与抛物线相交于两点，点为线段的中点，为原点，则．
【结论8】已知直线与抛物线相交于两点，点为线段的中点，为原点，则．
总结可得如下表格——
二、圆锥曲线第三定义及其推广总结表
三、应用举例
（一）求离心率（或取值范围）
1．直线y＝x＋1与椭圆mx2＋ny2＝1(m>n>0)相交于A，B两点，若弦AB的中点的横坐标等于，则椭圆的离心率等于_________.
2．过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为_____．
（二）求斜率、弦长
例3．(2023贵州贵阳市·高三期末）
3．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若的中点的纵坐标为2，则等于（ ）
A．4B．6C．8D．10
4．过椭圆上一点作圆的切线，且切线的斜率小于，切点为，交椭圆另一点，若是线段的中点，则直线的斜率（ ）
A．为定值B．为定值C．为定值D．随变化而变化
(2023年高考全国卷）
5．斜率为k的直线l交椭圆于A、B两点，线段AB的中点为，F是椭圆右焦点．
(1)证明：．
(2)点P是椭圆上一点且，证明：，，成等差，并求出公差．
（三）求轨迹方程
6．已知椭圆E：，的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为，则E的方程为__________.
7．直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是___________.
（2023年高考天津卷）
8．已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．
（四）对称性问题
(2023陕西咸阳市·高三一模）
9．已知双曲线上存在两点，关于直线对称，且线段的中点坐标为，则双曲线的离心率为（ ）．
A．B．C．2D．
10．已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称.
（五）定点（定值）问题
11．如图，P为椭圆上的一动点，过点P作椭圆的两条切线PA，PB，斜率分别为，.若为定值，则（ ）
A．B．C．D．
12．在平面直角坐标系中，为坐标原点，、是双曲线上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为2，已知平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为________
（六）综合应用
13．已知椭圆，过右焦点的直线交椭圆于、，且是线段的中点，是椭圆左焦点，求的面积．
14．如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于，两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率为．
(1)若直线平分线段，求的值；
(2)求面积的最大值，并指出对应的点的坐标；
(3)对任意的，过点作的垂线交椭圆于，求证：，，三点共线．
【针对训练】
(2023西藏昌都一中高三期末）
15．已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，求椭圆的离心率（ ）
A．B．C．D．
(2023河南驻马店高三期末）
16．已知双曲线的离心率为，直线与交于，两点，若线段的中点为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
(2023湖北武汉高考模拟）
17．过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|＝（ ）
A．2B．2
C．3D．4
(2023河南高三月考）
18．已知双曲线，斜率为的直线交双曲线于、，为坐标原点，为的中点，若的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
(2023上海杨浦区·复旦附中高二期末）
19．已知三角形的三个顶点都在椭圆：上，设它的三条边，，的中点分别为，，，且三条边所在线的斜率分别为，，，且，，均不为0.为坐标原点，若直线，，的斜率之和为1.则（ ）
A．B．C．D．
20．过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为_____．
(2023福建龙岩市·高二期末）
21．过点的直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程为___________.
22．在在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是椭圆上的两个动点，动点P满足，直线与直线斜率之积为-2，已知平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为_______________.
23．已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程.
24．若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围.
25．抛物线，过点（2，0）的直线AC和BD相互垂直（斜率均存在），M、N分别是AC和BD的中点．求证：直线MN过定点．
26．双曲线，过点P（5，0）的直线AB和CD相互垂直（斜率存在），M、N分别是线段AB和线段CD的中点．求证：直线MN过定点．
27．已知椭圆的右顶点坐标为，左、右焦点分别为、，且，直线交椭圆于不同的两点和．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线的斜率为，且以为直径的圆经过点，求直线的方程；
(3)若直线与椭圆相切，求证：点、到直线的距离之积为定值．
(2023福建·厦门大学附属科技中学高三阶段练习）
28．已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点作直线交曲线于两点，试问在轴上是否存在点，使为定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，试说明理由.
圆周角定理的推广 （第三定义）
圆的垂径定理推广
椭
圆
为椭圆的长轴（或短轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在椭圆中，是关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若存在，则．
为椭圆的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．
为椭圆的长轴（或短轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在椭圆中，是关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若存在，则．
为椭圆的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．
双曲线
为双曲线的实轴（或虚轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在双曲线中，是关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若存在，则．
为双曲线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．
为双曲线的实轴（或虚轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在双曲线中，是关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若存在，则．
为双曲线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．
抛物线
无
为抛物线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．
为抛物线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．
为抛物线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．
为抛物线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．
参考答案：
1．
分析：】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由m x12＋n y12＝1和m x22＋n y22＝1，两式相减可得，从而可得离心率.
