高考数学微专题集专题11：隐零点设而不求(原卷版+解析)

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例题
1．设函数．
（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线方程；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）若，k为整数，且当时，，求k的最大值．
【解析】（Ⅰ），，，，，
函数的图象在点处的切线方程为．
（Ⅱ），．
若，则恒成立，所以，在区间上单调递增．
若，则当时，，当时，，
所以，在区间上单调递减，在上单调递增．
（Ⅲ）由于，所以，．
故当时，． ①
令，则．
函数在上单调递增，而，．
所以在上存在唯一的零点，故在上存在唯一的零点．
设此零点为，则．当时，；当时，；
所以在上的最小值为．由，可得，所以．
由于①式等价于，故整数k的最大值为2．
2．已知函数．
（1）设是的极值点，求m并讨论的单调性；
（2）当为奇函数时，证明：恒成立．
【解析】
（1）∵，是的极值点，∴，解得．
∴函数，其定义域为．∵，
设，则，∴在上为增函数，
又∵，∴当时，，即；
当时，，．∴在上为减函数；在上为增函数．
（2）证明：，
∵为奇函数，
∴，
即，解得，
∴，则在上单调递增，
∵，，∴在存在唯一实数根，且，
当时，，时，，
当时，函数取得最小值，∵，即，
∴，∴．
3．已知函数，其中．
（Ⅰ）设是的导函数，讨论的单调性；
（Ⅱ）证明：存在，使得在区间内恒成立，且在区间内有唯一解．
【解析】
（Ⅰ）由已知，函数的定义域为，，
∴．
当时，在，上单调递增，
在区间上单调递减；当时，在上单调递增．
（Ⅱ）由，解得，
令，
则，．故存在，使得．
令，，由知，函数在上单调递增．
∴．即，
当时，有，．由（Ⅰ）知，在上单调递增，
故当时，，从而；
当时，，从而．∴当时，．
综上所述，存在，使得在区间内恒成立，且在区间内有唯一解．
【针对训练】
1．已知函数f(x)=-ln(x+m).
(1)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
（2）当m≤2时，证明f(x)>0.
2．已知函数在上有两个极值点，，且．
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明：当时，．
3．已知，函数，是的导函数．
(1)当时，求证：存在唯一的，使得；
(2)若存在实数a，b，使得恒成立，求的最小值．
专题11：隐零点设而不求
专题11：隐零点设而不求
专题阐述：隐零点是用导数判断函数单调性和求最值常规方法的补充，而求最值和判断单调性是所有导数大题共有的解题基础，因此这部分内容是导数的基本功，如果尝试在导数压轴大题上争取更高的分数，则隐零点问题必须熟练掌握.
[规律方法]
隐零点问题的出题特征较为明显，在参数范围的题目中所求的参数经常为整数，因为利用此类方法求出的最值通常是一个范围，当然也不排除有些题目设计较为巧妙，在求最值时的未知零点可以约分成一个具体的数字.
例题
1．设函数．
（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线方程；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）若，k为整数，且当时，，求k的最大值．
【解析】（Ⅰ），，，，，
函数的图象在点处的切线方程为．
（Ⅱ），．
若，则恒成立，所以，在区间上单调递增．
若，则当时，，当时，，
所以，在区间上单调递减，在上单调递增．
（Ⅲ）由于，所以，．
故当时，． ①
令，则．
函数在上单调递增，而，．
所以在上存在唯一的零点，故在上存在唯一的零点．
设此零点为，则．当时，；当时，；
所以在上的最小值为．由，可得，所以．
由于①式等价于，故整数k的最大值为2．
2．已知函数．
（1）设是的极值点，求m并讨论的单调性；
（2）当为奇函数时，证明：恒成立．
【解析】
（1）∵，是的极值点，∴，解得．
∴函数，其定义域为．∵，
设，则，∴在上为增函数，
又∵，∴当时，，即；
当时，，．∴在上为减函数；在上为增函数．
（2）证明：，
∵为奇函数，
∴，
即，解得，
∴，则在上单调递增，
∵，，∴在存在唯一实数根，且，
当时，，时，，
当时，函数取得最小值，∵，即，
∴，∴．
3．已知函数，其中．
（Ⅰ）设是的导函数，讨论的单调性；
（Ⅱ）证明：存在，使得在区间内恒成立，且在区间内有唯一解．
【解析】
（Ⅰ）由已知，函数的定义域为，，
∴．
当时，在，上单调递增，
在区间上单调递减；当时，在上单调递增．
（Ⅱ）由，解得，
令，
则，．故存在，使得．
令，，由知，函数在上单调递增．
∴．即，
当时，有，．由（Ⅰ）知，在上单调递增，
故当时，，从而；
当时，，从而．∴当时，．
综上所述，存在，使得在区间内恒成立，且在区间内有唯一解．
【针对训练】
1．已知函数f(x)=-ln(x+m).
(1)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
（2）当m≤2时，证明f(x)>0.
2．已知函数在上有两个极值点，，且．
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明：当时，．
3．已知，函数，是的导函数．
(1)当时，求证：存在唯一的，使得；
(2)若存在实数a，b，使得恒成立，求的最小值．
参考答案：
1．(1)在上是减函数；在上是增函数（2）见解析
【详解】(1)．
由x=0是f(x)的极值点得f '(0)=0，所以m=1．
于是f(x)=ex－ln(x+1)，定义域为(－1，+∞)，．
函数在(－1，+∞)上单调递增，且f '(0)=0，因此当x∈(－1，0)时， f '(x)<0;当x∈(0，+∞)时， f '(x)>0．
所以f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增．
(2)当m≤2，x∈(－m，+∞)时，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需证明当m=2时， f(x)>0．
当m=2时，函数在(－2，+∞)上单调递增．
又f '(－1)<0， f '(0)>0，故f '(x)=0在(－2，+∞)上有唯一实根，且．
当时， f '(x)<0;当时， f '(x)>0，从而当时，f(x)取得最小值．
由f '(x0)=0得=，，
故．
综上，当m≤2时， f(x)>0．
2．(1)
(2)证明见解析
分析：（1）根据题意得方程在上有两不等实根，进而结合二次函数零点分布求解即可；
（2）根据题意得，进而得，再构造函数，研究单调性得在单调递增，进而.
(1)
解：∵，
∴，
∵函数在上有两个极值点，且
∴由题意知方程在上有两不等实根，
设，其图像的对称轴为直线，
故有 ，解得
所以，实数a的取值范围是.
(2)
证明：由题意知是方程的较大的根，故，
由于，∴，
∴．
设，，，
∴在单调递增，
∴，即成立．
∴不等式成立,证毕.
3．(1)证明见解析
(2)
分析：（1）求出，即可得到的单调性，再根据零点存在性定理判断即可；
（2）分、和三种情况讨论，当时，由（1）可得的最小值为，则，从而得到，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出的最小值，即可得解；
(1)
证明：∵，，
当时，，∴函数在上的单调递增，
又，，∴存在唯一的，使得．
(2)
解：当时，则当时，，
即函数在上单调递增，且当时，，这与矛盾；
当，由，得，∴；
当，由（1）知当时，；当时，；
即在上单调递减，在上单调递增，
∴的最小值为，其中满足，故且，
∵恒成立，∴，即，
于是，记，，
则，由得，即函数在上单调时递减，
由得，即函数在上单调递增，
∴，
综上得的最小值为，此时．