【详解】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，x0＝－，代入y＝x＋1得y0＝.
所以m x12＋n y12＝1，（1）
m x22＋n y22＝1，（2）
由（1）-（2）得：，
，
∴，
∴e2，∴e＝.
故答案为：.
【点睛】（1）本题主要考查点差法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 如果已知中涉及圆锥曲线的弦的中点，一般利用点差法，可以减少运算，提高解题效率.使用点差法，一般先“设点代点”，再作差，最后化简，最后可以得到中点的坐标和直线的斜率的关系.
2．
【详解】试题分析：设A ，B ，则①，②，
∵M是线段AB的中点，∴，∵直线AB的方程是，
∴，∵过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即．
考点：椭圆的简单性质
3．C
【解析】先根据抛物线的定义将焦点弦长问题转化为中点到准线距离的两倍，进而用中点横坐标表示，设直线AB的方程为：(m为常数),与抛物线方程联立消去,得到关于y的一元二次方程，利用中点公式和韦达定理求得m的值，进而得到中点的横坐标，从而求得线段AB的长度.
【详解】抛物线的焦点坐标F(1,0),准线方程,
设AB的中点为M,过A,B,M作准线l的垂线，垂足分别为C,D,N,则MN为梯形ABDC的中位线，,
∵直线AB过抛物线的焦点F,∴可设直线AB的方程为：(m为常数),
代入抛物线的方程消去x并整理得：,
设A,B的纵坐标分别为,线段AB中点,
则,,
∴直线AB的方程为,,
，
故选：C.
【点睛】本题考查抛物线的焦点弦长问题，涉及抛物线的定义，方程，线段中点坐标公式，直线与抛物线的交点问题，属中档题，关键是灵活使用抛物线的定义，将焦点弦长问题转化为中点坐标问题，注意直线方程的设法：过点(a,0)，斜率不为零的直线方程可以设为x=my+a的形式，不仅避免了讨论，而且方程组消元化简时更为简洁.
4．C
分析：因为是线段的中点,故可设,再用点差法根据直线与垂直斜率相乘等于求出切点的坐标,再求出直线的斜率即可.
【详解】设,,则,化简可得 .因为是线段的中点,故.
代入化简可得的斜率.
又直线与垂直,故,解得,代入圆可得.故直线的斜率为为定值.
故选：C
【点睛】本题主要考查了点差法在研究中点弦中的应用,需要根据题意利用点差法以及直线与圆相切,斜率之间的关系列式求解.属于中档题.
5．(1)证明见解析
(2)证明见解析，公差为或．
分析：（1）设点，点的坐标，利用点差法和中点坐标公式求解即可；
（2）利用已知可得点坐标，用坐标表示向量，确定的值，而可根据抛物线定义（或两点间距离公式）求得，从而可得成等差数列，设该数列的公差为，将直线方程代入椭圆方程，消元后利用韦达定理即可求解.
(1)
解：）设，，则，．
两式相减，并由，得．
由题设知，，于是．
由题设得，，
故．
(2)
解：由题意得F（1，0），设，则．
由（1）得，．
又点P在C上，∴，从而，．
于是．
同理，∴．
所以，即，，成等差数列．
设该数列的公差为d，则．②，
由得k=-1．
∴l的方程为，代入C的方程，并整理得．
故，，代入②解得，∴该数列的公差为或．
6．
分析：设，，采用“点差法”，得，再根据直线过点，和AB的中点坐标，得，结合椭圆中a，b，c的关系，可求得，，即可得E的方程.
【详解】已知，设，，则①，②，
已知AB的中点坐标为，，
①－②得，
∴，
∵，∴，即，
又，
∴，，即E的方程为.
【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了弦的中点有关问题；在中点弦或弦的中点问题中，常采用“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式求解.
7．
分析：设、中点，分析可得直线过定点，即，点差法可得，代入可得，与抛物线联立可得的范围
【详解】设，中点，
则.
，
过定点，
.
又，（1），（2）
得：，
. 于是，即.
又弦中点轨迹在已知抛物线内，
联立
故弦的中点轨迹方程是
8．（Ⅰ）；（Ⅱ），或．
分析：（Ⅰ）根据题意，并借助，即可求出椭圆的方程；
（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到，设出直线的方程，并与椭圆方程联立，求出点坐标，进而求出点坐标，再根据，求出直线的斜率，从而得解.
【详解】（Ⅰ）椭圆的一个顶点为，
，
由，得，
又由，得，
所以，椭圆的方程为；
（Ⅱ）直线与以为圆心的圆相切于点，所以，
根据题意可知，直线和直线的斜率均存在，
设直线的斜率为，则直线的方程为，即，
，消去，可得，解得或.
将代入，得，
所以，点的坐标为，
因为为线段的中点，点的坐标为，
所以点的坐标为，
由，得点的坐标为，
所以，直线的斜率为，
又因为，所以，
整理得，解得或.
所以，直线的方程为或.
【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.
9．B
【解析】设，，根据线段的中点坐标为，且，关于直线对称，，在双曲线上，整理可得，进而可得到离心率.
【详解】设，，
且线段的中点坐标为，
则，
又，关于直线对称，
所以，
且，在双曲线上，
，，
相减可得，即，
故，即，
离心率为，
故选：B.
【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
10．取值范围为
【解析】根据对称性可知线段被直线垂直平分，从而可得直线的斜率，直线与椭圆有两个交点，且的中点在直线，可设直线的方程为，联立方程组，整理可得可求中点，由可求的范围，由中点在直线可得， 的关系，从而可求的范围．
【详解】设椭圆上关于直线对称的点，，
则根据对称性可知线段被直线垂直平分，故直线的斜率，
直线与椭圆有两个交点，且的中点在直线，
故可设直线 的方程为，联立方程组，
整理可得
，，
，解得：，
，，代入，解得：，
，
的取值范围是．
【点睛】方法点睛：本题重点考查了椭圆的基本性质、直线与椭圆的位置关系等知识，解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题，涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．属于中档题．
11．C
分析：设出直线方程,根据直线与椭圆相切,联立化简后由判别式即可得关于的方程.利用韦达定理表示出.将点P带代入椭圆,联立两个式子化简即可求得的值.
【详解】设
则过的直线方程为
将直线方程与椭圆联立可得
化简可得
因为相切,所以判别式
展开得
同时除以可得
合并可得
同除以,得
展开化简成关于的方程可得
因为有两条直线,所以有两个不等的实数根.
因为为定值,可设
由韦达定理,
化简得
又因为在椭圆上,代入可得
化简可得
则,化简可得
解得
故选:C
【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系,根据直线与椭圆的位置关系研究定值问题,计算量较大,变形化简过程较为复杂,需要耐心计算,属于中档题.
12．
【详解】设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），
则由，得（x，y）=2（x1，y1）-（x2，y2），
即x=2x1-x2，y=2y1-y2，
∵点M，N在双曲线上，所以，，
故2x2-y2=（8x12+2x22-8x1x2）-（4y12+y22-4y1y2）=20-4（2x1x2-y1y2），
设k0M，kON分别为直线OM，ON的斜率，根据题意可知k0MkON=2，
∴y1y2-2 x1x2=0，
∴2x2-y2=20，
所以P在双曲线2x2-y2=20上；
设该双曲线的左，右焦点为F1，F2，
由双曲线的定义可推断出为定值，该定值为
点睛：本题主要考查了双曲线定义及简单的几何性质．充分考查了用代数的方法来处理平面几何问题的手段．
13．
分析：首先求出，即可得到直线的方程，设，，利用点差法得到，再根据及求出椭圆方程，再联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，求出，最后根据计算可得.
【详解】解：因为直线过点、，
所以，所以直线，
设，，则，，
所以、，
所以，即，
所以，即，又，
所以，
又，，所以，所以椭圆方程为，
联立直线AB与椭圆方程为，消去整理得，
所以，，
所以，
故．
14．(1)；
(2)最大值，；
(3)证明见解析.
分析：（1）根据椭圆的顶点坐标公式，结合线段垂直平分线的性质、中点坐标公式、斜率公式进行求解即可；
（2）设出与平行的直线方程与椭圆方程联立，利用一元二次方程根的判别式、三角形面积公式进行求解即可；
（3）利用点差法，结合直线斜率公式进行求解即可.
（1）
由题设知，，，故，，线段中点坐标为．
由于直线平分线段，故直线过线段的中点，又直线过原点，；
（2）
，，，
设与平行的直线方程为，联立，得．
由，解得：．
由题意可知，当时，直线与直线的距离最大，最大值．
即面积有最大值，等于．
由，解得，，点坐标为；
（3）
设，，，，中点，，
则，，
两式作差可得：，，即．
，，即，．
，，，即．
，，故，，三点共线．
【点睛】关键点睛：利用点差法是解题的关键.
15．D
【解析】中点弦问题，处理方法为点差法.得出，用替代，求出关系式，从而求得离心率.
【详解】设
则两式相减可得
故
①
是椭圆的一条弦的中点
故，代入①式中可得
故有
则，则
故选：D
【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
16．B
【解析】利用点差法求得，再利用双曲线的离心率求，求直线的斜率，最后表示直线方程.
【详解】设，，则，，两式相减可得．因为线段以点为中点，所以，，所以，因为的离心率为，所以，故直线的斜率为，所以直线的方程为，即,
经检验成立.
故选：B
【点睛】方法点睛：本题考查直线与双曲线相交的中点弦问题，点差法是直线与圆锥曲线相交，研究中点弦问题比较好的方法，一般设两点，代入圆锥曲线方程，两个式子再做差，表示中点和斜率的关系.
17．D
【解析】解法一，设直线方程与曲线方程联立，利用根与系数的关系表示中点坐标，求直线的斜率，并代入弦长公式求；解法二，利用点差法，求直线的斜率，再代入弦长公式.
【详解】解法一：由题意可知，直线AB的斜率存在．设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－4)＋2.由消去y并整理，得(1－2k2)x2＋8k(2k－1)x－32k2＋32k－10＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝－＝8，解得k＝1.
所以x1x2＝＝10.
所以|AB|＝·＝4.
故选:D.
解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ， ①
. ②
①－②得(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.
所以4(x1－x2)－4(y1－y2)＝0，即x1－x2＝y1－y2，所以直线AB的斜率k＝＝1.则直线AB的方程为y＝x－2.
由消去y并整理，得x2－8x＋10＝0，
所以x1＋x2＝8，x1x2＝10.所以|AB|＝·＝4.
故选：D
【点睛】思路点睛：1.一般涉及中点弦问题时，采用直线与曲线方程联立，利用根与系数的关系表示中点坐标，或用点差法求解；2.直线与圆锥曲线相交问题时，有时需要考查斜率不存在和存在两种情况，斜率存在的情况经常和曲线方程联立，利用根与系数的关系解决几何问题.
18．A
分析：设点、，利用点差法求得，进而可得出双曲线的离心率为，即可得解.
【详解】设点、，则，
由题意，得，，两式相减，得，整理得，
所以，
因此，双曲线的离心率为，
故选：A.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
19．A
【解析】设，，，，，，利用，在椭圆上，代入椭圆方程，两式相减得：，同理可得：，，再利用已知条件即可得出结果.
【详解】设，，，，，，
因为，在椭圆上，
所以，
，
两式相减得：
，
即，
同理可得，，
所以
因为直线､､的斜率之和为1，
所以，
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题主要考查椭圆的简单性质的应用.利用平方差法转化求解斜率是解决本题的关键.
20．
【详解】试题分析：设A ，B ，则①，②，
∵M是线段AB的中点，∴，∵直线AB的方程是，
∴，∵过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即．
考点：椭圆的简单性质
21．
【解析】设，，，，分别代入双曲线方程，两式相减，化简可得：，结合中点坐标公式求得直线的斜率，再利用点斜式即可求直线方程．
【详解】过点的直线与该双曲线交于，两点，
设，，，，
，
两式相减可得：，
因为为的中点，
，，
，
则，
所以直线的方程为，即为．
故答案为：．
【点睛】方法点睛：对于有关弦中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.
22．
分析：先设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），利用坐标表示求动点P轨迹方程，最后根据椭圆定义求结果.
【详解】设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），
则由，得（x，y）=2（x1，y1）-（x2，y2），
即x=2x1-x2，y=2y1-y2，
∵点M，N在椭圆上，所以，，
故2x2+y2=（8x12+2x22-8x1x2）+（4y12+y22-4y1y2）=20-4（2x1x2+y1y2），
设k0M，kON分别为直线OM，ON的斜率，根据题意可知k0MkON=-2，
∴y1y2+2 x1x2=0，
∴2x2+y2=20，
所以P在椭圆2x2+y2=20上；
设该椭圆的左，右焦点为F1，F2，
由椭圆的定义可推断出为定值，该定值为
故答案为：
【点睛】本题主要考查了椭圆定义及简单的几何性质．充分考查了用代数的方法来处理平面几何问题的手段．
23．
分析：设椭圆的方程为，弦端点、，弦的中点，由题意可得和的值，根据直线斜率和点差法得到，进而求出a、b的值.
【详解】解：设椭圆的方程为，则┅┅①
设弦端点、，弦的中点，则
，，，
又，，直线的斜率为，
两式相减得
即
，┅┅②
联立①②解得，所求椭圆的方程是
24．
【解析】根据题意，当时，显然满足题意；当时，可设抛物线上关于直线对称的两点分别为，的中点为，利用点差法得到中点的纵坐标，代入直线得到的横坐标，再结合在抛物线内，即得解.
【详解】解：当时，直线，存在点关于它对称，显然满足题意；
当时，设抛物线上关于直线对称的两点分别为
，且的中点为，则，
而，，
所以，则①-②得：，
，
，
中点在直线上，
，于是，
中点在抛物线区域内，
，即，解得：，
综上可知，所求实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线和抛物线的位置关系中的弦中点问题，以及点差法的应用，解题的关键在于利用点差法求直线的斜率，考查学生转化和分类讨论思想，以及数学运算的能力.
25．证明见解析
分析：设直线AC、BD方程，分别和抛物线联立化为y的一元二次方程，
用韦达定理写出两根之和并计算中点坐标，即M、N的坐标.
然后求出M、N的斜率，点斜式写出直线MN的方程，化简得定点坐标.
【详解】由题意可得，这两条直线的斜率均存在，且不为0，
设，
由
所以 ，所以 ，
所以
由
所以 ，
所以
故直线MN方程为，
故直线MN过定点（4，0）．
26．证明见解析
分析：设直线为，利用点差法，求得，联立方程组，求得点，求得直线的方程，结合直线方程的形式，即可求解.
【详解】设直线为， ，
可得且，
由，，两式相减得到，即，
又由，解得，即，
当时，将上式M点坐标中的换成，同理可得．
①当直线不垂直于x轴时，直线的斜率，
其方程，化简得，
此时直线过定点．
②当直线垂直于x轴时，，此时，直线MN也过定点．
综上所述，直线MN过定点．
27．(1)；
(2)或；
(3)证明见解析.
分析：（1）根据焦距及椭圆的顶点求出即可得出；
（2）设直线的方程为 ，联立方程，由根与系数的关系及求解即可；
（3）分直线斜率存在与不存在讨论，当斜率不存在时直接计算可得，当斜率存在时，设直线的方程为 ，根据相切求出关系，再由点到直线的距离直接计算即可得解.
(1)
∵ ∴，
∵，由 得，∴
所以椭圆的方程：；
(2)
∵直线的斜率为，故可设直线的方程为 ，
设，，，
由 可得，
则，，
∵以为直径的圆过右顶点，∴，∴
∴
，整理可得，
∴或，
∵，
当或时，均有
所以直线的方程为或．
(3)
椭圆左、右焦点分别为、
①当直线平行于轴时，∵直线与椭圆相切，∴直线的方程为，
此时点、到直线的到距离分别为，∴．
②直线不平行于轴时，设直线的方程为 ，
联立，整理得，
，
∵直线与椭圆相切，∴，∴
∵到直线的距离为，到直线的距离为，
∴，
∴点、到直线的距离之积为定值由．
28．(1)
(2)存在点，使得为定值.
分析：（1）表示出与的斜率，由斜率之积为，即可求得E的方程；
（2）分直线的斜率为零和不为零两种情况分别计算.
(1)
设，易得，直线的斜率为，直线的斜率为，
则，
整理得，则曲线E方程为；
(2)
当直线的斜率为不为0时，设直线的方程为，设定点
联立方程组，消可得，
设，，
可得，，
所以
.
要使上式为定值，则，解得，
此时
当直线的斜率为0时，，，此时，也符合.
所以，存在点，使得为定值.
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